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設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げ
ここでは以下の事項を説明する。
1.外力としてのSFDとBMDおよびそれらの関係
2.梁の曲げ応力
(外力により発生する内力)
3.梁のたわみの求め方
(静定はりー曲率、微分方程式)
4.力のかかり方による問題の解法の違い
(集中荷重、集中モーメント、切断法)
5.力の釣り合いの他に、たわみの条件を必要とする
解法(不静定問題)
1
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
1.梁の剪断力と曲げモーメント
力のかかり方
X 方向に伸びた長い棒状の構造物を梁とい
い、これに横方向の荷重が作用するとき、
曲げ問題という。
Q 
M 

A
A'

A
 dA   P
A'
z   dA   Pa
力の釣り合い
外力 P は A-A’ 面にはたらく剪断力 τ
の合計力 Q と釣り合う。
モーメントの釣り合い
O点においてはモーメント Pa と A-A’ 面に
おける引っ張り圧縮応力(これを曲げ応
力)による曲げモーメント M と釣り合う。
2
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力とモーメントの符号の定義
0
(-)
Q
z(+)
(+)
M
面の法線が正(負)のほうを向いた面に
正(負)の方向を向いた剪断力が働くと正の剪
断力と定義する。
その反対だと負。
Q
(+)
(+)
M
x(+)
モーメントの場合正(負)の方向を向いた面に
梁の中心をzの正の方向に凸にするモーメント
を正のモーメントと定義する。
その反対だと負。
3
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)
左の図のような片持ち梁にPが作用
すると、xの位置に置いて切り出した
仮想面には一定の剪断力Pが働き、
その符号は正。
また同様にこのPによりxの位置で
はモーメントP(l-x)が働き、その符号は
負である。
これをグラフに描いたものが
SFDとBMDである。
これはdxと言う微小な部分を切り出
して考えてもよい。
4
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)---等分布荷重の場合
Q ( x )  q (l  x )
M ( x) 
lx
0dM
 
lx
0
qd  
q (l  x )
2
2
5
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)---集中荷重両端支持
左図の様な集中荷重が作用する回転自由
な両端支持の場合を考える。
A,Bに反力RA、RBがはたらく。
力の釣り合い
モーメントの釣り合い
釣り合い式より
RA 
b
P,
l
RB 
a
P  RA  RB
aR A  bR B
P
l
Cで分割して左と右に片持ち梁があると考えると考えやすい。すると
b

R
A 
P
(0  x  a )

l
Q ( x)  
a
 RB   P
(a  x  l )
l

剪断力分布
6
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)---集中荷重両端支持
b

xR
A 
Px
(0  x  a )

l
M ( x)  
a
 (l  x ) R B  P (l  x )
(a  x  l )
l

M
max
 M
(x  a)

ab
P
l
となり、絵で描くと
7
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)---集中モーメント両端支持
図のようにC点に集中モーメントが働く場合の
SFDとBMDを求める。
力の釣り合い
RA  RB  0
C点でのモーメントの釣り合い
 aR A  M  bR B  0
この2式より
RA 
M
ab

M
l
,
RB 
M
l
この反力が働くのでxでのモーメントは
M

xR
A 
x
(0  x  a )

l
M ( x)  
M
 xR A  M 
(x  l)
(a  x  l )
l

8
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
以上をまとめて、図に描くと左の
ようになる。
9
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
演習1
図の様な一様な荷重が作用する両端支
持梁のSFDとBMDを求めよ。
略解
RA  RB 
ql
2
よって、Xにおける剪断力は
Q ( x )  q (l  x )  R B 
ql
 qx
2
曲げモーメントも同様に考え
M ( x )  R B (l  x )  q (l  x )
(l  x )
2

qx ( l  x )
2
10
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
はりの曲げ応力
条件:
はりの断面は梁が曲がっても平面。
θ
b
R
M A
B
h
中立面
A'
中立軸
ひずみは中立軸に関し対称。
(ひずみは z に関し一次的
=直線変化、よって応力も)
B'
σx(z)
z
微小な距離 AA’ も BB’ もモーメントが働かないときは同一の長さ。
今、モーメント M が作用。 曲がってその小さなθの範囲での半径
は Rと考える。
中立面上の AA’ は伸び縮みせず。外は伸び内側は縮む。
ひずみは;
応力は;
 (z) 
( R  z )  R 
 ( z )  E 
R
E

