基多面体上のオンライン予測

Report
基多面体上のオンライン予測
畑埜 晃平
九州大学 大学院システム情報科学研究院
2012.11.29-30
文科省 数学・数理科学と諸科学・産業との連携研究WS
「離散構造と最適化:展開と連携」
共同研究者
•
•
•
•
末廣大貴(九大)
来嶋秀治(九大)
瀧本英二(九大)
永野清仁(東大)
本発表
“Online Prediction over Submodular Constraints,” ALT’12, 2012.
目次
1. 離散構造のオンライン予測問題
2. 本研究の概要:基多面体上のオンライン予測
3. まとめ・未解決問題など
離散構造を用いた
“オンライン”意思決定問題
プレイヤー
離散構造
環境
累積損失を
小さくしたい
損失
オンライン意思決定問題の例
離散構造
オンライン最短経路
オンラインスケジューリング
オンラインネットワーク最適化
s-t パス
順列
全域木
例:オンラインスケジューリング問題
• 教授と n人の学生
• T日間,毎日教授は各学生とディスカッションをする
• 学生のフロー時間(待ち+処理時間)の総和の累積を小さく
したい
• 各学生に要する時間は不明
Let’s discuss
A
B
in the order of
A, C, D, B !
C
D
time
オンラインスケジューリング問題 (2/3)
e.g.
フロー時間 = 待ち時間+ 処理時間
待ち時間
A
処理時間
0
C
D
B
1日の総フロー時間
順列を表現するベクトル
損失ベクトル
6
オンラインスケジューリング 問題(3/3)
Let’s discuss
in the order of
A, C, D, B !
 (1, 2 , 3 , 4 ), (1, 2 , 4 , 3 )... 
順列の集合 C  

 ...( 4 , 3 , 2 ,1)

t=1
c1  C
Let’s discuss
in the order of
C, A, D, B !
損失
c1   1
損失
t=2
c2  C
c2   2
7
…
オンライン離散構造予測問題
仮定:
C: 離散構造のクラス
各離散構造を n 次元ベクトルで表現(C∈   )
プロトコル: 各時刻 t=1,…T において
1 離散構造 c t  C
プレイヤー
(敵対的)環境
3
プレイヤーの損失 c t   t
n
2 損失ベクトル  t  [ 0 ,1]
オンライン離散構造予測問題(2)
プレイヤーのゴール:
T
リグレット  c t   t  min
t 1
プレイヤーの
累積損失
cC
T
 c 
t
の最小化
t 1
(後から見て)
最良の離散構造の
累積損失
補足:リグレットvs競合比
• オンラインアルゴリズムの解析には
T
競合比  が用いられる
c
t
t
t 1
min
cC
T
 c 
t
t 1
• 一方,オンライン予測の分野では多くの場合
競合比→ 1(T→∞)となるためリグレットを採用
• 問題によっては競合比+リグレットで測る場合もある
(例:オフライン問題がNP困難な場合など)
既存研究
• Follow the Peturbed Learder(FPL) [Kalai & Vempala 03]
– オフライン離散最適化手法をサブルーチンとして用いる
– リグレットは若干他手法に劣る
• Kakadeらの手法 [Kakade+ 09]
• オフライン近似離散最適化手法をサブルーチンとして用いる
• 各ステップ毎の実行時間は多項式時間だが T に依存
• 個々の離散構造に対する手法
– 全域木[Cesa-Bianch&Lugosi 09]
– 順列[Helmbold&Warmuth 09][Yasutake+ 11][Yasutake+ 12]
– パス ・・・[Koolen+ 10]
汎用的&効率的かつリグレットの小さい手法が求められる
どうやってリグレットを最小化するか?
~多くの手法に共通する戦略~
連続緩和+ラウンディング
離散構造を表現する
ベクトル
ct
プレイヤー
ラウンディング
連続ベクトル
wt
連続ベクトルの
オンライン予測アルゴリズム
(既存手法,リグレット保証付き)
損失ベクトル
t
連続ベクトルのオンライン予測
Follow the Regularized Leader(FTRL)
予測方法:
w t 1
 t

 arg min   w   j  D  w , w 0  


w W
j

1


累積損失
基準となるベクトルからの
ダイバージェンス
多くの場合,解析的な更新が可能
具体例:Hedge [Freund&Schapire 97], OGD [Zinkevich 03]
リグレット: O
 T
(多くの場合に最適)
射影とラウンディング
conv(C): クラスC の要素の凸包
射影
入力: z  R
z
n
出力:x  min
*
x  conv(C)
D ( x, z)
conv (C )
x
*
D : Bregman ダイバージェンス
(2ノルム距離, KL ダイバージェンス等 )
ラウンディング
入力:x  conv( C )
出力:c  C s .t . E ( c )  x
conv (C )
x
射影とラウンディング(2)
FTRLによる更新
conv (C )
wt
w t 1
射影の利点
リグレットを保存
ラウンディングの利点
損失を保存
w t 1
2
射影
 最良の conv( C )の内点

