ALJABAR VEKTOR & MATRIKS Kuliah 1 Smstr 2

Report
ALJABAR VEKTOR & MATRIKS
(Vector Analysis & Matrices
Pendahuluan
 Pada Fisika : a. Besaran Vektor
.
b. Besaran Skalar
 Besaran : sesuatu yg dapat diukur dan besarnya dinyatakan
dengan angka
* Definisi besaran Vektor : suatu besaran yg besarnya dapat
diukur (mempunyai nilai) dan mempunyai arah
Contoh : kecepatan, gaya, dsb
* Definisi besaran Skalar : suatu besaran yg besarnya dapat
diukur tapi tidak mempunyai arah
Contoh : massa, panjang, dsb.
.
.
.
.
.
BAB 1. VEKTOR dan SKALAR
Operasi2 penjumlahan, pengurangan dan perkalian yg lazim
.
.
dalam aljabar bilangan, dengan definisi yg sama, dapat diperluas kedalam aljabar Vektor
 Definisi dasar Aljabar Vektor
1. Dua buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan
arah yg sama, tanpa memperhatikan titik awalnya, A = B
2. Sebuah vektor yg arahnya berlawanan dengan vektor A
tapi memiliki besar yg sama dinyatakan oleh – A
3. Jumlah (resultan) dari dua vektor, A dan B adalah vektor C,
yg dibentuk dengan menempatkan titik awal B pada titik
terminal A, lalu menghubungkan titik awal A ke terminal B,
C=A+B
4. Selisih vektor A dan B, yg dinyatakan oleh A – B adalah C
.
.
.
.
.
yg bila ditambahkan B menghasilkan vektor A.
C=A–B
= A + (-B)
Bila A = B, maka A – B = 0 sebagai vektor nol.
5. Hasil kali vektor A dengan skalar m adalah vektor mA yg
besarnya |m| kali besarnya A dan memiliki arah yg sama atau
berlawanan A,bergantung pada apakah m positif /negatif.
Bila m = 0 maka mA adalah vektor nol.
.
.
.
.
.
.
Hukum-hukum Aljabar Vektor
Bila A, B dan C adalah vektor2, m dan n adalah skalar2, maka :
1. A + B = B + A
⇨ hukum Komutatif penjumlahan
2. A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukum Asosiatif penjumlahan
3. mA = Am
⇨ hukum Komutatif perkalian
4. m(nA) = (mn)A ⇨ hukum Asosiatif perkalian
5. (m + n)A = mA + nA ⇨ hukum Distributif
6. m(A + B) = mA + mB ⇨ hukum Distributif
VEKTOR SATUAN
 Vektor Satuan adalah sebuah vektor yg besarnya 1(satu)
Bila A adalah vektor yg besarnya A ≠ 0 maka A adalah
sebuah vektor satuan yg arahnya sama dengan A.
- Setiap vektor A dapat dinyatakan oleh sebuah vektor satuan
a dalam arah A, dikalikan dengan besarnya A. Jadi A = Aa
- Vektor satuan merupakan vektor yg panjangnya satu satuan
.

 Setiap vektor A = |  | yang bukan nol, mempunyai vektor
.

satuan : Ā = ||
=
1
2 +2
|  |
- Besar (panjang) vektor

Misalnya A = |  | adalah vektor di R2, maka besar vektor A :
.
.
| A | = 2 + 2
Contoh soal
1. Sebutkan beberapa besaran vektor dan besaran skalar, masing-masing delapan macam ?
2. Hitunglah besar (panjang) vektor dan vektor satuan dari
vektor A = 〔 34 〕 ?
3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah komutatif, yaitu
A + B = B + A ? Secara grafis !
2
4. Diketahui vektor2 : K = 〔 23 〕, L = 〔 4 〕 dan M = 〔−1
〕 bila
3K – 2L = - M maka hitung nilai x ?
5. Tentukan resultan vektor2 berikut :
Vektor A, 15 m arah barat laut, B. 25 m. 30o disebelah
utara dari timur dan C, 40 m ke selatan ?
.
.
.
.
.
.
* Jawaban contoh soal
1a. Vektor : percepatan, momentum, berat, energi, medan listrik, medan magnet, medan gravitasi, kohesi, adhesi, arus listrik, pegas dll.
1b. Skalar : waktu, suhu, kalor, kalor jenis, volume, luas, jarak, massa
jenis, intensitas cahaya, perbesaran lensa, dll.
.
.
2. Besar(panjang) vektor A : A = 〔 3 〕
4
.
.
A = |A| = 32 + 42 = 25 = 5
A
Vektor satuan, A = |A|
= 15 〔 3 〕 = 〔 0,6
〕
0,8
4
3. Hukum Komutatif penjumlahan : A + B = B + A
bukti :
Q
OP + PQ = OQ ⇔ A + B = C
P
B
OR + RQ = OR⇔ A + B = C
A
C
A
Jadi :
C
A+ B = B +A
.
.
.
.
.
O
B
R
Jawaban contoh soal
4. 3K – 2L = - M
2
3 〔 23 〕 - 2 〔 4 〕 = - 〔 −1
〕
−2
〔 69 〕 + 〔 −2
〕
=
〔
〕
−8
1
6 – 2x = -2
x = 6+2
2
x=4
.
.
.
.
.
5. A = 15 m arah barat laut
B = 25 m arah utara dari timur 30o
C = 40 m ke selatan
.
.
* Jawaban contoh soal
U
Secara grafis :
30o
.
- pada ttk terminal A tempatkan
A
.
45o
.
.
D =A+ B + C
B
.
B
T
.
D
.
.
.
.
ttk pangkal B
C
S
- pada ttk B tempatkan ttk pang
kal C
- resultan D dibentik dengan
menghubungkan ttk pangkalA
dengan ttk terminal C, jadi
D = A+B+C
Secara grafis, resultan mempunyai besar 4,5 satuan, jadi resultan D = 22,5 m dengan
arah 60o disebelah selatan dari timur.
Latihan soal/PR
1.
a. Nyatakan vektor A secara aljabar ?
3
A(4,3)
b. Hitunglah besar vektor A ?
c. Tentukan besar vektor satuan A ?
4
6
2. Hitunglah besar vektor dan vektor satuan dari vektor B = 〔 −8
〕?
3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif yaitu
A + B + C = (A + B) + C ?
.
4. Sebuah mobil sedan bergerak ke arah utara sejauh 4km, lalu 8km
ke arah timur laut. Tentukan vektor perpindahan resultannya secara grafis dan analitis, gambarkan perpindahan mobil secara
grafis ?
.
.
.
BAB 2. VEKTOR2 SATUAN TEGAK-LURUS
i, j dan k
- Himpunan vektor2 satuan penting adalah yg arahnya menurut
sumbu2 x, y dan z positif sistem koordinat tegak-lurus ruang
3-dimensi, dinyatakan oleh i, j dan k.
.
.
z
C
k
A
0
i
x
j
y
B
A
1. Vektor2 Satuan Tegak-lurus. i, j, k
- Umumnya menggunakan sistem koordinat tegak-lurus aturan
tangan kanan, kecuali ada pernyataan lain.
- Sistem ini dianalogikan dengan sebuah sekrup berulir kanan
yg diputar 90o dari Ox ke Oy akan maju dalam arah sb z pos.
- Bila tiga buah vektor A, B dan C yg titik pangkalnya berhimpit dan tak koplanar(tidak terletak pada atau sejajar bidang yg
sama)dikatakan membentuk sebuah sistem tangan kanan atau
sistem dekstral. Analogi dengan sebuah sekrup (baut) berulir
kanan yg diputar dengan sudut kurang dari 180o dari A ke B
maka akan menuju arah C.
.
.
.
.
.
.
.
2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR
- Setiap vektor A dalam ruang 3-dimensi bisa digambarkan dgn
titik pangkal pada titik asal O dari sistem koordinat
- A1, A2, A3 : komponen2 dari vektor A dalam arah x, y dan z
- A1i, A2j dan A3k : vektor2 komponen dari A dlm arah x, y, z
- Resultan dari A1i, A2j dan A3k adalah :
.
A = A1i + A2j + A3k
- Besar vektor A = | A | = 12 + 22 + 32
- Khususnya, vektor posisi atau vektor jejari(radius vector) r dari
O ke titik (x, y, z) :
r = xi + yj + zk
.
- Besar vektor r :
.
r = | r | =  2 +  2 + 2
3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR
 Bila pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang,
dikaitkan sebuah skalar(bilangan) φ(x,y,z) maka φ disebut
fungsi titik skalar (scalar point function),⇨ medan skalar
Contoh : 1. Temperatur dalam laboratorium komputer
2. φ(x,y,z) = x3y2 + y2z– xz2
.
 Jika pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang,
dikaitkan dengan sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut
fungsi titik vektor (vector point function) dan dikatakan
sebuah medan vektor telah didefinisikan dalam R. Contoh :
1. Kecepatan fluida yg bergerak dalam pipa
2. V(x,y,z) = xy2 i + 3yz2 j – 2x2z2 k
- Medan vektor stationer atau keadaan steady state adalah
sebuah medan vektor yg tidak bergantung waktu.
.
4. Contoh soal
vektor2

