+ P(B) - Webnode

Report
SESIÓN 4 Y 5
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Experimentos, espacio de una muestra y
reglas de conteo.
DEFINICIÓN. Probabilidad, rama de las matemáticas que se
ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad
de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad está
basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento
necesario de la estadística
La probabilidad es importante en la toma de decisiones,
porque suministra un mecanismo para medir, expresar y
analizar la incertidumbre asociada con eventos futuros.
Valores de probabilidad.
Se asigna en una escala de 0 a 1
0 a 1 indica grados de certeza de que el evento ocurra
0 indica que es difícil que el evento ocurra
1 indica que es casi seguro que sucederá
Experimentos, espacio de una muestra y
reglas de conteo.
DEFINICION. Experimento, cualquier proceso que genere
resultados bien definidos, los experimentos en estadística
son aleatorios (cuando el experimento se repite exactamente
en la misma forma, puede obtenerse un resultado
completamente distinto).
DEFINICIÓN. Espacio muestral , conjunto de todos los puntos
muestrales posibles (resultados experimentales que se
representa por S).
DEFINICIÓN. Punto muestral, resultado individual de un
experimento.
Experimentos, espacio de una muestra y
reglas de conteo.

múltiples, Si un experimento se puede describir
Regla de conteo para experimentos de etapas
como una sucesión de k etapas, en las que hay n1
resultados posibles en la primera etapa, n2 en la
segunda , etc., la cantidad de resultados del
experimento total es igual a :
(n1)(n2)..........(nk)
Diagrama de árbol es un dispositivo gráfico útil
para visualizar un experimento de varias etapas y
enumerar los resultados experimentales.
Experimentos, espacio de una muestra y
reglas de conteo.
EXPERIMENTO DE LANZAR DOS MONEDAS.( Diagrama de árbol)
ETAPA 1 n1
PRIMERA MONEDA
ETAPA 2 n2
SEGUNDA MONEDA
SOL
SOL
ÁGUILA
SOL
ÁGUILA
ÁGUILA
PUNTO MUESTRA
(SOL,SOL)
(SOL,ÁGUILA)
(ÁGUILA,SOL)
(ÁGUILA ÁGUILA)
la cantidad de resultados del experimento total es igual a :
(n1)(n2)..........(nk)
(2)(2) = 4
4 RESULTADOS EXPERIMENTALES O PUNTOS MUESTRALES,
ESPACIO MUESTRAL S={(S,S), (S,A), (A,S), (A,A)}
Experimentos, espacio de una muestra y
reglas de conteo.
EXPERIMENTO DE PROYECTO DE EXPANSIÓN
ETAPA 1
n1
DISEÑO
ETAPA 2 n2
CONSTRUCCIÓN
6 MESES
7 MESES
8 MESES
2 MESES
3 MESES
6 MESES
7 MESES
8 MESES
4 MESES
6 MESES
8 MESES
7 MESES
PUNTO
MUESTRA
(2,6)
(2,7)
TIEMPO
8
9
(2,8)
10
(3,6)
9
(3,7)
10
(3,8)
11
(4,6)
10
(4,7)
11
(4,8)
12
REGLA
DE
COMBINACIONES
CONTEO

combinaciones
La cantidad de
tomando n a la vez es:
N
n
=
N!
n! ( N – n ) !
de
PARA
N
objetos
EJEMPLO:
En un procedimiento de control de calidad un
inspector selecciona al azar dos de cinco partes ,
para examinarlas y ver si tienen defectos. En un
grupo de cinco partes :
¿ cuántas combinaciones de dos partes se pueden
seleccionar?

