Exposé 1

Report
La recherche en didactique des mathématiques au
service de la formation à l’enseignement :
Réflexions à partir du contexte de la recherche et de la
formation au Québec
Hassane Squalli
Université de Sherbrooke (Qc, Canada)
Faculté d’éducation
Département de Pédagogie
23 avril 2013
Centre régional des métiers d’éducation et de formation
Rabat-Maroc
Plan
 Différents types de didactique des mathématiques
 Quelques fondements des cours de didactique des
mathématiques
 Exemple d’un dispositif de formation
 Exemples de types de recherches pertinentes pour
le système de formation
Didactiques des mathématiques
 Comme domaine scientifique de recherche
 Recherches ayant pour finalité le développement de
cadres théoriques pour la recherche
 Comme domaine de recherche sur
l’enseignement/apprentissage/objets d’enseignementapprentissage
 Recherches ayant pour finalité le développement de
modèles théoriques sur
l’enseignement/apprentissage/objets d’enseignementapprentissage
 Recherches empiriques
 Comme domaine de formation à la recherche
 Comme outil de formation à l’enseignement
Quelques fondements de l’approche
de formation des enseignants
Quels types de connaissances faut-il à un
enseignant d’aujourd’hui pour bien
enseigner un contenu mathématique (disons
un contenu d’algèbre) à une catégorie
d’élèves (disons des élèves du secondaire) ?
Développer une culture d’enseignement
des mathématiques chez l’enseignant en
formation
5
Culture des
mathématiques en tant
que discipline scientifique
Culture des
mathématiques en tant
que discipline scolaire
Culture de l’élève
apprenant des
mathématiques
Sa propre culture des
mathématiques
Culture des mathématiques
en tant que discipline scientifique
 Les mathématiques comme activité humaine,
 vivante toujours en développement,
 avec une longue histoire,
 à laquelle ont contribué et contribuent
plusieurs civilisations.
 Les mathématiques possèdent des applications
dans divers domaine de la vie.
6
 Les mathématiques comme domaine
d’esthétique et de beauté.
Culture des mathématiques
en tant que discipline scolaire
• Programme national d’études de l’école dans
le domaine des mathématiques, ses
orientations prioritaires, ses fondements; son
évolution historique, son ancrage dans les
mouvements internationaux
• Manuels scolaires, matériels didactiques
• Associations et revues professionnelles
relatives à l’enseignement des mathématiques
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Culture de l’élève apprenant des
mathématiques
• Connaissance de ce que dit la littérature
scientifique et professionnelle sur l’apprentissage
des élèves des contenus enseignés
(raisonnements, obstacles, …)
• Développer une sensibilité face aux apprentissages
des élèves
– Apprécier le génie mathématique des élèves
– Voir l’élève, celui en difficulté en particuliers,
non comme un automath, mais comme une
personne qui raisonne et produit des
raisonnements (parfois très originaux).
– Évaluer le raisonnement de l’élève et non
8
seulement sa réponse
Sa propre culture des
mathématiques
 Prendre conscience de son rapport aux
mathématiques, à leur enseignement et à
leur apprentissage
 Développer un rapport positif aux
mathématiques
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Quelques fondements des cours
de didactique des mathématique
 La didactique des mathématiques comme un
instrument pour le développement de ces différentes
cultures: Une formation à l’enseignement par la
didactique et non en ou pour la didactique.
 L’enseignant comme professionnel: praticien réflexif,
intègre, développe et échange des savoirs
professionnels
 L’enseignant en formation est un complexe
d’assujettissements institutionnels. Il a une identité
multiple.
 Un dispositifs de formation est perçu comme
signifiant par l’enseignant en formation s’il crée, des
10interactions de connaissances, parfois des
confrontations, entre les différentes entités.
Quelle didactique voulons-nous que
les futurs enseignants développent
durant leur formation initiale ?
 Nous formons des enseignants des mathématiques,
non des chercheurs en didactique des
mathématiques
 Cela ne signifie pas que l’enseignant n’est pas aussi
didacticien, c-à-dire grand utilisateur voir producteur
de savoirs didactiques. Les questions qui l’occupent
sont des questions qui ont une pertinence sociale,
reliées à l’enseignement des maths et non
nécessairement une pertinence scientifique reliée à
l’état d’avancement de la didactique des
mathématiques comme domaine de recherche.
