Kap 10

Report
Corporate Finance
Kap 10
Risk and return
Usikkerhet
• Vi har hittil budsjettert kontantstrømmer fram
i tid som om de var kontraktsfestet og sikre.
• Vanligvis hersker det usikkerhet både om
kostnader, inntekter og varighet på prosjektet.
• Denne usikkerheten (risiko) skal vi nå forsøke å
ta hensyn til i våre analyser.
• Vi må da lære oss noen nye begreper.
Beslutninger under usikkerhet
•
•
•
•
•
•
•
Beslutningsfatter (person eller gruppe) har ansvar for å ta endelig beslutning, dvs.
valg av alternativ, enten på vegne av seg selv eller andre.
Beslutningsalternativer. Det må foreligge minst to mulige gjennomførbare
alternativer. Beslutningsfatter må velge ut fra mengden av mulige alternativer.
Tilstander. En kombinasjon av ikke-kontrollerbare faktorer relevante for
beslutningssituasjonen. Beslutningsfatter kan altså ikke påvirke hvilken tilstand
som vil inntreffe, men vet hvilke tilstander som kan inntreffe.
Sannsynligheter. Objektive eller subjektive vurderinger av hvor sannsynlige de
enkelte tilstandene er. Vurderingene kan endres ved ny informasjon.
Konsekvenser. Gitt et bestemt beslutningsalternativ og en bestemt tilstand, antas
konsekvensene entydig bestemt. Alle konsekvenser er uttrykt i samme måleenhet,
og kan dermed lett sammenlignes.
Preferanser. Det forutsettes at beslutningsfatter kan rangere de ulike
konsekvensene, eventuelt angi at han er indifferent mellom par av konsekvenser.
Kriterier. Et kriterium tilordner en numerisk verdi til et beslutningsalternativ, ut fra
de mulige konsekvenser beslutningsalternativet kan medføre, og eventuelt ut fra
sannsynligheter for disse konsekvensene.
Konsekvenser
Konsekvensen for alternativ 1
ved tilstand j for periode 0.
Beslutningsalternativ
a1
:
ai
x11
..
x1j
..
x1n
:
..
:
..
:
xi1
..
xij
..
xin
Tid
th
:
am
Sannsynlighet
Tilstand
:
..
:
..
:
xm1
..
xmj
..
xmn
tl
t0
P(s1)
..
P(sj)
..
P(sn)
s1
..
sj
..
sn
Usikkerhetsdimensjonen
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Vi har tidligere forutsatt sikkerhet, dvs. bare én mulig tilstand.
Konsekvensene for et alternativ har vært kontantstrømmen på de ulike tidspunkt.
Denne vektoren av tall har vi gjort om til ett tall, ved bruk av nåverdi som
beslutningskriterium.
Ved usikkerhet tilføres en ny dimensjon, de ulike mulige tilstandene.
For hvert alternativ får vi istedenfor en vektor av tall nå en hel matrise: hver mulig
tilstand har sin unike kontantstrøm.
Hvordan kan vi gjøre om en to-dimensjonal matrise av tall til kun ett tall? (Dvs. ett
tall for hvert alternativ.)
En metode er å redusere usikkerhetsdimensjonen til forventningsverdien – de
ulike tilstandene erstattes med forventet verdi.
Da kan vi bruke nåverdiberegninger for å gjøre om forventet kontantstrøm til ett
tall. Så rangerer vi alternativene basert på nåverdiene.
Men hvilken rente skal vi nå bruke i nåverdiberegningene?
Vi bruker risikofri rente hvis vi i tillegg beregner andre mål for risiko.
Vi bruker risikojustert rente hvis vi ikke tar ytterligere hensyn til risiko.
Hvordan beregner vi i så fall risikojustert rente?
Tar eksplisitt hensyn til risiko
• På samme måte som vi kan bruke nyttefunksjoner
til å beregne en tidspreferanserate, dvs. avveiing
mellom konsum i ulike tidsperioder, kan vi bruke
nyttefunksjoner til å beregne avveiing mellom
ulike usikre konsekvenser.
• Vi kan for eksempel erstatte flere usikre utfall
med en sikkerhetsekvivalent verdi.
• Alternativt kan vi beregne forventet verdi og i
tillegg et mål på risiko, som standardavvik.
• Om vi tar eksplisitt hensyn til risiko, skal vi bruke
risikofri rente i nåverdiberegningene.
Forventning og varians
t=0
t=1
Tilstand
s1
s2
Tilstand
s1
s2
Sannsynlighet
0,5
0,5
Sannsynlighet
0,5
0,5
Kontantstrøm
-100
-50
Kontantstrøm
-121
66
t=0
t=1
s1
p1
p2
s1
s2
p1
p2
s2
t=0
p1
p2
s1
Uavhengighet over tid.
Hvilken tilstand som vil
inntreffe på et tidspunkt
er uavhengig av hvilken
tilstand som inntraff
forrige periode.
s2
t=1
p1
p2
I dette eksemplet er
det to mulig
tilstander, i hver
periode. Vi har
følgende muligheter:
s1
s1
s2
s2
Avhengighet over tid.
Tilstanden som inntreffer
neste periode avhenger av
tilstanden denne periode.
Uavhengighet over tid
t=0
t=1
-100
0,5
0,5
-50
0,5
121
0,5
66
0,5
0,5
121
66
Forventet nåverdi kan beregnes
på to alternative måter.
(har brukt 10% rente).
Det spiller ingen rolle om det er
avhengighet eller uavhengighet
over tid.
X0
X1
NV
NV2
0,25
-100
121
10
100
2
0,25
-100
66
-40
1600
3
0,25
-50
121
60
3600
4
0,25
-50
66
10
100
-75
93,5
10
1350
s
p
1
Forventning:
Beregne forventet kontantstrøm.
Så neddiskontere denne for å
beregne forventet nåverdi.
Beregne nåverdien i hver tilstand.
Så beregne forventningen til
nåverdiene.
Forventet nåverdi
Forventet nåverdi kan beregnes på to alternative måter.
 h i
t 
E  NV    P  s j    X t , j  1  r  
j 1
 t 0