z
R
z
R
11
設計基礎コース
b
もう一度学ぶ材料力学の基礎
z
(1)
R
そこの面積は dA よって、中立軸周りのモーメントは
h
中立軸
z
E
 ( z )  E 
中立軸から z 離れたところの応力は
E
dM  z  ( z ) dA 
(2)
2
z dA
R
よって断面全体で合計したモーメントが外部モーメン
トと釣り合う
dA=bdz
M 

h/2
dM 
h / 2
E
R

h/2
h / 2
z dA 
2
E
I
R
(3)
(1)、(3)式より
 (z)
z

M
よって
I
 (z) 
M
z,
 (z) 
I
M
z
EI
ここで積分で表された I のことを断面2次モーメント、EI を曲げ剛性と呼ぶ。
I は断面の形状から決まり、Eは材料のヤング率である。
長方形断面の断面2次モーメント:I は
I 

h/2
h / 2
z bdz 
2
bh
3
12
12
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
重要事項の取りまとめ
M 
EI
z
 
 (z) 
M
R
R
I
z
I 
bh
3
(長方形断面の場合)
12
さらに、最大の応力が発生するのは、zが最大つまり、はりの上下面。
それぞれまでの最大値を h1、h2 とすると
 ( h 1) 
M
h1 
I
M
Z1
ここで、I/h1 を Z1 とする。 Z1 を形状係数と呼ぶ。
今、断面が長方形なら、h1=h/2 より
Z1  Z 2 
I
(h / 2)

bh
2
6
材料から見ると歪は梁の上面か下面で最大となり、応力も最大となるので

max

M
Z1
となり、強度だけチェックするときは形状係数がわ
かっていればよい。
13
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
断面2次モーメント
b
z
h
中立軸
中立軸からの距離の2次モーメントを
断面全体で積分したもののこと。
(ねじり中心点からの距離の2次モーメント
(断面極2次モーメント)と区別必要)
I 
dA=bdz

h/2
2
h / 2
z dA
左のような円形断面の断面2次モーメントは
C
D
θ
z
dz
y
dA
y
y 
D
cos  ,
z
2
dA  2 ydz 
D
sin  ,
2
D
dz 
D
cos  d 
2
2
cos  d 
2
2
z
14
設計基礎コース
I 

z dA 
2
A

D
4
32

D



4
32
D
 /2

4
32


/2
2
sin 
2
D
4
2
cos  d 
2
2
4 sin  cos  d 
2
2
sin 2 d 
2
/2
 /2


D
/2
 /2

 /2
もう一度学ぶ材料力学の基礎
/2
1  cos 4
d
2
 /2
4
D 
1




sin
4


64 
4
  / 2

D
4
円形断面の断面2次モーメント
64
15
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
断面2次モーメントの平行軸の定理
中立軸 y’ から e 離れた y 軸を中立軸として曲げるとき
断面2次モーメントは
I 

( e  z ) dA 
2
A
e
2

( e  2 ez  z ) dA
2
2
A
 dA  2 e  zdA 
A
A

2
z dA
A
図心(重心)は中立軸 y’ 上にあるので第2項はゼロ。
第1項の積分は単に面積、第3項は Iy’ 。
I  I ' e A
2
の関係がある。
同じ量(断面積が同じ)の材料を使っても曲げる中立軸から遠くに材料を集
めると、元の固さより、e 2 A 分だけ固くなることを意味する。
16
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
たわみ=>(1)曲率とは
M 
EI
1
書き換えると
M

R
R
である。
EI
実は、この 1/R は曲率と呼ばれていて
1
0
x
dθ
R
ds
z
dx
dθ dz
θ
R

d
Rd 
図より

d
ds
1m進んだ時の向きの変化量:曲率
( ds )  ( dx )  ( dz )
2
2
2
dx
 dz 
1 
 
 dx 
dx
1
ds
2

 cos  
ds
1  ( z )
1  ( z )
2
2
dz / dx  tan 
17
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
d  dz 
d (tan  ) d 
1
d




 z 
2
dx  dx 
d
dx
cos  dx
1
さてここで

R
1

R

d

Rd 
d
よって
d
 z  cos 
2
dx
なので
ds
d  dx
 z  cos 
1
2
dx ds
1   z   
1
2
2
z 
1   z   
3
2
1
 z 
2
材力のたわみの問題の場合
梁の傾き z’<<1 となるように座標を通常とる
ので、
とみなせる。
R
18
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
たわみ=>(2)たわみを求める式は
以上の議論より、たわみを求めるには
1
R ( x)
2