5
5!
(5) (4)(3)(2)(1) 120
=
=
=
2
2! ( 5 – 2 ) ! (2)(1)(3)(2)(1)
12
=10
Asignación de probabilidades
resultados experimentales.
a
los
La Probabilidad de un resultado experimental es una medida
numérica de la posibilidad de que ocurra ese resultado.
Para asignar las probabilidades a los resultados experimentales
se deben satisfacer dos requisitos básicos.
Los valores de probabilidad que se asignen a cada resultado
experimental (punto muestral) deben ser entre 0 y 1, donde
P(Ei)
representa
la probabilidad
de
este resultado
experimental: 0<=P(Ei) <=1
La suma de todas las probabilidades de resultados
experimentales debe ser 1. Si un espacio muestral tiene k
resultados experimentales, se debe cumplir:
P(E1) + P(E2) +............P(Ek) =  P(Ei) = 1
Asignación de probabilidades
resultados experimentales.
a
los
Métodos para asignar valores de Probabilidad:
Método clásico: Cuando se usa la hipótesis de resultados
igualmente probables como base para asignar probabilidades (
en una moneda sol o águila tienen la misma probabilidad de ½
o .50; en un dado los seis números tienen la misma
probabilidad de 1/6 o .166)
Método de frecuencia relativa: Basado en la experimentación o
datos históricos ( de 400 clientes se tienen los siguientes datos
históricos 100 compraron realmente el producto y 300 no lo
compraron. En consecuencia se usa la frecuencia relativa como
un estimado de la probabilidad 100/400=.25
compran,
300/400=.75 no compran)
Método subjetivo: Basado en el juicio personal
Eventos y sus probabilidades.
DEFINICION. Evento,
muestrales.
Un conjunto de puntos
DEFINICIÓN. Probabilidad de un evento , Es igual a
la suma de las probabilidades de los puntos
muestrales en el evento.
Siempre que podamos identificar a todos los
puntos muestrales de un experimento y asignar las
probabilidades correspondientes a los puntos
muestrales, podemos aplicar la definición para
calcular la probabilidad de un evento.
Eventos y sus probabilidades.
Asignación de probabilidades, método clásico.

