PPTX, 4.5 MB - Home pages of ESAT

Report
Meet- en Regeltechniek
Les 3: Het wortellijnendiagram
Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen
ESAT – Departement Elektrotechniek
KU Leuven, Belgium
Meet- en Regeltechniek: Vakinhoud
• Deel 1: Analoge regeltechniek
–
–
–
–
–
–
–
–
Les 1: Inleiding en modelvorming
Les 2: De regelkring
Les 3: Het wortellijnendiagram
Les 4: De klassieke regelaars
Les 5: Voorbeelden en toepassingen
Les 6: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling
Les 7: Speciale regelstructuren
Les 8: Niet-lineaire regeltechniek en aan-uit regelaars
• Deel 2: Digitale regeltechniek
–
–
–
Les 9: De discrete regelkring
Les 10: De toestandsregelaar
Les 11: Modelpredictieve controle
Les 12: Herhalingsles
Les 3: Het wortellijnendiagram
• Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*]
–
–
–
–
Inleiding
Voorbeeld: analytische berekening polen
Constructieregels
Eigenschappen
• Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]
–
–
voorbeeldoefening
oefeningen
Bijkomende referentie:
[*] Christian Schmid, “The root-locus method,” in Course on Dynamics of
multidisplicinary and controlled Systems, 2005.
URL: http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node46.html
Inleiding
• Transiënt gedrag:
–
bepaald door ligging polen van geslotenlussysteem (= wortels
van karakteristieke vergelijking)
• Wortellijnenmethode = grafische procedure die verloop van
polen van geslotenlussysteem i.f.v. versterkingsfactor K
weergeeft
• Zelfde als stabiliteit van een P-regelaar bestuderen
Polen die dicht bij de
imaginaire as liggen zijn
belangrijk
(= dominante polen)
Les 3: Het wortellijnendiagram
• Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*]
–
–
–
–
Inleiding
Voorbeeld: analytische berekening polen
Constructieregels
Eigenschappen
• Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]
–
–
voorbeeldoefening
oefeningen
Bijkomende referentie:
[*] Christian Schmid, “The root-locus method,” in Course on Dynamics of
multidisplicinary and controlled Systems, 2005.
URL: http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node46.html
3.2 Voorbeeld: Analytische berekening van de polen
Voorbeeld: analytische berekening polen
voorbeeldpolen
van hoe
het later nietTF
meer
zullen doen
om aan te
•AlsConcept:
vanwegeslotenlus
berekenen
en en
tekenen
grafische
methode
het wortellijnendiagram
is, zullen we in wat v
als functie
van van
versterkingsfactor
K
gegeven gesloten systeem
berekenen op de klassieke analytische manier.
e
• Haalbaar voor 2 orde systemen, niet voor hogere orde !
• Voorbeeld: 2e orde systeem
P-regelaar
X( p)
e
+
K
-
Figuur 3.2 : Voorbeeld.
Systeem
u
1
( p+a) p
Y( p)
(openlus TF)
Neem het systeem uit figuur 3.2. Dit is een tweede orde systeem en heeft
open-lus-TF is:
(openlus polen)
Voorbeeld: analytische berekening polen
Automatisering: Regeltechniek
Hoofdstuk 3: Het
• Geslotenlus TF:
3.2 Voorbeeld: Analytische berekening van de polen
• Karakteristieke vergelijking:
Als voorbeeld van hoe we het later niet meer zullen doen en om aan te geve
grafische methode van het wortellijnendiagram is, zullen we in wat volgt
• Polen
geslotenlussysteem
karakteristieke
vgl:
gegeven
gesloten
systeem berekenen op=dewortels
klassieke
analytische manier.
P-regelaar
X( p)
e
+
K
-
Figuur 3.2 : Voorbeeld.
Systeem
u
1
( p+a) p
Y( p)
K = æè a2 öø
De wortels zijn reëel en gelijk: p 1 = p2 = -a/2.
Het gesloten systeem is kritisch gedempt.
Voorbeeld: analytische berekening polen
2
•
æaö < K < ¥
è 2 ø a constant,
Wortellijnendiagram:
De wortels zijn complex toegevoegd. Het re ëel deel is constant en g
Het gesloten systeem is ondergedempt. De staprespons zal een oscil
–
–
geval 1:
geval 2:
P-vlak
Á
K =¥
K=0
K=0
-a/2
-a
0
K = (a/2)²
–
geval 3:
K=¥
Figuur 3.3 : Wortellijnendiagram voor de regelkring uit figuur 3.2.
Â
2
K = æè a2 öø
De wortels zijn reëel en gelijk: p 1 = p2 = -a/2.
Het gesloten systeem is kritisch gedempt.
Voorbeeld: analytische berekening polen
2
• æ aWortellijnendiagram:
conclusies?
