3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng

Report
CHƯƠNG 3
3.1. Giới thiệu
Sự tổ hợp của các yếu tố
Dữ liệu thực
nghiệm
Micro Mechanics
Các thành phần
Kết cấu
Các phần tử
Finite Element
Analysis
Composite
Cấu trúc cơ bản
3.1. Giới thiệu …
Lớp – tấm nhiều lớp
3.1. Giới thiệu …
Một số khái niệm
ISOTROPIC (đẳng hướng) – Các tính chất vật liệu
như nhau theo mọi phương
 ANISOTROPIC (dị hướng) – Các tính chất của vật liệu
khác nhau theo các phương khác nhau
 HOMOGENEOUS (đồng nhất) – Đồng nhất về thành
phần vật liệu và các tính chất là hằng số tại mọi điểm
 HETEROGENEOUS (không đồng nhất) - Không đồng
nhất về thành phần vật liệu hay có thể nhận biết được
sự tách biệt của các thành phần

3.1. Giới thiệu …
Các giả thiết



Vật thể đàn hồi là một môi trường liên tục (vật thể rắn)
Quan hệ giữa các thành phần biến dạng với hình
chiếu của các chuyển vị và đạo hàm bậc nhất của
chúng trên các trục tọa độ là tuyến tính (biến dạng
nhỏ)
Các quan hệ ứng suất – biến dạng là tuyến tính
 Theo định luật Hooke tổng quát
 Các hệ số trong quan hệ tuyến tính có thể là hằng số (vật thể
đồng nhất) hay là các biến, hàm theo vị trí (vật thể không đồng
nhất)

Áp dụng lý thuyết tấm kinh điển đối với các vật thể
đàn hồi đồng nhất và không đồng nhất
3.1. Giới thiệu …
Các ký hiệu - quy ước

Các hệ trục
 Cartesian - x, y, z
 Cylindrical - r, q, z
 Spherical - r, q, f

Các ứng suất tác dụng trên mặt vuông góc với các
phương của trục toa độ
 1 thành phần vuông góc = ứng suất pháp
 2 thành phần tiếp tuyến = ứng suất tiếp
3.1. Giới thiệu …
Tensor ứng suất
Cartesian
x

 xy

  xz
 xy
y
 yz
Cylindrical
 xz    r
 
 yz
 rq
 
 z    rz
x 
1 




y
2





 3 
z


  

 yz



 4
  xz 
5 







 6
 xy 

 rq
q
 qz
Spherical
 rz 
 qz 

 z 
r 
1 




q
2




z
 3 

  

  qz 
4 
  rz 
5 






 6
 rq 
r


 rq
  rf
 rq
q
 qf
 rf 

 qf

 f 
r 
1 




q
2





 3 
f 


  

 qf



 4
  rf 
5 







 6
 rq 

3.1. Giới thiệu …
Tensor biến dạng
Cartesian


 x
  xy

2

xz

2

 xy
Cylindrical
 xz
2
y
 yz
2

2
 yz 
2 

z 

 x   1 

 

y
2

 

  z    3 

  

 yz
2


4

 
  xz   2   5 

 


2


 x y  
6
 
 r
  rq
 2
  rz
 2
 rq
Spherical
 rz
2
q
 qz
2

2 
 qz 
2
z 

 r   1 

 

q
2

 

 z   3 

  


2


4 
 qz  
  rz   2   5 

 

  rq   2   6 


 r
  rq

2
  rf

2

 rq
 rf
2
q
 qf
2

2 
 qf 
2 

f 

 r   1 

 

q
2

 

  f    3 

 

 qf
2


4

 
  rf   2   5 

 

  r q   2   6 
3.1. Giới thiệu …
Tenxo biến dạng và biến dạng kỹ thuật
Cắt thuần túy
Trượt thuần túy


12
12
Biến dạng trượt
kỹ thuật
12
Tenxo biến
dạng trượt
3.2. Trường chuyển vị
Cartesian:
u, v, w
Cylindrical:
ur, uq, w
Spherical
ur, uq, uf
3.2. Trường chuyển vị …
3.2.1. Quan hệ BD-CV trong hệ tọa độ Đề các
x 
y 
z 
u
x
v
y
w
z
;
;
;

yz

 xz 
 xy 
v
z
w
x
u
y



w
y
u
z
v
x
3.2. Trường chuyển vị …
3.2.2. Quan hệ BD-CV trong hệ tọa độ trụ
u r
r 
q 
1 uq
r q
r

