Untuk : n

Report
Abdul Aziz Karim
 Gugus
SEKAWAN
AN
HIMPUNAN
pendefinisian
Hpn
biasa
Gugus
Hpn 29-2
“Mahasiswa/wi Unlam yang suaranya merdu supaya berhadir
pada Hari Suara Sedunia setiap tanggal 08 Juni di lapangan
Meriang Banjarpura”
 status mahasiswa/wi Unlam, jelas karena mempunyai KTM
 suara merdu, ini tidak jelas !. Merdu menurut team penilai,
tetapi belum tentu bagi team penilai yang lain atau orang lain
di luar team.
 Jadi sekumpulan mhs Unlam yang bersuara merdu, tidak
dapat dinyatakan sebagai suatu gugus; himpunan biasa
Hpn 29-3
“Mahasiswa/wi yang telah terdaftar di Unlam pada tahun
Akademik 2007/2008, resmi menjadi mahasiswa Unlam”
 Jelas yang tidak terdaftar bukan merupakan mahasiswa
Unlam.
Karena agar terdaftar tentunya harus memenuhi semua
persyaratan yang telah tetapkan
Sebagai bukti diri (identitas) mempunyai KTM Unlam
 Jadi seluruh mhs yang terdaftar tsb merupakan suatu gugus.
Sedangkan individu mhsnya merupakan anggota/unsur
gugusnya.
Hpn 29-4
Katakan “sekumpulan mahasiswa “ (G) terdiri dari :
x = mhs yang terdaftar di Unlam
y = mhs yang tidak terdaftar di Unlam
Notasi gugusnya :
εG
yεG
x
x di dalam (termasuk unsur/anggota) G
y di luar (bukan unsur/anggota) G
Hpn 29-5
Gugus terhingga : bila banyaknya unsur suatu gugus
wajar untuk dihitung
“banyaknya bilangan habis dibagi dua
dari sejuta bilangan”
Gugus tak hingga : bila banyaknya unsur suatu gugus
tidak dapat dihitung atau mustahil
atau tidak wajar untuk dihitung
“banyaknya butiran pasir seberat 1 ons”
Hpn 29-6
Untuk membuat (menulis) Notasi suatu Gugus dilakukan dengan
cara berikut :
 Metode senarai
 Ciri Penentu suatu Gugus
Cara ini (Notasi Gugus) bermanfaat untuk satu
atau lebih ciri penentu, apakah suatu unsur
(anggota) termasuk atau tidak termasuk ke dalam
suatu gugus
Hpn 29-7
 Metode senarai
D = gugus banyaknya (nilai) mata sebuah dadu bersisi enam
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = gugus nilai suatu seri kartu Brigde
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
K = gugus nilai kembar kartu domino
K = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Secara umum, dinyatakan sebagai gugus X mengandung n
unsur (anggota) sebanyak xi (i = 1, 2, 3, 4, 5, ……, n)
X = {x1, x2, x3, x4, x5, ……….., xn}
Bila X dinyatakan sebagai gugus tak hingga maka notasinya :
X = {x1, x2, x3, x4, x5, ……….., xn, ……}
Hpn 29-8
 Ciri Penentu suatu Gugus
Secara umum, bila :
 x = suatu unsur gugus U tertentu (universum/semesta)
 c(x) = ciri untuk menentukan termasuk tidaknya suatu unsur
tertentu ke dalam suatu gugus X tertentu
X = {x ; x
ε U, C(x)}
A = gugus bilangan asli
A = {1, 2, 3, 4, 5, ……}
Metode senarai
A = {a ; a bilangan asli}
ε
ε
A = {x ; x A, x = n, n A}
Metode ciri penentu
Hpn 29-9
B = gugus bilangan bulat
B = {….., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……}
B = {x ; x
ε B, x = n-1, nε B}
C = gugus bilangan cacah
C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……}
C = {x ; x
εC, x=n-1, n ε A}
CL
Hpn-01
Hpn 29-10
 Gugus Induk & Anak-gugus
X1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ……}
bil. asli ganjil
X2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ……}
bil. asli genap
 Unsur2 gugus X1 merupakan pula unsur2 gugus A
 Unsur2 gugus X2 merupakan pula unsur2 gugus A
∩ ∩
A
X1
A mencakup X2
A
X2
X1 dicakup A
X2 dicakup A
∩ ∩
A mencakup X1
X1
X2
A
A
Kesimpulan : setiap
unsur selalu dicakup
oleh gugus semestanya
Hpn 29-11
A
B
A (mencakup)
B
∩