ö <K<¥
è2ø
– wortels
geslotenlussysteem
altijd
absoluut
De
zijn complex toegevoegd.
Het re
ëel deel is stabiel
constant en gelijk aan -a/2.
Het
gesloten systeem is ondergedempt. De staprespons zal een oscillatie vertonen.
– geslotenlussysteem relatief onstabiel bij hoge versterking
P-vlak
Á
K =¥
K=0
K=0
-a/2
-a
0
K = (a/2)²
K=¥
Figuur 3.3 : Wortellijnendiagram voor de regelkring uit figuur 3.2.
Â
Les 3: Het wortellijnendiagram
• Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*]
–
–
–
–
Inleiding
Voorbeeld: analytische berekening polen
Constructieregels
Eigenschappen
• Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]
–
–
voorbeeldoefening
oefeningen
Bijkomende referentie:
[*] Christian Schmid, “The root-locus method,” in Course on Dynamics of
multidisplicinary and controlled Systems, 2005.
URL: http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node46.html
Constructieregels: Concept
• Meest algemene vorm van karakteristieke vergelijking:
• Hier is de openlus TF
met zi de nulpunten en pj de polen van de open-lus TF
• Concept grafische methode: teken wortellijnendiagram op
basis van openlus nulpunten en polen ipv op basis van
geslotenluspolen (veel moeilijker te berekenen)
Constructieregels: Definities
• Vermenigvuldigingsfactor KRL (RL-gain)
• Gelijkspanningsversterking KD
• Voorbeeld:
Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden
• Karakteristieke vergelijking van systeem (met
versterkingsfactor K):
• Hieruit kunnen we twee voorwaarden halen:
–
modulusvoorwaarde:
–
hoekvoorwaarde:
Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden
• We zoeken nu alle complexe getallen
die aan
beide voorwaarden voldoen:
–
de hoekvoorwaarde heeft een oplossing p die voldoet aan:
–
deze oplossing kan grafisch bepaald worden (zie verder)
deze oplossing is onafhankelijk van de versterkingsfactor K
–
Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden
• We zoeken nu alle complexe getallen
die aan
beide voorwaarden voldoen:
–
de hoeken
en
tussen een willekeurig
punt p en de nullen en polen van de openlus TF
kunnen grafisch bepaald worden:
Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden
• We zoeken nu alle complexe getallen
die aan
beide voorwaarden voldoen:
–
gegeven een oplossing p voor de hoekvoorwaarde, dan kan
aan de modulusvoorwaarde altijd voldaan worden door een
gepaste versterkingsfactor K te kiezen:
Constructieregels: overzicht
• We overlopen nu een aantal eigenschappen en regels die
het tekenen van een wortellijnendiagram vergemakkelijken:
–
–
–
–
–
–
–
aantal takken
beginpunten
eindpunten
takken op de reële as
asymptotische richting
breekpunten bij samenvallende polen of nulpunten
hoek van vertrek
Constructieregels: aantal takken
• Het aantal takken van het wortellijnendiagram is gelijk aan
het aantal polen van de openlus TF
• Voorbeelden:
Constructieregels: beginpunten
• De beginpunten van elke tak van het wortellijnendiagram
worden bepaald door de polen van de geslotenlus TF bij
een versterkingsfactor K = 0.
• In dit geval komen de polen van de geslotenlus TF overeen
met de polen van de openlus TF.
• Modulusvoorwaarde:
• Conclusie: de beginpunten zijn de polen van de openlus
TF
Constructieregels: eindpunten
• De eindpunten van elke tak van het wortellijnendiagram
worden bepaald door de polen van de geslotenlus TF bij
een versterkingsfactor K = ∞.
• In dit geval komen de polen van de geslotenlus TF overeen
met de nulpunten van de openlus TF.
• Modulusvoorwaarde:
• Indien de openlus TF minder nulpunten (m) dan polen (n)
heeft dan ligger er n-m eindpunten op oneindig.
• Conclusie:
–
–
de eindpunten zijn de nulpunten van de openlus TF
er zijn n-m asymptoten naar eindpunten op ∞
Besluit: De eindpunten zijn de nulpunten van GH. Er liggen n-m eindpunten op onein
bijgevolg n-m asymptoten.
Constructieregels: takken op de reële as
• Een punt p op de reële as maakt altijd een hoek van 0° of
Takken180°
op de met
reëleeen
as reële pool of nulpunt van de openlus TF.
De hoek die een willekeurig punt op de reële as maakt met een reëel nulpunt of ee
• Een punt p op de reële as maakt altijd tegengestelde
van GH is steeds 0° of 180°. De totale hoek van een willekeurig punt op de reële
hoeken
van -a°
+a°
met een
complex
paar
polen
of
complex
paar nulpunten
of en
polen
is steeds
0 °. Figuur
3.6 geeft
enkele
voorbeelden.
nulpunten van de openlus TF.