z 
ur
;
;
r
w
z
;
 qz 
 rz 
 rq
uq
z
w
r


1 w
r q
u r
z
uq
1 u r uq
 


r q
r
r
3.3. Trường ứng suất …
Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
y
y’
x’
x
z’
z
 x    x cos  x , x    xy cos  x , y    xz cos  x , z 
 x y '   xy cos  x , x    y cos  x , y    yz cos  x , z 
 x z '   xz cos  x , x    yz cos  x , y    x cos  x , z 
3.3. Trường ứng suất …
Hệ phương trình cân bằng (hệ tọa độ Đềcác)
 x
x
  xy
x
  xz
x



  xy
y

y
y
  yz
y



  xy
z
  yz
z

z
z
 Fx  0
 Fy  0
 Fz  0
3.3. Trường ứng suất …
Hệ phương trình cân bằng (hệ tọa độ trụ)
 r
r
  rq
r
  rz
r



1   rq
r q
1  q
r q
1   qz
r q



  rz
z
  qz
z
 z
z

 r q
r

2   rq
r

 rz
r
 Fr  0
 Fq  0
 Fz  0
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.1. Ma trận độ cứng, ma trận độ mềm
  1   C 11
  
C

 2   21
  3   C 31
 
 23   C 41
   C 51
13
  
 12   C 61
C 12
C 13
C 14
C 15
C 22
C 23
C 24
C 25
C 32
C 33
C 34
C 35
C 42
C 43
C 44
C 45
C 52
C 53
C 54
C 55
C 62
C 63
C 64
C 54
C 16    1 
  
C 26

  2
C 63    3 
 
C 64    23 
C 65    13 
  
C 66    12 
  1   S 11
  
S

 2   21
  3   S 31
 
  23   S 41
    S 51
13
  
  12   S 61
S 12
S 13
S 14
S 15
S 22
S 23
S 24
S 25
S 32
S 33
S 34
S 35
S 42
S 43
S 44
S 45
S 52
S 53
S 54
S 55
S 62
S 63
S 64
S 65
S 16    1 
  
S 26

  2
S 36    3 
 
S 46   23 
S 56   13 
  
S 66   12 
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.2. Tính đối xứng của ma trận độ cứng

Mật độ năng lượng biến dạng/ thế năng đàn hồi
 Số gia công trên 1 đơn vị thể tích
 dW=idi

Sử dụng các quan hệ ứng suất – biến dạng
 dW=Cijjdj

Công trên một đơn vị thể tích
 W=1/2 Cijij

dW/di=Cijj hay dW2/di dj =Cij
Cij= Cj
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.2. Tính đối xứng của ma trận độ cứng …
  1   C 11
  
C

 2   12
  3   C 13
 
 23   C 14
   C 15
13
  
 12   C 16
(Chương 6)
  1   S 11
  
S

 2   12
  3   S 13
 
  23   S 14
    S 15
13
  
  12   S 16
C 12
C 13
C 14
C 15
C 22
C 23
C 24
C 25
C 23
C 33
C 34
C 35
C 24
C 34
C 44
C 45
C 25
C 35
C 45
C 55
C 26
C 36
C 46
C 56
S 12
S 13
S 14
S 15
S 22
S 23
S 24
S 25
S 23
S 33
S 34
S 35
S 24
S 34
S 44
S 45
S 25
S 35
S 45
S 55
S 26
S 36
S 46
S 56
C 16    1 
 
C 26  2
 
C 63    3 
 
C 64    23 
C 65    13 
 
C 66    12 
S 16    1 
 
S 26  2
 
S 36    3 
 
S 46   23 
S 56   13 
 
S 66   12 
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
Các loại vật liệu
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.3. Vật liệu đơn nghiêng – có 1 mặt đối xứng
Vật liệu đơn nghiêng - Monoclinic
13 hằng số độc lập
  1   C 11
  
C 12
2
  
  3   C 13
 
 23   0
   0
13
  
 12   C 16
C 12
C 13
0
0
C 22
C 23
0
0
C 23
C 33
0
0
0
0
C 44
C 45
0
0
C 45
C 55
C 26
C 36
0
0
C 16    1 
 
C 26  2
 
C 63    3 
 
0    23 
0    13 
 
C 66    12 
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.3. Vật liệu đơn nghiêng – có 1 mặt đối xứng
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.4. Vật liệu trực hướng – có 3 mặt đối xứng
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.4. Vật liệu trực hướng – có 3 mặt đối xứng
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.4. Vật liệu trực hướng – có 3 mặt đối xứng
a. Ma trận độ cứng (9 hằng số độc lập)
  1   C 11
  