Si un experimento tiene “n” resultados posibles , con el
método clásico de asignar´´la una probabilidad de 1/n a
cada resultado experimental.
Experimento: Tirar un dado
Resultados del experimento: 1,2,3,4,5,6
S= 1,2,3,4,5,6
P(1) = 1/6
P(2) = 1/6
P(3) = 1/6
P(4) = 1/6
P(5) = 1/6
P(6) = 1/6
Eventos y sus probabilidades.
Asignación de probabilidades, método de frecuencia relativa.
Etapa 1
Etapa 2
Pto.Muestral
Cantidad de
proyectos con los
siguientes tiempos
de terminación.
2
6
(2,6)
6
2
7
(2,7)
6
2
8
(2,8)
2
3
6
(3,6)
4
3
7
(3,7)
8
3
8
(3,8)
2
4
6
(4,6)
2
4
7
(4,7)
4
4
8
(4,8)
6
TOTAL
40
Tiempo de Terminación ( meses)
Eventos y sus probabilidades.
Asignación de probabilidades, método de frecuencia relativa.
Punto muestral
Tiempo
(2,6)
(2,7)
8 meses
9 meses
Probabilidad del
punto muestral
P(2,6)= 6/40= .15
P(2,7)= 6/40= .15
(2,8)
(3,6)
(3,7)
10 meses
9 meses
10 meses
P(2,8)= 2/40= .05
P(3,6)= 4/40= .10
P(3,7)= 8/40= .20
(3,8)
11 meses
P(3,8)= 2/40= .05
(4,6)
(4,7)
(4,8)
10 meses
11 meses
12 meses
P(4,6)= 2/40= .05
P(4,7)= 4/40= .10
P(4,8)=
6/40= .15
TOTAL
= 1.00
Eventos y sus probabilidades.
DEFINICION. Evento, Un conjunto de puntos muestrales.
C = El evento de que el proyecto se termine en 10 meses
o menos (<= 10)
C = {(2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6)} =.70
L = El evento de que el proyecto se termine en menos de
10 meses (< 10)
L = {(2,6), (2,7), (3,6)}=.40
M = El evento de que el proyecto se termine en más de
10 meses (> 10)
M = {(3,8), (4,7), (4,8)} =.30
DEFINICIÓN. Probabilidad de un evento , Es igual a la
suma de las probabilidades de los puntos muestrales en
el evento.
Algunas relaciones básicas de probabilidad.
DEFINICIÓN. Complemento del evento A, El evento que
contiene todos los puntos muestrales que no están en A, en
cualquier aplicación de probabilidades, debe suceder, ya sea
el evento A o su complemento Ac
P(A) +P(Ac) = 1
ESPACIO MUESTRAL S
Ac
EVENTO A
Algunas relaciones básicas de probabilidad.
DEFINICIÓN: Unión de eventos A y B, El evento que
contiene todos los puntos muestrales que están en A, en
B, o en ambos. La unión se representa como A U B
(ocurre A o B, o ambos)
ESPACIO MUESTRAL S
EVENTO A
EVENTO B
Algunas relaciones básicas de probabilidad.
DEFINICIÓN: Intersección de eventos A y B, El evento
que contiene a todos los puntos muestrales que están
simultáneamente en A y en B. La intersección se
representa como A B, el área de traslape representa a
A B ( A y B ocurren al mismo tiempo)
ESPACIO MUESTRAL S
EVENTO A
EVENTO B
Algunas relaciones básicas de probabilidad.
DEFINICIÓN: Ley aditiva, Una ley de probabilidades que se emplea
para calcular la probabilidad de una unión,
P (A U B). Es útil
cuando se tienen dos eventos, y se desea conocer la probabilidad de
que ocurra al menos uno de ellos (nos interesa conocer la
probabilidad de que suceda A o B , o ambos). Esto es:
P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A B)
P(A) + P(B) se asocian con todos los puntos muestrales de A U B,los
puntos muestrales en la intersección A B están en A y en B al mismo
tiempo.
Al calcular P(A) + P(B) contamos dos veces a cada uno de los puntos
en A B
Al restar P(A B) corregimos el doble conteo
Algunas relaciones básicas de probabilidad.
ANALICEMOS EL SIGUIENTE CASO: Al terminar un periodo de
evaluación de desempeño de 50 empleados se observó que 5
habían terminado tarde su trabajo (evento L), 6 habían armado
productos defectuosos (evento D), y 2 habían terminado tarde y
armado productos defectuosos.
P(L) = 5/50 = .10
P(D) = 6/50 = .12
P(L D) = 2/50 = .04
P (L U D) = P(L) + P(D) – P(L D)
SUSTITUYENDO
P (L U D) = .10 + .12 - .04 = .18
probabilidad de que suceda L o D , o ambos
Algunas relaciones básicas de probabilidad.
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si
no tienen puntos muestrales en común, cuando ocurre uno
el otro no puede ocurrir, en este caso P(A B) = 0
Por lo que la Ley Aditiva, se reduce a
P (A U B) = P(A) + P(B)
ESPACIO MUESTRAL S
EVENTO A
EVENTO B
Probabilidad condicional.
DEFINICIÓN. Probabilidad condicional P (A / B), La notación /
indica el hecho de que se considera la probabilidad del evento
A dada la condición de que ha ocurrido el evento B. En
consecuencia, la notación
P(A / B) se lee “la probabilidad
de A dado B”

EJEMPLO : Promoción de oficiales, hombres y mujeres, la
fuerza policial está formada de 1200 oficiales, 960 hombres y
240 mujeres. En los últimos años fueron
ascendidos 324
oficiales
HOMBRES
MUJERES
TOTALES
ASCENDIDOS
288
36
324
NO ASCENDIDOS
672
204
876
TOTALES
960
240
1200
Demanda por discriminación, 288 oficiales hombres
ascendidos vs 36 oficiales mujeres.¿Cómo se puede usar
la probabilidad condicional para analizar la demanda por
discriminación?