0°
Á
180°
Á
Â
Pool of nulpunt
Â
Complex toegevoegde
polen of nulpunten
Pool of nulpunt
-a
a
Á
Â
Figuur 3.6 : Hoeken naar punten op de re ële as.
• Conclusie: alle punten op de reële as die links gelegen zijn
eenweoneven
polen
openlus
Hieruitvan
kunnen
besluitenaantal
dat alle nulpunten
punten op deof
reële
as dievan
linksde
gelegen
zijn van
behoren
het wortellijnendiagram.
aantal TF
nulpunten of polen
van GH, tot
behoren
tot het wortellijnendiagram omdat zij vol
hoek voorwaarde.
Automatisering: Regeltechniek
Hoofdstuk 3: Het wortel lijnendiagr
Asymptotische richting
Constructieregels:
asymptotische richting
Indien het aantal polen van GH groter is dan het aantal nulpunten van GH (n > m), dan zull
n-m takken naar oneindig lopen. De asymptotische richting van deze takken wordt gegeven doo
• Als openlus TF meer polen dan nulpunten heeft (n > m)
360 takken naar oneindig met asymptotische
danqlopen
= 180n+-kn-m
m
richting:
Het snijpunt s van deze asymptoten met de re ële as is het zwaartepunt van de polen en nulpunt
van GH.
S p -S z
j
i
s=
• De asymptoten
snijden de reële as in het zwaartepunt van
n-m
de polen en nulpunten van de openlus TF:
Figuur 3.7 geeft de asymptotische richtingen aan voor enkele waarden van n-m.
Á
• Voorbeelden:
n-m=1
180°
Á
n-m=2
180°
90°
Â
-90°
Á
n-m=3
Â
Á
n-m=4
135°
45°
60°
-60°
Â
-45°
-135°
Â
Breekpunten bij samenvallende polen of nulpunten (Breakaway points
Wanneer een tak van het wortellijnendiagram de reële as verlaat, d
een hoek van ± 90°. Het punt waar dit gebeurt is een breekpunt en g
Deze punten kunnen bepaald worden door de afgeleide van K naar p
• Wortellijnen
verlaten of bereiken reële as altijd onder hoek
op te lossen:
Constructieregels: breekpunten
van 90°.
• Het punt dK(p)
waar =dit0 gebeurt is breakaway/entry point en komt
dp dubbele pool van geslotenlus TF:
overeen met
Figuur 3.8 geeft een voorbeeld.
• Voorbeeld:
Wortellijnendiagram
Breekpunt
Samenvallende pool
x
-a
GH=
Á
x
1
(p+a)p
1
0
Â
Figuur 3.8 : Voorbeeld van een breekpunt.
Automatisering: Regeltechniek
Hoofdstuk 3: Het wortel lijnendiagram
Constructieregels: hoek van vertrek
Hoek van vertrek
Om hetHoek
wortellijnendiagram
nauwkeurig
te kunnen tekenen
is het soms
nodig complex
de hoek te kennen
waarmee
wortellijn
vertrekt
vanuit
nulpunt
waarmee een tak vanuit een complexe pool of complex nulpunt vertrekt. Deze hoek van vertrek
zl ofworden
poolm.b.v.
pl kan
berekend worden uit hoekvoorwaarde:
kan bepaald
de hoekvoorwaarde.
We nemen een willekeurig punt dat zeer dicht bij een complexe pool ligt. De richting van de
vector vertrekkend
uit de beschouwde complexe pool naar dit punt toe is de gezochte hoek.
– nulpunt:
De hoeken van alle andere vectoren vertrekkende uit de overige nulpunten en polen naar het
willekeurig punt toe kennen we wel omdat deze vectoren samenvallen met de vectoren uit de
overige nulpunten en polen naar de beschouwde complexe pool toe. We kunnen deze hoeken
grafisch aflezen of berekenen. Zie figuur 3.9.
– pool:
•
Beschouwde complexe pool
-4+j4
Willekeurig
punt
Pool
F hoek ?
GH =
45°
-8
116,6°
3
-2
90°
-4-j4
Figuur 3.9 : Hoek van vertrek.
Á
Â
3(p+2)
(p+8)(p²+8p+32)
Constructieregels: voorbeelden
Les 3: Het wortellijnendiagram
• Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*]
–
–
–
–
Inleiding
Voorbeeld: analytische berekening polen
Constructieregels
Eigenschappen
• Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]
–
–
voorbeeldoefening
oefeningen
Bijkomende referentie:
[*] Christian Schmid, “The root-locus method,” in Course on Dynamics of
multidisplicinary and controlled Systems, 2005.
URL: http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node46.html
Eigenschappen
• Wat kunnen we leren uit het wortellijnendiagram?