C 12
2
  
  3   C 13
 
 23   0
   0
13
  
 12   0
C 12
C 13
0
0
C 22
C 23
0
0
C 23
C 33
0
0
0
0
C 44
0
0
0
0
C 55
0
0
0
0
0  1 
 
0
2
 
0    3 
 
0    23 
0    13 
 
C 66    12 
3.4.4. Vật liệu trực hướng …
b. Quan hệ giữa C và S
S 22  S 33  S 23
2
C 11 
C 44 
;
S
S 33  S 11  S 13
2
C 22 
C 55 
;
S
S 11  S 22  S 12
2
C 33 
C 66 
;
S
1
;
S 44
1
;
S 55
1
;
S 66
C 12 
C 13 
C 23 
S 13 S 23  S 12 S 33
S
S 12 S 23  S 13 S 22
S
S 12 S 13  S 23 S 11
S
S  S 11 S 22 S 33  S 11 S 23  S 22 S 13  S 33 S 12  2 S 12 S 23 S 13
2
(Trang 106)
2
2
3.4.4. Vật liệu trực hướng …
c. Tính ma trận độ cứng qua modul kỹ thuật
C 11 
C 12 
 C 11

C
 21
 C 31

 0
 0

 0
C 12
C 13
0
0
C 22
C 23
0
0
C 32
C 33
0
0
0
0
C 44
0
0
0
0
C 55
0
0
0
0
1   23 32  E 1
1
 21   31 23 E 1
1
  21 32  E 1

 12
  32 13  E 2
1
  12 23  E 3
0 
 31
 13

 C 13 
0
1
1

1   13 31  E 2
0 
C 22 
1

0 
 32   12 31 E 2  23   21 13 E 3
C 23 


0
1
1

1   12 21 E 3

C 66 
C 33 
1
C 44  G 23
C 55  G 13
C 66  G 12
   12 21   23 32   31 13
3.4.4. Vật liệu trực hướng …
d. Tính ma trận độ mềm qua modul kỹ thuật
 S 11

S
 21
 S 31

 0
 0

 0
S 12
S 13
0
0
S 22
S 23
0
0
S 32
S 33
0
0
0
0
S 44
0
0
0
0
S 55
0
0
0
0
S 11 
1
0 
E1


0
 S 21   12
E1
0 

 13
0 
S 31  
E1
0 

S 66  S  1
44
G 23
S 12  
S 22 
S 32  
S 55 
 21
E2
1
E2
 23
E2
1
G 13
S 13  
S 23  
S 33 
S 66 
 31
E3
 32
E3
1
E3
1
G 12
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.5. Vật liệu trực hướng tròn xoay (đẳng hướng ngang)
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
3.4.5. Vật liệu trực hướng tròn xoay (đẳng hướng ngang)
a. Ma trận độ cứng (4 hằng số độc lập)
  1   C 11
  C
12

 2 
  3   C 13
 
 23   0
  
13
0
  
 12   0

C 12
C 12
0
0
C 22
C 23
0
0
C 23
C 22
0
 C 23
0
0
0
C 22
0
0
2
0
0
0
0
0
C 66
0
0   
1
 
0
  2 
0   
 3 
 
0    23 
 
13
0
 
C 66    12 
3.4.5. Vật liệu đẳng hướng ngang…
b. Tính ma trận độ cứng qua modul kỹ thuật
C 11 
 C 11

C
 12
 C 12


 0

0

 0
C 12
C 12
0
0
C 22
C 23
0
0
C 23
C 22
0
0
0
0
 C 23
C 22
0
0
2
0
0
0
0
0
C 66
0
1   23 32  E 1
1
 21   31 23  E 1  12   32 13  E 2
0 
C 

 12
1
1
0

1   13 31  E 2
0 
 C 22 

1
0 
 C   32   12 31  E 2   23   21 13  E 3
0
 23
1
1
C 66 
C 66  G 12
   12 21   23 32   31 13
3.4. Quan hệ ứng suất – biến dạng
Vật liệu đẳng hướng
2 hằng số độc lập
 C 11
  1  C
12
  