d z( x)
dx
2

M ( x)
EI
2
,
d z( x)
dx
2

M ( x)
EI
なる方程式を解くことに帰着する。
1)BMDより、xの位置におけるモーメントがxの関数として求まる。
2)曲げ剛性 EI を設計で決める。
E は材料により決まるヤング率という剛性。
I は梁の断面形状により決まる剛性。
3)上の微分方程式を解き変形曲線を求め、境界値を用い、たわみ曲線を決定
することとなる。
19
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げたわみの求め方1(単純片持ち梁)
左のような片持ち梁を考える。
M ( x )   P (l  x )
2
d z
これを曲げの方程式に代入
dx
z ( x ) 
P
( lx 
x
EI
z( x) 
P
EI
2

P (l  x )
EI
2
 C 1)
2
(
l
x 
2
2
1
x  C 1x  C 2)
3
6
境界条件は x=0 で z’=z=0. より C1=C2=0.
よって、たわみを表す関数は
z( x) 
P
( 3 lx  x )
2
3
6 EI
20
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げたわみの求め方2(等分布荷重両端単純支持)
(l  x )
M   q (l  x )

2

q
ql
(l  x )
2
( x  lx )
2
2
z   
M ( x)
q ( x  lx )
2

EI
2 EI
q ((1 / 3 ) x  (1 / 2 ) lx  C 1)
3
z 
2
2 EI
q ( x  2 lx  C 1 x  C 2 )
4
z
3
24 EI
境界条件は x=0 , x=l で z=0.
C 2  0,
よって、
z
3
q ( x  2 lx  l x )
4
たわみ曲線は
C1  l
3
3
24 EI
21
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げたわみの求め方3(切断法)
(集中荷重や集中モーメント、部分荷重等ある位置でBMDが別の形になる場合)
C で右と左のBMDが別の式となる。そこで別に
考え、境界条件で左右を結合する。
RA, RB は求められている。よって
M A( x ) 
Pb
x,
(0  x  a )
y,
(0  y  b )
l
M B( y) 
x
y
Pa
l
よって、たわみの方程式は
z A  
Pb
x
EIl
z B  
Pa
y
EIl
22
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
これらの2式をそれぞれ積分して
zA  
Pb
( x  C 1x  C 2)
3
6 EIl
zB  
Pa
( y  C 3 y  C 4)
3
x=0, y=0 でたわみゼロより C2=C4=0
6 EIl
さらに、 x=a, y=b で zA=zB の条件と傾き角が等しい条件、 z’A=-z’B より、
a  C1  b  C 3
2
2
 b ( 3 a  C 1)  a ( 3 b  C 3 )
2
2
ただし、向きの違いにより+-逆にして
いる。
この連立方程式を解くと
C 1   ( a  2 ab )
2
C 3   ( 2 ab  b )
2
23
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
よって、たわみの曲線を表す式は
Pb
zA  
( x  ( a  2 ab ) x )
3
2
6 EIl
Pa
zB  
( y   ( 2 ab  b ) y )
3
2
6 EIl
最終的に、y=l-x と置き換え x で統一して説明する式とし、

 
z( x)  


Pb
6 EIl
Pa
6 EIl


x x  a (a  2b ) ,
2

(0  x  a )

(l  x ) (l  x )  b ( 2 a  b ) ,
2
(a  x  l )
24
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
切断法の演習:集中モーメントの場合
左図に示したような集中モーメン
トがC点に作用する場合の
梁のたわみを求めよ。
25
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
不静定はりのたわみ
静定問題とは、
垂直力とモーメントのつり合いより、BMDが求められ、
たわみの微分方程式が直接求められ、
たわみ分布が求められる。
不静定問題とは
力とモーメントのつり合いだけでは決まらない外力があり、
それらを未知のまま問題を解き、
最後に傾き角などの、幾何条件(境界条件)を含めて、
決まってない定数を決めてやるという方法を取らざるを得な
い問題のこと。
26
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
不静定はりのたわみの例1
a
MA
A
RA
l
P
C
b
B
RB
x
左の問題を解く。
力のつり合いより
P=RA+RB
モーメントのつり合いより
MA=-Pa+RBl
力とモーメントのつり合いからでは反力とモーメントが3個あり決められない。
よってこのまま変数として置いておいたまま、たわみの微分方程式を解く。
たわみ角、たわみ量が、求まったのち、Aでのたわみ角、たわみ量ゼロ
Cでのたわみ量、たわみ角はともに分割した左右で同一、Bでのたわみ量ゼロと
いう5条件を加わえ、積分定数4個と上記の反力とモーメントの合計7個を決定
し、問題を解く。
変形条件を入れないと解けない問題を不静定問題という。
説明ではわかりづらいので、この問題を解いてみる。
27
設計基礎コース
a
MA
l
P
A点から x を、B点から y 座標を取りC点での
切断法を考える。
梁の垂直方向つり合い
b
C
A
B
x
P  RA  RB
RB
RA
x
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁のモーメントのつり合い(A点回り)
y
M A   Pa  R B l
RA 
よって、 RA, RB を MA で表すと、
Pb  M A
,
RB 
l
z   
C点より左のたわみの微分方程式は
1
Pa  M A
l
( R Ax  M A)
EI
たわみは
at
x  o,
z
1
( R Ax  3 M Ax  C 1 x  C 2)
3
2
6 EI
z  z  0
より
1  Pb  M A 3
2 
z
x  3 M Ax 

