Algebra Capitulo 1

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1.Las cuatro operaciones fundamentales
2.Productos notables y factorización
3.Fracciones
4.Ecuaciones de primer grado
5.Funciones y gráficas
6.Ecuaciones simultaneas de primer grado
7.Exponentes radicales
8.Ecuaciones de segundo grado
9.Razones, proporciones y variaciones
10.Logaritmos
1.El sistema de los números reales
2.Definiciones básicas
3.Adición y sustracción
4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
Las operaciones
fundamentales del álgebra
son la adición, la
sustracción, la
multiplicación y la división.
El primer paso en la creación
del sistema de los números
reales fue la invención de los
enteros positivos 1, 2, 3 ... , o
números empleados para
contar un conjunto de objetos.
Los números enteros positivos
ó números naturales
1,2,3,
los denotaremos como
N
Cuando uno suma dos
números naturales (dos
números enteros
positivos) el resultado
es, siempre, otro
número natural.
Cuando uno suma dos números naturales (dos
números enteros positivos) el resultado es, siempre,
otro número natural.
Se dice entonces que el conjunto
de los números naturales es
cerrado con respecto a la
operación de suma.
Cuando uno multiplica
dos números naturales
(dos números enteros
positivos) el resultado
es, siempre, otro
número natural.
Cuando uno multiplica dos números naturales (dos
números enteros positivos) el resultado es, siempre,
otro número natural.
Se dice entonces que el conjunto
de los números naturales es
cerrado con respecto a la
operación de multiplicación.
Sin embargo, si uno
sustrae dos números
enteros positivos, el
resultado no
necesariamente es un
número entero positivo.
Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros
positivos, el resultado no necesariamente es un
número entero positivo.
Por ejemplo, si tenemos
79 ?
Lo mismo sucede en el
caso de la división.
El cociente de dos
números enteros
positivos, no es en general
un número entero.
Evidentemente, un conjunto
numérico es inadecuado si la
suma, el producto, la
diferencia o el cociente de dos
de los números del sistema no
es también un elemento del
sistema.
Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado
si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de
dos de los números del sistema no es también un
elemento del sistema.
Por ejemplo, no existe ningún
entero positivo que sea igual a 5 - 9
ó a 5 ÷ 9.
Esto es, la sustracción y la división
sólo pueden aplicarse de manera
limitada a los enteros positivos.
Se dice que un conjunto de
números es un conjunto
cerrado, para una operación, si
al aplicar dicha operación a dos
elementos del conjunto el
resultado es también un
elemento del conjunto.
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado,
para una operación, si al aplicar dicha operación a dos
elementos del conjunto el resultado es también un elemento
del conjunto.
Puesto que la suma y el producto de
dos enteros positivos cualesquiera es
también un entero positivo, entonces
el conjunto de los enteros positivos es
un conjunto cerrado con respecto a la
adición y la multiplicación
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado,
para una operación, si al aplicar dicha operación a dos
elementos del conjunto el resultado es también un elemento
del conjunto.
En cambio, la diferencia y el cociente
de dos enteros positivos no conduce
siempre a un entero positivo, esto es,
el conjunto de los enteros positivos
no es un conjunto cerrado con
respecto a la sustracción y la división.
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado,
para una operación, si al aplicar dicha operación a dos
elementos del conjunto el resultado es también un elemento
del conjunto.
El conjunto de los enteros positivos no es un conjunto
cerrado con respecto a la sustracción y la división.
Es así como se origina la necesidad
de ampliar el sistema. (Recuérdese
que el sistema numérico es una
invención).
La solución de problemas
prácticos, esencialmente la
solución de ecuaciones, llevo,
de manera natural, a la
introducción de los números
enteros negativos.
Si tengo 4 pesos y un
pan cuesta 5, ¿cuánto
tengo?
¿4-5=?
Así el conjunto de los
números enteros está
constituido por los números
naturales, el cero y los
números enteros
negativos.
El conjunto de los números enteros
..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...
lo denotaremos como
Z
Z  ..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...
El conjunto de los números
enteros es cerrado para las
operaciones de suma, resta y
multiplicación.
¿Qué número multiplicado por