 2   C 12
  3  
  0
 23  
   0
13
  
 12  
0

C 12
C 12
0
0
C 11
C 12
0
0
C 12
C 11
0
0
0
0
C 11  C 12 
2
C 11  C 12 
0
0
0
0
2
0
0
0
0

  
0
1
  
 2 
0
  
  3
0
 
   23 
  
0
13
  
C 11  C 12     12 

2
0
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.1. Ứng suất và biến dạng
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.2. Biến dạng dài - phương 1
1 
1
E1
 12  
2
1
 2   12   1   12 
 13  
1
E1
3
1
 3   13   1   13 
1
E1
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.3. Biến dạng dài - phương 2
2 
2
E2
 21  
1
2
 1   21   2   21 
 23  
2
E2
3
2
 3   23   2   23 
2
E2
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.4. Biến dạng dài - phương 3
3 
3
E3
 32  
2
3
 2   32   3   32 
 31  
3
E3
1
3
 1   31   3   31 
3
E3
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.5. Quan hệ ứng suất – biến dạng dài
 1

E

 1  1
    12
 2    
E
1
  
 3  
13

 E
1


 21
E2
1

E2
 23
E2
 31 


E 3  
 1
 32   

  2 
E3  
3

1 
E 3 
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.6. Trượt – mặt phẳng 23
Engineerin g Shear Strain
 23 
 23
G 23

 23
G 23
Tensor Shear Strain
 23 
 23
2
From Equilibriu m
 32   23
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.7. Trượt – mặt phẳng 13
Engineerin g Shear Strain
 13 
 13
G 13

 13
G 13
Tensor Shear Strain
 13 
 13
2
From Equilibriu m
 13   13
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.8. Trượt – mặt phẳng 12
Engineerin g Shear Strain
 12 
 12
G 12

 12
G 12
Tensor Shear Strain
 12 
 12
2
From Equilibriu m
 12   21
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.9. Quan hệ biến dạng - ứng suất
 1
 E
1

   12
 1  
E1

 

 2     13

 3 
  E1

 
  23   0
  
13

 

  12 
  0


0



 21
E2
1
E2

 23

 31
0
0
0
0
0
0
E3

 23
E3
1
E2
E3
0
0
1
0
G 23
0
0
0
1
G 13
0
0
0
0

0 

0  
1

  2 

0 

 3 




0   23 
  
13


0 
 12 


1 
G 12 

3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.10. Quan hệ giữa các hằng số vật liệu
 12

E1
 13
 21
E2

 31
E1
E3
 23
 32

E2
E3
 Othotropic
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.11. Tính chất của các vật liệu thành phần
EL (GPa)
ET (GPa)
L
T
GL (GPa)
GT (GPa)
tuL (GPa)
tuL (GPa)
L (10-6/oC)
T (10-6/oC)
r (g/cm3)
Graphite
AS4 & T300
Graphite
HMS & VS0032
Kevlar 49
E-Glass
S-Glass
220
22
0.30
0.35
22
8.3
2.8
1.3
-1.3
7.0
1.72
370
7.6
0.41
0.45
15.2
2.8
1.2
0.3
-0.7
9.7
1.99
124
6.9
0.33
0.33
2.8
2.8
2.8
2.5
-1.8
54
1.44
72.3
72.3
0.2
0.2
30.1
30.1
3.4
4.8
12.0
12.0
2.55
85.4
85.4
0.22
0.22
35.1
35.1
4.5
5.4
12.0
12.0
2.49
3.5. Bài toán CHVR BD
3.5.12. Hằng số vật liệu của 1 số VLC
E1 (Gpa)
E2 (Gpa)
E3 (Gpa)
23
13
12
G23 (Gpa)
G13 (Gpa)
G12 (Gpa)
1 (10-6/oC)
2 (10-6/oC)
3 (10-6/oC)
1 (10-6/%M)
2 (10-6/%M)
3 (10-6/%M)
Graphite-Polymer
155.0
12.10
12.10
0.458
0.248
0.248
3.20
4.40
4.40
-0.018
24.3
24.3
146.0
4770
4770
Glass-Polymer
50.0
15.20
15.20
0.428
0.254
0.254
3.28
4.70
4.70
6.34
23.3
23.3
434.
6320
6320
Aluminum
72.4
72.4
72.4
0.3
0.3
0.3
27.8
27.8
27.8
22.5
22.5
22.5
0
0
0
3.6. Bài toán ứng suất phẳng
3.6.1. Giới thiệu



Vật liệu cốt sợi được sử dụng cho các kết cấu dạng
thanh, tấm, vỏ trụ và một số kết cấu khác
Đặc trưng chung của các kết cấu là kích thước hình
học ở 1 phương nhỏ hơn nhiều so với 2 phương kia
3 trong số 6 thành phần ứng suất thường nhỏ hơn
nhiều so với 3 thành phần còn lại
3.6. Bài toán ứng suất phẳng …
3.6.2. Các sai số

Sai số khi phân tích tại các điểm sát biên
 Các ứng suất 3, 23, 13 dẫn đến sự tách lớp
 Các mối liên kết có thể không được mô hình hóa
 Chất dính kết hay vấn đề tương tác xảy ra có thể không được
đánh giá

Một số thành phần ứng suất được cho bằng 0 mà
không tính toán đến độ lớn của chúng.