6 EI 
l

28
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
C点より右のたわみの微分方程式は、B点から y 軸を取り
z   
RB
EI
y
EIl
1  Pa  M A 3

z
y  C3y  C 4

6 EI 
l

たわみは
at
y 
Pa  M A
y  o,
z0
より
z
1  Pa  M A 3

y

C
3
y


6 EI 
l

左右のはりそれぞれで、 x=a, y=b でたわみは等しいので
( Pb  M A ) a  3 M A a l  ( Pa  M A ) b  D 1bl
3
2
3
(1)
29
設計基礎コース
また、同様に
x  o,
at
Pb  M A
z  0
3a  6 M Aa  
2
もう一度学ぶ材料力学の基礎
より
Pa  M A
l
3b  C 3
2
(2)
l
(1)、(2)式を連立させると
MA 
Pab
2l
2
2
( a  2 b ),
C3  
3 Pa b
2l
よってたわみは次の式で与えられる。
z( x)  
12 EIl
z( y)  
2
3
( 3 a
 4 ab  2 b ) x  3 al ( a  2 b ) x
2
3
( 2 a
 3 ab ) y  3 abl y ,
Pb
Pa
12 EIl
2
3
3
2

2
,
(0  x  a )
(0  y  b )
30
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
これらの2式を y を (l-x) で置き換え z を x 軸で統一して表現すると、
Pb


 12 EIl
z( x)  
  Pa
 12 EIl
2
3
( 3 a
 4 ab  2 b ) x  3 al ( a  2 b ) x
2
3
( 2 a
 3 ab )( l  x )  3 abl ( l  x ) ,
2
3
3
2

2
,
(0  x  a )
(a  x  l )
という答えにたどり着く。
31
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
不静定はりのたわみの例2(重ね合わせの原理)
材料力学の問題は応力とひずみ、荷重と変形の関係が比例します。
つまり線形問題で、二つの力が作用するとき影響を分離・重ね合わせできます。
l
q
M0
x
B
A
R0
=
R0
M0
(1)の条件のたわみは スライド 21 で
l
(1)
q
x
B
A
(2)
左上図の梁のたわみは、した二つの計算の
合計である。
境界条件は二つのたわみの式の合計で与え
られた式が x=0 で傾かず、かつたわまないと
考えたものである。
R0
A
4
z1 
3
3
24 EI
R0
+
l
M0
q ( x  2 lx  l x )
M0
x
B
32
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
(2)に関しては梁全体が M0 の同一モーメント。よって
たわみの微分方程式は
l
M0
A
M0
x
z   
B
M
0
EI
M
z2  
0
( x  C 1x  C 2)
2
2 EI
z2  
境界条件は x=0, l で z=0 である。よって
M
0
( x  lx )
2
2 EI
重ね合わせのたわみは
z  z1  z 2 
q
24 EI
( x  2 lx  l x ) 
4
3
3
M
0
x (l  x )
2 EI
重ね合わせたたわみの境界条件は(1)、(2)ともにたわみはすでにゼロであ
るが、 x=0 で z’=0 が必要である。
33
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
よって、
q
z ( 0 ) 
( 4 x  6 lx  l ) 
3
2
24 EI
ql

M
0
x
EI
3
24 EI
3

M 0l
2 EI
M 0l
2 EI
0
これより
M
0

ql
2
12
結果として、たわみ曲線は
z( x) 
q
( x  2 lx  l x )
4
3
2
2
24 EI
たわみ曲線の形状の力を借りないと力やモーメントが決められない問題が
不静定問題である。
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