03_Szabalyozasi_Rendszerek

Report
Automatizálási
tanszék
Szabályozási Rendszerek
2014/2015, őszi szemeszter
Előadás
Lineáris rendszerek a frekvenciatartományban
Lineáris rendszer válasza szinuszos bemenőjelre
  =  sin( +  )
  =  sin( +  )
W(s)
  = áó  +  ()
áó  =  sin( +  )
Frekvenciafüggvény
Amplitúdó arány:


Fáziskülönbség:  − 
  = = = ()  () = () ()
Amplitúdófüggvény
  =  
=
 ()
 ()
Fázisfüggvény
  =   
=   −  
Frekvenciafüggvény grafikus ábrázolása
NYQUIST diagram
Frekvenciafüggvény a komplex számsíkon. A kiválasztott frekvenciatartomány minden egyes értékére
a komplex számsíkban az ()és () értékpárnak megfelelő pont. Jellemzi a rendszert (pl.
stabilitás).
Frekvenciafüggvény grafikus ábrázolása
BODE diagram
A frekvenciafüggvény abszolút értékét és fázisszögét külön-külön ábrázolja egy kijelölt
frekvenciatartományban
Frekvenciafüggvény grafikus ábrázolása
BODE diagram
Léptéke logaritmikus, ezáltal nagy frekvenciatartomány ábrázolható.
 = 20log10 
A frekvenciafüggvény tényezőinek összeszorzásakor az egyes tényezők BODE diagramjai
összeadódnak a logaritmikus lépték miatt.
Jellegéből és töréspontjaiból a rendszer tulajdonságaira vonatkozólag kaphatunk információt.
Ideális alaptagok
Arányos (Proporcionális (P)) tag
Differenciálegyenlete:
0   = 0   ,
Átviteli függvénye:
W s ==
Súlyfüggvénye:
w t =   ,
Átmeneti függvénye:
  = ugrásfüggvény,  amplitúdóval
0
0
Ideális alaptagok
Arányos (Proporcionális (P)) tag
Nyquist:
Egy pont a valós tengelyen
Amplitúdó-diagram:
Frekvenciatengellyel párhuzamos
Frekvencia-diagram:
Fázisszöge: minden frekvencián zérus
Pl.: - elektronikus erősítő a lineáris tartományban
Ideális alaptagok
Integráló (I) tag
Differenciálegyenlete:
Időállandós alakban:
d 
d
d 

d

= 0  
=   , vagy
1 

 0
d 
d
A differenciálegyenlet megoldása:
  =
Átviteli függvénye:
  =
Súlyfüggvénye:
w t = ugrásfüggvény,
Átmeneti függvénye:
  = sebességugrás,
1

=
 d + ,

,

=    , ahol  =
1

Ideális alaptagok
Integráló (I) tag
Nyquist:
pozitív ω -ra a negatív Im tengelyre eső egyenes,
Amplitúdó-diagram:
20lg  
Meredeksége:
−20dB/dekád, metszéspont: 1/ -nél,
Frekvencia-diagram:
Fázisszöge: minden frekvencián -90 .
= −20lg
∘
Pl.:
• folyadéktartály beáramló folyadék és a szintmagasság közti összefüggés, vagy
• egy kondenzátor kapocsfeszültsége és a töltőárama közti összefüggés, vagy
• motor szögelfordulás-változása a fordulatszám függvényében
Ideális alaptagok
Differenciáló (D) tag
d 
d
,
y t = D
d 
d
Differenciálegyenlete:
y t =
Átviteli függvénye:
  = ,
Súlyfüggvénye:
w t = 2 azonos, méretű, de ellentétes irányú (),
Átmeneti függvénye:
  = d területű   ,
,
  = D ,
Ideális alaptagok
Differenciáló (D) tag
Nyquist:
pozitív ω -ra a pozitív Im tengelyre eső egyenes,
Amplitúdó-diagram:
+20dB/dekád, metszéspont: 1/ -nél,
Frekvencia-diagram:
Fázisszöge: minden frekvencián +90
∘
A valóságban NEM realizálható!!!
Pl.:
- nyitott szekunderkörű transzformátor primer áramának és szekunder oldali indukált feszültségének
kapcsolata, ha a primer körben a primer áram nem változik ugrásszerűen
Ideális alaptagok
Holtidős tag
  =
0,
ha  < d ,
  − d , ha  ≥ d ,
Differenciálegyenlete:
0   = 0   − d , vagy   =   − d ,
Átviteli függvénye:
  =  −d ,
Súlyfüggvénye:
w t = d − vel eltolt  területű (),
Átmeneti függvénye:
  = d − vel eltolt  amplitúdójú ugrás,
Ideális alaptagok
Holtidős tag
Nyquist:
Egymást fedő körök, végpontja  növelésével - szöggel fordul el,
Amplitúdó-diagram:
Frekvenciatengellyel párhuzamos,
Frekvencia-diagram:
Fázisszöge: lineárisan változik a frekvenciával.
Pl.: - minden reális rendszerben jelen van. Energiaáramlási jelenségeknél (pl. szállítószalagon, vagy
csővezetéken történő anyagtovábbítás, hőáramlás) nem hanyagolható el
Tárolós tagok
Egytárolós (arányos) tag
Differenciálegyenlete:
A kimenőjel differenciálhányadosa:
Átviteli függvénye:
Súlyfüggvénye:
Átmeneti függvénye:
d()
+   =   ,
d
d()