2 nos da 1?
¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?
Evidentemente esta pregunta
no tiene respuesta “dentro de
los números enteros”.
El conjunto de los números
enteros no es cerrado con
respecto a la operación de
división.
¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?
El conjunto de los números enteros no es
cerrado con respecto a la operación de división.
Para responder esta
pregunta tenemos que
“inventar” los números
racionales.
Los números racionales
son aquellos que se
escriben como el
cociente de dos
números enteros.
Los números racionales son aquellos que se
escriben como el cociente de dos números enteros.
Las fracciones son los números racionales.
3 7
1 1
23
Los números , ,  , , 
5 3
9 2
54
son números racionales.
A los números racionales
los denotaremos como
Q
Notese que los números racionales
contienen a los números enteros,
que a su vez, contienen a los
números naturales.
Es decir,
NZQ
Existen números, como
2 que
no se puede expresar como el
cociente de dos números enteros.
A dichos números se les llama
números irracionales.
Al conjunto de todos los números,
se les llama números reales.
La interpretación de los
números como distancias es
útil para definir y para
comprender las ampliaciones
del sistema numérico.
L´
L
Interpretación de los números como distancias. La interpretación
de los números como distancias es útil para definir y para comprender
las ampliaciones mencionadas del sistema numérico. Para ello se usarán
la línea recta indefinida L' L (Fig. 1.1), un punto O fijo sobre ella,
y la unidad de distancia u. A la derecha de O se trazan intervalos de
longitud u, obteniéndose los puntos que aparecen debajo de li línea.
Luego, a partir del primer punto a la derecha de O, se colocan sucesi·
vamente los enteros 1, 2, 3 ... Se tiene así la certeza de que cada uno
de los puntos marcados en la línea está asociado tanto con uno de los
números enteros como con una distancia que representa a cada uno
Definición del sistema de los números reales, Se define el conjunta
de los números reales como el conjunto de los números r que se pueden
asociar con puntos R situados sobre una línea recta de tal manera
que cada punto R está a una distancia r del punto fijo O. Si R está a la
derecha de O, r es positivo; si R está a la izquierda de O, r es negativo;
si R coincide con O, r es cero, Cero no es positivo ni negativo y separa,
además, a los números positivos de los números negativos.
El valor absoluto o valor numérico de
un número se define como sigue:
a)El valor absoluto o valor numérico
de un número real positivo es el
número mismo.
b)El valor absoluto o valor numérico
de un número real negativo es el
mismo número con signo opuesto.
El valor absoluto o valor
numérico de un número es el
número “en si”, sin el signo.
El valor absoluto, es por tanto,
siempre un número positivo.
El valor absoluto de un número n, se
representa por medio del símbolo
│n│
y se puede imaginar como la
distancia entre O y el punto que
representa a n en la escala de los
números reales.
El valor absoluto o valor numérico de
un número se define como sigue:
a)El valor absoluto o valor numérico
de un número real positivo es el
número mismo.
b)El valor absoluto o valor numérico
de un número real negativo es el
mismo número con signo opuesto.
1.El sistema de los números reales
2.Definiciones básicas
3.Adición y sustracción
4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
Un grupo de números y letras
combinadas entre sí mediante
una o más de las operaciones
fundamentales recibe el
nombre de expresión
algebraica.
Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante
una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre
de expresión algebraica.
Las siguientes son expresiones algebráicas:
5x  3 y
a  2ab  b
2
2
1 1
1 3 2
  3qw   r  r
f q
r
Un número o una letra, o
varios números y letras,
combinados entre sí mediante
las operaciones de
multiplicación o de división,
o de ambas, recibe el nombre
de término
Un número o una letra, o varios números y letras, combinados
entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de
división, o de ambas, recibe el nombre de término
Ejemplos:
3
3 xy z
3 4
abc
2
3x y
23 2 3
d f
37
Puesto que un término no implica
ni adición ni sustracción, todo
grupo de letras que en una
expresión algebraica esté
separado de otros grupos
mediante los signos más o menos
es un término.
Puesto que un término no implica ni adición ni
sustracción, todo grupo de letras que en una
expresión algebraica esté separado de otros grupos
mediante los signos más o menos es un término.