〔 〕, s = 〔 32〕
1. Diketahui
berikut, r =
3r - 2s = -t, hitunglah nilai x dan y ?
3
, t = 〔 −2
〕 Bila
.

1
2. Diberikan beberapa vektor, P = 〔−3
〕,
Q
=
〔
〕,
R
=
〔
〕
dan
1
5
−7
.
S = 〔 2 〕.Tentukan nilai x dan y,bila PQ = RS dan bila PQ = SR
3. Koordinat titik A( 2,-5) dan vektor AB = 3i – 4j , hitunglah
koordinat titik B ?
.
4. Diberikan beberapa vektor, K = i - 2j + 2k, L = 2i - 4j - 4k
dan M = 3i - 2j + 6k. Tentukan besar : a. | K |, |L |, | M |
b. | K - L + M |
c. 3K – L + 2M
.
.
5. Diketahui medan skalar yg didefinisikan φ(x,y,z)= 3x2y – xy3
+ 5z2 Tentukan φ pada titik-titik :
.
Contoh soal – lanjutan
a. (0,0,0)
b. (1, 2, -2)
c. (1, 1, -2)
d. (-1, -2, -3) ?
Jawaban contoh soal
1. 3r – 2s = - t
3
〔 3
〕 - 〔 6 〕 = 〔 −3 〕
4
.
.
.
.
3x – 6 = -3
3x = -3 + 6
x=1
2
3y - 4 = 2
3y = 4 + 2
y=2
2. PQ = RS
PQ = SR
PQ = q – p = 〔 1 − (−3) 〕 = 〔 4 〕
.
RS = s – r =
−7 − 5

〔 2 −
〕
−1

4
〔 −12
〕 = 〔 2 −
〕
−1
.
.
4=2-x
x=-2
-12 = y - 1
y = -11
−12
SR = 〔 4 〕
−12
−2
4
〔 −12
〕 = 〔 1 −
〕