1
=   − (),
d



  =
,
1+

  =  −/ ,  ≥ 0

−/

  = (1 − 
),  ≥ 0
Tárolós tagok
Egytárolós (arányos) tag
Nyquist:
pozitív ω -ra egy félkör, ω = 0-tól, ω → ∞-ig,
Tárolós tagok
Egytárolós (arányos) tag
A frekvenciafüggvény abszolút értéke:
20lg  
= 20lg − 20lg 1 +  2  2
Ha A = 1, és
-
 ≪ 1, 20lg  
≈0
-
 ≫ 1, 20lg  
≈ −20lg
-
 = 1, 20lg  
= −20lg 2 ≈ −3dB
Amplitúdó-diagram: 0dB 1/T-ig, utána -20dB/dekád,
Frekvencia-diagram: −arctg  .
Pl.: - soros RL kör
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Kirchhoff-egyenletből a differenciálegyenlet:
d 1
  =  +  +
d 
=
d

d2 
d 1
 2 +
+ =
d
d 
Időállandós alak:
2
d2 ()
d()
+ 2
+   =  
d 2
d
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
d2 ()
d()

+
2
+   =  
d 2
d
2

Átviteli tényező:
 = 0
Időállandó:
=
2
0
Csillapítási tényező:
=2
1
0 2
Átviteli függvénye:
  = 1+2+22
A szakasz pólusai (a nevező gyökei):
1,2 = −  ±   2 − 1
Három eset:
0


1
- Aperiodikus eset,  < 1 (a pólusok negatív valós értékek)
- Aperiodikus határeset,  = 1, (a pólusok egybeeső negatív valós értékek)
- Lengő eset,  > 1 (a pólusok konjugált komplex értékek)
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Aperiodikus eset,  < ,
Átviteli függvénye:
  =
1 = −
Átmeneti függvénye:
Súlyfüggvénye:
  = ℒ −1
/1 2
( + 1/1 )( + 1/2 )
1
,
1
é
2 = −
1
2
1
1
2
() =  1 −
 −/1 +
 −/2

1 − 2
1 − 2
  = ℒ −1 () = 
1
1
 −/1 +
 −/2
1 − 2
1 − 2
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Aperiodikus határeset,  = ,

/ 2
  =
=
(1 + )2 ( + 1/)2
Átviteli függvénye:
Átmeneti függvénye:
  =ℒ
−1
1
1 / 2



−1
() = ℒ
=

+
+

  + 1/ 2
  + 1/ ( + 1/)2
 = ,
 = −,
 = −/
  =  1 −  −/ −
Súlyfüggvénye:
  =
 −/

,
2
1 −/


t≥0
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Lengő eset,  < ,
Átviteli függvénye:

/ 2
  =
=
1 + 2 +  2  2
 − 1  − 2

1


1,2 = − ± 
1 −  2 = −0 ±  ,
0 = 1/ és  = 1 −  2 /
Sajátfrekvencia, és lengési körfrekvencia
ahol
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Lengő eset,  < ,
0
Súlyfüggvénye:
  =
Átmeneti függvénye:
v  = 1−
1−
2
 −0 sin  ,
 −0 
1− 2
≥0
1 −  2 cos   +  sin  
, t≥0
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Túllendülése, ha  < 1:
max − áll
=
100% = 
áll
Első maximum helye:
 =
Beállási idő:
 =
−
1− 2 100%