Tính kém chính xác từ mô hình do coi 3 = 0
3.6. Bài toán ứng suất phẳng …
3.6.3. Ma trận độ mềm thu gọn
 1 
 
2
 
  3 
 
  23 
 
13
 
  12 
 S 11

S 21

 S 31

 0
 0

 0
S 12
S 13
0
0
S 22
S 23
0
S 32
S 33
0
0
0
0
S 44
0
0
S 55
0
0
0
0
0
0
0
  1   S 11
  
  2    S 21
   0
 12  
0   1 
 
0 2
 
0   0 
 
0  0 
0  0 
 
S 66   12 
S 12
S 22
0
S 11 
S 12  
 12
E1
 
E1
S 22 
S 66 
0   1 
 
0  2 

S 66   12 
1
 21
E2
1
E2
1
G 12
3.6. Bài toán ứng suất phẳng …
3.6.4. Ma trận độ cứng thu gọn
  1   C 11
  
C

 2   21

 0 
 
 C 31
 
 0   0
 0   0
  

 12 
 
 0
C 12
C 13
0
0
C 22
C 23
0
0
C 32
C 33
0
0
0
0
C 44
0
0
0
0
C 55
0
0
0
0
0  C 13  1  C 23  2  C 33  3
1
2

C 13
  C 11 
C 33

2

C C
  C 12  13 23
C 33


3  
0  1 


0
2


0 

 3 



0    23 
0    13 


C 66 
  12 


C 13
C 33


C C
  1   C 12  13 23


C 33


2


C 23
  1   C 22 


C 33


1 

 2



 2


C 23
C 33
2
3.6. Bài toán ứng suất phẳng …
3.6.4. Ma trận độ cứng thu gọn …
  1   Q 11
  
 2    Q 21
   0
 12  
2
Q 11
Q 12
 C 11 
 C 12 
C 13
C 33
C 13 C 23


C 33
Q 22
 C 22 
Q 66
 C 66

C 33

Q 22
0
0  1 
 
0 2 

Q 66    12 
S 22
S 11 S 22  S
S 12
2
12
S 11 S 22  S
2
12
2
C 23
Q 12
S 11
S 11 S 22  S
1
S 66
2
12



E1
1   12 21
 12 E 2
1   12 21
E2
1   12 21
 G 12

 21 E 1
1   12 21
3.7. Composite lệch trục
3.7.1. Giới thiệu
Chương 10
3.7. Composite lệch trục …
a. Ma trận chuyển đổi hệ cơ sở ứng suất
 1 
 
 2  
 
 12 
 cos 2 q

2
 sin q
  sin q cos q

sin q
2
cos q
2
sin q cos q
 m2
 2
T    n
  mn

n
2
m
2
mn
2 sin q cos q    x 
 
 2 sin q cos q   y 
2
2
cos q  sin q   xy 
2 mn 

 2 mn 
2
2
m  n 
3.7. Composite lệch trục …
b. Ma trận nghịch đảo
  x   cos q
  
2
 y    sin q
   sin q cos q
 xy  
sin q
2
T 
1
2
cos q
2
 sin q cos q
m 2
 2
 n
 mn

n
2
m
2
 mn
 2 sin q cos q    1 
 
2 sin q cos q   2 
2
2
cos q  sin q   12 
 2 mn 

2 mn 
2
2
m  n 
3.7. Composite lệch trục
c. Ma trận chuyển đổi hệ cơ sở biến dạng


2

cos q
 1 

 
2


sin
q
 2  
1
   sin q cos q
  12  
2

sin q
2
cos q
2
sin q cos q
 m2
 2
T    n
  mn

n
2
m
2
mn


2 sin q cos q    x 


 2 sin q cos q    y 
2
2

cos q  sin q   1
  xy 
2

2 mn 

 2 mn 
2
2
m  n 
3.7. Composite lệch trục
3. 7.1. Biểu thức chuyển đổi hệ cơ sở
 C 11