De acuerdo con lo anterior, el
signo de un término es el signo
que lo precede.
Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de
letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos
mediante los signos más o menos es un término. De acuerdo con lo anterior,
el signo de un término es el signo que lo precede.
En la expresión
2
1 4 7
3x y  5 x y z  xyz  x yz
3
2
son términos
2
1 4 7
2
3 2
3 x y,  5 x y z,  xyz,  x yz
3
2
y los que están en rojo son sus signos.
2
3
2
Si un término está compuesto
de un número y una o más
letras, el número recibe el
nombre de coeficiente
numérico de las letras en el
término.
Si un término está compuesto de un número y una o
más letras, el número recibe el nombre de
coeficiente numérico de las letras en el término.
En los términos
2
1 4 7
3 x y,  5 x y z,  xyz,  x yz
3
2
los coeficientes numéricos son:
2
1
+3,
 5,
 ,
+
3
2
2
3
2
Si un término está compuesto de un número y una o
más letras, el número recibe el nombre de
coeficiente numérico de las letras en el término.
Comúnmente al hablar del
coeficiente numérico se dice
simplemente el coeficiente.
Una expresión
algebraica que contiene
solamente un término
se denomina
monomio.
Una expresión
algebraica que contiene
exactamente dos
términos se denomina
bimonomio.
Una expresión
algebraica que contiene
exactamente tres
términos se denomina
trinomio.
Las expresiones
algebraicas que
contienen más de tres
términos se denominan
multinomios.
En realidad se le puede
decir multinomio a
cualquier expresión
algebraica que contenga
más de un término.
1.El sistema de los números reales
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3.Adición y sustracción
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5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
En álgebra los términos suma y
diferencia se usan en el mismo
sentido que en aritmética, si se
aplican a números positivos.
Sin embargo, su aplicación a
números negativos hace
necesario precisar el
procedimiento de adición.
Esta operación más amplia, que se
conoce como adición algebraica, se
describe en el regla siguiente:
La suma algebraica de dos números con
el mismo signo es la suma de los valores
absolutos de los dos números, precedida
de su signo común; la suma algebraica
de dos números con signo diferente es la
diferencia de los valores absolutos de los
números, precedida por el signo del
número de mayor valor absoluto.
Para hacer la suma de varios términos que poseen
las mismas letras, se efectúa la suma aritmética de
los coeficientes y se agrega el grupo de letras.
3
3
3
La suma de 4a b y 7a b es: 11a b
La suma de  3 x y z y  2 x y z es:  5 x y z
2
2
2
2
La suma de  12st y  9 st es:  3st
2
2
La suma de dos o más
términos que contienen
letras diferentes puede ser
solamente expresada
colocando un signo más
entre ellos.
La suma de dos o más términos que contienen letras
diferentes puede ser solamente expresada colocando un
signo más entre ellos.
Por ejemplo, la suma de
-1ab y 3cd
es
-1ab + 3cd.
En aritmética se puede comprobar que, para
cualquier par de números que se ensaye, la
suma es la misma independientemente del
orden en que se efectúe la adición.
Esto se conoce como la propiedad
conmutativa de la adición.
Consideraremos que esto es cierto para todos
los números y tendremos entonces el axioma
siguiente:
La adición es conmutativa.
Es decir,
ab ba
Otra propiedad de la adición, que
puede comprobarse fácilmente
para cualesquiera tres o más
números dados, es que la suma
es la misma independientemente
del orden en el cual los números
se adicionen.
Otra propiedad de la adición, que puede comprobarse
fácilmente para cualesquiera tres o más números dados, es
que la suma es la misma independientemente del orden en el
cual los números se adicionen.
Por ejemplo,
2 + 3 + 7 = 5 + 7 = 2 + 10 = 9 + 3 = 12.
Consideraremos que esta propiedad,
conocida como la propiedad asociativa
de la adición, es válida para todos los
números.
De ese modo tenemos el axioma
siguiente, en el cual los paréntesis se
usan para indicar el orden en que se
efectúa la adición:
La adición es asociativa.
Es decir,
a  b  c    a  b   c
Estos dos axiomas son la base del
procedimiento usual para encontrar
la suma de dos o más expresiones.
Esto es, del procedimiento en el
cual se escribe cada expresión
debajo de la que le precede, y al
mismo tiempo, se ordenan los
términos de tal modo que los que
contienen las mismas letras
queden formando columnas.
Sumar las expresiones
3x + x  1;
2
2  2 x  3 x;
2
4x  3  x
2
Sumar las expresiones
3x + x  1;
2  2 x  3x;
2
3x
2