4=x-2
x=6
- 12 = y - 1
y = -13
Jawaban contoh soal – lanjutan
 − 2)
3. AB = b – a = 〔 −+2)
〕 = ⇨ 3i -4j = 〔
〕=
5
+5
 − 2)
3
〔4〕 =〔 +5 〕
.
.
3 = x-2
-4=y+5
x=5
y=-9
Jadi koordinat titik B adalah B(5, -9)
4a. | K | = | i – 2j + 2k | =
.
.
12 + −2
2
+ 22 = 9 = 3
| L | = | 2i – 4j - 4k | = 22 + −4 2 + (−4)2 = 36 = 6
| M | = | 3i – 2j + 6k | = 32 + −2 2 + (6)2 = 49 = 7
4b. K – L + M = (i - 2j + 2k) – (2i - 4j - 4k) + (3i – 2j +6k) = 2i + 12k
.
| K – L + M | = 22 + 122 = 148 = 2 37
4c. 3K – L + 2M = (3i – 6j + 6k) – (2i – 4j – 4k) + (6i – 4j + 12k) =
.
7i – 6j + 22k
Jawaban contoh soal – lanjutan
5. φ(x,y,z) = 3x2y – xy3 + 5z2
φ(0,0,0) = 0
φ(1, 2, -2) = 3(1)2(2) – (1)(2)3 + 5(-2)2 = 6 - 8 + 20 = 18
φ(1, 1, -2) = 3(1)2(1) – (1)(1)3 + 5(-2)2 = 3 – 1 + 20 = 22
.
φ(-1, -2, -3) = 3(-1)2(-2) - (-1)(-2)3 + 5(-3)2 = - 6 – 8 + 45 =
= 31
5. Soal Latihan/PR
1. Diketahui beberapa koordinat vektor2 :
A pada (4,3), B pada( 2,-8), C(x,3) dan D(3,y). Tentukan
nilai x dan y bila : a. AB = CD b. AB = DC ?
.
.
2. Koordinat vektor K(3,-5, 4) dan vektor KL = 2i – 3j + 5k
Hitunglah koordinat L ?
.
3. Diberikan beberapa vektor : R = 2i – 2j + k, S = 4i – 4j + 2k
dan T = 6i -2j + 3k. Tentukan : a. | R | + | S | + | T |
b. | R + S + T |
c. | 3R - 2S - T |
.
.
4. Tentukan sebuah vektor satuan yg sejajar resultan dari vektor-vektor A = 5i + 4j + 2k dan B = 3i + 2j + k ?
5. Sebuah beban 50 kg digantungkan pada pertengahan sebuah
tali seperti pada gambar di bawah.Tentukan tegangan T pada
tali ?
.
.
.
Soal Latihan/PR – lanjutan
.
T1
T2
.
600 600
.
T
50 kg
BAB 3. HASIL-KALI TITIK
DAN
HASIL-KALI SILANG
Pendahuluan
- Pada vektor terdapat dua perkalian, perkalian skalar dan perkalian vektor
- Perkalian skalar dua vektor dinamakan hasil-kali titik(skalar)
- Perkalian vektor dua vektor disebut hasil-kali silang (vektor)
- Hukum-hukum yg berlaku pada kedua perkalian itu ; hasilkali titik dan hasil-kali silang
1. Hasil-kali Titik (Skalar)
Perkalian Skalar dua buah vektor disebut juga hasil-kali titik atau
dot product.
1. Hasil-kali titik (skalar) dua buah vektor, A dan B, yg dinyatakan
oleh A · B didefinisikan sebagai hasil-kali antara besarnya
vektor2 A dan B serta cosinus θ antara keduanya :
A · B = | A | | B | cos θ dimana 0 ⩽ θ ⩽ 
2.
Bila diketahui A = 〔
1
1
1
〕 B = 〔 〕 maka, A · B =
2
2
2
(x1 x2) + (y1 y2) + (z1 z2), dimana
| A | = 12 + 12 + 12 dan | B |= 22 + 22 + 22
3.
Bila A · B = 0 maka A ┴ B
Jadi hasil-kali skalar dua vektor adalah suatu bilangan(skalar)
Hasil-kali Titik (Skalar) – lanjutan
4. Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor atau hukum-hukum
pada hasil-kali titik :
1. A · B = B · A
Hukum Komutatif
2. A · (B + C) = A · B + A · C
Hukum Distributif
3. m (A · B) = (mA) · B = A · (mB) = (A ·B)m
4. i · i = j · j = k · k = 1
i·j=j·k=k·i=0
5. A · A = | A |2
6. Bila : A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka
A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3
A · A = | A |2 = A12 + A22 + A32
B · B = | B |2 = B12 + B22 + B32
.
.
.
.
.
Bila diketahui A, B dan < A · B = α, maka
11+22+33
·
cos α =   =  2+ 2+ 2 .  2+ 2+ 2
1
2
3
1
2
3
8. Proyeksi orthogonal suatu vektor pada vektor lain
Bila C adalah proyeksi A pada B, maka
.
a. Proyeksi skalar orthogonal (panjang proyeksi) vektor
.
.
A pada B adalah : C = ||.  hasilnya skalar(bilangan)
b. Proyeksi vektor orthogonal A pada B adalah :

