第24讲

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工程数学(线性+概率)复习
线性代数部分
对于行列式, 必须记住行列式的性质, 行
列式的转置不改变行列式的值, 交换两行
或者两列行列式变号, 两行或者两列相同
或者成比例则行列式为零, 如果行列式可
按列分块表示为|a1,a2,…,an|, 则如果某一
列, 不妨假设最后一列是两列之和, 则行
列式的值等于两个行列式相加:
|a1,a2,…,b+g|=|a1,a2,…,b|+|a1,a2,…,g|
行列式的某行或者列乘一个数加到另一
行或者列不改变行列式的值.
行列式的值等于任一行或者列的所有元
素乘这个元素的代数余子式.
一定要学会四阶及以上的行列式的数值
计算!
如果n阶方阵的行列式为零(n>1), 则此方
阵的行向量组和列向量组都线性相关, 而
一个向量组当n>1时线性相关的充分必要
条件是这个向量组至少有一个向量是其
余向量的线性组合.
n个向量线性相关的充分必要条件是存在
不全为零的一组数将它们线性组合成零
向量, 如果不是线性相关, 则必线性无关.
两个向量线性相关的充分必要条件是它
们成比例, 例如(1,2,5)和(2,4,10)线性相关.
对于任给的一个矩阵A, 其列向量组的秩
和行向量组的秩和此矩阵的秩是一样的.
而向量组的秩是指的此向量组的极大无
关组的向量的个数, 所谓极大无关组是向
量组的一个部分组, 它的向量的个数就是
向量组的秩, 它线性无关, 它可以线性表
示此向量组的所有向量.
求向量组的秩, 就是将向量组按列拼成矩
阵后求矩阵的秩.
而求矩阵的秩的基本技术, 是对矩阵做初
等变换变成行阶梯形矩阵后, 非零行的行
数就是所求的秩.
任何矩阵的秩都不大于它的行数及列数.
两个矩阵A和B相乘的秩不大于它们任何
一个的秩. 因此左边一个瘦高的矩阵乘右
边一个扁胖的矩阵有可能得到一个胖胖
的方阵的时候, 这个方阵的秩一定不是满
秩的.
而一个方阵可逆的充分必要条件是它的
行列式不等于零或者它是满秩的或者它
的特征值均不为零或者它可以表示为一
系列初等矩阵的乘积.
应当了解一个向量组a1,a2,…,an生成的
(张成的)子空间的概念. 那就是所有由这
n个向量的线性组合k1a1+k2a2+…+knan构
成的集合。
线性方程组AX=b有解的充分必要条件是
增广矩阵(A,b)的秩等于系数矩阵A的秩,
用向量形式表达, 就是向量b可由向量
a1,a2,…,an线性表示的充分必要条件是
增广矩阵(a1,a2,…,an,b)的秩等于系数矩
阵(a1,a2,…,an)的秩.
一定要学会求解非齐次线性方程组的通
解!
对增广矩阵做初等行变换变成行最简形,
再恢复成线性方程组,将自由变量移到
等号右边,首先令自由变量都等于0以求
出一个特解,再依次令一个自由变量等
于1其它自由变量等于0来求出n-r个自由
变量对应的n-r个导出组的基础解系。
假设l是方阵A的特征值, 则必有
|A-lE|=0.
如果l对应的A的特征向量是x, 则必有
Ax=lx.
一个矩阵的所有特征值相乘等于它的行
列式.
重要例题: 设
 1

A  -1

 - a
2
a
-2
-a

-1

1 
(1)求A的特征值; (2) 当a为何值时, A相似
于对角阵.
 1

A  -1

 - a
解:
a
-2
l -1
-2
a
1
l -a
1
a
2
l -1
| l E - A |

-a

-1

1 
2
l a
l -a
l a
1
l -a
1
a
2
l -1
c 3 - c1

l a
l -a
0
1
l -a
0
a
2
l -1- a
l a
l -a
0
1
l -a
0
a
2
l -1- a
| l E - A |
 (l - 1 - a )
l a
l -a
1
l -a
 ( l - 1 - a )( l - a )
l a
1
1
1
 ( l - 1 - a )( l - a )( l  a - 1)
A的三个特征值为1+a, a, 1-a,
A的三个特征值为1+a, a, 1-a,
当a不等于1/2及不等于0时, 三个特征值
各不相等, 因此A一定可对角化. 当a=1/2
或a=0时, 由同学自己练习.
概率论部分
事件间的关系和运算:
A B: A,B至少发生一件
A B或AB: A,B都发生
A: A不发生
AB=: A与B互斥, 这时A B可记为A+B,
且有P(A+B)=P(A)+P(B)
如果A与B不是互斥事件, 则一般不成立
P(A B)=P(A)+P(B)
P(AB)=P(A)P(B): A与B独立
AB: B发生必导致A发生, 这时
P(A-B)=P(A)-P(B)
设x~N(a1,s12), h~N(a2, s22), x与h相互独
立, 则
x+h~N(a1+a2, s12+s22)
古典概型的概率的计算要掌握,但是不
需要去研究很难的题,假设一个试验模
型中基本事件的总数为N, 有利于随机事
件A的基本事件数为M, 则
P ( A) 
M
N
全概率公式一定要掌握,就是为了计算
事件B的概率,必须知道一些两两互斥
的事件A1,A2,…,An的概率,及各个事件发
生条件下B发生的条件概率,且有
A1+A2+…+AnB, 则
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+
+…+P(An)P(B|An)
重复独立试验和二项分布,在相同的条
件下独立地试验n次,每次试验时事件A
发生的概率为p,则n次试验中事件A发
生的次数x服从二项分布b(n,p),
P {x  k }  C p (1 - p )
k
n
k
n-k
, k  0,1,
,n
设连续型随机变量x的概率密度为j(x),
分布函数为F(x), 则
P {x  a } 
Ex
2



-

a
-
j ( x) d x, Ex 


-
xj ( x ) d x
x j ( x ) d x .s (x )  E x - ( E x )
2
F(x)为连续函数且有
F'(x)=j(x).
2
2
2
需要掌握二元离散型随机变量的边缘分
布的计算及独立性的判定.
还需要学会计算离散型随机变量的分布
密度.

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