–
–
–
–
–
absolute stabiliteit
relatieve stabiliteit
natuurlijke eigenpulsatie
gedempte eigenpulsatie
settling time
Eigenschappen: absolute stabiliteit
• Regelsysteem is absoluut stabiel voor versterkingsfactoren
die overeenkomen met wortellijnen in linkerhalfvlak
• Marginale stabiliteit wordt bereikt wanneer wortellijnen
imaginaire as snijden:
• Twee vergelijkingen in twee onbekenden:
oplossing geeft versterkingsfactor
waarvoor
regelsysteem marginaal stabiel is op frequentie
Eigenschappen: relatieve stabiliteit
ng: Regeltechniek
Hoofdstuk 3: Het wortel lijnendiagram
• Om relatieve
stabiliteit te onderzoeken benaderen we
Á
cos f = z
regelsysteem
X
w n 1 - z 2 door 2e orde systeem:
-w n z
f
K
Â
X
Automatisering: Regeltechniek
• Relatieve stabiliteit en dempingsfactor
worden dan
Figuur 3.11 : Polendiagram van een tweede orde systeem.
bepaald door ligging van dominante polen:
Á
we lijnen tekenen voor polen met een constante dempingsco ëfficiënt. Zie figuur 3.12.
Stijgende
demping
0,8
0,1
cos f = z
Á
0,5 0,3
-w n z
Imaginaire as: z = 0
wn 1 - z2
X
f
K
Â
X
0,9
Figuur 3.11 : Polendiagram van een tweed
0,97
Reële as: z waarden ³ 1
Â
Figuur 3.12 : Lijnen van constante demping en bijgevolg ook van constante doorschot.
Eigenschappen: eigenpulsaties
Natuurlijke eigenpulsatie wn
De natuurlijke
eigenpulsatie
is evenredigvan
met
reactieDe •natuurlijke
eigenpulsatie
wn bepaalt de reactiesnelheid
hetde
systeem.
Des te gro
snelheid
van Dit
hetvolgt
systeem
te sneller
het systeem.
rechtstreeks uit de formule voor de staprespons van
orde• systeem.
Figuur 3.13eigenpulsatie
geeft lijnen van constante
wn. deel van pool die
De gedempte
is imaginair
oscillerend gedrag van overgangsverschijnsel weergeeft
Stijgende
natuurlijke eigenpulsatie
wn
Stijgende
gedempte eigenpulsatie
wp
Á
Â
Figuur 3.13 : Lijnen van constante natuurlijke eignpulsatie (links).
Figuur 3.14 : Lijnen van constante gedempte eignpulsatie (rechts).
Á
Â
1 ® e -at
p+a
Eigenschappen: Settling time
Na de tijd ts moet deze exponentiële functie kleiner zijn dan 0,01 of
01 = e -a.t
t s = -4,
6/ -geeft
a
• 0,Reële
deel
pool
snelheid waarmee systeem
® van
s
naar eindwaarde gaat, bv. voor zuiver 1e orde systeem:
Indien ts gegeven is, kan uit bovenstaande formule de grenswaarde voor het reëel d
pool bepaald worden. Polen die meer negatief zijn zullen een kleinere ts waarde
Indien de polen in absolute waarde kleiner zijn, voldoet het systeem met deze polen
gestelde eisen. Figuur 3.15 geeft dit resultaat weer.
• Settling time bepaalt grens van ±1% rond eindwaarde:
Á
2
-4,6/ t
s
1
1. Gebied met polen met een een 'settling' tijd < ts
3
2. Lijn met polen met een een 'settling' tijd = ts
Â
3. Gebied met polen met een een 'settling' tijd > ts
Figuur 3.15 : Polen overeenkomstig een gegeven 'settling time' voor ± 1 %.
Les 3: Het wortellijnendiagram
• Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*]
–
–
–
–
Inleiding
Voorbeeld: analytische berekening polen
Constructieregels
Eigenschappen
• Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]
–
–
voorbeeldoefening
oefeningen
Bijkomende referentie:
[*] Christian Schmid, “The root-locus method,” in Course on Dynamics of
multidisplicinary and controlled Systems, 2005.
URL: http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node46.html
Voorbeeldoefening
• Oefening B.1) [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]
–
Opgave:
Voorbeeldoefening
• Oefening B.1) [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]
–
Oplossing:
Les 3: Het wortellijnendiagram
• Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*]
–
–
–
–
Inleiding
Voorbeeld: analytische berekening polen
Constructieregels
Eigenschappen
• Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]
–
–
voorbeeldoefening
oefeningen
Bijkomende referentie:
[*] Christian Schmid, “The root-locus method,” in Course on Dynamics of
multidisplicinary and controlled Systems, 2005.
URL: http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node46.html
Oefeningen
• Oefening B.2) – 7)
[Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]

similar documents