C = .
hasilnya vektor.
|B|
2. Hasil-kali Silang (Vektor) – cross product
.
.
.
.
.
.
.
.
1). Hasil-kali silang (vektor) dari dua vektor A dan B adalah
sebuah vektor C = A x B. Besar A x B didefinisikan sebagai
hasil-kali antara besarnya A dan B serta sinus sudur θ antara keduanya. Arah vektor C = A x B tegak lurus pada bidang
yg memuat A dan B sedemikian rupa sehingga A, B dan C
membentuk sistem tangan kanan.
A x B = | A | | B | sin θ u , dimana 0 ⩽ θ ⩽  dan
- u adalah vektor satuan yg menunjukkan arah dari A x B
- bila A = B atau A sejajar B maka sin θ = 0 dan didefinisikan A x B = 0
2). Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali silang
a. A x B = - B x A
hukum Komutatif
b. A x (B + C) = A x B + A x C hukum Distributif
c. m(A x B) = (mA) x B = A x ( mB) = (A x B)m
d. i x i = j x j = k x k = 0
ixj=k
jxk=i
kxi=j
e. Bila A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka
.
.
.
.
.
.
.
.
AxB=
〔
〕
i j k
A1 A2 A3
B1 B2 B3
f. Besar A x B = luas jajaran genjang dengan sisi A, B
g. Bila A x B = 0, A dan B bukan vektor2nol maka
A dan B sejajar.
Contoh Soal Hasil-kali Titik
1. a. i · i =
b. i · j =
c. i . k =
.
.
d. j · k =
e. j · (2i – 2j – 2k) =
f. (2i – j) · (2i – k) =
2. Bila diketahui vektor P = 2i – 2j – k dan Q = i - 4j + 8k,
maka tentukan : a. | P |
c. P · Q
b. | Q |
d. sudut θ
.
.
.
3. Bila | A |= 12 , | B |= 8 dan sudut antara vektor A dan B
adalah 60o. Tentukan | A – B | ?
.
4. Bila sudut antara vektor K = i + 2 j + a k dan L = i - 2 j
. + a k, adalah 60O Tentukan besar a ?
Jawaban contoh Soal Hasil-kali Titik
1a. i · i = | i | | i | cos 0o = (1) (1) (1) = 1
b. i · j = | i | | j | cos 90o = (1)(1)(0) = 0
c. i · j = | i | | k | cos 90o = (1)(1)(0) = 0
d. j · (2i – 2j – 2k) = 2j · i – 2j · j – 2j · k = 0 – 2 - 0 = 2
e. (2i – j) · (2i + k ) = 2i · (2i + k) – j · (2i + k) = 4i · i + 2i · k
– 2j · i – j · k = 4 + 0 – 0 – 0 = 4
.
.
.
.
.
2a. | P | = 22 + −2 2 + 12 = 3
b. | Q | = 12 + −4 2 + 82 = 8
c. P · Q = (2)(1) + (-2)(-4) + (1)(8) = 2 + 8 + 8 = 18
18
2
0
d. cos θ = |PP.Q
=
=
⇨
θ
=
arc
cos
0,667
=
48,5
||Q|
3.9
3
3. | A – B |2 = | A |2 + | B |2 – 2 | A | | B | cos 600 =
122 + 82 – 2 (12)(8)(0,5) = 112 ⇨ | A – B | = 112 =4 7
Jawaban contoh soal Hasil-kali Titik – lanjutan
4. K . L = | K | | L | cos θ ⇨ cos θ =
cos
1
2
600
=
=
− 1+2
2
2
1 +2+
=
− 1+2
12+2+2
-2 + 2a2 = 12 + 2 + a2
a2 = 5
a = 5 = 2,2360
. 
|K | |L |
=
1−2+2
2
2
2
1 +2+ 1 +2+2
SOAL LATIHAN/PR Hasil-kali Titik
1a. i · (3i – 2j – k) =
b. (2i – j) · (i + 2j)
c. k · k =
d. i . [ (i – 3j – k) . (3i – 2j + 3k)] =
.
.
.
2. Bila P = P1i + P2j + P3k dan Q = Q1i + Q2j + Q3k maka bukti
kan P . Q = P1 Q1 + P2 Q2 + P3 Q3 ?
.
3. Tentukan sudut antara vektor2 K = 2i + 2j – k dan
L = 6i – 3j - 2k ?
.
4. Tentukan proyeksi vektor A = i – 2j + k dan B = -4i – 4j +7k
Contoh soal Hasil-kali Silang
1.
Tentukan hasilnya : a. i x j =
b. j x k =
e. j x j =
c. k x i =
f. k x j =
d. 2i x 3k =
g. (2i) x (-3k)
.
.
.
h. i x k =
i. i x i =
j. 2j x i – 3k =
2.
Bila P = 2i – 3j – k dan Q = i + 4j - 2k, maka tentukan
a. P x Q =
b. Q x P =
c. (P + Q) x (P – Q) =
3.
Jika K = 3i – 2j + 2k, L = 2i + j – k dan M = i – 2j + 2k
carilah : a. (K x L) x M
b. K x (L x M) ?
.
Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang
1.a. i x j = k
f. k x j = - j x k = - i
b. j x k = I
g. (2i) x (-3k) = 3k x 2i = 6j
c. k x i = j
h. i x k = - k x i = - j
d. 2i x 3k = - 3k x 2i = - 6j j. (2j x i) – 3k =(-i x 2j)-3k= - 5k
.
.
.
2a. P x Q= i
.
.
.
.
.
.
.
j k
2 -3 -1
1 4 -2
= i -3 -1 - j 2 -1 + k 2 - 3 = 10 i + 3j + 11k
4 -2
1 -2
1 4
metode lain : (2i -3j -k)x(i + 4j -2k)= 2i x(i + 4j -2k) – 3j x(i+4j-2k)
– k x(i + 4j -2k)= 2i x i + 8i x j – 4i x k + 3j x i – 12j x j + 6j x k –
k x i – 4k x j + 2k x k = 0 + 8k + 4j + 3k – 0 + 6i - j + 4i + 0
= 10i + 3j + 11k
ataupun metode lainnya : (-3)(-2) – (-1)(4)
(-1) (1) - (2) (-2) =
(2) (4) - (-3) (1)
10
3
11
Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang – lanjutan
2b. (Q x P) =
1 4 -2
2 -3 -1
.
.
= (i + 4j – 2k) x ( 2i – 3j –k)
= i 4 -2 - j 1 -2 + k 1 4 = -3 -1
2 -1
2 -3
.
.
i j k
10 i – 3j – 11k
2c. P + Q = (2i – 3j – k) + (i + 4j – 2k) = 3i + j – 3k
P – Q = (2i – 3j – k) - (i + 4j – 2k) = i – 7j + k, maka
(P + Q) x (P – Q) = (3i + j – 3k) x (i – 7j + k) =
3 1 -3
.
1 -7 1
.
.
.
.
i j k
.
i 1 -3 - j 3 -3 + k 3 1
-7 1
1 1
1 -7
atau dengan metode lain :
= - 20i – 6j – 22k
=
Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang – lanjutan
(P + Q) x (P – Q) = P x (P – Q) + Q x (P – Q)
=Px P– Px Q +Q xP– Q xQ =-PxQ – Px Q
= - 2 (P x Q) = - 2 (10i + 3j + 11k) = -20i – 6j – 22k
.
.
3a. (K x L) x M =
KxL= i j k
.
.
.
3 -1 2 = - i + 7j + 5k maka
2 1 -1
(K x L) x M = (-i + 7j + 5k) x (i – 2j + 2k) = i j k
-1 7 5 = 24i + 7j – 5k
1 -2 2
.
.
3b. K x (L x M) =
LxM= i j
.
.
k
2 1 -1 = 0i – 5j – 3k
1 2 -2
maka
Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang – lanjutan
K x (L x M) = (3i – j + 2k) x (-5j – 5k) =
i j k
3 -1 2 = 15i + 15j – 15k
0 -5 -5
Jadi (K x L) x M ≠ K x (L x M), yg memperlihatkan perlunya tanda
kurung dalam K x L x M untuk menghindari tafsir ganda.
.
.
3. Hasil-kali Tripel – triple product
Hasil-kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B dan C dapat
menghasilkan hasil-kali yg mempunyai arti dalam bentuk2 sbb :
(A · B)C , A · (B x C) dan A x (B x C).
Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali tripel :
1. (A · B)C ≠ A(B · C)
2. A · (B x C) = B · (C x A) = C · (A x B) = volume sebuah
jajaran genjang ruang yg memiliki sisi-sisi A, B dan C atau
negatif dari volume ini, sesuai dengan apakah A, B dan C
membentuk sebuah sistem tangan kanan atau tidak. Bila
A = A1i + A2j + A3k, B = B1i + B2j + B3k dan C = C1i +
C2j + C3k , maka :
.
.
.
.
.
A · (B x C) = A1 A2 A3
.
.
B1 B2 B3
C1 C2 C3
Hasil-kali Tripel – triple product
3. A x (B x C) ≠ (A x B) x C
Hukum Asosiatif
4. A x (B x C) = (A · C)B – (A · B)C
A x (B x C) = (A · C)B – (B · C) A
5. Hasil-kali A · (B x C) seringkali disebut hasil-kali tripel
skalar atau hasil-kali kotak dan dapat dinyatakan dengan
〔ABC 〕. Hasil-kali A x (B x C) disebut hasil-kali tripel vektor
6. Dalam A · (B x C) seringkali tanda kurungnya dihilangkan,
ditulis sebagai A · B x C. Sedangkan tanda kurung harus
dipakai dalam A x (B x C).
.
.
.
.
.
Contoh soal Hasil-kali Tripel
1.
Bila P = P1i + P2j + P3k, Q = Q1i + Q2j + Q3k, R= R1i + R2j +
R3k. Buktikan bahwa P · (Q x R) = P1 P2 P3
Q1 Q2 Q3
R1 R2 R3
.
.
2.
3.
Bila A = 2i – 3j , B = i + j – k ,C = 3i – k, hitunglah A · (B x C)
Tentukan persamaan untuk bidang yg ditentukan oleh titik2
K(2,-1, 1), L(3, 2, -1) dan M(-1, 3, 2) ?
Jawaban contoh soal Hasil-kali Tripel
1.
P · (Q x R) = P ·
.
.
.
.
2.
= (P1i + P2j + P3k) · [(Q2R3- Q3R2) i + (Q1R3 – Q3R1) j +
(Q1R2 – Q3R1) k]
= P1(Q2R3- Q3R2 ) – P2 (Q1R3 – Q3R1) + P3 (Q1R2 – Q3R1)
= P1 P2 P3
Q1 Q2 Q3
R1 R2 R3
Cara-1
A · (B x C) = (2i – 3j) ·
.
.
k
R1 R2 R3
.
.
j
Q1 Q2 Q3
.
.
i
i
j
k
1
1
-1
3
0 -1
= (2i – 3j +0) . (- i – 2j – 3k)
= -2 + 6 +0 = 4
Jawaban contoh soal Hasil-kali Tripel – lanjutan
Cara-2
A · (B x C) =
2 3 0
1 1 -1
.
=-2+6=4
3 0 -1
.
Cara-3
.
.
.
.
A · (B x C) = (2i – 3j + 0) · [(i + j – k) x (3i + 0 –k)]
= (2i – 3j + 0) · (3i x i – i x j + 3j x i – j x k – 3k x j + k x k
= (2i – 3j + 0) · (0 + j – 3k – i – 3j + 0)
= (2i – 3j + 0) · ( - i – 2j – 3k)
= (2)(-1) + (-3)(-2) + 0(-3) = 4
3. Vektor2kedudukan dari K, L, M dan sebarang titik N(x,y,z) ada.
.
lah : A1 = 2i – j + k, A2 = 3i + 2j – k, A3 = - i + 3j – 2k dan
A = xi + yj + zk.
Jawaban contoh soal Hasil-kali Tripel – lanjutan
Maka : NK = A – A1 = (x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k
LK = A2 – A1 = (3 – 2)i + (2 + 1)j + (-1 – 1)k = i + 3j – 2k
MK = A3 – A1 = (-1 – 2)i + (3+1)j (2- 1)k = - 2i + 4j + k
Semuanya terletak pada bidang yg dikehendaki, sehingga :
NK · (LK x MK) = 0
A – A1 · [(A2 – A1) x (A3 – A1)]
[(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · [(i + 3j –2k) x (- 3i + 4j + k)] = 0
[(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · (11i + 5j + 13k) = 0
11(x – 2) + 5(y + 1) + 13(z – 1) = 0
11x – 22 + 5y + 5 + 13z – 13
11x + 5y + 13z = 13 + 22 – 5
11x + 5y + 13z = 30
.
.
Soal Latihan/PR Hasil-kali Tripel
1.
Bila diketahui vektor A = 3i – 2j , B = i + j – k dan C = 3i – k
maka hitunglah A · B x C ?
2.
Tentukan persamaan bidang yg ditentukan oleh titik-titik
A(2,1,1), B(3, 2, 1) dan C(1, 3, 2) ?
4. Himpunan Vektor2 Resiprokal (Reciprocal)
- Himpunan vektor2 A, B, C dan A’, B’, C’ disebut himpunan
sistem vektor2 resiprokal bila :
A’ · A = B’ · B = C · C’ = 1
A’ · B = A’ · C = B’ · A = B’ · C = C’ · A = C’ · B = 0
- Himpunan A, B, C dan A’, B’, C’ adalah himpunan vektor2
Resiprokal jika dan hanya jika :
.
A’ =
x
·
,
B’ =
dimana A · B x C ≠ 0
x
·
,
C’ =
x
·
atau
.
.
Contoh soal Vektor-vektor Resiprokal
1.
Bila diketahui vektor A = 2i + 3j – k , B = i – j +2k , dan
C = - i + 2j + 2k. Tentukan suatu himpunan vektor-vektor
Resiprokal terhadap himpunan vektor-vektor tersebut ?
2.
Dari ketentuan (rumus) di atas buktikan bahwa
A’ · A = B’ · B = 1 ?
Jawaban contoh soal Vektor-vektor Resiprokal
1. A’ =
, B’ =
dan C’ =
BxC
A .B x C
BxC=
.
.
i
CxA
A .B x C
AxB
A .B x C
j k
1 -1 2
-1 2 2 = i(2) – j(0) + k = 2 i – 0j + k
A · B x C = (2i + 3j –k ) · (2i – 0 – k) = 4 + 0 -1 = 3
2
1
A’ = AB.BxxCC = 2 −0+
=
i
+
k
3
3
3
CxA= i j k
.
.
-1 2 2
2 3 -1
= i (-8) + j (3) – k (-7) = - 8i + 3j – 7k
−7
8
7
= −8 −3
=
i
+
j
k
3
3
3
B’ = AC.BxxAC
AxB= i j k
.
.
2 3 -1
1 -1 -2
C’ = AA.BxxBC
= i(-7) + j(3) + k(-5) = - 7i + 3j – 5k
−5
7
5
= −7+ 3
=
i
+
j
k
3
3
3
.
Jawaban contoh soal Vektor2 Resiprokal - lanjutan
2. A’ · A = B’ · B = 1