m
i
E  NV
   P  s NV
m
i
j 1
j
i
j
Nåverdiene i hver tilstand beregnes (leddet i hakeparentes). Disse veies med
sannsynlighetene i hver tilstand og summeres til forventet nåverdi.
m
t
i 
E  NV      P  s j X t , j   1  r 
t  0  j 1

h
i
E  NV
   E  X   1  r 
h
i
t 0
i
t
Forventet kontantstrøm i hver periode beregnes.
Denne forventede kontantstrømmen neddiskonteres til forventet nåverdi.
t
Varians av nåverdien
Variansen av nåverdien beregnes som følger:
 h i

t
i
VAR  NV    P  s j    X t , j  1  r   E  NV i  
j 1
 t 0

m
2
Generelt gjelder at
standardavviket er lik
kvadratroten av
variansen.
En kan alternativt beregne variansen til nåverdien slik:
VAR  NV
  VAR  X   1  r 
h
i
t 0
i
t
2 t
 2 COV  X ti , X ki   1  r 
h
h
 t  k 
t  0 k t
COV  X ti , X ki  : Kovariansen mellom kontantstrømmene i periode t og k, for alternativ i
Hvis det er fullstendig uavhengighet over tid er kovariansen null, dvs. siste ledd
faller bort i den alternative formuleringen.
Varians til kontantstrømmen

VAR  X ti    p j X ij ,t  E  X ti 
m
j 1

2
Variansen til kontantstrømmen i periode t er lik den kvadrerte differansen mellom
kontantstrømmen i tilstand j og forventet kontantstrøm i perioden, multiplisert
med sannsynligheten for tilstand j, dette produktet er så summert for alle
tilstandene i perioden.
EX
   P  s X
m
i
t
j 1
j
i
t, j
Forventet kontantstrøm i periode t er lik summen av produktene av
sannsynlighetene og kontantstrømmene i hver tilstand i perioden.
VAR  X
   p X 
m
i
t
j 1
j
2
i
j ,t
EX

