Probabilidad y Estadística para CEA Mtra. Ma. Del

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Probabilidad y Estadística para
CEA
Mtra. Ma. Del Carmen López
Munive
Sesión 8
Estimación puntual y por intervalos
Estimación puntual y por
intervalos
O La estadística inferencial nos permite
“estimar” características desconocidas
como la media de la población o la
proporción de la población.
O Existen dos tipos de estimaciones usadas
para estimar los parámetros de la
población:
O Estimación puntual, y
O Estimación de intervalos
ESTIMACIÓN PUNTUAL
O Es el valor de un solo estadístico de
muestra.
ESTIMACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA:
O Es un rango de números llamado intervalo,
construido alrededor de la estimación
puntual
O El intervalo de confianza se construye de
manera que la probabilidad del parámetro
de la población se localice en algún lugar
dentro del intervalo conocido.
3 características principales:
La media de la muestra X es una estimación
puntal de la media poblacional μ.
2. La media de la muestra puede variar de una
muestra a otra porque depende de los
elementos seleccionados en la muestra.
3. Existe una confianza especificada de que μ se
encuentre en algún lugar en el rango de
números definidos por el intervalo.
1.
Curva normal para determinar el valor de Z
necesario para el 95% de confianza
95% de Confianza
El 5% restante:
0.0500/2=0.02
50
0.9500/2=0.4750 en
tablas es ±1.96
Si lo busco en tablas
corresponde a unas
coordenadas de 1.9 co
6 centésimos
0.4750
0.4750
0.0250
0.0250
0.5000
- 1.96
μ
0.5000
1.96
Escala Z
Curva normal para determinar el valor de Z
necesario para el 99% de confianza
99% de Confianza
El 1%
restante:
0.0100/2
=0.0050
0.9900/2=0.4950 en
tablas es ±2.58
Si lo busco en tablas
corresponde a unas
coordenadas de 2.5 co
8 centésimos
0.4950
0.4950
0.0050
0.0050
0.5000
- 1.96
μ
0.5000
1.96
Escala Z
Valores más comunes de los
niveles de confianza:
NIVEL DE CONFIANZA
Z
α
α/2
90%
1.645
0.10
0.05
95%
1.96
0.05
0.025
99%
2.576
0.01
0.005
NIVEL DE CONFIANZA:
Se simboliza con (1-α ) * 100% donde α es la proporción de las colas de
la distribución que están fuera del intervalo de confianza.
La proporción de la cola superior de la distribución es α /2 y de la
inferior es α /2
Intervalo de confianza para la
media conocida:
X±Z


Ó
X-Z


≤μ≤X+Z


Donde Z = valor correspondiente a un área
acumulativa de 1- α/2
Valor crítico: es el valor de Z necesario para
construir un intervalo de confianza para la
distribución
Estimación de la media para una
longitud del papel con un 95% de
confianza
O Un fabricante de papel para computadora, con
proceso de producción que opera continuamente
a lo largo de un turno completo. Se espera que
tenga el papel una media de longitud de 11
pulgadas.
O μ = 11”
O σ = 0.02 pulgadas
O Selecciono una muestra aleatoria de 100 hojas a intervalos de
tiempo donde la media de la muestra X = 10.998 pulgadas.
O Construir un intervalo de confianza del 95% para la media
poblacional de la longitud del papel
X±Z


Tengo: μ = 11”, σ = 0.02 pulgadas, Z = 1.96, n = 100, X=10.998
X-Z


≤μ≤X+Z


Sustituyendo:
10.998 ± (1.96)(0.02/ raíz de 100)
10.998 ± 0.00392
10.998 - 0.00392 ≤ μ ≤ 10.998 + 0.00392
10.99408 ≤ μ ≤ 11.00192
Conclusión:
Así con un 95% de confianza se concluye que la media poblacional está
entre 10.99408 y 11.00192, por lo tanto 11 pulgadas está dentro del
intervalo y el proceso productivo está correcto.
Estimación de la media de la longitud del
papel con un 99% de confianza
Tengo: μ = 11”, σ = 0.02 pulgadas, Z = 2.576, n = 100, X=10.998
X-Z