4x  3  x
2
 x 1
2
 3x  2
2x
x
2
 4x  3
2
El proceso de restar o sustraer
b de a
equivale a encontrar una x,
tal que
abx
El proceso de restar o sustraer b de a
equivale a encontrar una x, tal que a  b  x
Se determina x sumando  b
a cada miembro de la igualdad,
obteniéndose
a   b   b  x   b   x
Con ello se verifica la regla usual
de la sustracción:
Para restar una cantidad de
otra se cambia el signo del
“sustraendo” y se procede
como en la adición.
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10.Operaciones en que aparece el cero
Cuando un grupo de términos en
una expresión algebraica van a ser
manejados como un solo número,
se encierran
en paréntesis, ( );
en corchetes, [ ];
o bien en llaves, { }.
Estos símbolos se usan
también para indicar que
se van a efectuar ciertas
operaciones algebraicas y
el orden en el cual deben
efectuarse.
Con objeto de efectuar las
operaciones indicadas mediante
el uso de los símbolos de
agrupación, se necesita quitar
dichos símbolos antes de llevar
a cabo la operación final.
Si la operación indicada es la
adición, se puede, por el
axioma de la asociatividad,
omitir los símbolos de
agrupación y combinar los
términos en el orden que se
desee.
Si la operación indicada es
la sustracción, el grupo de
términos encerrados en el
paréntesis precedido del
signo menos, es el
sustraendo.
Si la operación indicada es la sustracción, el grupo de términos
encerrados en el paréntesis precedido del signo menos, es el
sustraendo.
Por tanto, de acuerdo con la
definición de sustracción, se
cambian todos los signos del
sustraendo, se omiten los símbolos
de agrupación y se combinan
después los términos en el orden
que se desee.
Se tiene el siguiente procedimiento para
eliminar los símbolos de agrupación en una
expresión algebraica:
Si en una expresión algebraica es
necesario eliminar la pareja de
símbolos de agrupación precedido por
un signo menos, debe cambiarse
el signo de cada uno de los términos
encerrados por estos símbolos.
Se tiene el siguiente procedimiento para
eliminar los símbolos de agrupación en una
expresión algebraica:
Sin embargo, si los símbolos de
agrupación están precedidos por
un signo más, pueden
eliminarse sin ningún cambio en
la expresión.
Si en una expresión algebraica es
necesario insertar un par de
símbolos de agrupación precedido
de un signo menos, deben
cambiarse los signos de cada uno
de los términos que quedan
encerrados.
Cuando una expresión
algebraica contiene uno o
más pares de símbolos de
agrupación, encerrados en
otro par, se eliminará
primero el de más adentro.
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10.Operaciones en que aparece el cero
El producto de dos números
a yb
se expresa como:
ab
a b
ab
ab
Multiplicando
Multiplicador
ab
Producto
Cada uno de los números
que aparecen en el
producto, o el producto de
dos o más de ellos, es un
factor del producto.
Ya que cualquier número n
es igual a
n×1
resulta que n es un factor
de sí mismo.
Cualquier número que no
tenga otro factor que él
mismo y uno, se llama
número primo.
La multiplicación es conmutativa,
esto es
ab  ba
La multiplicación es asociativa,
esto es
a  bc    ab  c
La multiplicación es distributiva
con respecto a la adición,
esto es
a  b  c   ab  ac
 El producto de dos factores del
mismo signo es positivo.
 El producto de dos factores de
signos diferentes es negativo
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10.Operaciones en que aparece el cero
El producto
aa
2
se escribe a
y se llama a cuadrada.
El producto
aaa
3
se escribe a
y se llama a cúbica.
El producto
a  a  a  ...  a
n
n veces, se escribe a
y se llama enésima potencia de a
ó a a la n.
Si n es un entero positivo, el símbolo a
n
se denomina la enésima potencia de a
y es el producto de n factores, cada uno
de los cuales es a.
Si n es un entero positivo, el símbolo a
n
se denomina la enésima potencia de a
y es el producto de n factores, cada uno
de los cuales es a.
La letra a se llama la base
y n el exponente.
El exponente
a
La base
n
Podemos enunciar
el siguiente teorema:
a a  a
n
m
nm
a a  a
n
m
nm
Demostración:
a  a   a  a  a  ...  a    a  a  a  ...  a 
n
m
n veces
m veces
Como la multiplicación es asociativa,
a  a   a  a  a  ...  a 
n
m
n  m veces
Y por la definición de potenciación,
a a  a
n
m
nm
Teorema:
a b   ab 
n
n
n
a b   ab 
n
n
n
Demostración:
a b   a  a  a  ...  a    b  b  b  ...  b 
n n
n veces
n veces
Como la multiplicación es asociativa,
a  b   ab  ab  ab  ...  ab 
n
n
n veces
Y por la definición de potenciación,
a b   ab 
n n
n
Teorema:
a 
n
p
a
np
a 
n
p
a
np
Demostración:
a
n