i 2
t
Variansen til kontantstrømmen kan også beregnes som den veide sum av
kvadrerte kontantstrømmer minus kvadrert forventet kontantstrøm.
Varians nåverdi ved uavhengighet
Hvis uavhengigheten over tid er total, kan en altså beregne variansen til nåverdien
slik:
h
2 t
i
VAR  NV    VAR  X ti   1  r 
t 0
Dvs. variansen av nåverdien er kun den neddiskonterte sum av variansen til
kontantstrømmen, men hvor neddiskonteringen skjer «dobbelt».
Hvis uavhengigheten over tid er total, kan en alternativt beregne variansen til
nåverdien slik:
2
2
 h i
t 
i
i
VAR  NV    P  s j    X t , j  1  r     E  NV  
j 1
 t 0

m
VAR  NV    P  s j   NV    E  NV i  
j 1
m
i
i
j
2
2
Dvs. variansen til nåverdien beregnes som den veide sum av kvadrerte nåverdier,
minus den kvadrerte forventede nåverdi.
Forventning og varians til nåverdien
ved avhengighet over tid
sj P(sj)
X1,j NVj NVj2
X0,j
Beregner nåverdiene i hver tilstand:
1
0,5
-100
121
10
100
NV1  100  121 1,10   10
2
0,5
-50
66
10
100
NV2  50  66  1,10   10
Veid sum:
10
100
E  NV
   P  s NV
1
1
Hvis tilstand 1 inntreffer, så er
kontantstrømmen (-100, 121), ellers (-50,66).
m
i
j 1
j
E  NV i   0,5 10  0,5 10 10
i
j
Forventet nåverdi beregnes ved å veie nåverdiene i hver tilstand med
sannsynlighetene, og så summere over alle tilstander.
Beregne variansen til nåverdien ved å veie kvadrerte nåverdier i hver tilstand
med sannsynlighetene, og så summere over alle tilstander. Trekk så fra kvadrert
forventet nåverdi.
VAR NV i  0,5 102  0,5 102  102  0
VAR  NV i    P  s j   NV ji    E  NV i 
j 1
m
2
2