=
 0 1 −  2
ln
100
Δ
0

Frekvenciafüggvénye:
() =
Fázisszöge:
φ  = −arctg 1−2 2
1−2  2 2 +4ξ2  2 2
2ξ
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
A frekvenciafüggvény abszolút értéke:
Ha A = 1, és
-  ≪ 1, 20lg  
≈0
-
 ≫ 1, 20lg  
≈ −40lg
-
 = 1, 20lg  
= −20lg2ξ
20lg  
Sajátfrekvencián:
A frekvenciafüggvény abszolút értéke: 20lg  
Fázisgörbe meredeksége:
−132∘ //dekád
Fázisszöge:
−90∘
1
2
= ξ
= 20lg − 20lg 1 −  2  2 + 4ξ2  2  2
Összetett tagok
A stabilitás
A stabilitás fogalma
Stabilitás: a rendszernek az a tulajdonsága, hogy egyensúlyi állapotból kimozdítva újra
egyensúlyba képes kerülni.
Nemlineáris rendszer:
-
a stabilitás függ a bemenőjeltől és a munkaponttól is
-
a stabilitás a rendszer egy állapotának jellemzője
Lineáris rendszer:
-
a stabilitás függ a rendszer struktúrájától és a paramétereitől
-
független a bemenőjeltől
-
a stabilitás a rendszer jellemzője.
A stabilitás meghatározásai:
-
a magára hagyott rendszer stabilitása
-
Aszimptotikus stabilitás
-
a gerjesztett rendszer stabilitása
-
belső stabilitás
A stabilitás
A stabilitás fogalma
A stabilitás meghatározásai:
-
A magára hagyott rendszer stabilitása: nyugalmi állapotából kimozdítva, majd magára hagyva
azt, visszatér eredeti állapotába. Ha eltér -> labilis, ha határeset -> nem tér vissza, viszont nem
is távolodik el.
- Nemlineáris esetben: akkor is labilis, ha kimozdítás után egy tetszőlegesen előírt
környezetbe tér vissza.
- Aszimptotikus stabilitás: kimozdulás után visszatér eredeti kiindulási helyzetébe.
-
A gerjesztett rendszer stabilitása: korlátos bemenőjelre korlátos kimenőjellel válaszol,
bármilyen kezdeti feltétel mellett. Ha egy lineáris, magára hagyott rendszer labilis, akkor a
gerjesztett rendszer is labilis.
-
Belső stabilitás: bármilyen külső gerjesztő jelre, mind a kimenőjel, és mindegyik belső jel
stabilisan válaszol
Stabilitásvizsgálat
Aszimptotikus stabilitás feltétele: a zárt rendszer pólusai negatív valós részűek legyenek, vagyis
valamennyi pólusa a komplex számsík bal oldalára esik
Ha van pólus a - a komplex számsík jobb oldalán:
- képzetes tengelyen, az origóban:
- a rendszer labilis
- integráló hatás
- nem cseng le a tranziens
- képzetes tengelyen, egyszeres konjugált komplex pólus:
- csillapítatlan lengések a tranziensben
- többszörös konjugált komplex pólus: - növekvő amplitúdójú lengések
Stabilitás eldöntése analitikus stabilitási kritériumok alapján:
- Routh séma
- Hurwitz determináns
- gyökhelygörbe-módszer
Labilis folyamat esetén:
- Nyquist-féle stabilitási kritérium
- Bode-féle stabilitási kritérium
Stabilitásvizsgálat
Routh séma
   + −1  −1 + ⋯ + 1  + 0 =   − 1  − 2 …  −  = 0

−1
−2
−3
⋮
−2
−3
−4
−5
−4
−5
−6
−7
−6
−7
−8
−9
…
…
…
…
…
−2 =
−1 −2 −  −3
,
−1
−4 =
−1 −4 −  −5
,
−1
−3 =
−2 −3 − −1 −4
,
−2
−5 =
−2 −5 − −1 −6
,…
−2
−6 =
−1 −6 −  −7
,…
−1
A rendszer stabilis:
- a karakterisztikus polinom együtthatói pozitívak
- első oszlop valamennyi eleme is pozitív
A rendszer labilis:
- az első oszlop elemei közül nem mind pozitív
- előjelváltások: zárt rendszer jobboldali pólusainak száma
- 0 jelenik meg: a karakterisztikus egyenlet imaginárius tengelyre
eső első gyökére utal → ε
Stabilitásvizsgálat
Routh séma, PÉLDA

−1
−2
−3
⋮
−2 =
−3 =
−4
−2
−3
−4
−5
−4
−5
−6
−7
−6
−7
−8
−9
…
…
…
…
…
•
•
−1 −2 −  −3
,
−1
−2 −3 − −1 −4
,
−2
5 3 + 6 2 +  +  = 0
•
−1 −4 −  −5
=
,
−1
−5 =
Felnyitott kör átviteli függvénye

  =
 1 +  1 + 5
Negatívan visszacsatolt kör karakterisztikus egyenlete

1+  =1+
=0
 1 +  1 + 5
−2 −5 − −1 −6
,
−2
ROUTH-séma:
5
6
6 − 5
6
1

0

•
A stabilitás feltétele:
0 <  < 1,2
Stabilitásvizsgálat
Hurwitz determináns
   + −1  −1 + ⋯ + 1  + 0 =   − 1  − 2 …  −  = 0
−1