 Dans l’exercice de sa fonction, l’enseignant réalise
des activités de didacticien, mais son but est de
faire progresser sa pratique et non faire avancer la
connaissance scientifique.
 La didactique des mathématiques est nécessaire
à la pratique d’enseignement des mathématiques
et à la formation à l’enseignement des
mathématiques
1. La didactique fournit un cadre de référence
(des théories, des concepts et un langage, des
analyses conceptuelles) qui permet aux
praticiens de problématiser des questions liées
à leurs pratiques, de produire et d’échanger des
savoirs professionnels (savoirs pratiques,
savoirs sur ou pour la pratique avec un discours
raisonné sur cette pratique)
 2. d’étudier, et quelques fois de proposer
des réponses, à des questions qui
occupent et préoccupent la pratique
d’enseignement des maths, comme la
production de connaissances empiriques
sur les pratiques d’enseignement et
d’apprentissage des mathématiques
Quelle(s) didactique(s) prenons-nous en
considération pour élaborer nos cours de
didactique des mathématiques ?
 La didactique inspire le formateur et non lui
impose des contenus à enseigner
 Les cours de didactique des mathématiques
doivent contribuer :
 1) au développement d’une culture de
l’enseignement des mathématique chez
l’enseignant en formation
 2) à l’intégration de savoirs théoriques dans la
pratique d’enseignement de l’enseignant en
formation (notamment dans les phases préactive et
postactive, et dans l’articulation entre les
formations mathématique, pédagogique et
pratique).
Contrat de formation
Posture à adopter dans les cours de didactique
pour maximiser la formation
 Se voir et se comporter comme un enseignant en
formation qui vise à développer des compétences
professionnelles en enseignement des mathématiques
 Et non (exclusivement) comme un « étudiant
universitaire» qui cherche à réussir un programme pour
obtenir un diplôme.
 Cela nécessite de la part de l’enseignant en formation:
 De maintenir une authenticité d’enseignant des
mathématiques lorsqu’ils sont sollicités en tan que tel
 D’exploiter les apprentissages théoriques réalisées
dans les cours comme outil pour comprendre et penser
leur enseignement.
Contrat de formation
Posture à adopter dans les cours de
didactique pour maximiser la formation
 Cela nécessite de la part du formateur
didacticien
 Ne pas être un prescripteur de la pratique
 Ne pas agir comme un théoricien
déconnecté du contexte de la pratique
 Développer chez l’enseignant en formation
la culture de l’enseignement des
mathématiques, l’aider à maîtriser et à
exploiter des savoirs de didactiques pour
comprendre et penser son enseignement.
Postulats de départ
 Je pars des postulats suivants
1. Un enseignant en formation (Ef) accorde une
pertinence et une signifiance à un dispositif de
formation s’il a la perception que ce dispositif va le
développer en tant qu’enseignant,
2. La formation pratique est un dispositif signifiant
pour les Ef. En revanche, les dispositifs de
formation en didactique, en pédagogie et en
mathématiques ne sont pas perçus de facto
comme signifiants par les Ef. Un travail doit être
fait par le formateur pour les rendre signifiants
aux yeux des Ef.
L’enseignant en formation : un complexe
d’assujettissements
Mathématicien/ institutionnels
Apprenant des
mathématiques
EfMat
Enseignant de
mathématiques
EfEns
Institution
mathématique
universitaire
Institution
scolaire de la
pratique
d’enseignement
Institution
formation pratique
universitaire
Enseignant
en
formation
Étudiant universitaire
qui réfléchi sur
l’enseignement et
l’apprentissage des
math
EfDid
Institution
didactique
universitaire
Institution pédagogique
universitaire
Conceptions forgées
par le métier d’élève,
d’étudiant
mathématicien
par
Entrée paretles
la culture
dominante
définitions
et les
du milieu
scolaire etdonc
J’enseigne
formalisations
académique
ils apprennent
Conceptions
compatibles
Mathématiques
avec le milieu
universitaire
Perspective
socioconstructivsite
J’enseigne comme
on m’a enseigné
Enseignant
en formation
Enseignement
des
mathématiques
Apprentissage
des
Grande
mathématiques
préoccupation
parConceptions
la gestion de
forgées
par la
la classe
culture du milieu
enseignant
L’enseignant en formation: une entité multiple
EfMat
Postulat 3 : un
dispositif de
formation est
signifiant s’il
favorise
l’engagement de
l’EfMat, l’EfDid et
l’EfEns dans des
activités
d’interactions de
connaissances.