 に対するリグレット

  最良の連続ベクトル

  に対するリグレット
 
E( c t   t )  w t   t
離散構造の期待損失
conv(C)の内点の損失




要点
小さいリグレットを得るには離散構造のクラスCに
対する射影とラウンディングがあればOK
問題点
• 多くの離散構造のクラスに対して射影・ラウンディングは
計算困難 (一般に離散構造の候補は指数個)
• 個々の離散構造ごとに設計が必要
目次
1. 離散構造のオンライン予測問題
2. 本研究の概要:基多面体上のオンライン予測
3. まとめ・未解決問題など
本研究の概要
• 基多面体の端点で表現される離散構造に対する
射影・ラウンディングの設計
• 基多面体の端点で表現される離散構造の例
–
–
–
–
–
–
エキスパート [Littlestone&Warmuth 94][Vovk 90]
k-set [Warmuth&Kuzmin 08]
順列 [Yasutake+ 11][Helmbold&Warmuth 09]
全域木 [Lugosi&Cesa-Bianch 06][Koolen+ 10]
k-forest
オンライン予測分野において
truncated permutation
知られていない例
準備
• 劣モジュラ関数と基多面体
劣モジュラ関数
定義
関数 : 2{1,…,} → R が劣モジュラ関数⇔
 A , B  {1,..., n }, k  {1,..., n } s .t . A  B かつ k  B ,
f ( A  { k })  f ( A )  f ( B  { k })  f ( B )
例
g
f ( S )  g (| S |)
g : 上に凸な関数
|A|
|B|
|S|
基多面体
定義
劣モジュラ関数
f : {1,..., n }  R に対する基多面体
B( f )


n
B ( f )   x  R |  S  {1 ,2 ,..., n } ,  x i  f ( S ),  x i  f ({1, 2 ,..., n }) 
i S
i{1 , 2 ,..., n }


x1+ x2=f({1,2})
例(n=2)
x1  f ({1})
x 2  f ({ 2})
x1  x 2  f ({1, 2})
x2
f({2})
B(f)
f({1})
x1
基多面体(n=3)
x1  f ({1})
x 2  f ({ 2})
x 3  f ({ 3})
x1  x 2  f ({1, 2})
B(f)
x 2  x 3  f ({ 2 , 3})
x1  x 3  f ({1, 3})
x1  x 2  x 3  f ({1, 2 , 3})
一般には2n-1個の線形制約,高々n!個の端点を持つ
conv(C)=B(f)となる離散構造の例(1)
離散構造のクラスC
ベクトル表現
劣モジュラ関数
( 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 )
1, | S | 1
f (S )  
 0 , | S | 0
エキスパート
“n 人のエキスパートから
1人を選択”
1が1つ
|S|
k-set
“n 人のエキスパートから
k人の組み合わせを選択”
( 0 ,1, 0 ,1, 0 ,1)
 k , | S | k
f (S )  
 | S |, | S | k
1がk 個
|S|
conv(C)=B(f)となる離散構造の例(2)
離散構造のクラスC
ベクトル表現
順列(Permutahedron)
劣モジュラ関数
|S |
( 3 , 4 , 2 ,1, 6 , 5 )
損失はn人の
待ち時間の総和
f (S ) 
 (n  1  i)
i 1
|S|
truncated permutation
( 3 , 4 , 3 ,1, 4 , 4 )
損失は上位k人を
除いたn-k人の
待ち時間の総和
 ( n  k ) | S |, | S | k