 100  102  0
Forventning og varians til nåverdien
ved uavhengighet over tid
t=0
sj P(sj)
t=1
t=0
t=1
X0,j
X1,j
2
2
X0,j
X1,j
1
0,5
-100
121
10000
14641
2
0,5
-50
66
2500
4356
-75
93,5
6250
9498,5
Forventet kontantstrøm i periode t:
EX
   P  s X
m
i
t
j
j 1
i
t, j
E  X 0   0,5  100  0,5  50  75
E  X 1   0,5 121  0,5  66  93,5
Forventet nåverdi er sum neddiskontert forventet kontantstrøm:
E  NV
   E  X ti   1  r 
h
i
t
E  NV   75  1,10   93,5  1,10   10
0
t 0
1
Variansen til kontantstrømmen er den veide sum av kvadrerte kontantstrømmer
minus kvadrert forventet kontantstrøm: VAR  X 0   6250   75 2  625
VAR  X
   p j  X ij ,t   E  X ti 
m
i
t
2
2
j 1
VAR  X 1   9498,5   93,5   756, 25
2
Variansen til nåverdien hvis det er fullstendig uavhengighet over tid:
VAR  NV
  VAR  X ti   1  r 
h
i
t 0
2 t
VAR  NV   625  1,10 
20
 756, 25  1,10 
21
 1250
Forventning og varians til nåverdien
ved uavhengighet over tid (alternativ)
NVj2 Beregner nåverdiene i hver tilstand:
1
100 NV1  100  121 1,10   10
sj
p(sj)
X0,j
X1,j
NVj
1
0,25
-100
121
10
2
0,25
-100
66
-40
1600
NV2  100  66  1,10   40
3
0,25
-50
121
60
3600
NV3  50  121 1,10   60
4
0,25
-50
66
10
100
NV4  50  60  1,10   10
1
1
1
Forventning:
10
1350
Forventet nåverdi beregnes ved å veie nåverdiene i hver tilstand med
sannsynlighetene, og så summere over alle tilstander.
E  NV
   P  s NV
E  NV i   0, 25 10  0, 25  40  0, 25  60  0, 25 10 10
m
i
j
j 1
i
j
Beregne variansen til nåverdien ved å veie kvadrerte nåverdier i hver tilstand
med sannsynlighetene, og så summere over alle tilstander. Trekk så fra kvadrert
forventet nåverdi. VAR  NV i   0, 25 102  0, 25   40 2  0, 25  602  0, 25 10 2  10 2  1250
VAR  NV
   P  s j   NV ji    E  NV i 
j 1
m
i
2
2
 1350  102  1250
Avveiing mellom forventning og risiko
Vi trenger en nyttefunksjon som foretar
avveining mellom forventet verdi og risiko
for entydig å kunne angi om alternativ A
foretrekkes framfor andre alternativer.
Forventet verdi
Foretrekker
ikke A
Uklart hva
som
foretrekkes
Alternativ A
Foretrekker
A.
Større
forventet
verdi,
mindre
risiko.
Ved positiv nytte foretrekker vi mer
framfor mindre, dvs. størst mulig forventet
verdi.
Indifferenskurven viser
kombinasjoner av forventning og
risiko som gir samme nytte.
Ved risikoaversjon er kurven
konveks.
Risiko, målt ved
varians eller
standardavvik
Ved risikoaversjon foretrekker vi mindre
risiko framfor mer, dvs. minst mulig risiko.
Avveiing mellom forventning og risiko
Forventet verdi
Preferanseretning.
Høyere nyttenivå.
Indifferenskurven viser
kombinasjoner av forventning og
risiko som gir samme nytte.
Ved risikoaversjon er kurven
konveks.
Ved risikonøytralitet er
indifferenskurvene vannrette.
I så fall ignoreres risiko, en
vurderer bare forventet verdi.
Risiko, målt ved
varians eller
standardavvik
Rangering basert på
forventning og varians
Forventet verdi
Bedre
?
Alternativ A
?
Hvis vi bruker forventning og varians som
beslutningskriterium (velger det med
høyest forventning hvis samme risiko, eller
det med lavest risiko hvis samme
forventning), må en av to betingelser være
oppfylt for at det skal gi samme beslutning
som maksimering av forventet nytte:
Dårligere
Risiko, målt ved
varians eller
standardavvik
1. Om sannsynligheter: Alle prosjektenes nåverdier er normalfordelt.
(Uansett preferanser, dog risikoaversjon.)
2. Om preferanser: Beslutningsfatter har en kvadratisk nyttefunksjon.
Eks. U(x) = x – cx2, c > 0. (Uansett sannsynlighetsfordeling)
Nyttefunksjoner
Nytteverdi
Nytten av en konsekvens (et utfall) X beregnes vha.
nyttefunksjonen U(X). En kvadratisk nyttefunksjon har formen:
U  X   a  bX  cX 2
En nyttefunksjon med avtagende
marginalnytte impliserer
risikoaversjon
En lineær nyttefunksjon impliserer
risikonøytralitet
En nyttefunksjon med stigende
marginalnytte impliserer
risikopreferanser
Konsekvens
Vi kan bruke nyttefunksjoner til å beregne sikkerhetsekvivalenter.
Da kan vi gjøre om usikkerhetsdimensjonen til en sikker kontantstrøm, som vi
neddiskonterer med risikofri rente. Dermed har vi gjort om en matrise til ett tall.
Sikkerhetsekvivalenter og nåverdi
t=0
sj P(sj)
X0,j
1
0,5 -100
2
0,5
-50
Forventet nytte
t=1
X1,j
121
66
t=0
U(X0,j)
0
7,071
3,535
t = 1 Bruk nyttefunksjonen:
U  X   X  100
U(X1,j)
14,866 U  100   100  100  0 U 121  121  100  14,87
12,884 U  50   50  100  7, 07 U  66   66  100  12,88
13,875
Forventet nytte E{U(xt)} i en periode er forventningen av nytten i hver tilstand i perioden:
m
E U  X 0   0,5  0  0,5  7, 071  3,536
j 1
E U  X 1   0,5 14,866  0,5 12,884  13,875
E U  X t    p j U  X j ,t 
Nytten av sikkerhetsekvivalenten er lik forventet nytte E{U(xt)}
 