A’ · A = A · A’ = A · AB.BxxCC =  .
=1
.  
.  
B’ · B = B · B’ = B · . =  .
=1

Soal Latihan/PR Vektor2 Resiprokal
1. Tentukan himpunan vektor-vektor resiprokal terhadap himpunan
vektor P = 2i + 2j + 3k, Q = i + j + 2k dan R = i + 2j + 2k ?
.
2. Tentukan himpunan vektor-vektor resiprokal dari beberapa vektor
ini, K = (1, 0, 2) , L = (3, 1, 2) dan M = (-2, 1 , 3) ?
.
BAB 4. DIFERENSIASI VEKTOR
Pendahuluan
- Pada bab ini terdapat 5 sub-bab yg perlu diketahui
- Ke-5 sub-bab itu merupakan dasar dari diferensiasi vektor
- Lima sub-bab yg dipelajari meliputi :
a. Turunan biasa Vektor : turunan pertama dan kedua dari vektor
b. Kurva-kurva Ruang : turunan pada suatu lintasan tertentu
c. Kontinuitas dan Diferensiabilitas : fungsi skalar dan vektor
d. Rumus Diferensiasi : fungsi skalar dan vektor yg diferensiabel
e. Turunan Parsial Vektor : turunan yg lebih dari satu variabel.
.
.
.
.
.
.
1. Turunan Biasa Vektor
Bila R(u) adalah sebuah vektor yg bergantung pada sebuah variabel
∆
−()
skalar tunggal u, maka : ∆
=  + ∆
dimana ∆u menunjuk∆
kan suatu pertambahan dalam u.
.
∆R = R(u+∆u) – R(u)
R(u+∆u)
.
R(u)
.
Turunan biasa dari vektor R(u) terhadap skalar u :

