Probabilidades de Transicion de n etapas

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MATERIA:
“INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2”
EQUIPO :
“EQUIP 4”
CATEDRATICO:
ZINATH JAVIER JERONIMO
INTEGRANTES:
Yesenia Contreras Magaña
Widman Antonio Hernández Ovando
Román Hernández Estrada
Lucio Hernández Lázaro
Josué Efraín Aguilar Guzmán
Christian Méndez Ramírez
Cesar Nahúm López León
Suponga que estudiamos una cadena de markov con matriz. P de probabilidad de
transición conocida. Como todas las cadenas con las que trataremos son
estacionarias, no nos importara identificar nuestras cadenas de markov como
estacionarias. Una pregunta de interés es: si una cadena de markov está en el
estado i en el tiempo m, ¿Cuál es la probabilidad que n periodos después de la
cadena de markov este en el estado j? como se trata de una cadena de markov
estacionaria, esta probabilidad será independiente de m y, por tanto, podemos
escribir
Donde Se llama probabilidad en la etapa n de una transición de estado i al estado j.
Es claro que pn(1)=pn para determinar pn(2) nótese que si el sistema se encuentra
hoy en el estado i. entonces para que el estado termine en el estado j dentro de 2
periodos, debemos pasar del estado i al estado k y después pasar del estado k al
estado i (fig. 3) este modo de razonar nos permite escribir
(Probabilidad de transición de i a k)
(Probabilidad de transición de k a j)
De acurdo con la definición de p. la matriz de transición de replanteamos la última
ecuación en la siguiente forma:
El segundo miembro de la ecuación (3) es tan solo el producto escalar del
renglón i de la matriz p por la columna j de esa matriz. Por lo tanto,
es el
es el
elemento de la matriz
generalizado este modo de razonar, se
puede demostrar que para
Estado
1
pn
Pn
P 2j
p12
2
j
i
P ik
K
P ki
P sj
P is
Tiempo 0
s
Tiempo 1
Tiempo 2
Naturalmente, para
En el ejem. 4 mostraremos el uso de la ecuación (4)
EJEMPLO 4 ejemplo de cola suponga que toda la industria de refrescos produce
dos colas. Cuando una persona ha comprado la cola 1, hay una probabilidad de
90% de que su siguiente compra sea de cola 1. Si una persona compro la cola 2,
hay 80% de probabilidades que su próxima compra sea de cola 2.
1.- si actualmente una persona es comprador de cola 2, ¿Cuál es la probabilidad
que compre cola 1 pasadas 2 compras a partir de hoy?
2.- si en la actualidad una persona es comprador de cola 1, ¿cuál es la
probabilidad que compre cola 1 pasadas 3 compras a partir de ahora?
SOLUCION consideramos que las compras de cada una de las personas son una
cadena de markov y que el estado en cualquier momento es del tipo de cola que
compro la persona por última vez. Por lo tanto, las compras de cola por parte de
cada una de las personas se pueden representar con una cadena de markov de
dos estados, donde
Estado 1= la persona acaba de comprar cola 1
Estado 2= la persona acaba de comprar cola 2
Si definimos
como el tipo de cola que compra una persona en la compra
futura (la compra actual =X0), entonces X0,…se puede describir como la cadena
de markov con la siguiente matriz de transición:
Podemos contestar ahora las preguntas 1 y 2.
1.- se busca
Por lo tanto, esto
significa que hay probabilidad.34 de que la persona 2
compre cola 1, después de 2 compras a partir de ahora.
Con la teoría básica de probabilidad, podemos obtener esta respuesta siguiendo
un camino distinto (fig. 4) nótese que
=(probabilidad que la siguiente
compra se a cola 1 y la segunda sea cola 1)+( probabilidad que la siguiente
compra sea cola 2 y la segunda sea cola 1)
2.- buscamos
Por lo tanto
Figura 4 probabilidad de que a dos periodos a partir de ahora, un comprador de cola
2 compre cola 1 es .20 (.90)+.80 (.20)=.34
Cola 2
P21 =.20
P22 =.80
Cola 1
Cola 2
P21 =.20
Tiempo 0
Cola 1
Tiempo 1
Pn =.90
Tiempo 2
En muchos casos no conocemos el estado de la cadena de markov en el tiempo
0. Como se definió en la sección 19-3sea
la probabilidad que la cadena este en
el estado i en el tiempo 0 entonces podemos determinar la probabilidad de que el
sistema este en el estado i en el tiempo n el siguiente razonamiento (fig.5)
Figura 5 determinación de la probabilidad de estar en el estado j en el tiempo
n cuando se desconoce el estado inicial
P ij (n)
1
q1
q2
2
P 2j (n)
j
q1
i
P ij (n)
P sj (n)
qs
Tiempo 0
s
Tiempo n
Probabilidad de estar en el estado j en el tiempo n
Donde
para mostrar el uso de la ecuación (5) contestaremos la
siguiente pregunta: supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy cola 1 y
el 40% cola 2. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los
compradores estará tomando cola 1?
=probabilidad de que a tres compras a partir de este momento una persona tome
cola 1
La probabilidad que se busca es
por lo tanto las tres compras
de este momento el 64% de las personas estará comprando cola 1
Para mostrar el comportamiento de las probabilidades de transición en n etapas
para grandes valores de n hemos calculado algunas de las probabilidades de
transición de n etapas para el ejemplo de la cola y las mostramos en la tabla 2
Cuando n es grande,
son casi constantes y tienden a 67. Esto quiere
decir que para n grande independientemente del estado inicial hay una
probabilidad de 67. De que una persona compre cola 1. Igualmente vemos para n
grande tanto
son casi constantes y tienden a .33 esto significa que para
n grande, haciendo caso omiso del estado inicial hay una probabilidad .33 de que
una persona sea comprador de cola 2.
Tabla 2 probabilidades de transición en n etapas para el ejemplo de cola.
n
Pn(n)
P12
P21
P22(n)
1
.90
.10
.20
.80
2
.83
.17
.34
.66
3
.78
.22
.44
.56
4
.75
.25
.51
.49
5
.72
.28
.56
.44
10
.68
.32
.65
.35
20
.67
.33
.67
.33
30
.67
.33
.67
.33
40
.67
.33
.67
.33

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