Sikkerhetsekvivalenten X t : U X t  E U  X t 
 
: U  X   13,875 
X 0 : U X 0  3,535  X 0  100  3,535  X 0  100  3,5352  X 0  87,5
X1
1
X 1  100  13,875  X 1  100  13,8752  X 1  92,52
Nåverdi sikkerhetsekvivalent: Neddiskontere sikkerhetsekvivalentene med risikofri rente:
h
NVX   X t  1  r 
t 0
t
NVX  87,5  1,10   92,52  1,10   3,39
0
1
Sikkerhetsekvivalent nåverdi
• En framgangsmåte som vil lede til nyttemaksimering er altså å
beregne sikkerhetsekvivalenten til et prosjekts kontantstrøm i hver
periode, og så neddiskontere denne «sikre» kontantstrømmen med
den risikofrie renten.
• En kan så rangere alternativene etter disse sikkerhetsekvivalente
nåverdiene.
• Merk at skalaen på nyttenivået kan velges fritt, det betyr at en ikke
automatisk kan anta at positive sikkerhetsekvivalente nåverdier
indikerer lønnsomme prosjekter, eller at negative
sikkerhetsekvivalente nåverdier indikerer ulønnsomme prosjekter.
• Isteden kan en beregne nyttenivået av «nullalternativet», og bruke
dette som referanse.
• Alternativt kan en justere skalaen for nyttefunksjonen, slik at
«nullalternativet» har nytten 0. Dermed vil en kunne bruke
sikkerhetsekvivalente nåverdier på vanlig vis.
Risikojustert rente
Den risikojusterte renten må være slik at neddiskontering av de fremtidige
kontantstrømmer gir samme forventede nåverdi som sikkerhetsekvivalent
nåverdi, for at vi fortsatt skal få samme beslutninger som ved nyttemaksimering.
X t Sikkerhetsekvivalent kontantstrøm
rf risikofri rente (konstant over tid)
X t Forventet kontantstrøm
rs risikojustert rente (konstant over tid)
Da må følgende sammenheng gjelde:
NVX   X t  1  rf
h
t 0
 X t  1  rf

t

t
h
t
 NVXˆ   Xˆ t  1  rs 
t 0
t
 Xˆ t  1  rs  for alle t
Risikojustert rente
La forholdet mellom sikkerhetsekvivalent og forventet verdi i periode t være at.
X t  at  Xˆ t
 at  1  rf
Vi får da:
at  Xˆ t  1  rf