 C 12
 0

 S 11

 S 12
 0

C 12
C 22
0
S 12
S 22
0
0 
 C 11


0   T  C 12

 0
C 66 

0 
 S 11


0   T  S 12

 0
S 66 
C 12
C 22
0
S 12
S 22
0
0 
1

0 T 

C 66 
0 
1

0 T 

S 66 
3. 7.1. Biểu thức chuyển đổi hệ cơ sở …
a. Ma trận độ mềm
  x   S 11

 
  y    S 12
   S
 xy   12
S 16    x 
  
S 26    y 
S 66   xy 
S 12
S 22
S 26
S 11  S 11  m   2  S 12  S 66   n  m  S 22  n
4
2
2

S 12   S 11  S 12  S 66   n  m  S 12  n  m
2
2
4
4

4
S 16   2  S 11  2  S 12  S 66   n  m   2  S 22  2  S 12  S 66   n  m
3
3
S 22  S 11  n   2  S 12  S 66   n  m  S 22  m
4
2
2
4
S 26   2  S 11  2  S 12  S 66   n  m   2  S 22  2  S 12  S 66   n  m
3

S 66  2   2  S 11  2  S 22  4  S 12  S 66   n  m  S 66  n  m
2
2
4
4

3
3. 7.1. Biểu thức chuyển đổi hệ cơ sở …
b. Ma trận độ cứng
  x   Q 11
  
 y    Q 12
   Q
 xy   12
Q 16    x 


Q 26    y 
Q 66    xy 
Q 12
Q 22
Q 26
Q 11  Q 11  m  2  Q 12  2  Q 66   n  m  Q 22  n
4
2
2

Q 12  Q 11  Q 22  4  Q 66   n  m  Q 12  n  m
2
2
4
4
4

Q 16  Q 11  Q 12  2  Q 66   n  m  Q 12  Q 22  2  Q 66   n  m
3
3
Q 22  Q 11  n  2  Q 12  2  Q 66   n  m  Q 22  m
4
2
2
4
Q 26  Q 11  Q 12  2  Q 66   n  m  Q 12  Q 22  2  Q 66   n  m
3

Q 66  Q 11  Q 22  2  Q 12  2  Q 66   n  m  Q 66  n  m
2
2
4
4

3
3. 7.1. Biểu thức chuyển đổi hệ cơ sở …
c. Sự biến thiên của các thành phần theo q
Graphite-Epoxy
d. Đáp ứng của vật liệu với x và xy
e. Đáp ứng của vật liệu với x và x
f. Chuyển đổi các hằng số kỹ thuật
Ex 
E1
 E
 2
E
4
2
4
m   1  2   12   n  m  1  n
E2
 G 12

 12  n  m
4
 xy 
Ey 

E1

E2
E1  2
2
  n  m
G 12 
E2
 E
 2
E
4
2
4
m   2  2   12   n  m  2  n
E1
 G 12

4
G xy 
   1 
 E
 2
E
4
2
2
m   1  2   12   n  m  1  n
E2
 G 12

 21  n  m
 yx 
4
4
   1  E

2

E1
E2  2
2
  n  m
G 12 
 E
 2
E
4
2
2
m   2  2   21   n  m  2  n
E1
 G 12

G 12
 G
 2 2
G
4
4
n  m  2  2 12 1  2 12   2 12  1  n m
E2
 E1

g. Phép chuyển đổi các hệ số  và 
 x   1 cos q   2 sin q
2
2
 y   1 sin q   2 cos q
2
2
 xy  2  1   2  cos q sin q
2
2
 z  3
 x   1 cos q   2 sin q
2
2
 y   1 sin q   2 cos q
2
2
 xy  2   1   2  cos q sin q
2
 z  3
2
3.7.2. Quan hệ ứng suất – biến dạng
  x   xT   xM

  y   yT   yM
    T    M
xy
xy
 xy
  S 11
 
   S 12
 S
  12
S 12
S 22
S 26
S 16    x 
 
S 26    y 



S 66   xy 
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển
Ảnh hưởng của phương sợi, trật tự xếp lớp, cơ tính vật
liệu và những yếu tố khác đến ứng xử cơ học của kết cấu
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển
3.8.1. Sơ đồ tấm nhiều lớp


Chiều dầy tấm H
Chiều dày lớp h
 Các lớp ko cùng độ dầy
 Lớp thứ k – hk



x-y là mặt trung bình
Trục z vuông góc mặt
phẳng tấm, hướng
xuống dưới
Các góc phương sợi
được xác định theo trục
x
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.2. Quy ước đặt tên lớp



Lớp 1 có tọa độ -zmax
Lớp N có tọa độ +zmax
Để phân loại 1 tấm
dựa vào tính đối xứng
qua mặt phẳng trung
bình
 Tính chất vật liệu
 Phương sợi
 Độ dày của lớp
 45 / 0 s
 45 /  45 / 0 / 0 /  45 /  45 T
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.3. Các giải thuyết của Kirchhoff