N
∩



Denah Venn
∩



B

  
A
  
N
∩

N (dicakup)
Dalam bahasa matematika :
 Bila setiap unsur gugus A juga menjadi unsur gugus B,
maka dinyatakan gugus A merupakan anak gugus B
 Bila gugus A merupakan anak gugus B, maka setiap unsur
gugus A merupakan pula unsur gugus B
Hpn 29-12
 Agar hubungan anak gugus tersebut berlaku, maka dalam
pengertiannya “harus terjadi serempak atau bersamaan”,
atau dengan kata lain “berlaku secara timbal-balik”
A
A = B
B & A
∩

  
   
∩
 Ungkapan pengertian tsb dilambangkan dengan
dibaca “jika dan hanya jika”
Jadi setiap unsur gugusA adalah juga menjadi unsur gugus
B,
gugus A adalah anak gugus dari gugus B
Ini berarti bahwa A dan B adalah gugus yang sama
B
Hpn 29-13
A
B atau B
∩
 




  

∩
 Bila semua unsur gugus A yang dicakup oleh gugus B; tetapi
tidak semua unsur gugus B dicakup oleh gugus A, maka ini
dinyatakan gugus A merupakan anak gugus biasa dari
gugus B
A
Hpn 29-14
N = {n1 , n2 , n3 , n4}
(gugus induk)
 Bila dibentuk anak gugus berunsur 3 :
N31 = {n1 , n2 , n3}
N33 = {n1 , n3 , n4}
N32 = {n1 , n2 , n4}
N34 = {n2 , n3 , n4}
 Bila dibentuk anak gugus berunsur 2 :
N21 = {n1 , n2}
N24 = {n2 , n3}
N22 = {n1 , n3}
N25 = {n2 , n4}
N23 = {n1 , n4}
N26 = {n3 , n4}
Hpn 29-15
 Bila dibentuk anak gugus berunsur 1 :
N11 = { n1 }
N13 = { n3 }
N12 = { n2 }
N14 = { n4 }
 Bila dibentuk anak gugus berunsur 0 nol) :
N0 = { }
= O
Pengertian :
Gugus Kosong
{}≠{0}
Gugus mengandung 1
unsur yaitu angka nol
Gugus tanpa unsur
Hpn 29-16
Semua anak-anak gugus dari gugus induk N dapat pula
dihimpun menjadi “Gugus Kuasa” dari gugus induk N
2N = {N, N31, N32, N33, N34, N21, N22, N23, N24, N25, N26,
N11, N12, N13, N14, O }
Hpn 29-17
Penggunaan Persamaan Kombinasi
untuk menentukan
banyaknya anak-gugus Gugus Kuasa dari gugus Induk N
n!
C(n,i) =
i ! (n-i) !
Untuk : n ! = 1, 2, ………., (n-1), n
i ! = 0, 1, 2, ………., (n-1), n
0!=1
Hpn 29-18
Dari Gugus Induk N [di atas] diperoleh anak-gugus2 dari
Gugus Kuasa untuk sejumlah unsur :
 Jumlah unsur 4;
4!
C(4 , 4) =
4! (4-4)!
= 1
 Jumlah unsur 3;
4!
C(4 , 3) =
3! (4-3)!
= 4
 Jumlah unsur 2;
4!
C(4 , 2) =
2! (4-2)!
= 6
 Jumlah unsur 1;
4!
C(4 , 1) =
1! (4-1)!
= 4
 Jumlah unsur 0;
4!
C(4 , 0) =
0! (4-0)!
= 1
Hpn 29-19
CL Hpn-02
SL Hpn-02
 Mhs Fakultas Kehutanan Unlam yang tergabung dalam “Himpunan Mhs Peduli Lingkungan” (HIMAPELI) sebanyak 9 orang
yang terdiri dari :
a. 5 orang laki-laki (k1, k3, k5, k7 dan k9)
b. k1, k6 dan k8 merupakan mhs S1reg
c. k2, k5 dan k7 merupakan mhs S1eks
d. sisanya merupakan mhs S03reg
e. selain itu ada pula yang berstatus :
 pegawai yaitu k1 dan k9