|S |
f (S )  
 ( n  k ) k   ( n  1  i ) , | S | k
i  k 1

(n-k)がk 個
|S|
本研究の概要
• 基多面体の端点で表現される離散構造に対する
射影・ラウンディングの設計
S
Aアルゴリズム
A関数オラクル
f (S )
– O(n6)時間
– O(n2)時間(特殊ケース)
– 関数オラクルの呼出しは単位時間で出来ると仮定
本結果1:基多面体に対する射影と
ラウンディング
定理
基多面体B(f) に対する射影とラウンディングは多項式時間
で計算可能.
(ここで,ダイバージェンスは2ノルムとKLダイバージェンスに限定)
アイデア
• 基多面体上の分離可能な凸関数の最小化は
劣モジュラ関数最小化(SFM)に帰着可能[Nagano 07]
• SFMは多項式時間で計算可能[e.g., Orlin 07]
• SFM解法の多くは端点の線形結合で解を構成
• 副産物としてラウンディングも構成可能
•
詳しい話は永野先生にお願いします! :-)
本結果2:特殊な場合
定義
劣モジュラ関数fがcardinarity-based ⇔∃,   = (  )
定理
劣モジュラ関数fが cardinarity-based ならば
基多面体B(f) に対する射影とラウンディングはO(n2)時間
で計算可能.
(ここで,ダイバージェンスは2ノルムとKLダイバージェンス
に限定)
例: エキスパート, k-set,順列,truncated permutation
キーアイデア:“順序保存”補題
定義
劣モジュラ関数 f が 交換可能⇔
i
j
 i  j  {1,..., n }, x  B ( f )  ( x1 ,..., x j ,..., x i ,..., x n )  B ( f )
注: f がcardinarity-based ならば 交換可能
“順序保存”補題
f を交換可能な劣モジュ
ラ関数とし, x  min D ( x , z )とする.
*
x B ( f )
このとき,z i1  z i 2  ...  z i n  x i  x i  ...  x i
*
*
*
1
2
n
順序保存補題を適用すると・・・
簡単のため z 1  z 2    z n ( x 1  x 2    x n )と仮定
*
*
*
min D ( x , z )
sub .to :
x1  f ({1})  g (1)
min D ( x , z )
x 2  f ({ 2})  g (1)
sub .to :
x 3  f ({ 3})  g (1)
x1  f ({1})  g (1)
x1  x 2  f ({1, 2})  g ( 2 )
x1  x 2  f ({1, 2})  g ( 2 )
x1  x 3  f ({1, 3})  g ( 2 )
x 2  x 3  f ({ 2 , 3})  g ( 2 )
x1  x 2  x 3  f ({1, 2 , 3})  g ( 3 )
2n-1個の制約
x1  x 2  x 3  f ({1, 2 , 3})  g ( 3 )
n個の制約
幾何学的解釈
(2, 1, 3)
(1, 2, 3)
不等式制約は2n-1個
(3, 1, 2)
“有効な”不等式制約はn-1個
(3, 2, 1)
(2, 1, 3)
(3, 1, 2)
(5, 4, 3)
(5,4,3)と同じ
順序をもつ端点
ダイバージェンスが2ノルムの場合
n
min
x

( xi  zi )
2
i 1
sub .to :
n個の線形制約を持つ2次計画問題
=>多項式時間で解ける
x1  g (1)
x1  x 2  g ( 2 )
x1  x 2  x 3  g ( 3 )

本研究:貪欲手法により O(n2) 時間
で解ける
(KLダイバージェンスの場合も同様)
x1  x 2    x n  g ( n )
簡単のため z 1  z 2    z n と仮定
x*が射影となるための必要十分条件(1)
x が射影    1 ,...,  n 1  0 ,   s.t.
*
*
 z 1   1   2   3    n 1  
*
 z2
x1
x2
  2   3    n 1  

x n 1  z n 1
*
*
xn
 zn
  n 1  

n

xi  g ( n )
*
i 1
i
 i *

*
 i   x j  g (i )   0 ,  i  0 ,  x j  g (i )


j

1
j 1


x*が射影となるための必要十分条件(2)
x が射影    1 ,...,  n 1  0 ,   s.t.
*
z1
左図
n

z2
xi  g ( n )
*
i 1
*
x1
z3
x2*
α1
*
x3
z4
α2
α2
α3
α3
α3
x4
α4
η
α4
η
α4
η
α4
η
*
i
 i *

*
 i   x j  g (i )   0 ,  i  0 ,  x j  g (i )


j

1
j 1


相補性条件
z5
i
x5*
η
i  0 
x
*
j
 g (i )
j 1
i
x
*
j
 g (i )   i  0
j 1
不等式制約を等式で満たすiでαi>0
x*が射影となるための必要十分条件(3)
i
x
*
j
 g ( i ) を満たす i で  i  0
z1  z 2  z 3  z 4
j 1
i

x j  g ( i ) を満たす i で  i  0
*
z1  z 2  z 3
x1*
x1*
j 1
z1  z 2
z1
g(2)
g(1)
*
x1
α1
α2
α3
α4
η
*
x2
α1
α2
α2
α3
α3
α
α44
η
η
g(3)
x2*
x1*
x2*
x1*
z1  z 2  z 3  z 4  z 5
x3*
α1
α2
α2
α3
α3
α3
α4
α4
α4
η
η
η
x2*
g(4)
x3*
x4*
α1
α2
α2
α3
α3
α3
α4
α4
α4
α4
η
η
η
η
g(5)
x3*
x4*
x5*
α1
α2
α2
α3
α3
α3
α4
α4
α4
α4
η
η
η
η
η
射影のアイデア
i
z
i
 g (i )
j 1
が最大となるような i を選ぶ ( i  3 )
i
3
 1  2 2  3 3  3 4  3 
z
i
i 1
3
 1  2 2  2 3  2 
2
3
 1  2 2  3 3  3 4  3   2