Dầm, tấm, vỏ
Kim loại, gỗ, bêtông và các loại vật liệu khác
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.3. Các giải thuyết của Kirchhoff …

Tải trọng
 Mômen tập trung, M
 Lực phân bố, q
 Lực trong mặt phẳng, N
 Lực tập trung, P

Với bài toán tấm nhiều lớp:
 Vật liệu nhiều lớp cốt sợi
 Sợi song song với mặt phẳng
tấm
 Gắn kết giữa các lớp được coi
là hoàn hảo
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.3. Các giải thuyết của Kirchhoff …


Trước biến dạng pháp
tuyến AA’ của mặt trung
bình là đường thẳng
Dưới tác dụng của tải
trọng gây uốn, AA’ vẫn
duy trì là đường thẳng và
vuông góc với mặt
phẳng trung bình sau
biến dạng và không thay
đổi về kích thước dài
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.3. Hệ quả giả thuyết Kichhoff trong mặt phẳng X-Z



Không có biến dạng theo
phương z
Biến dạng là nhỏ
Hai chuyển vị dài
 uo theo phương x
 wo theo phương z

Một chuyển vị góc quanh
trục y

w
o
x
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.4. Trường chuyển vị trong các mặt phẳng XZ và YZ
u x, y, z   u
o
x, y  
wx, y, z   w
o
z
w
o
x, y 
x, y  vx, y, z  
x
v
o
x, y  
wx, y, z   w
o
z
w
o
x, y 
x, y 
y
Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị trong
lý thuyết đàn hồi
x 
y 
z 
u
x
v
y
w
z
 xy 
 yz 
 zx 
v
x
v
z
w
x



u
y
w
y
u
z
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.5. Trường biến dạng
 x x, y, z  
 y x, y, z  
 z x, y, z  
 yz  x , y , z  
 xz  x , y , z  
 xy  x , y , z  
u x, y , z 
x
v x, y , z 
y
w x, y , z 
z
w x, y , z 
y
w x, y , z 
x
v x, y , z 
x






u
o
x, y 
2
 z
x
v
o
x, y 
y
w
o
o
x
 z
z
v x, y , z 
z
u x, y , z 
z
u x, y , z 
2
 w ( x, y )
2
x, y 
y
 w ( x, y )
o
y
2
0



w
x, y 
o
y
w
o
x, y 
x
v
o
x, y 
x
w

y


x, y 
o
w
u
o
x, y 
x
o
x, y 
y
0
0
 w ( x, y )
2
 2z
o
x  y
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.5. Trường biến dạng …

o
x
x, y  
 y x, y  
o

o
xy
x, y  
v
o
u
o

x
o
v x, y 

u
o
x
x, y  
 w
2

x, y 
y

o
xy
x, y  
x, y 
2
o
o
o
x
2
o
 w x, y 
 y x, y   
y
x, y 
x
x, y 
y
 w
2
2
o
2
x, y 
x  y
 x  x , y , z    xo  x , y   z  xo  x , y 
 y  x , y , z    yo  x , y   z  yo  x , y 

o
o




x
,
y
,
z


x
,
y

z

xy
xy
xy  x , y 
 z  x , y , z   0; 
yz
x, y, z  
0; 
xz
x, y, z  
0
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.6. Trường ứng suất
  x   Q11
  
  y    Q12
   Q
 xy   12
Q12
Q 22
Q 26
Q16     z  
 o
o 
Q 26    y  z  y 
o
o 


Q 66   xy  z  xy


o
x
o
x
Ví dụ 1

Ứng suất, biến dạng các lớp của tấm [0/90]s (x1000m
Ví dụ 1 …

Ứng suất, biến dạng các lớp của tấm [0/90]s (x1000m
Ví dụ 1 …

Ứng suất, biến dạng các lớp của tấm nhôm (x1000m
Ví dụ 2
Ứng suất, biến dạng các lớp của tấm [0/90]s (xo =3.33 m-1
Ví dụ 2 …
Ứng suất, biến dạng các lớp của tấm [0/90]s (xo =3.33 m-1
Ví dụ 2 …
Ứng suất, biến dạng các lớp của tấm nhôm (xo =3.33 m-1
…
Nhận xét
Ứng suất trong mỗi lớp biến thiên dọc theo chiều dày
của lớp
 It is convenient to define stresses in terms of
equivalent forces acting at the middle surface
 Stresses at the edge can be broken into increments
and summed
 The resulting integral is defined as the stress resultant,
Ni [force per length]