t
 1  rs 
t

t
t
 Xˆ t  1  rs 
at 
1  rf

1  rs 
t
t
1  rf 
at  

1

r
s 

t
Hvis rs > rf vil at synke med t. Dvs. risikoen antas å øke med tiden.
Hvis den risikojusterte renten skal være konstant over tid, forutsettes det implisitt
at risikoen utvikler seg etter et helt bestemt mønster over tid, et mønster som
neppe er framtredende i praksis.
En anbefalt framgangsmåte er derfor å la renten kun ta hånd om tidsaspektet. En
justerer da for prisstigning ved å deflatere kontantstrømmen, og justering som
følge av usikkerhet skjer ved enten å beregne sikkerhetsekvivalent kontantstrøm;
eller beregne nåverdier av de forventede kontantstrømmene etter risikofri rente,
og så foreta avveiinger av forventning mot risiko, målt for eksempel med varians.
Nyttemodeller
• Vi forsøker å ta hensyn til aksjonærenes nytte.
• Vi søker en positiv modell som beskriver
menneskers faktiske nyttevurderinger.
• Basert på de faktiske nyttevurderingene
forsøker vi å bygge en normativ modell, som
gir råd om hvordan beslutninger bør fattes.
• Beslutningene fattes av bedriftene, på
aksjonærenes vegne, helst på samme måte
som aksjonærene selv ville ha gjort det.
Rasjonelle aktører
• Beslutningsfatter kan foreta valg ved å rangere
alternativene, basert på et spesifisert kriterium.
• Rangeringene er transitive: Hvis A > B og B > C så
er A > C.
• Alternativene blir kun vurdert ut fra de
konsekvensene som inngår i beslutningskriteriet.
Andre forhold er uvesentlige.
• Beslutningsfatter er i stand til for hvert usikkert
alternativ å angi et sikkert beløp som gir samme
nytte som det usikre alternativet.
Konstruksjon av nyttefunksjoner
• Vi velger skala for nyttenivå mellom 0 og 1.
• Laveste nyttenivå 0 tilordnes dårligste konsekvens (For
eksempel -2000).
• Høyeste nyttenivå 1 tilordnes beste konsekvens (For
eksempel 5000).
• Beslutningsfatter må så angi det maksimale beløpet
han er villig til å betale for å delta i et lotteri der han
vinner 5000 med sannsynlighet p og taper -2000 med
sannsynlighet (1-p).
• Dette beløpet tilsvarer lotteriets sikkerhetsekvivalent.
• Ved å gjenta prosedyren for andre verdier av p, kan en
utlede en detaljert nyttefunksjon.
Eksempel på nyttefunksjon
U  2000   0
U  5000   1
E U  X    p j U  X j 
m
j 1
E U  X   p U  5000   1  p  U  2000   p 1  1  p   0  p
For en gitt p må beslutningstaker angi sin sikkerhetsekvivalent til dette lotteriet.
Hvis p = 0,8 må beslutningstaker angi det maksimale beløpet han er villig å betale
for å kjøpe seg inn i lotteriet:
U  X   0,8  U  5000   1  0,8   U  2000   0,8 1  0, 2  0  0,8
Om beslutningstaker angir det maksimale beløpet til 2000, så har det beløpet en
nytte på 0,8.
Vi fortsetter så med andre verdier på p, og vil etter hvert kunne plotte en detaljert
nyttefunksjon.
Om beslutningstaker krever å få 500 når p = 0,4 vet vi for eksempel at -500 har
nytten 0,4.
Eksempel på nyttefunksjon
Alternativt kan vi be beslutningstaker angi laveste sannsynlighet p som gjør at han
vil delta i lotteriet uten å betale innsats:
U  0   p U  5000   1  p   U  2000   p 1  1  p   0  p
Om beslutningstaker angir for eksempel p = 0,5 så har vi tre punkt på nyttefunksjonen:
U  2000   0
U  5000   1
U  0   0,5
Tar vi så utgangspunkt i en kvadratisk nyttefunksjon, kan vi beregne de tre
parameterne: U  X   a  bX  cX 2
U  2000   a  b  2000   c  2000   0
a  0,5
U  5000   a  b  5000   c  5000   1
b
58
280000
c
3
140000000
2
2
U  0   a  b  0   c  0   0,5
2
Plot nyttefunksjon
1
0.9
0.8
0.7
0.6
U  X   0,5 
0.5
58
3
X
X2
280000
140000000
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
Forventet nytte
• Ved forventet nytte tar vi hensyn til risiko.
• Nyttefunksjonen U() over usikre utfall X må være slik at
nytten til et alternativ a: E{U(a)}, er lik den forventede nytte
av konsekvensene:
E U  a    p j U  X a , j 
m
j 1
• Sikkerhetsekvivalenten er den sikre verdien som gir samme
nytte som nytten av det usikre alternativet:
U  X a   E U  a    p j U  X a , j 
m
j 1
Eksempel forventet nytte
60
Tre alternativer (A, B og C), og to mulige
tilstander (1, 2). Følgende konsekvenser:
U  X   60, 65  100e 0,025 X
50
40
30
Nytte
20
10
0
-10 0
20
-20
40
60
Usikre konsekvenser
80
-30
100
Sannsynlighet
Tilstand
A
B
C
Konsekvenser (x)
0,25
0,75
1
2
100
0
70
20
10
35
-40
Sannsynlighet
Tilstand
A
B
C
Konsekvenser (x)
0,25
0,75
1
2
100
0
70
20
10
35
Nytte U(x)
0,25
0,75 Forventet
1
2
nytte
52,4
-39,4
-16,4
43,3
0,0
10,8
-17,2
19,0
9,9
Alternativ B har størst forventet nytte (og
størst sikkerhetsekvivalent), og bør velges.
Sikkerhets
ekvivalent
10,4
27,9
27,1
 U  X   60, 65  
ln 