∆
 +∆ −()
=
lim
=
lim

∆
∆
.
∆u→ 0
.
∆u→ 0

karena 
= sebuah vektor yg bergantung pada u, maka dapat di-
tinjau lagi terhadap u. Bila turunan ini ada, maka dinyatakan oleh
2
2
2. Kurva-kurva Ruang
- Bila R(u) adalah vektor kedudukan r(u) yg menghubungkan
titik asal 0 dari suatu sistem koordinat dan sembarang titik (x,y,z)
maka : r(u) = x(u)i + y(u)j + z(u)k dimana vektor r(u) mendefinisikan x,y dan z sebagai fungsi2 u.
- Bila u berubah, titik terminal r menggambarkan sebuah kurva
ruang yg mempunyai persamaan : x = x(u), y = y(u) dan z =z(u)
∆
−()
maka : ∆
=  +∆
merupakan suatu vektor yg searah ∆r.
∆
∆

lim ∆
= 
ada, maka limitnya akan berupa vektor yg
searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di (x,y,z),




diberikan oleh : 
= 
 +   +  
- Bila :
- Bila u adalah waktu t, maka


adalah kecepatan v, yg mana
dengannya titik terminal r melukiskan kurvanya. Demikian pula

dengan 
=
= adalah percepatan a sepanjang kurva.


2
2
3. Kontinuitas dan Diferensiabilitas
 Sebuah fungsi skalar φ(u), dikatakan kontinui di u bila
.
.
lim φ(u+∆u) = φ(u)
∆u →0
 Fungsi φ(u) kontinu di u bila untuk setiap bilangan positif Є
dapat memperoleh bilangan δ :
| φ(u+∆u) – φ(u) | < Є bila | ∆u | < δ
.
Sebuah fungsi vektor R(u) = R1(u)i + R2(u)j + R3(u)k
disebut
kontinu di u bila ketiga fungsi skalar R1(u), R2(u) dan R3(u)
kontinu di u atau jika lim (u+∆u) = R(u)
.
∆u → 0
 Fungsi vektor R(u) kontinu di u bila untuk setiap bilangan postif
.
.
Є kita dapat menemukan bilangan positif δ :
| R(u+∆u) – R(u) | < Є , bila | ∆u | < δ
4. Rumus-rumus Diferensiasi
Bila A, B dan C adalah fungsi2 vektor dari sebuah skalar u yg
diferensiabel dan φ sebuah fungsi sakalar dari u yg diferensiabel
maka :
1.
2.
3.
4.
5.
6.



(A + B) = 
+




(A · B) = A ·



(A x B) = A x 
+
xB




( φA ) = φ




(A · B x C) = A · B x 
+ A · 
x
C
+
·BxC






(A x (B x C)) = A x (B x 
) + A x 
x
C
+
· (B x C)






+ 
·B

+ A φ

5. Turunan Parsial dari Vektor
Bila A adalah sebuah vektor yg bergantung pada lebih dari satu
variabel skalar, misalnya x, y, z maka dituliskan A = A(x,y,z)
Turunan parsial dari A terhadap x didefinisikan :

 +∆,, −(,,)
=
lim

∆
.
.
∆x →0
.


.
−(,,)
= lim  ,+∆,
∆
∆y →0


= lim  ,,+∆∆−(,,)
.
∆z →0
.
adalah masing2 turunan parsial dari A terhadap x, y dan z bila
limitnya ada.
.
Untuk fungsi2dari dua atau lebih variabel, dipergunakan istilah
diferensiabel dengan pengertian bahwa fungsinya memiliki turunan2
parsial pertama yg kontinu. Jadi turunan parsial yg lebih tinggi :
2
2
=
2

 
 
=
(
2
2
),
 
 
(
2

),
=
=
 
 
(
 
 
(
),
),
2
2
3
2
 
= 
(  ) dan
=
 2
 2
(
)
Bila A memiliki se-kurang2nya turunan2 parsial orde kedua yg
Kontinu maka :
2

=
2
 
Aturan2 untuk turunan parsial vektor, mirip dengan yg dipakai dalam kalkulus elementer dari fungsi2 skalar.
Bila A dan B adalah fungsi2 dari x, y, z maka :
1.
2.
3.



(A · B) = A ·  + 
·B



(A x B) = A x  + 
xB
2





(A · B) = 
(
(A · B)) = 
(A · 
+ 
· B)

=A·
2

+


·


+
 
 
+
2

·B
Contoh soal Diferensiasi Vektor
1. Diketahui vektor A = t2 i - t j + t2 k, maka tentukan :

a. 
=
c.
=



b. | 
|
=
d.
|
|=


2
2
2
.
2
.
2. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva dengan persamaan para
meternya ; x = e-t , y = 3 cos 2t dan z = 3 sin 2t, dimana t adalah
waktu. Tentukan : a. kecepatan dan percepatannya pada sebarang
waktu ?
.
.
.
b. besar kecepatan dan percepatan pada t = 0 s
3. Diberikan vektor2 P = t i – 2t2 k, Q = t3 i – t k, R = i + t j + t3 k.
.

Tentukan : a. 
(P · Q) =

b. 
(R · P =

c. 
(2P · 3R) =

d. 
6(Q · R) =
Contoh soal Diferensiasi Vektor – lanjutan
4. Bila K = (3x3 y2 – x4)i + (exy – y sin x)j + (x3 cos y)k, maka
 
tentukan : a. 
=
d.
=


2
2
.
b.
.
c.
.


2
 
2

=
e.
=
f.
2
 
 
2
 
 
=
=
5. Bila φ(x,y,z) = x2yz2 dan A = xz i – x2y j + yz2 k, maka
tentukan   (φA) pada titik (2, -1, 1) ?
3
.
2
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor
1.
.
.
.
2.
A = t2 i – t j + t2 k
a. 
= 2t i – j + 2t k

b.  = 2 i – 0j + 2 k = 2 i + 2 k
2 + −1 2 + 22 = 9 = 3
c. | 
|
=
2

2
d. | 2 | = 22 + 0 2 + 22 = 8 = 2 2
r = x i + y j + z k = e-t i + 3 cos 2t j + 3 sin 2t k
-t – 6 sin 2t + 6 cos 2t
a. v = 
=
e


-t i – 12 cos 2t j - 12 sin 2t k
a = 
=
=
e


b. t = 0 sec.
v = - e-0 – 6 sin 00 + 6 cos 0t = - i + 6 k
a = e-0 i – 12 cos 0 j - 12 sin 0 k = i – 12 j
Besarnya : | v | = −1 2 + 62 = 37 = 6,083
| a | = 12 + −12 2 = 145 = 12,042
2
2
.
.
.
.
.
2
2
.
.
.
.
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor - lanjutan
3. P = t i – 2t2 k , Q = t3 i – t k , R = i + t j + t3 k



a. 
(P · Q) = P · 
(t3 i – t k) + Q · 
(t i – 2t2 k)
= (t i – 2t2 k) · (3t2 i – k) + (i – 4t k) · (t3 i – t k)
= 3t3 + 2t2 + t3 + 4t2 = 4t3 + 6t2 = 2t2 (3 + 2t)
b.
.




