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Analyse de fonctions
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre
 Tableau de variation relatif à f’ et f’’
 Analyse de fonctions sans asymptotes
◘ Démarche à suivre
◘ Exemples et exercices
 Analyse de fonctions avec asymptotes
◘ Démarche à suivre
◘ Exemples et exercices
Département de mathématiques
2
Tableau de variation relatif à f’ et f’’
Borne inférieure
x
Valeurs de x 
Valeurs de f’(x) 
f’(x)
Valeurs de f’’(x) 
f’’(x)
Valeurs de f(x) 
f(x)
Esquisse de f(x) 
Nombres critiques Borne supérieure
ou hors du domaine
Esq.
Pour une fn définie sur un intervalle : - - - Département de mathématiques
Max. min, inf ou AV
3
Analyse d’une fonction (sans asymptotes)
 Démarche à suivre
◘ Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f
◘ Étape 2 : Trouver f’(x) et identifier les
nombres critiques de f
◘ Étape 3 : Trouver f’’(x) et identifier les
nombres critiques de f’
◘ Étape 4 : Compléter le tableau de variation
relatif à f’ et f’’
◘ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique
Département de mathématiques
4
Exemple 1
 Donner une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = x4 – 2x2 – 4.
x
⅓
-1
f’(x)

0
+
+
+
0



0
+
f’’(x)
+
+
+
0



0
+
+
+
f(x)
Esq

0

-
-⅓
-5

-41/9
 -4

-41/9
1
 -5
(-1,-5)
(-⅓; -4,6)
(0,-4)
(⅓; -4,6)
(1,-5)
min
inf
max
inf
min
Département de mathématiques

5
Exercice 1
 Donner une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 9.
x
-1
-
1

3
f’(x)
+
0



0
+
f’’(x)



0
+
+
+
f(x)

Esq
Département de mathématiques
14

-2
 -18
(-1,14)
(1,-2)
(3,-18)
max
inf
min

6
Exemple 2
 Donner une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = 2 x 2  x  6 .
x
-1,5
-

2
f’(x)

+
f’’(x)



f(x)
Esq
f '( x ) 
0
0
(-1,5;0)
(2,0)
min
min

4x  1
2 2x  x  6
2
f ''( x ) 
49
4 (2 x  x  6 )
2
Département de mathématiques
3
7
Exercice 2
 Donner2 une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = x
x
1 x
-
2
.
0
-1/3

1/3 (0,58)
f’(x)



0
+
+
+
f’’(x)

0
+
+
+
0

f(x)

Esq
f '( x ) 
0,25

0

0,25
(-1/3;0,25)
(0,0)
(1/3;0,25)
inf
min
inf

2x
(1  x )
2
2
2(1  3 x )
2
f ''( x ) 
(1  x )
2
Département de mathématiques
3
8
Analyse d’une fonction (avec asymptotes)
 Démarche à suivre
◘ Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f
◘ Étape 2 : Déterminer les asymptotes
(horizontales, verticales et/ou obliques)
◘ Étape 3 : Trouver f’(x) et identifier les
nombres critiques de f
◘ Étape 4 : Trouver f’’(x) et identifier les
nombres critiques de f’
◘ Étape 5 : Compléter le tableau de variation
relatif à f’ et f’’
◘ Étape 6 : Donner une esquisse du graphique
Département de mathématiques
9
Exemple 1
20 x  28 x  28
2
 Donner une esquisse du graphique de f ( x ) 
x
1
-
7
( x  1)
2

10
f’(x)

+
0



f’’(x)




0
+

f(x)
 21
Esq
AV
f '( x ) 
f ''( x ) 

20,8
(7,21)
(10;20,8)
max
inf
.

1 2(7  x )
( x  1)
3
2 4( x  1 0 )
( x  1)
Département de mathématiques
4
10
Exercice 1
 Donner une esquisse du graphique de la fonction f ( x ) 
x 1
x
x
-3
-
-2

0
f’(x)



0
+

f’’(x)

0
+
+
+
+

f(x)
-2/9
Esq
f '( x ) 
 -1/4
(-3,-2/9)
(-2,-1/4)
inf
min

2

AV
( x  2 )
x
f ''( x ) 
3
2( x  3 )
x
4
Département de mathématiques
11
.
Exemple 2
x 4
2
 Donner une esquisse du graphique de f ( x ) 
x
-3
-
0
x 9
2
.

3
f’(x)
+
+
0


f’’(x)
+



+

f(x)
 4/9

(0,4/9)
Esq
AV
f '( x ) 

max
AV
10 x
(x  9)
2
2
30 x  90
2
f ''( x ) 
(x  9)
2
Département de mathématiques
AH
3
12
Exercice 2
x
 Donner une esquisse du graphique de f ( x ) 
x
-1
-
x 1
2
0
.

1
f’(x)





f’’(x)

+
0

+

f(x)

0


(0,0)
Esq
AV
inf
AV
 ( x  1)
2
f '( x ) 
( x  1)
2
2
2 x( x  3 )
2
f ''( x ) 
( x  1)
2
Département de mathématiques
3
AH
13
Exemple 3
 Donner une esquisse du graphique de f ( x ) 
x
-
2
.
x
3
0
-3
3x

f’(x)
+
0


0
+
f’’(x)



+
+
+

f(x)
-23


(-3, -23)
Esq
max
23

(3 ,23)
AV
min
x 3
2
f '( x ) 
x
f ''( x ) 
2
6
x
AO
3
Département de mathématiques
14
Exercice 3
 Donner une esquisse du graphique de f ( x ) 
x
-4
-
-2
x
2
x2
.

0
f’(x)
+
0


0
+
f’’(x)



+
+
+

f(x)
-8
max
f ''( x ) 

(-4, -8)
Esq
f '( x ) 


0
(0 ,0)
AV
min
x( x  4 )
(x  2)
2
8
(x  2)
Département de mathématiques
AO
3
15
Exemple 4
 Analyser la fonction f(x) =
x
-
-0,5
2
-x
e .
0,5
0

f’(x)
+
+
+
0
–
–
–
f’’(x)
+
0
–
–
–
0
+
f(x)
Esq


e-0,5

1

e-0,5
(-0,5; e-0,5)
(0,1)
(0,71; 0,61)
inf
max
inf
AH
f (x ) 
1

2
Département de mathématiques
e
1 x   


2   
2
 N ( , )
2
16
Devoir
 Exercices 6.3, page 254, nos 1a à 1c, 1e à 1i.
 Exercices 6.5, page 280, nos 2a à 2d ,2f, 2g et
3a.
 Exercices 8.2, page 340, no 8b
 Exercices récapitulatifs, page 284, nos 5a à
5e, 5g, 16b et 16c
Département de mathématiques
17

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