logica 2 - Dipartimento di Matematica

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Introduzione
alla
LOGICA MATEMATICA
Corso di Matematica Discreta.
Corso di laurea in Informatica.
Prof. Luigi Borzacchini
II. La logica delle proposizioni.
Semantica.
Le proposizioni e la verità
Le proposizioni rappresentano le frasi che possono
essere vere o false (non le esclamazioni, le domande,
gli ordini, etc.). La verità è un concetto semantico: una
proposizione è vera se esprime lo stato delle cose.
Proposizioni individuali (‘Ballottelli è alto’), particolari
o esistenziali (‘qualche centravanti è alto’, ‘c’è un
centravanti alto’) e universali (‘tutti i centravanti sono
alti’).
Proposizioni positive e negative (sono diverse ‘nessun
mediano è alto’, ’tutti i mediani non sono alti’, ‘non ci
sono mediani alti’, ‘non tutti i mediani sono alti’, e ‘ci
sono mediani non alti’?).
Aristotele e la logica antica
• Il sillogismo: «tutti gli umani sono
mortali», «tutti i greci sono umani» e
quindi «tutti i greci sono mortali».
Oppure «alcuni ateniesi sono alti» e
«tutti gli alti sono robusti» e quindi
«alcuni ateniesi sono robusti».
• Ma da «alcuni ateniesi sono alti»,
«alcuni ateniesi sono biondi» non si
può dedurre niente di rilevante.
I principi formali: non contraddizione (non può essere la
stessa proposizione vera e falsa), terzo escluso (ogni
proposizione è vera o falsa), verità per corrispondenza (è
vero dire che è ciò che è, o che non è ciò che non è, è falso
dire che è ciò che non è, o che non è ciò che è).
I connettivi
• Le proposizioni sono gli ‘atomi’ della logica delle
proposizioni, il cui valore di verità è V/1 o F/0.
• Le proposizioni complesse si ottengono tramite
l’uso dei connettivi: non/not (), e/and/
congiunzione (), o/or/disgiunzione (), se … allora
/if … then (), se e solo se/if and only if/iff ().
• Si dicono verofunzionali, poiché agiscono solo sui
valori di verità: ad es.  A è vera se e solo se A è
falsa, A  B è vera se e solo se sono vere sia A che B,
AB è vera se e solo se A e B hanno uguale valore
di verità, a prescindere dal significato di A e B.
Tavole di verità
A A
0 1
1 0
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
 è un connettivo ‘unario’ (monadico), gli altri
sono connettivi ‘binari’ (diadici).
Queste tavole di verità
A  B A  B AB AB derivano dall’uso delle
0
0
1
1
congiunzioni nel
0
1
1
0
linguaggio naturale e sono
ovvie, tranne che per il  : è.
0
1
0
0
infatti difficile accettare che
1
1
1
1
«se 2 è un numero dispari
allora la luna è di formaggio» o «se 2 un numero dispari allora
la luna è un satellite» siano proposizioni vere. Infatti nell’ uso
normale ‘se…allora’ indica una argomentazione e non solo
una relazione tra valori di verità.
Il linguaggio delle proposizioni
• L’alfabeto: { , ,  , ,  ,P, Q, R, ….}
• Il linguaggio: sono proposizioni (Prop) le
‘proposizioni atomiche’ P, Q, R, …, e poi  Prop, Prop
 Prop, Prop  Prop, Prop  Prop, Prop  Prop.
• Nient’altro è una proposizione.
Si usano le parentesi per indicare l’ordine con cui si
applicano i connettivi: ad esempio (P  Q)  (Q R),
o P (Q  P), ma quest’uso in realtà traduce una
rappresentazione ‘ad albero’
Albero e Grafo sono strutture formate da vertici e
archi che connettono due vertici, diretti o no.
Rappresentare espressioni come alberi
• Intuitivamente un albero
possiamo vederlo come una
struttura (ordinata
implicitamente dall’alto verso il P
basso, come un albero
genealogico). Le ‘foglie’ sono
proposizioni atomiche, e i vertici
intermedi sono connettivi
applicati ai loro ‘discendenti’.
Essendo i connettivi al più
binari, l’albero nel linguaggio
delle proposizioni è binario, ha
al più due discendenti