3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.7. Biểu thức xác định lực và mô men
Nx 
Ny 

h/2

h/2
h / 2
N xy 
M
M
M
x
y
xy



h / 2

h/2

h/2

h/2
 x dz
 y dz
h / 2
h / 2
h / 2

 xy dz
 x zdz
bend
 y zdz
bend
 xy zdz
twist
h/2
h / 2
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.7. Biểu thức xác định lực và mô men …
Nx 


Ny 


 N xy 


 x 
n
hk 


 hk 1  y  dz
k 0
 xy 
 
Mx


M

 y
 M xy 


 x 
hk 

 hk 1  y  zdz
k 0
 xy 
 k
k
n
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.7. Biểu thức xác định lực và mô men …
Đưa vào quan hệ ứng suất – biến dạng
Nx 


N 
 y
 N xy 



 Q 11
n
 hk 
  hk 1  Q 12
k 0 
 Q 16


Mx


My 


 M xy 



 Q 11
n
 hk 
  hk 1 Q 12
k 0 
 Q 16


Q 12
Q 22
Q 26
Q 12
Q 22
Q 26
o
Q 16    x 
  o
Q 26   y  dz 

o
Q 66    xy 
k
Q 16 

Q 26

Q 66 
k
 Q 11
hk 
hk 1 Q 12
 Q 16

  xo 
 o
  y  zdz 
  xyo 
 
 Q 11
hk 
hk 1 Q 12
 Q 16

Q 12
Q 22
Q 26
Q 12
Q 22
Q 26
o
Q 16    x 
  o
Q 26   y  zdz

o
Q 66   xy 
k
Q 16 

Q 26

Q 66 






  xo 
 o 2 
  y  z dz 

 xyo 

k

3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.7. Biểu thức xác định lực và mô men …
Lấy tích phân theo chiều dày lớp
Nx 


Ny 


 N xy 


  Q 11
n

  Q 12
k 0 
Q
  16
Mx


My 


 M xy 


  Q 11
n

  Q 12
k 0 
Q
  16
Q 12
Q 22
Q 26
Q 12
Q 22
Q 26
o
Q 16    x 
  o
Q 26   y  h k  h k 1  

o
Q 66    xy 
k
 Q 11

Q
 12
 Q 16

o
Q 16    x 
  o1 2
2
Q 26   y  h k  h k 1  

2
o
Q 66    xy 
k
Q 12
Q 22
Q 26
 Q 11

Q
 12
 Q 16

o

Q 16    x 

  o1 2
2
Q 26   y  h k  h k 1 

2
o



Q 66   xy 
k

Q 12
Q 22
Q 26
o

Q 16    x 

  o1 3
3
Q 26   y  h k  h k 1 

3
o

Q 66   xy 
k

3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.7. Biểu thức xác định lực và mô men …
Định nghĩa các đại lượng độ cứng lớp
n
Aij 
 Q   h
ij
k 0
B ij 
D ij 
1
2
1
3
k
 h k 1 
k
n
  Q ij   h k  h k  1 
2
k 0
2
k
n
  Q ij   h k  h k  1 
3
k 0
k
3
3.8. Lý thuyết tấm kinh điển …
3.8.8. Phương trình ứng xử cơ học của tấm nhiều lớp
 N x   A11

 
Ny
A12

 
 N xy   A16

 
M
 x   B11
 M y   B12

 
 M xy   B16
A12
A16
B11
B12
A22
A26
B12
B 22
A26
A66
B16
B 26
B12
B16
D 11
D 12
B 22
B 26
D 12
D 22
B 26
B 66
D 16
D 26
o
B16    x
 o
B 26   y

o
B 66    xy

D 16   x

D 26    y

D 66    xy









Symmetric Laminates

For every layer to one side of the laminate reference
surface with a specific thickness, material
properties, and fiber orientation, there is another
layer an identical distance on the opposite side

All components of [B] are zero

6x6 set of equations decouples into two 3x3 sets of
equations
Balanced Laminates

For every layer with a specified thickness,
material properties, and fiber orientation, there is
another layer with the identical thickness,
material properties, but opposite fiber orientation
somewhere in the laminate

If a laminate is balanced, A16 and A26 are always
zero
 Q16 & Q26 from opposite orientation have opposite
signs
Effective Engineering Properties of a
Laminate
A 11  A 22  A 12
2
Ex 
A 22  h
A 11  A 22  A 12
2
Ey 
A 11  h
Gx 
A 66
 xy 
A 12
 yx 
h
A 22
A 12
A 11

similar documents