p
  a n  a n  a n  ...  a n 
p veces
Por la primera ley de los
exponentes en la multiplicación,
n
a
  a
p
n  n  n  ...  n
y por tanto,
a
n

p
 a np
p veces
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10.Operaciones en que aparece el cero
El producto de un monomio por
un multinomio es la suma de los
productos del monomio por cada
uno de los términos del multinomio.
El producto de dos multinomios es
igual a la suma de los productos
obtenidos al multiplicar cada
término de un multinomio por
cada término del otro.
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10.Operaciones en que aparece el cero
Si a y b son dos números y si b  0,
se acostumbra indicar la división
de a entre b, sea por el uso del signo
de división a  b, sea escribiendo
a
los dos números a modo de fracción, .
b
El número a se llama dividendo,
el número b se llama divisor
y el resultado de la operación
se llama cociente.
Dividendo
Divisor
a
b
Cociente
La ley de los signos para la división es
similar a la anteriormente establecida
para la multiplicación:
El cociente de dos números del mismo
signo es positivo.
El cociente de dos números de signos
diferentes es negativo.
 El cociente de dos números del
mismo signo es positivo.
 El cociente de dos números de
signos diferentes es negativo.
Teorema:
m
a
mn

a
n
a
con a  0, m y n enteros,
y m  n.
am
Teorema: n  a m  n con a  0, m y n enteros, y m  n.
a
Demostración:
m
m
m
0
m
nn
a a
a 1 a a
a



n
n
n
n
a
a
a
a
mn n
a a
mn
mn
a

a
1


n
a

Teorema:
n
a
a

 
n
b
b
con b  0, y n entero positivo.
n
1.El sistema de los números reales
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9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
El cociente que se obtiene al dividir
un multinomio entre un monomio
es la suma de los cocientes que
resultan de dividir cada término
del multinomio por el monomio.
El cociente que se obtiene al dividir un multinomio entre
un monomio es la suma de los cocientes que resultan de
dividir cada término del multinomio por el monomio.
El cociente que se obtiene al dividir un multinomio entre
un monomio es la suma de los cocientes que resultan de
dividir cada término del multinomio por el monomio.
3x yz  12 x y z  21xyz
3xyz
2
3
2
2
2
El cociente que se obtiene al dividir un multinomio entre
un monomio es la suma de los cocientes que resultan de
dividir cada término del multinomio por el monomio.
3 x yz  12 x y z  21xyz