Q

P
P(Q P)
La tavola di verità di una proposizione composta
P(Q P)
P
Q P
Q
P
P
1
1
1
0
0
1
• Si assegnano i valori di verità alle ‘foglie’ (ad es. P vero,
Q falso) e si calcola il valore di verità della proposizione
composta ‘bottom up’, dal basso verso l’alto. Banale.
Calcolo della tavola di verità
P
0
0
1
1
Q PQ  PPQ (QP)
0 1 1
0
0
1 1 1
1
1
0 0 1
1
0
1 0 0
1
0
P(Q P) P(QP)
1
0
1
0
1
0
1
0
Ripetendo la procedura per proposizioni quali P(Q P)
o P (QP) troviamo una tavola di verità sempre vera (nel
primo caso) e sempre falsa (nel secondo): parliamo in tali casi
di tautologia e contraddizione. La tautologia più semplice è
PP, che esprime l’antico ‘terzo escluso’, la contraddizione
più semplice è PP, la cui negazione è il ‘principio di non
contraddizione’.
Le proposizioni
Le contraddizioni non dicono nulla perché dicono
cose assurde: <la neve è bianca e non è bianca>,
impossibili nel ‘mondo’
PROPOSIZIONI
• contraddizioni
tautologie
Le tautologie non dicono nulla perché dicono cose
ovvie: <la neve è bianca oppure non è bianca>, ma
avranno un ruolo speciale, in quanto esprimono la
forma logica del nostro ‘mondo’.
Proposizioni equivalenti-1
• P e P(PQ)) hanno la stessa tavola di verità, così
tutte le tautologie idem e tutte le contraddizioni:
chiamiamo proposizioni equivalenti quelle che
hanno la stessa tavola di verità
• A  B è vero quando A e B hanno sempre lo stesso
valore di verità e quindi sono equivalenti. Ne segue
che si può anche leggere A  B come ‘A
equivalente a B’. Un esempio di partizione
Tautologie
Contraddizioni
Linguaggio e metalinguaggio
• Un metalinguaggio è un linguaggio per parlare di un
altro linguaggio, come l’italiano è il metalinguaggio
che sto usando per parlarvi della logica.
• Nel linguaggio italiano vari usi dei termini sono
mischiati. Esempio: <il topo si nascose> appartiene
al linguaggio comune, <il topo è un mammifero>
appartiene al linguaggio della zoologia, <il topo è il
soggetto della frase ‘il topo si nascose’> appartiene
al metalinguaggio. E questo genera paradossi, come
il paradosso del mentitore: <questa frase è falsa>,
ove la stessa frase appartiene nel contempo al
linguaggio e al metalinguaggio.
Metalinguaggio del linguaggio logico
• Se A e B sono due proposizioni <A è equivalente a B>
è una metaproposizione della logica delle
proposizioni. Ma durante la lezione io posso parlarvi
anche del metalinguaggio, usando in tal caso un
metametalinguaggio. E così via …
• Ad esempio: < (P  Q) è equivalente a (P  Q) > è
equivalente a < (P  Q)  (P  Q) è una
tautologia>. Abbiamo tre linguaggi: il linguaggio
logico, il metalinguaggio della logica proposizionale,
il metametalinguaggio del corso di logica.
• Le equivalenze più importanti sono le
proprietà dei connettivi.
• (P  Q) è equivalente a (P  Q)
P
Q
P
PQ
(P Q)
(P  Q)  (P Q)
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
• (P  Q)  (P  Q) è una tautologia
Per qualsiasi coppia di formule A e B:
A è equivalente a B se e solo se
A  B è una tautologia
Proprietà dei connettivi
• Ad esempio associatività e commutatività di and e
or: A  B  B  A
ABBA
• A  (B  C)  (A  B)  C
A (B  C)  (A  B)  C
• Distributività: A  (B  C)  (A  B )  (A  C)
A  (B  C)  (A  B )  (A  C)
• Involuzione: A    A,
• Assorbimento: A  (B  A)  A, A  (B  A)  A,
leggi di de Morgan: (AB)  (AB),
(AB)  (A B)
Proposizioni equivalenti-2
• Vale tanto la distributività dell’and rispetto all’or che dell’or
rispetto all’and: [P  (Q  R)]  [(P  Q)  (P  R)],
[P  (Q  R)]  [(P  Q)  (P  R)],
P
Q
R
Q R
P (Q R)
PQ
PR
(PQ)  (PR)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
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1
1
1
1
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1
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0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Con le tavole: P  Q è equivalente a (P  Q)  (Q  P)
P  Q è equivalente a  P  Q, e quindi P  Q è
equivalente a ( P  Q)  ( Q  P).
P
Q
R
Q R
P  (Q  R)
PQ
(P  Q)  R]
PQ
(P  Q)R
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
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0
0
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0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Leggi di de Morgan:
(PQ)  (PQ), (PQ)  (P Q)
P
Q
P
Q
P Q
(P Q)
P Q
PQ
(PQ)
P Q
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
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0
1
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0
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0
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0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
Proposizioni equivalenti-3
• L’equivalenza di due proposizioni si può verificare
con le tavole di verità oppure tramite una serie di
equivalenze già note.
• Esempio: [P  (Q  R)]  [(P  Q)  R]. Infatti
[P  (Q  R)]  [ P  (Q  R)]  [ P  ( Q R)]
 [( P   Q)  R]  [(P  Q)  R] 
[(P  Q)  R]: verifica con le tavole di verità!
• Ma è facile verificare con le tavole di verità che
[(P  Q)  R] non equivale a [P  (Q  R)]:
per il  non vale la proprietà commutativa.
Proposizioni e circuiti elettrici
All’inizio della computer science la tecnologia si
basava sui circuiti elettrici e sui relais che
controllavano interruttori, con i quali si realizzavano i
principali connettivi: and, or, not. Capovolgendo il
relais si realizzava il not, col circuito in serie l’and e
con quello in parallelo l’or.
P Q R
P
PQR
Q
R
PQR
P
P
Conviene usare meno connettivi?
• Allora potremmo eliminare  e , e usare solo  ,  e
, con le leggi di de Morgan potremmo eliminare 
oppure , e usare solo due connettivi.
• Infine potremmo ridurci ad un solo connettivo, il NAND
o il NOR. Possiamo allora definire P come NAND(P,P)
oppure NOR(P,P);
• PQ come NAND(NAND(P,P),NAND(Q,Q)), o PQ come
NOR(NOR(P,P), NOR(Q,Q)). Sarebbe utile?
•
•
•
•
•
P Q NAND(P,Q) NOR(P,Q) Avremmo lunghe
00
1
1
espressioni illeggibili,
01
1
0
e quindi è meglio avere
10
1
0
qualche connettivo in più
11
0
0

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