M = Evento de que un oficial es hombre
W = Evento de que un oficial es mujer
A = Evento de que un oficial es ascendido
Ac= Evento de que un oficial no es ascendido
HOMBRES(M)
MUJERES(W)
TOTALES
ASCENDIDOS(A)
288/1200=.24
36/1200=.03
324
NO
ASCENDIDOS(Ac)
672/1200=.56
204/1200=.17
876
TOTALES
960
240
1200
ASCENDIDOS(A)
HOMBRES(M)
MUJERES(W)
TOTALES
. 24 prob. De que
un oficial
seleccionado al
azar sea hombre y
también ascendido
.03 prob. De que un
oficial seleccionado
al azar sea mujer y
también ascendido
.27
P(A)
P(M
NO
ASCENDIDOS(Ac
)
.56 prob. De que
un oficial
seleccionado al
azar sea hombre y
también no sea
ascendido
P(M
TOTALES
 A)

 Ac)
P(M) .80
P(W
 A)
.17 prob. De que un
oficial seleccionado
al azar sea mujer y
también no sea
ascendido
P(W
.73
P(Ac)
 Ac)
P(W) .20
1.00
Como cada uno de esos valores expresa la probabilidad
de la intersección de dos eventos, las probabilidades se
llaman probabilidades conjuntas .
Los valores en los márgenes de la tabla muestran por
separado las probabilidades de cada evento, las
probabilidades se llaman probabilidades marginales.
Análisis de las probabilidades condicionales P (A / B) se lee “la
probabilidad de A dado B”, retomando el caso tenemos:

Probabilidad de que un oficial sea ascendido dado que es
hombre P (A / M)
Probabilidad de que un oficial sea ascendido dado que es mujer
P (A / W)
Probabilidad de que un oficial no sea ascendido dado que es
hombre P(Ac / M)
Probabilidad de que un oficial no sea ascendido dado que es
mujer P(Ac / W)
HOMBRES(M)
MUJERES(W)
TOTALES
ASCENDIDOS(A)
288/960=.30
36/240=.15
324
NO ASCENDIDOS(Ac)
672/960=.70
204/240=.85
876
TOTALES
960
240
1200
La probabilidad condicional P(A / M), P(A / W), P(Ac / M) y
P(Ac / W) se pueden calcular como la relación de la
probabilidad conjunta, entre la probabilidad marginal

P(A / M) = P(A  M) / P(M) = . 24 / .80 = .30
P(A / W) = P(A  W) / P(W) = .03 / .20 = .15
P(Ac / M) = P(Ac  M) / P(M) = .56 / .80 = .70
P(Ac / W) = P(Ac  W) / P(W) =.17 / .20 = .85
HOMBRES(M)
MUJERES(W)
TOTALES
ASCENDIDOS(A)
P(M
 A) = . 24
P(W
 A)= .03
.27
P(A)
NO
ASCENDIDOS(Ac)
P(M
 Ac) = .56
P(W
 Ac)= .17
.73
P(Ac)
TOTALES
P(M).80
P(W).20
1.00
LEY MULTIPLICATIVA:
Se usa para determinar la probabilidad de
una intersección de dos eventos, la ley
multiplicativa se basa en la probabilidad
condicional

P(A / B) = P(A  B) / P(B)
probabilidad conjunta, entre la probabilidad
marginal.
Al despejar P(A 
multiplicativa
B)
obtenemos la ley
P(A  B) = P(B) P(A / B)
EJEMPLO DE LEY MULTIPLICATIVA:
Encuentre la probabilidad de que una familia que
esté suscrita de lunes a sábado a determinado
periódico también lo haga a la edición dominical.
P(B) = suscripción de lunes a sábado = .84
P(A / B) = suscripción de lunes a sábado dado se
suscriba edición dominical =.75

P(A  B) = P(B) P(A / B)
=.84 (.75)
=.63

similar documents