≤μ≤X+Z


Sustituyendo:
10.998 ± (2.576)(0.02/ raíz de 100)
10.998 ± 0.00516
10.998 - 0.00516 ≤ μ ≤ 10.998 + 0.00516
10.99284 ≤ μ ≤ 11.001316
Conclusión:
Así con un 99% de confianza se concluye que la media
poblacional está entre 10.99284 y 11.001316, por lo tanto 11
pulgadas está dentro del intervalo y el proceso productivo está
correcto.
Para tener un
100% de
certeza se debe
muestrear a la
población
completa
Práctica
Una tienda de pinturas, donde la media debe
ser igual a 1 galón
μ = 1 galón,
σ = 0.02 de galón,
X= 0.995 por galón
n = 50 latas
Z =Estimación de confianza del 99%
El gerente quiere reclamar al productor, ¿tiene
derecho a quejarse? ¿Por qué? Justifica tu respuesta.
1.
La división de pesos y medidas del Condado Lee, desea estimar la
cantidad real de contenido en botellas de 2 litros de bebida
refrescante en la planta embotelladora local de una empresa
conocida a nivel nacional.
La planta embotelladora ha informado a la división de
inspección que la desviación estándar poblacional para las botellas de 2
litros es de 0.05 de litro. Una muestra aleatoria de 100 botellas de 2 litros
en la planta embotelladora indica una media muestral de 1.99 litros.
a.
Construya una estimación de intervalo de confianza del 95% de la
media poblacional cantidad de bebida refrescante en cada botella.
b.
Explique porqué el valor de 2.02 litros para una botella sola no es
inusual, aún cuando esté fuera del intervalo de confianza calculado.
c.
Suponga que la media muestral hubiera sido de 1.97 litros, ¿cuál
sería la respuesta al inciso a)?
2.
Estimación del
intervalo de confianza
para una proporción
Estimación del intervalo de
confianza para una proporción
O El objetivo es la preocupación de la estimación de la proporción de elementos
en una población que tiene ciertas características de interés.
O La proporción desconocida de la población se representa con la letra griega π
O La estimación puntual para pi es la proporción de la muestra p=x/n,
donde n=tamaño de la muestra, x= número de elementos en la
muestra que tienen la característica de interés
 ±  (1 − )/
−
 1−

≤π≤+
 1−

Donde P=proporción de la muestra =x/n
= número de elementos con característica
tamaño de muestra
Π = proporción de la población
Z= Valor crítico para la distribución normal estandarizada
n = tamaño de la muestra
O Suponiendo que x como n – x son mayores
que 5.
O Se puede usar la estimación del intervalo de
confianza de la proporción para estimar la
proporción de facturas de ventas que
contienen errores.
O Suponga que una muestra de 100 facturas de ventas,
10 contienen errores. Así entonces, para estos datos,
p=x/n = 10/100= 0.10, para un 95% de confianza
Z=1.96
O Sustituyendo:
0.010 ± (1.96) * [Raíz de (0.10)(1-0.10)/100]
0.01- (1.96)(0.03) ≤ π ≤ 0.01+ (1.96)(0.03)
0.0412 ≤ π ≤ 0.1588
Así usted tiene un nivel de confianza del 95% de que entre
4.12 y el 15.88% de todas las facturas de ventas contienen
errores.
Ejercicio 1
O Estimación de la proporción de periódicos
defectuosos impresos, tal como borraduras en
exceso, disposición errónea de las hojas,
páginas faltantes o duplicadas.
O Selecciona una muestra de 200 periódicos, 35
de ellos contienen algún tipo de defecto. Realice
e interprete un intervalo de confianza del 90%
para la proporción de periódicos impresos
durante el día que tienen defectos.
Ejercicio 2
O Si n = 200, X = 50, construya una
estimación del intervalo de confianza del
95% para la proporción de la población
Ejercicio 3
O Si n=400, x =25, construya una estimación
del intervalo de confianza del 99% para la
proporción de la población
Ejercicio 4
O Una empresa telefónica desea estimar la proporción de
hogares en los que se contrataría una línea telefónica
adicional. Se seleccionó una muestra aleatoria de 500
hogares. Los resultados indican que a un costo
reducido, 135 de los hogares contrataría una línea
telefónica adicional.
a. Construya una estimación de intervalo de confianza
del 99% de la proporción poblacional de hogares que
contratarían una línea telefónica adicional.
b. ¿Cómo podría el gerente a cargo de los programas
promocionales relacionados con los clientes
residenciales, usar los resultados del inciso a).

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