発表資料 - コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡

Report
コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス
高性能並列固有値計算アルゴリズムの開発
櫻井鉄也1), 2), 二村保徳1),前田恭行1),矢野貴大1),
Du Lei1), 2),今倉暁1),多田野寛人1)
1)筑波大学大学院システム情報工学研究科
2)科学技術振興機構CREST
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
研究課題

研究課題名
 計算量子科学のニーズに対応した高性能固有値計算アルゴリズム
の開発

体制
 代表者
櫻井鉄也(筑波大学)
 連携研究者 多田野寛人,今倉暁(筑波大学)
 研究協力者 Du Lei,二村保徳,前田恭行,矢野貴大(筑波大学)

主な実施課題
 階層型固有値解法によるバンド構造計算法の高性能化
 確率的推定法を利用した状態密度計算法の開発
 計算量子科学分野で現れるさまざまな固有値計算への展開
 実問題での性能評価とボトルネックの改善
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
発表内容

はじめに
 研究背景と目的

超並列固有値解析エンジン
 CRESTプロジェクトによるソフトウェア開発

周回積分による疎行列向け固有値解法
 解法の概要と実行例
 提案法が有効な固有値問題

おわりに
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
はじめに

研究背景と目的
 固有値問題が現れるアプリケーションの高性能化
- 本課題では特に計算量子科学のニーズに対応
 ペタスケール超規模のハードウェア性能を引き出す並列固有値
計算アルゴ
リズムの研究とその高性能実装技術を開発する
アプリ A
アプリ B
アプリ C
アプリ X
固有値解析エンジン
アプリケーションを支える
基盤的技術
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
はじめに

大規模並列で性能を発揮する解法
 数値例:高エネルギー加速器設計で現れる固有値問題(110万次元)
- SS法*,Lanczos法ともに,内部で同じ線形ソルバーを使用
Cray XT4 (LBNL)における計算時間
時間(秒)
2500
提案法 (SS法*)
1000
従来法 (Shift-invert Lanczos法)
500
100
並列度が低いとき
8
32
並列度が高いとき
128
コア数
512
2048
*Sakurai, et al. 2003
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
CRESTプロジェクト 超並列固有値解析エンジンの開発

ポストペタスケール計算環境でのハードウェア性能を十分に引き出す
超並列固有値解析エンジンを開発 (H23年度〜H27年度)
 主要メンバー
- 櫻井(筑波大),張(名古屋大),今村(理研),山本(神戸大),
藏増(筑波大),星(鳥取大)
 アーキテクチャの超並列性を活用する階層型並列アルゴリズム
 密行列・疎行列に対応

共通基盤技術としての線形計算手法・実装技術開発
 高性能な線形計算手法,性能予測モデルによる評価,
GPU/メニーコア向け実装

実問題での利用技術の開発
 基礎科学・ナノ物質分野での実問題に適用し,高度利用技術を開発
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
周回積分を用いた固有値解法

基本アイディア:有理式に対する周回積分
Im
Re

行列 A のレゾルベント
: 固有値,
: 固有ベクトル
(ここでは簡単のため A は実対称とし,固有値は相異なるとする)
周回積分によるスペクトル射影
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
周回積分を用いた固有値解法

疎行列向け超並列固有値解法の概略
 複素平面上の特定領域内部の固有ベクトル成分を抽出
 周回積分は数値積分で近似
(各積分点では線形方程式を解く)
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
領域内固有値数の確率的推定法

パラメータの最適化のために確率的固有値数推定を用いる
 G 内の固有値数:
 逆行列のトレースを以下のように近似する
ここでベクトル
の要素は 1 または -1 を等確率にとる
GEP: Futamura, et al. (2010), NEP: Maeda et al. (2011)

この推定値を利用して必要な部分空間サイズを決める
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
計算例

実空間密度汎関数法(RSDFT)によるバンド図計算
 シリコンナノワイヤー9,924原子
- 行列サイズ:8,719,488次元,利用リソース:「京」 27,648コア
- バンドギャップ付近の固有値を計算
Futamura, et al. (2013)
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
開発ソフトウェア


疎行列向けモジュール
 固有値ソルバ,線形ソルバ,基本線形計算ライブラリ,
アプリケーションインタフェイス
開発ソフトウェア
 MATLAB版:sseig.m
- Webからダウンロード可
- 多項式,非線型版も利用可能
 SLEPc版 (C言語):eps_ciss
- SLEPc ver. 3.4 に実装
 Fortran90版:
- 京向けを近日公開予定
RSDFTのバンド図計算で利用
 Trilinos版 (C++):開発中
Eigen-Supercomputing Sparse Engine
Application Interface
Eigensolver
Block Linear Solver
Base Modules:
PETSc, Trilinos, MUMPS
BLAS, SpBLAS, LAPACK, ScaLAPACK
MatVec, Data Converter
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
GPU/メニーコアへの対応

密実対称行列の一般化固有値問題
 10,000次元,最小固有値から10%の固有対を計算
 BLAS/LAPACKルーチンとしてMAGMAを利用
 miscの大部分(SVD, Rayleigh-Ritz)は,現状では単一GPU or CPU実装
Elapsed time [sec]
GPUクラスタ HA-PACS (Tsukuba)での実験
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
misc
Solve
LU
1GPU
2GPU
4GPU
8GPU
16GPU
Yano, et al. accepted
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
提案法が有効な問題

固有値を求める領域
Im
Im
Re
Re
指定した範囲
複素平面上の指定領域
リング状領域
求めたい範囲やその範囲内にある固有値数が
ある程度予想できる問題に対して効果が高い

固有値問題の種類
標準固有値問題
一般化固有値問題
多項式固有値問題
非線形固有値問題
(ex. 平方根,有理式,etc.)
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
おわりに

大規模並列で性能を発揮する解法の開発
 高性能固有値解析ソフトウェアを開発
 京版は近日中に公開予定,今後はポストペタへ

アルゴリズムレベルでの階層構造
 周回積分により固有成分をフィルタリング
 独立な複数の線形方程式に帰着

実アプリケーション
 RSDFTのバンド図計算

今後の課題
 実用性を考慮したアプリケーション向けインターフェイスの開発
 計算量子科学分野で現れるさまざまな固有値計算への展開
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」
References
1) Y. Futamura, T. Sakurai, S. Furuya and J.-I. Iwata, Proc. VECPAR 2012, LNCS 7851,
226–235 (2013).
2) T. Mizusaki, K. Kaneko, M. Honma, and T. Sakurai, Phys. Rev. C 82, 024310 (2010).
3) Y. Nagai, Y. Shinohara, Y. Futamura, Y. Ota and T. Sakurai, arXiv:1303.3683 (2013).
4) H. Ohno, Y. Kuramashi, H. Tadano and T. Sakurai, JSIAM Letters 2, 115-118 (2010).
5) T. Sakurai and H. Sugiura, J. Comput. Appl. Math. 159, 119-128 (2003).
6) T. Sakurai, H. Tadano, T. Ikegami and U. Nagashima, Taiwanese J. Math. 14, 855-867
(2010).
7) T. Sakurai, H. Tadano and Y. Futamura, J. Alg. Comput. Tech. 7 (in print).
8) T. Yano, Y. Futamura and T. Sakurai, Proc. 3PGCIC2013 (accepted).
新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン:複合相関と非平衡ダイナミクス」

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