100


X 
0, 025
Sannsynlighetsfordelinger
Forventning og varians
• Ved usikkerhet må vi egentlig sammenligne
sannsynlighetsfordelingene til de enkelte alternativene.
• En metode kalt stokastisk dominans gjør nettopp dette.
• Vi skal nøye oss med å beskrive
sannsynlighetsfordelingene med forventning og
varians, eller standardavvik.
• Om sannsynlighetsfordelingen er symmetrisk, så er
faktisk fordelingen komplett beskrevet ved
forventningen og variansen.
• Om sannsynlighetsfordelingen er skjev, må en i tillegg
benytte mål som angir skjevfordelingen.
Risiko
En sannsynlighetsfordeling som
er toppet og smal (mindre
spredning) har mindre risiko,
både positiv og negativ, i forhold
til en sannsynlighetsfordeling
som er flat og bred.
Normalfordeling
Forventet verdi
200
150
100
Negativ risiko
Positiv risiko
50
3.65
3.45
3.25
3.05
2.85
2.65
2.45
2.25
2.05
1.85
1.65
1.45
1.25
1.05
0.85
0.65
0.45
0.25
0.05
-0.15
-0.35
-0.55
-0.75
-0.95
-1.15
-1.35
-1.55
-1.75
-1.95
-2.15
-2.35
-2.55
-2.75
-2.95
-3.15
-3.35
-3.55
-3.75
0
En investor ønsker selvsagt å unngå dårlige resultat, dvs. den negative risikoen. Men
samtidig ønsker han å oppnå størst mulig resultat, dvs. han er på utkikk etter den
positive risikoen.
Avkastning, forventning og risiko
t=0
s1
p1
t=1
r
-100
1
0,3
128+7 = 135
-100
2
0,4
117+3 = 120
-100
3
0,3
105+0 = 105
E  r    p j  rji
135
−100 +
=0
1+
120
−100 +
=0
1+
105
−100 +
=0
1+
r = 0,20
r = 0,05
E  r i   0,3  35%  0, 4  20%  0,3  5%  20%
m
i
j 1
VAR  r    p j  r  E  r     p j   rji    E  r i  
j 1
j 1
m
i
r = 0,35
i
j
2
i
m
2
  r i   VAR  r i 
2
VAR  r i   0,3   0,35  0, 2   0, 4   0, 2  0, 2   0, 2   0, 05  0, 2   0, 0135
2
2
2
VAR  r i   0,3   0,35   0, 4   0, 2   0, 2   0, 05   0, 2 2  0, 0535  0, 2 2  0, 0135
2
2
2
Empirisk forventning og risiko
•
•
•
Om vi har historiske data, kan dette noen ganger benyttes for å estimere ukjente
framtidige forventede verdier.
Vi har da ikke sannsynligheter, men relative hyppigheter.
Formelen for risiko mister en frihetsgrad etter å ha beregnet forventet verdi.
1 i 1 m i
E  r     rj   rj
m j 1
j 1 m
m
i
2
m
m




2
1
1
1
i
i
i
i
i
 rj  E  r   
   rj      rj   
VAR  r   


m  1  j 1
m  j 1
j 1 m  1
 

m
2
2
m
 m



2
1
1
i
i
i
   rj      rj     VAR  r i 
SDEV  r  
m  1  j 1
m  j 1
 

Ofte brukes symbolet  for forventning, og symbolet  for standardavvik.
Empiriske data
Observasjon Verdi (r)
r2
1
5 % 0,0025
2
-20 %
0,04
3
-5 % 0,0025
4
15 % 0,0225
5
1 % 0,0001
6
-8 % 0,0064
7
7 % 0,0049
8
10 %
0,01
Sum
5 % 0,0889
Her har vi årlig avkastning for de siste 8 år, for
eksempel fra et børsnotert selskap.
Dette kan i enkelte sammenhenger benyttes
som indikasjon på fremtidige avkastninger.
Gjennomsnittlig historisk avkastning
(forventning) er da et estimat på forventet
framtidig avkastning, og estimert historisk
standardavvik blir et estimat på framtidig risiko.
1 i 1 m i 1
E  r     rj   rj   5%  0, 625%
m j 1
8
j 1 m
m
i
Merk: Varians har benevning
«enhet i andre», mens
standardavvik har samme
benevning som forventningen.
2
m
m




2
1
1
1 
1
2
i
i
i
   rj      rj    
VAR  r  
0,
0889

0,
05



  0, 012655

m  1  j 1
m  j 1
8

1
8


 

SDEV  r i   VAR  r i   0, 012655  0,11249  11, 25%

similar documents