 mahasiswa murni yaitu k3, k4, k5, k6 dan k8
 sisanya berwiraswasta
Hpn 29-20
Ditanyakan :
(1). Tentukan notasi gugus dari pernyataan tsb
(2). Tentukan gugus kuasanya
JCL
Hpn-02A
(3). Tentukan gugus : mahasiswa perempuan,
mahasiswa S1 & mahasiswa reguler.
 Dinyatakan bahwa :
I = {x; x
ε B, 1 ≤ x < 4} dan
ε
J = {x; x B, (x-1)(x-2)(x-3)}
Tentukan apakah “I = J”, bila B = gugus bilangan bulat
JCL
Hpn-02B
Hpn 29-21
 Bilangan Kardinal
“nilai yang menunjukkan banyaknya unsur dari suatu anak
gugus”
Berarti bilangan kardinal merupakan bilangan asli yang
terhingga; sehingga disebut pula sebagai gugus-gugus
terhingga.
D = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
Dari sebuah dadu bersisi enam disusun anak gugus
masing-masing :
D1 = { 1 }
D3 = {1 , 2 , 3}
D2 = {1 , 2}
D4 = {1 , 2 , 3 , 4}
D5 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
Hpn 29-22
Bilangan kardinal suatu gugus dilambangkan dengan n(G),
sehingga bilangan kardinal untuk gugus-gugus D1, D2, …,
D6 adalah
n(D1) = 1
n(D3) = 3
n(D5) = 5
n(D2) = 2
n(D4) = 4
n(D6) = 6
Misalkan ada dua buah gugus terhingga berupa sebuah dadu dan
hari kerja
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (nilai mata dadu)
H = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu}
Hpn 29-23
Hubungan “nilai mata dadu” (D) dengan “hari kerja” (H)
1
 Senin
2
 Selasa
3
 Rabu
4
 Kamis
5
6
 Jumat
n(D) = 6
 Sabtu
n(H) = 6
Hpn 29-24
Keduanya mempunyai bilangan kardinal yang sama yaitu
n(D) = n(H) = 6
Karena setiap unsur pada gugus “mata dadu” (D) berpadanan tepat satu unsur terhadap setiap unsur gugus “hari
kerja” (H), sehingga dikatakan :
“gugus D setara dengan gugus H”
D ≈ H
Hubungan kesetaraan ini tidak terjadi, bila ditemukan ada minimal
satu unsur yang tidak mempunyai padanannya.
Misal gugus nilai kembar kartu domino dengan gugus hari pasaran
(Jawa).
Hpn 29-25
Hubungan “nilai kembar kartu domino” (K) dengan “hari
pasaran” (P)
0
1
2
n(K) = 7
 Pon
 Wage
 Kliwon
3
4
5
6
 Legi
 Pahing
n(P) = 5
Keduanya tidak mempunyai perpadanan, maka kesetaraan
antara gugus “nilai kembar kartu domino” (K) dan gugus
“hari pasaran” (P) tidak terjadi.
D ≈ H
Hpn 29-26
CL Hpn-03
SL Hpn-03
 Tentukan bilangan kardinal dari gugus :
{ x | x bilangan bulat dan 1 ≤ x < 23}
JCL
Hpn-03A
 Dari gugus-gugus berikut :
A = {a,b,c,d,e,f,g}
B = { x | x adalah sila-sila Pancasila}
C = { x | x adalah hari-hari dalam seminggu}
D = {Pahing, Pon, Wage, Kliwon, Legi}
JCL
Hpn-03B
E = {ungu, biru, hijau, kuning, jingga, merah}
adakan pengelompkan gugus-gugus yang setara !
Hpn 29-27

similar documents