(2P · 3R) = 2P · 
3(i + t j + t3 k) + 3R . 
2(t i – 2t2 k)
= (2t i – 4t2 k) . (0i + 3 j + 9t2 k) + (3t i + 3t j +
(3t3k) . (2i – 8t k) =0 – 36t2 + 6 + 0 – 24t4 =
= - 60t4 + 6 = 6(1 – 10t4)
.
.


3 k) . (i – 4t k) + (t i –
c. 
(R · P) = R . 
+
P
.
=
(i
+
t
j
+
t


2t2k) . (3t2 i – k) = (1 + 0 – 4t4) + (3t3 + 2t2) =
2t2 + 3t3 – 4t4 + 1
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor – lanjutan
3d.


6
6(Q · R) = 6Q . 6
+
6R
.


= (6t3 i – 6t k) . (0 + j + 3t2 k) + (6 i + 6t j + 6t3 k)
. (3t2 i – k) = 0 – 18t3 + 18t2 – 6t3
.
= 18t2 – 24t3


4. a. 
= 
(3x3 y2 – x4)i + (exy – y sin x)j + (x3 cos y)k
= (9x2y2 – 4x3)i + (y exy – y cosx) j + (3x2 cosy) k


b. 
= 
(3x3 y2 – x4)i + (exy – y sin x)j + (x3 cos y)k
= (6x3y – x4) i + (x exy – y sinx) j + (3x2 (-siny)) k
= 6x3y i + (x exy – sin x) j – (3x2 sin y) k
c.
2

2


= 
(9x2y2 – 4x3)i + (y exy – y cosx) j + (3x2 cosy) k
= (18xy2 – 12x2)i + (y2 exy + y sin x) j + (6x cos y) k
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor – lanjutan
4d.
2

2

= 
(6x3 y)i + (xexy – sin x)j + (3x2 sin y)k
= 6x3 i + (x2 exy – cos x) j – (3x2 cos y) k
2

4e.

= 
6x3y i + (x exy – sin x) j – (3x2 sin y) k
= (18 x2y) i + (xy exy – cos x) j – (6x sin y) k
4e.
2


= 
(9x2y2 – 4x3)i + (y exy – y cosx) j + (3x2 cosy) k
= (18x2y) i + (xy exy – cos x) j – (3x2 sin y) k
5. φA = x2yz2 (xz i – x2y j + yz2 k) = x3yz3 i – x4y2z2 j + x2y2z4 k



φA = 
x3yz3 i – x4y2z2 j + x2y2z4 k = 3x3yz2 i – 2x4y2z j +
4x2y2z3 k
.


.
φA =


3x3yz2 i – 2x4y2z j + 4x2y2z3 k = 9x2yz2 i – 8x3y2z j +
8xy2z3 k
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor – lanjutan
2
2

Jadi :
φa = 9x2yz2 i – 8x3y2z j + 8xy2z3 k= 18xyz2 i – 24x2y2z

j + 8y2z3 k , maka pada titik (2, -1, 1) adalah :
= 18 (2)(-1)(1)2 i – 24 (2)2(-1)2(1) j + 8 (-1)2 (1)2 k
= - 36 I + 96 j + 8 k.
Soal Latihan/PR
1.
Diberikan vektor K = sin a i + cos a j + a k . Tentukan :

a. 
=
b.
2

2


c. | 
|=
d. |
=
2

2

|=
2. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva x = 2t2, y = t2 – 4t
dan z = 3t – 5, dimana t adalah waktu. Tentukan komponen2
kecepatan dan percepatan pada t = 1s dalam arah i – 3j + 2k ?
3. Bila diketahui vektor P = 5t2 i + t j – t3 k , Q = sin t i – cos t j


. tentukan : a.  (P . Q)
b. 
(P x Q) = ?
4. Bila diberikan D = (2x2y - x4) i + (exy – y sin x) j + (x2 cos y) k


 
maka tentukan : a. 
b. 
c. 
2
2
d.
2
 
2

e.
2
 

f.
2


BAB 5. GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL
Pendahuluan
- Perlu mengetahui Operator Diferensial Vektor, DEL = , yg
didefinisikan :
.






 = 
i + 
j + 
k = i 
+ j 
+ k 
- Operator vektor ini memiliki sifat2 yg analog dengan vektor2
.
biasa.
- Sangat perlu untuk mendefinisikan tiga besaran berikut yg
muncul dalam pemakaian praktis yg dikenal sebagai gradien,
divergensi dan curl. Operator  juga disebut sebagai nabla.
1. GRADIEN
Bila φ(x,yz) terdefinisikan dan diferensiabel pada tiap2 titik (x,
.
.
.
.
.
.
.
y,z) dalam suatu daerah tertentu dari ruang, yaitu φ mendefinisikan sebuah medan skalar diferensiabel, gradien φ, ditulis φ



φ
φ
didefinisikan : φ = (
i + 
j + 
k)φ = φ
i
+
j
+
k



perhatikan bahwa φ mendefinisikan sebuah medan vektor.
Komponen φ dalam arah vektor satuan a, diberikan oleh ∆φ.a
dan disebut turunan arah dari φ pada arah a. Secara fisika ini
adalah laju perubahan φ pada (x,y,z) dalam arah a.
2. DIVERGENSI
Bila V(x,y,z) = V1 i + V2 j + V3 k terdefinisikan dan diferensiabel
dalam suatu daerah tertentu dari ruang, yaitu V mendefinisikan
sebuah medan vektor, maka divergensi V, ditulis  · V,
didefinisikan



 · V = (
i + 
j + 
k) · (V1 i + V2 j + V3 k)
2
3
1 +
= 
+



Perhatikan analoginya dengan A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3
Dan perhatikan pula  · V ≠  x V dan
3. CURL
.
Bila W(x,y,z) adalah sebuah medan vektor diferensiabel, maka
curl atau rotasi dari W, ditulis curl W atau rot W :



 x W = (
i + 
j + 
k) x (W1 i + W2 j + W3 k)
=
j
k
 
 
.