0
0
0
⋮
Aldeterminánsok:
−5
−4
−3
−2
−1
−7
−6
−5
−4
−3
…
…
…
…
…
△1 = −1
−1

−3
−2
−1
△3 = 
0
−3
−2
−1
△2 =
A rendszer stabilis:
−3
−2
−1

0
−5
−4
−3
- a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója pozitív
- a főátlóra támaszkodó valamennyi aldetermináns is pozitív
- a negatív indexű elemeket 0-val vesszük figyelembe
Stabilitásvizsgálat
Hurwitz determináns, PÉLDA
−1

0
0
0
⋮
−3
−2
−1

0
−5
−4
−3
−2
−1
−7
−6
−5
−4
−3
…
…
…
…
…
•
•
Felnyitott kör átviteli függvénye

  =
 1 +  1 + 5
Negatívan visszacsatolt kör karakterisztikus
egyenlete

1+  =1+
=0
 1 +  1 + 5
5 3 + 6 2 +  +  = 0
△1 = −1
−1
△2 = 

−3
−2
−1
△3 = 
0
−3
−2
−1
−5
−4
−3
•
HURWITZ determináns:
6 
5 1
0 6
•
Aldeterminánsok
0
0

∆1 = 6 > 0
∆2 = 6 − 5 > 0
∆3 = ∆2 > 0
•
A stabilitás feltétele:
0 <  < 1,2
Stabilitásvizsgálat
Gyökhelygörbe módszer
A karakterisztikus egyenlet gyökeit adja meg a komplex számsíkon, miközben a rendszer valamelyik paramétere
(leggyakrabban a körerősítés) nulla és végtelen között változik.
- ha a gyökök a bal oldali félsíkra esnek, a rendszer stabilis
- kritikus körerősítésnél a gyökhelygörbe metszi az Im tengelyt
- ha, a gyökök a jobb oldali félsíkra esnek, a rendszer labilis
A gyökhelygörbe előállítása:
- karakterisztikus egyenlet megoldásával
- grafikus úton próbálgatással
- szerkesztési módszerek
- számítógépes programok
- tulajdonságok alapján közelítve
Stabilitási kritériumok
Nyquist stabilitási kritérium
Ha a felnyitott szabályozási kör stabilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása megítélhető.
Egyszerűsített Nyquist kritérium:
- Ha a Nyquist diagram nem veszi körül a − +  pontot, a zárt szabályozási kör
stabilis.
- Ha a Nyquist diagram átmegy a − +  ponton, a rendszer a stabilitás
határán van.
- Ha a Nyquist diagram körülveszi a − +  pontot, a rendszer labilis.
Stabilitási kritériumok
Nyquist stabilitási kritérium
Ha a felnyitott szabályozási kör labilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása eldönthető
Általánosított Nyquist kritérium:
Ha a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak száma P, akkor a zárt szabályozási
rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha a felnyitott rendszer teljes Nyquist
diagramja, annyiszor veszi körül a komplex számsíkon a − +  pontot az
óramutató járásával ellentétes, pozitív irányban, amennyi a felnyitott rendszer
jobb oldali pólusainak a száma.
Stabilitási kritériumok
A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai
A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a − +  ponttól
Fázistartalék/fázistöbblet: nyquist diagram és az egységsugarú kör metszéspontjába húzott egyenes szöge.
 =   + 180°
- ha  > 0, stabilis rendszer
- ha  = 0, határhelyzet
- ha  < 0, labilis rendszer
Csak egyszer metszheti a Nyquist diagram a negatív valós tengelyt!
Stabilitási kritériumok
A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai
A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a − +  ponttól
Erősítési tartalék: az Im tengely és a nyquist diagram negatív tengellyel való metszéspontja és a − + 
pont közti távolság
 = 1 +  180
Módosított erősítési tartalék:  ′ = 1 − 
- ha  ′ < 1, stabilis rendszer
- ha  ′ = 1, határhelyzet
- ha  ′ > 1, labilis rendszer
Csak egyszer metszheti a Nyquist diagram a negatív valós tengelyt!
Stabilitási kritériumok
A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai
A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a − +  ponttól
Modulus tartalék: a diagramot még érintő legkisebb kör sugara a − +  ponttól mérve
1
 =
= min  −1  = min 1 +  
max ()



Azt mutatja, hogy milyen messze van a rendszer legkevésbé stabilis pontja a stabilitás határától.
Általában  > 0,5
Késleltetési tartalék:  =


A holtidő azon legkisebb értéke, amelyet a felnyitott körbe sorosan iktatva a zárt rendszer a stabilitás
határára kerül.
Stabilitási kritériumok
BODE stabilitási kritérium
Ha a felnyitott szabályozási kör stabilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása megítélhető.
-20dB/dekád esetén a rendszer stabilis
-60dB/dekád esetén a rendszer labilis
-40dB/dekád esetén vagy labilis, vagy stabilis,
de a fázistartalék, biztos, hogy kicsi!

similar documents