EfEns
EfDid
Étude d’un exemple : Journal de
bord en résolution de problèmes
Le cahier de bord comprend :
 Une introduction présentant ses propres conceptions, attitudes,
souvenirs, etc. à l’égard des mathématiques.
 Les traces écrites de la résolution, telle qu’elle a été réalisée, d’au
moins cinq (5) problèmes pris dans le chapitre 10 du livre l’Esprit
mathématique de John Mason.
 Lorsque opportun lors de la résolution de problèmes, des
remarques de nature
 Cognitive en lien avec le processus de résolution
 Métacognitive en lien avec le processus de résolution
 Affective en lien avec le processus de résolution
 Une conclusion rapportant l’effet qu’a eu ce travail sur sa propre
culture mathématique ainsi qu’une réflexion sur tout le processus
effectué lors des résolutions de problèmes.
Indications méthodologiques
 Données analysées: Retour réflexif sur l’activité, objet
de la conclusion du travail Journal de bord en
résolution de problèmes
 Analyse : en cohérence avec le modèle théorique de
l’Ef, le discours réflexif est considéré comme un
dialogue entre les postures épistémologiques (EfMat,
EfDid et EfEns). Il s’agit alors de reconstruire ce
discours en termes d’interactions en mettant en
évidence les connaissances en acte et les significations
associées chez les différents locuteurs.
Quelques résultats d’analyse
 Certains étudiants ont éprouvé de la difficulté à décrire
de manière spontanée leur démarche de résolution!
Leur journal de bord ne contient que des
démonstrations.
 Inter. Le discours réflexif est produit presque
uniquement par l’EfMat. Ces Ef ont de la difficulté à
engager une interaction féconde entre l’EfMat et l’EfDid.
Comme si l’EfMat refuse le regard analytique que pose
l’EfDid sur son activité personnelle de résolution de
problèmes.
 Le Journal de bord en résolution de problèmes a donc
été un dispositif non signifiant pour ces Ef.
Le dispositif a été signifiant pour
plusieurs Ef
Une leçon d’humilité
«Je dois avouer que l’activité fut une véritable leçon
d’humilité. En effet, je ne sais pas si je suis la seule
personne dans cette situation, mais j’ai trouvé la plupart
des problèmes très difficiles à résoudre, beaucoup plus que
ce que j’imaginais. Je ne sais pas si c’est parce que mes
cours sont déjà loin, mais je peux affirmer avoir consacré
beaucoup de temps à ce travail. Tellement qu’à certains
moments je remettais mes aptitudes intellectuelles en
question. J’ai décidé à un certain point d’arrêter de m’en
faire et de simplement considérer le tout comme une
activité d’apprentissage.»
 [Je, EfMat] dois avouer que l’activité fut une véritable
leçon d’humilité . En effet, [je, EfDid] ne sais pas si [je,
EfMat] suis la seule personne dans cette situation, mais
[j’, EfMat ] ai trouvé la plupart des problèmes très
difficiles à résoudre, beaucoup plus que ce que [j’, EfMat]
imaginais. [Je, EfDid] ne sais pas si c’est parce que [mes,
EfMat] cours sont déjà loin, mais [je, EfMat] peux
affirmer avoir consacré beaucoup de temps à ce travail.
Tellement qu’à certains moments [je, EfMat] remettais
mes aptitudes intellectuelles en question. [J’, EfMat] ai
décidé à un certain point d’arrêter de m’en faire et de
simplement considérer le tout comme une activité
d’apprentissage.
 Inter. Cette prise de conscience importante de l’EfMat, est
provoquée par l’analyse critique de l’EfDid. D’autres
étudiants affirment que cette activité leur a permis de
prendre conscience de leurs propres stratégies de
résolution « de mieux se connaître en tant que
mathématicien » a dit un étudiant.