3 xyz
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
3 x yz 12 x y z
21xyz




3 xyz
3 xyz
3 xyz
 x  4 x yz  7 z
2
Para dividir
un multinomio por otro multinomio
se efectúan los siguientes pasos:
1. Tanto el dividendo como el divisor
se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de
alguna letra que aparezca en ambos.
2. Se divide el primer término del
dividendo por el primer término
del divisor y se obtiene así el
primer término del cociente.
3. Se multiplica el divisor por el
primer término del cociente y el
producto obtenido se sustrae
del dividendo.
4. El residuo obtenido en el paso
anterior se trata como un nuevo
divisor y se repiten con él los
pasos 2 y 3.
5. Se continúa este proceso hasta
obtener un residuo en el cual el
mayor exponente de la letra que
en el paso 1 se escogió como base
de la ordenación sea menor que
el mayor exponente de dicha letra
en el divisor.
Para dividir un multinomio por otro multinomio se efectúan los siguientes
pasos:
1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en
ambos.
2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término
del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.
3. Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el
producto obtenido se sustrae del dividendo.
4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo
divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
5. Se continúa este proceso hasta obtener un residuo en el cual el
mayor exponente de la letra que en el paso 1 se escogió como base de
la ordenación sea menor que el mayor exponente de dicha letra en el
divisor.
Dividir
2b  2a  3ab
entre
2
2a  b
2
2b 2  2a 2  3ab
2a  b
1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.
2a  3ab  2b
2a  b
2
2
2a 2  3ab  2b 2
2a  b
1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.
2a  b 2a  3ab  2b
2
2
2a 2  3ab  2b 2
2a  b
1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.
2a  b 2a  3ab  2b
2
2
2a  b 2a 2  3ab  2b 2
2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término
del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.
a
2
2
2a  b 2a  3ab  2b
a
2a  b 2a 2  3ab  2b 2
3. Se multiplica el divisor por el primer término del cociente
y el producto obtenido se sustrae del dividendo.
a
2
2
2a  b 2a  3ab  2b
2
 2a  ab
______________
2
 4ab  2b
4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como
un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
a  2b
2
2
2a  b 2a  3ab  2b
2
 2a  ab
______________
2
 4ab  2b
4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como
un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
a  2b
2
2
2a  b 2a  3ab  2b
2
 2a  ab
______________
2
 4ab  2b
2
 4ab  2b
__________
0
5. Se continúa este proceso hasta obtener un residuo en el cual el
mayor exponente de la letra que en el paso 1 se escogió como base de
la ordenación sea menor que el mayor exponente de dicha letra en el
divisor.
a  2b
2
2
2a  b 2a  3ab  2b
2
 2a  ab
______________
2
 4ab  2b
2
 4ab  2b
__________
0
2b  2a  3ab
 a  2b
2a  b
2
2
Dividir
10 xy  5 y  2 x  x  4 x y  2 xy
entre
2
2
2 xy  x  5 y
2
3
2
2
2
10 xy 2  5 y 2  2 x3  x 2  4 x 2 y  2 xy
2 xy  x 2  5 y 2
1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.
Elegimos la letra x que aparece tanto
en el dividendo como en el divisor
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
2
2
x  2 xy  5 y
3
2
2
2
2
2 x3  x 2  4 x 2 y  2 xy  10 xy 2  5 y 2
x 2  2 xy  5 y 2
1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.
x  2 xy  5 y 2 x  x  4x y  2xy  10xy  5 y
2
2
3
2
2
2
2
x 2  2 xy  5 y 2 2 x3  x 2  4 x 2 y  2 xy  10 xy 2  5 y 2
2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término
del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.
2x
2
2
3
2
2
2
2
x  2 xy  5 y 2 x  x  4x y  2xy  10xy  5 y
2x
x 2  2 xy  5 y 2 2 x 3  x 2  4 x 2 y  2 xy  10 xy 2  5 y 2
3. Se multiplica el divisor por el primer término del cociente
y el producto obtenido se sustrae del dividendo.
2 x
2
2
3
2
2
2
2
x  2 xy  5 y 2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
 2x
 4x y
 10 xy
_____________________________
3
2
x
2
2
 2 xy
 5y
2
4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como
un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
2 x  1
2
2
3
2
2
2
2
x  2 xy  5 y 2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
 2x
 4x y
 10 xy
_____________________________
3
2
x
2
2
 2 xy
 5y
2
4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como
un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
2 x +1
2
2
3
2
2
2
2
x  2 xy  5 y 2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
______________________________
2x
 4x y
3
2
x
2
 2 xy
5y
2
x
 2 xy
 5y
__________________________
2
2
0
5. Se continúa este proceso hasta obtener un residuo en el cual el
mayor exponente de la letra que en el paso 1 se escogió como base de
la ordenación sea menor que el mayor exponente de dicha letra en el
divisor.
2 x +1
2
2
3
2
2
2
2
x  2 xy  5 y 2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
______________________________
2 x3
 4 x2 y
x
2
 2 xy
5y
2
x
 2 xy
 5y
__________________________
2
2
0
10 xy  5 y  2 x  x  4 x y  2 xy

