Applied Econometrics

Report
Applied Econometrics
Applied Econometrics
Second edition
Dimitrios Asteriou and Stephen G. Hall
Applied Econometrics
Ετεροσκεδαστικότητα
1. Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα
2. Συνέπειες της ετεροσκεδαστικότητας
3. Διάγνωση ετεροσκεδαστικότητας
4. Επίλυση ετεροσκεδαστικότητας
Applied Econometrics
Στόχοι μαθήματος
1. Κατανόηση της έννοια της ετεροσκεδαστικότητας και της
ομοσκεδαστικότητας μέσω παραδειγμάτων.
2. Κατανόηση των συνεπειών της ετεροσκεδαστικότητας στους εκτιμητές
OLS.
3. Διάγνωση ετεροσκεδαστικότητας μέσω μελέτης διαγράμματος.
4. Διάγνωση ετεροσκεδαστικότητας μέσω επίσημων οικονομετρικών test.
5. Διάκριση μεταξύ του ευρέους φάσματος των διαθέσιμων test για τη
διάγνωση της ετεροσκεδαστικότητας.
6. Εκτέλεση ελέγχων ετεροσκεδαστικότητας με τη χρήση οικονομετρικού
λογισμικού.
7. Επίλυση ετεροσκεδαστικότητας με τη χρήση οικονομετρικού λογισμικού.
Applied Econometrics
Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα
Ετερό- (διαφορετικός ή άνισος) είναι το
αντίθετο του ομο- (ίδιος ή ίσος)…
Σκέδαση είναι η διάδοση ή η διασπορά…
Ομοσκεδαστικότητα = ίση διασπορά
Ετερασκεδαστικότητα = άνιση διασπορά
Applied Econometrics
Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα
Η υπόθεση 5 του CLRM δηλώνει ότι οι
διαταραχές θα πρέπει να έχουν μια σταθερή
(ίση) διακύμανση ανεξάρτητη του t:
Var(ut)=σ2
Συνεπώς, έχοντας μια ίση διακύμανση σήμαινει ότι
οι διακυμάνσεις είναι ομοσκεδαστικές.
Applied Econometrics
Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα
Εάν παραβιάζεται η υπόθεση της
ομοσκεδαστικότητας τότε:
Var(ut)=σt2
Όπου η μόνη διαφορά είναι ο δείκτης t, που
προσαρτάται στο σt2, που σημαίνει ότι η
διακύμανση μπορεί να αλλάξει για κάθε
διαφορετική παρατήρηση του δείγματος t=1,
2, 3, 4, …, n.
Κοιτάξτε τα παρακάτω διαγράμματα…
Applied Econometrics
Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα
Applied Econometrics
Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα
Applied Econometrics
Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα
Applied Econometrics
Τι είναι Ετεροσκεδαστικότητα
Πρώτα γράφημα: Ομοσκεδαστικά κατάλοιπα
Δεύτερο γράφημα: πρότυπα εισοδήματοςκατανάλωσης, για χαμηλά επίπεδα εισοδήματος
όχι πολλές επιλογές, ενώ συμβαίνει το αντίθετο
για υψηλά εισοδήματα.
Τρίτο γράφημα: βελτιώσεις στις τεχνικές συλλογής
δεδομένων (μεγάλες «τράπεζες» δεδομένων) ή
στα μοντέλα μάθησης σφάλματος (η εμπειρία
μειώνει την πιθανότητα μεγάλων λαθών)
Applied Econometrics
Συνέπειες της Ετεροσκεδαστικότητας
1. Οι εκτιμητές OLS εξακολουθούν να είναι αμερόληπτοι και συνεπείς.
Αυτό συμβαίνει γιατί καμία από τις ερμηνευτικές μεταβλητές δεν
συσχετίζεται με τον όρο του σφάλματος. Έτσι,
μια σωστά
προσδιορισμένη εξίσωση θα μας δώσει τιμές των εκτιμημένων
συντελεστών που είναι πολύ κοντά στις πραγματικές παραμέτρους.
2. Επηρεάζεται η κατανομή των εκτιμημένων συντελεστών αυξάνοντας
τις διακυμάνσεις των κατανομών και συνεπώς κάνοντας τους
εκτιμητές OLS αναποτελεσματικούς.
3. Υποεκτιμώνται οι διακυμάνσεις των εκτιμητών, οδηγώντας σε
υψηλότερες τιμές των στατιστικών t και F .