EfEns
EfDid
EfMat
En tant qu’enseignante, il [m’, EfEns] arrive à
l’occasion d’expliquer une notion et de [me, EfEns] dire :
« Voyons, il [me, EfEns] semble que ce n’est pas si
compliqué…» et de ne pas comprendre pourquoi les élèves
ne comprennent pas. Cette activité [m’, EfEns] a permis
de [me, EfEns] mettre dans la peau de [mes, EfEns]
élèves c’est-à-dire de se retrouver face à une situation dont
[je, EfMat] n’avais aucune idée par où commencer et
comment faire pour résoudre le problème. [J’, EfDid] ai pu
voir comment un élève peut se sentir dans une telle
situation, comment il se sent face au syndrome de la page
blanche. Bien sûr, [je, EfMat] ne veux pas dire que [j’,
EfMat] ai toujours eu de la facilité à résoudre des
problèmes mathématiques, au contraire, mais c’était la
première fois que [je, EfDid] [me, EfMat] questionnais
autant sur [ma, EfMat] façon de penser et de chercher
une solution.
Exemple d’interactions
de connaissances
La réalisation du journal de bord n’a fait que
me confirmer que nous disposons au fond de
nous d’un processus métacognitif pour
résoudre les problèmes que nous rencontrons
tous les jours.
EfEns
EfDid
EfMat
[EfDid] : La réalisation du journal de bord par
l’EfMat n’a fait que me confirmer que nous
disposons au fond de nous d’un processus
métacognitif pour résoudre les problèmes que
nous rencontrons tous les jours.
Mais le grand défi est de savoir comment
transposer ces habilités mentales à nos jeunes.
[EfEns]: Mais le grand défi est de savoir
comment transposer ces habilités mentales à nos
jeunes.
En obligeant les élèves à connaître les
démarches de résolution de problèmes et à les
utiliser fréquemment, on leur permet de gérer
plus efficacement les diverses opérations
cognitives d’ordre supérieur requises pour être
efficaces, tout en stimulant leur esprit critique
C’est de la métacognition en action.
[EfDid] : En obligeant les élèves à connaître les
démarches de résolution de problèmes et à les
utiliser fréquemment, l’enseignant leur permet
de gérer plus efficacement les diverses
opérations cognitives d’ordre supérieur requises
pour être efficaces, tout en stimulant leur esprit
critique C’est de la métacognition en action.
Sans oublier l’apport psychologique que
procure une résolution efficace d’un problème
mathématique, à savoir une légitime fierté et
une estime de soi de plus en plus
considérables.
[EfMat] : Sans oublier l’apport psychologique
que procure une résolution efficace d’un
problème mathématique, à savoir une légitime
fierté et une estime de soi de plus en plus
considérables.
Interprétation
 Ces interactions de connaissances sont constructives, car
elles s’appuient sur un référent expérientiel (apporté par
l’EfMat), une justification épistémique (apportée par
l’EfDid) et une solution à un problème de pratique
(préoccupation de l’EfEns).
 Si l’on ne tient pas compte de la valeur des
connaissances en actes, ces interactions constructives
sont un indicateur de la signifiance de cette activité pour
l’Ef.
 Tout se passe comme si pour l’EfEns la valeur pour la
pratique d’une connaissance de l’EfDid est renforcée
quand celle-ci est validée par une expérience significative
de l’EfMat et qu’une interaction soit engagée entre ces
trois entités à propos du sens de cette connaissance.
Quelques exemples de questions ’’mathématiques’’
qui créent une confrontation des 3 postures
épistémologiques
1) Soient a/b et c/d deux fractions équivalentes. Estce que l’égalité suivante est vraie? Donnez une
explication sans recourir au formalisme.
 
=
 
2)
=
+
+
Composez un problème «à contexte» qui
2
2
demande comme solution la division ÷ et
3
5
résolvez-le.
3) Soit a = 0,12345678910111213…..
Calculez 3a
Exemples de types de recherches pertinentes
pour le système de formation
 Recherches sur les apprentissages des élèves
 Recherches sur les manuels, les programmes
 Recherches sur les pratiques d’enseignement
 Recherches ethnologiques (ethnomatics) sur les
pratiques mathématiques dans la société (pratiques
culturelles et pratiques sociales de référence)
 Recherches sur les pratiques mathématiques du
patrimoine historique
 Recherche sur l’étudiant en formation
 La recherche-action comme dispositif de formation
MERCI!
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