W1 W2 W3
.
=
.
i




i+
W2 W3
3
(
= 
 
 
W1 W3
2
- 

j + 


k =
W1 W2
3
2 1
1 ) i + ( 
)
j
+
(
-  ) k






Perhatikan, dalam penguraian determinan, operator2 
, 
, 
harus mendahului W1, W2, W3
4. RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG 
Bila A dan B adalah fungsi2 vektor yg diferensiabel dan φ dan ψ
fungsi2 skalar dari kedudukan (x,y,z) yg diferensiabel, maka :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(φ + ψ) = φ + ψ atau grad (φ + ψ) = grad φ + grad ψ
 · (A + B) =  · A +  · B atau div (A + B) = div A + div B
 x (A + B) =  x A +  x B , curl (A + B) = curl A + curl B
 · (φA) = (φ) · A + φ( · A)
 x (φA) = (φ) x A + φ( x A)
 · (A x B) = B · ( x A) - A · ( x B)
 x (A x B) = (B · ) A - B ( · A) – (A · )B + A( · B)
 (A · B) = (B . )A + (A · )B + B x ( x A) + A x ( x B)
 · (φ) =
2φ
=
2φ
2

+
2φ
2

+
2φ
2

RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG  - lanjutan
dimana
2
=
2

2
 
+
2

2

+
2

2

disebut operator Laplace
10.  x (φ) = 0, curl dari gradien φ adalah nol
11.  · ( x A) = 0, divergensi dari curl A adalah nol
12.  x ( x A) = ( · A) - 2 A
Contoh soal Gradien, Divergensi dan Curl
1. Bila φ(x,y,z) = 2x2 – 2y3z2, tentukan φ pada titik (1, 2, -1) ?
2. Hitunglah A bila besar A =
1

, dimana r = x i + y j + z k ?
3. Tentukan normal satuan terhadap permukaan x2y + 2xz = 4 pada
titik (2, -2, 3) ?
.
4. Bila diketahui P = 2X2Z i – 3y3z2 j – xy2z2 k , tentuka  · P pada
titik (1, 2, 3) ?
.
5. Jika diberikan sebuah vektor K = xz2 i – 2x2y2z j + 2yz4 k , maka
tentukan  x K pada titik (1, -1, 1) ?
.
6. Bila a = 2x2y z2, maka tentukanlah  · a =  ·(a) ?
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl
1.
φ(x,y,z) = 2x2 – 2y3z2 , maka besar φ pada titik (1, 2, -1) :



φ = (
i + 
j + 
k) (2x2 – 2y3z2)


=  (2x2 – 2y3z2) + 
(2x2 – 2y3z2) + 
(2x2 – 2y3z2)
= (4x – 0) i + (0 – 6y2z2 j + (0 – 4y3z) k =
= 4x i – 6y2z2 j – 4y3z k
. maka pada titik(1, 2, -1) adalah : 4(1) i – 6(2)2(-1)2 j – 4(2)3(-1)k
= 4 i – 24 j + 32 k
.
.
.
.
2. A = 1 =  +1 + , maka A = [(x2 + y2 + z2)-½]



= i 
(x2 + y2 + z2)-½ + j 
(x2 + y2 + z2)-½ + k 
(x2 + y2 + z2)-½
= i [(-½)(2x) (x2 + y2 + z2)-1½] + j [(-½)(2y) (x2 + y2 + z2)-1½] +
k [(-½)(2z) (x2 + y2 + z2)-1½]
 − 
−
= 2−  −
=
x + y2 + z2)1½ 
2
2
2
.
.
.
.
3
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl –
lanjutan
3. Permukaan datar x2y + 2xz = 4 pada titik (2, -2, 3)
.
.
.
(x2y + 2xz) = (2xy + 2z) i + x2 j + 2x k
pada titik (2, -2, 3) adalah : = 2(2)(-2) + 2(3) i + (2)2 j + 2(2) k
=-2i+4j+4k,
maka normal satuan terhadap permukaan datar adalah :
−2+4+4
(−2)2 +42 +42
= - 26 i + 46 j + 46 k
= - 13 i + 23 j + 23 k
Sedangkan normal satuan yang lain adalah :
1
3
i - 23 j - 23 k
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl –
lanjutan
4. P = 2x2z i – 3y3z2 j – xy2z2 k pada titik (1, 2, 3)



 · P = (
i + 
j + 
k) · (2x2z i – 3y3z2 j – xy2z2 k)
.
.
.
.
.
=


(2x2z)
-


–
(3y3z2)
-


(xy2z2)
= 4xz – 9y2z2 – 2xy2z
pada titik (1, 2, 3) adalah :
= 4(1)(3) – 9(2)2(3) – 2(1)(2)2(3)
= 12 – 324 – 24
= - 288
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl –
lanjutan
5. K = xz2 i – 2x2y2z j + 2yz4 k pada titik (1, -1, 1)
.
.
.
.
.
.



 x K = (
i + 
j + 
k) x (xz2 i – 2x2y2z j – 2yz4 k)
= i j
k






xz2 -2x2y2z 2yz4
= (2z4 + 2x2y2) i – 2xz j – 4xy2z k
Pada titik (1, -1, 1) :
2(1)4 + 2(1)2(-1)2 i – 2(1)(1) j – 4(1)(-1)2(1) k =
(2 + 2) i – 2 j – 4 k =
4i–2j–4k
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl –
lanjutan
6. a = 2x2y2z2 , maka  · (a) =



=  · [i( 
2y2x2z2) + j ( 
2y2x2z2) + k (
2y2x2z2)]
.
=  · [(4xy2z2) i + (4x2yz2) j + (4x2y2z) k ]



= (
i + 
j + 
k) · [(4xy2z2 )i + (4x2yz2) j + (4x2y2z) k ]
= 4y2z2 + 4x2z2 + 4x2y2
= 4(x2y2 + x2z2 + y2z2)
Soal Latihan/PR
1.
Bila φ(x,y,z) = 3x2y – y3z2 ,tentukan φ atau grad φ pada titik
(1, -2, -1) ?
.
2.
3.
Bila φ = | ln r | , tentukan φ, dimana r = x i + y j + z k ?
4.
Diberikan skalar p = 3x3y2z3 , tentukanlah  · φ atau
div. grad. p ?
5.
Bila diketahui vektor F = x2y2 i – 2xz2 j + 2yz2 k , tentukanlah
 x ( x F) ?
Tentukan persamaan untuk bidang singgung terhadap permukaan 2xz2 – 3xy – 4x = 7 pada titik T(x, y, z) ?

similar documents