Applied Econometrics
Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας
Γενικά, υπάρχουν δύο τρόπο.
Ο πρώτος είναι ο ανεπίσημος τρόπος, ο οποίος γίνεται μέσω
διαγραμμάτων κι έτσι ονομάζεται γραφική μέθοδος.
Ο
δεύτερος
είναι
μέσω
επίσημων
test
για
ετεροσκεδαστικότητα, όπως τα παρακάτω:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Το Breusch-Pagan LM Test
Το Glesjer LM Test
Το Harvey-Godfrey LM Test
Το Park LM Test
ΤοGoldfeld-Quandt Tets
Το White Test
Applied Econometrics
Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας
Σχεδιάζουμε το τετράγωνο των καταλοίπων που λαμβάνονται απέναντι
στο προσαρμοσμένο Y και στα X και παρατηρούμε τα πρότυπα.
Applied Econometrics
Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας
Applied Econometrics
Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας
Applied Econometrics
Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας
Applied Econometrics
Διάγνωση Ετεροσκεδαστικότητας
Applied Econometrics
Το Breusch-Pagan LM Test
Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα
κατάλοιπα.
Βήμα 2: «Τρέχουμε»
την παρακάτω βοηθητική παλινδρόμηση:
2
uˆt  a1  a2 Z2t  a3Z3t  ... a p Z pt  vt
Βήμα 3: Υπολογίζουμε το LM=nR2, όπου n και R2
προέρχονται από τη βοηθητική παλινδρόμηση.
Βήμα 4: Εάν LM-stat>χ2p-1 τότε απορρίπτουμε τη μηδενική
υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια σημαντική
απόδειξη ετεροσκεδαστικότητας.
Applied Econometrics
Το Glesjer LM Test
Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα
κατάλοιπα.
Βήμα 2: «Τρέχουμε» την παρακάτω βοηθητική
παλινδρόμηση:
| uˆt | a1  a2 Z2t  a3Z3t  ... a p Z pt  vt
Βήμα 3: Υπολογίζουμε LM=nR2, όπου n και R2 προέρχονται
από τη βοηθητική παλινδρόμηση.
Βήμα 4: Εάν LM-stat>χ2p-1 απορρίπτουμε τη μηδενική
υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια σημαντική
απόδειξη ετεροσκεδαστικότητας.
Applied Econometrics
Το Harvey-Godfrey LM Test
Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα
κατάλοιπα.
Βήμα 2: «Τρέχουμε» την παρακάτω βοηθητική
παλινδρόμηση:
ln uˆt2  a1  a2 Z2t  a3Z3t  ... a p Z pt  vt
Βήμα 3: Υπολογίζουμε το LM=nR2, όπου n και R2
προέρχονται από τη βοηθητική παλινδρόμηση.
Βήμα 4: Εάν LM-stat>χ2p-1 απορρίπτουμε τη μηδενική
υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια σημαντική
απόδειξη ετεροσκεδαστικότητας.
Applied Econometrics
Το Park LM Test
Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα
κατάλοιπα.
Βήμα 2: «Τρέχουμε» την παρακάτω βοηθητική πανιδρόμηση:
ln uˆt2  a1  a2 ln Z2t  a3 ln Z3t  ... a p ln Z pt  vt
Βήμα 3: Υπολογίζουμε το LM=nR2, όπου n και R2
προέρχονται από τη βοηθητική παλινδρόμηση.
Βήμα 4: Εάν LM-stat>χ2p-1 απορρίπτουμε τη μηδενική
υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια σημαντική
απόδειξη ετεροσκεδαστικότητας.
Applied Econometrics
Το Engle’s ARCH Test
Ο Engle εισήγαγε μια νέα έννοια, επιτρέπονται να υπάρχει
ετεροσκεδαστικότητα στη διακύμανση των όρων σφάλματος,
παρά στα ίδια τα σφάλματα.