2
z i  g (3)
i 1
同様に,  1   2   3    z 1  g (1)
よって,
x1  g (1), x1  x 2  g ( 2 )
*
*
*
α1= α2 =0!!!
2
3
z
i
 g (2)
i 1
2

2
z
i 1
i
 g (2)
 g ( 3 )と設定
射影のアイデア(2)
3
 1  2 2  3 3  3 4  3 
z
i
 g ( 3 )と設定
i 1
z1  z 2  z 3  z 4
z1  z 2  z 3
1   2  0
z1  z 2  z 3  z 4  z 5
x1*
x1*
z1  z 2
x1
x2*
x1*
z1
x2*
x1*
g(1)
α1
α2
α3
α4
η
g(2)
α1
α2
α2
α3
α3
α
α44
η
x3*
g(3)
x2*
*
α1
α2
α2
α3
α3
α3
α
α44
α4
η
η
η
x2*
g(4)
x3*
x4*
α1
α2
α2
α3
α3
α3
α4
α4
α4
α4
η
η
η
η
g(5)
x3*
x4*
x5*
α1
α2
α2
α3
α3
α3
α4
α4
α4
α4
η
η
η
η
η
射影のアイデア(3)
3
 1  2 2  3 3  3 4  3 
z
i
1   2  0
 g ( 3 )と設定
i 1
残りの α3 ,α4 ,ηは後で決まる
残りを同様の手法で処理(高々n回)
z1  z 2  z 3  z 4  z 5
'
ここまでは確定(O(n)時間)
z1  z 2  z 3  z 4
'
'
'
'
g(4)
g(1)
x1*
x1*
x1*
x2*
'
g(5)
x1*
x1*
g(3)
g(2)
'
x2*
x2*
x2*
x3*
*
x4*
α4
η
x3
計算時間はO(n)×n=O(n2)
x3*
x4*
x5*
α4
η
η
'
'
ラウンディングのアイデア
簡単のため,順列の場合のみ議論
(1, 3, 2)
(1, 2, 3)
(3, 1, 2)
(2.75, 2, 1.25)
(3, 2, 1)
(2, 1, 3)
(2, 3, 1)
conv(C)内部の点をO(n)個の端点の凸結合で表現
ラウンディングのアイデア(2)
x1
x  B( f )
x2
x3
x4
x5

 * (( 5 , 4 ,3 , 2 ,1)  ( 5 ,1, 2 ,3 , 4 )) / 2

x1 ' x '
2
毎ステップ後に段差が1つ以上
消滅⇒O(n)ステップで終了
x3 '
x4 ' x '
5
詳細は来嶋先生に・・・
目次
1. 離散構造のオンライン予測問題
2. 本研究の概要:基多面体上のオンライン予測
3. まとめ・未解決問題など
まとめ
• オンライン離散構造予測問題
• 既存研究:これまでは個々の離散構造ごとに
アルゴリズムを設計する必要があった
(汎用的なアプローチも存在するが予測精度
や計算効率で劣る)
• 本研究:基多面体で特徴づけられる離散構造
のクラスに対する汎用的な手法
(射影・ラウンディングの設計)
未解決問題(1)
問題:多面体に基づく,より一般的オンライン予測の特徴付け
は可能か?
例:順列
• Permuthahedron と Birkhoff polytope
• いずれも効率的な射影・ラウンディングが可能
[Yasutake+11][Helmbold&Warmuth 09]
(1
3
2)
Permutahedron(基多面体)
1

0
0

0
0
1
0

1
0 
Birkhoff polytope(???)
未解決問題(2)
“オフラインーオンライン”変換 [Kakade+ 09]
• オフライン離散近似アルゴリズムを用いて
“近似”射影を実現
• 毎ステップあたりの計算時間・・・Tに依存
問題:より効率的な変換手法は構成できるか?
Cf. Meta Rounding [Carr&Vempala 02]
オフライン離散近似アルゴリズムを用いてラウンディングを
実現(ただし,整数性ギャップの制限されたアルゴリズムを
仮定)
Take Home Message
オンライン予測分野だけでも
離散最適化にまつわる問題はまだまだある

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