2
2
2 xy  x  5 y
 2x  1
2
2
3
2
2
1.El sistema de los números reales
2.Definiciones básicas
3.Adición y sustracción
4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
Si el cero es considerado como la ausencia
total de cantidad, entonces es evidente que:
n0n
n0  0
y
0
0
n
Tenemos las ecuaciones
0 1  0 y 0  2  0
Tenemos las ecuaciones
0 1  0 y 0  2  0
Entonces, igualando:
Dividiendo:
Por tanto,
y finalmente
¡¡¡¡¡ 1  2
!!!!!!
0 1  0  2
0
0
1   2
0
0
1 1  1  2
Tenemos las ecuaciones:
 x  x x  0
y x x 0
2
2
Tenemos las ecuaciones:
 x  x x  0
Igualando:
Dividiendo:
y x x 0
2
2
 x  x  x   x  x  x  x 
 x  x  x   x  x  x  x 
xx
xx
Simplificando:
x xx
Sumando:
y finalmente
x  2x
1 2
Si el cociente que se obtiene al dividir
a entre b se define como el valor de a
tal que a  bx, entonces, para b  0 y
a  0, se obtiene a  0 x, y, por tanto,
no existe valor de x que satisfaga esa
expresión, ya que siempre x  0  0.
Si b  0 y a  0, entonces 0  0 x,
expresión que se satisface con
cualquier valor de x; esto es,
0
, no existe como número único.
0
En consecuencia,
¡¡¡¡¡ la división entre cero
quedará excluida!!!!!
n
El símbolo a se ha definido
cuando n es un entero positivo,
pero esta definición carece de
significado cuando n  0.
Sin embargo, si se exige que la ecuación
m
a
mn
a
con a  0, m y n enteros, y m  n.
n
a
sea válida para m  n, se tiene
n
a
nn
0
 a  a con a  0
n
a
n
a
En consecuencia, ya que n es igual a 1,
a
0
el valor de a se define como igual a 1 y
se tiene a  1 con a  0.
0
0
Esta definición de a es consistente
también con la ecuación a  a  a
n
ya que a  a  a
n
0
n0
m
nm
a .
n
Este es el resultado que debe esperarse
0
si a =1.
,

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