Η κεντρική ιδέα είναι ότι η διακύμανση του ut εξαρτάται από το
μέγεθος του τετραγωνισμένου σφάλματος της προηγούμενης
περιόδους u2t-1 για το μοντέλο πρώτης τάξης ή:
Var(ut)=γ1+γ2u2t-1
Το μοντέλο μπορεί εύκολα να επεκταθεί και για μεγαλύτερες
τάξεις:
Var(ut)=γ1+γ2u2t-1+…+ γpu2t-p
Applied Econometrics
Το Engle’s ARCH Test
Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και παίρνουμε τα
κατάλοιπα
Βήμα 2: Παλινδρομούμε τα τετραγωνισμένα κατάλοιπα σε μια
σταθερά και στους όρους των τετραγωνισμένων σφαλμάτων με
χρονική υστέρηση, ο αριθμός των υστερήσεων θα καθορίζεται
από την τάξη, που έχει υποτεθεί, για την τάξη των επιδράσεων
ARCΗ.
Βήμα 3: Υπολογίζουμε το LM statistic = (n-ρ)R2 από το
μοντέλο LM και το συγκρίνουμε με την κριτική τιμή του Χ
τετράγωνο.
Βήμα 4: Συμπέρασμα
Applied Econometrics
Το Goldfeld-Quandt Test
Βήμα 1: Διακρίνουμε μια μεταβλητή η οποία
σχετίζεται στενά με την διακύμανση των
διαταραχών, και ταξινομούμε τις παρατηρήσεις
αυτής της μεταβλητής σε φθίνουσα σειρά. (από το
υψηλότερο στο χαμηλότερο).
Βήμα 2: Χωρίζουμε το ταξινομημένο δείγμα σε δύο
ίσα δείγματα παραλείποντας c κεντρικές
παρατηρήσεις, έτσι ώστε τα δύο δείγματα να έχουν
Applied Econometrics
Το Goldfeld-Quandt Test
Βήμα Παλινδρόμουμε την μεταβλητή Y στην X που
χρησιμοποιήσαμε στο βήμα 1 για κάθε μικρότερα
δείγμα και λαμβάνουμε το RSS για κάθε εξίσωση.
Βήμα 4: Υπολογίζουμε το F-stat=RSS1/RSS2, όπου
RSS1 είναι το RSS με την υψηλότερη τιμή.
Βήμα 5: Εάν F-stat>F-crit(1/2(n-c)-l,1/2(n-c)-k)
απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση για
ομοσκεδαστικότητα.
Applied Econometrics
Το White’s Test
Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και λαμβάνουμε τα
κατάλοιπα.
Βήμα 2: «Τρέχουμε» την παρακάτω βοηθητική παλινδρόμηση:
uˆt2  a1  a2 X 2t  a3 X 3t  a4 X 22t  a5 X 32t  a6 X 2t X 3t  vt
Βήμα 3: Υπολογίζουμε το LM=nR2, όπου n και R2 προέρχονται από
τη βοηθητική παλινδρόμηση.
Βήμα 4: Εάν LM-stat>χ2p-1 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση και
συμπεραίνουμε ότι υπάρχει σημαντική απόδειξη για
ετεροσκεδαστικότητα.
Applied Econometrics
Επίλυση Ετεροσκεδαστικότητας
Έχουμε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις:
(a) Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα (GLS)
(b) Σταθμισμένα Ελάχιστα Τετράγωνα (WLS)
(c) Ετεροσκεδαστικότητα-Μέθοδος συνεπής
εκτίμησης
Applied Econometrics
Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα
Θεωρείστε το παρακάτω
Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+…+βkXkt+ut
όπου
Var(ut)=σt2
Applied Econometrics
Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα
Εάν χωρίσουμε κάθε όρο με βάση την τυπική
απόκλιση του όρου σφάλματος σt , έχουμε:
Yt=β1 (1/σt) +β2X2t/σt +β3X3t/σt +…+βkXkt/σt +ut/σt
ή
Y*t= β*1+ β*2X*2t+ β*3X*3t+…+ β*kX*kt+u*t
Όπου τώρα έχουμε ότι:
Var(u*t)=Var(ut/σt)=Var(ut)/σt2=1
Applied Econometrics
Σταθμισμένα Ελάχιστα Τετράγωνα
Η διαδικασία GLS είναι η ίδια όπως WLS όπου
έχουμε βαρύτητες, wt, προσαρμόζοντας.
Ορίζουμε wt=1/σt, και ξαναγράφουμε το αρχικό
μοντέλο ως εξής:
wtYt=β1wt+β2X2twt+β3X3twt+…+βkXktwt+utwt
Όπου αν ορίζουμε ως wtYt-1=Y*t και Xitwt=X*it
παίρνουμε ότι:
Y* = β* + β* X* + β* X* +…+ β* X* +u*

similar documents