STRUKTUR ALJABAR

Report
STRUKTUR ALJABAR
Mohamad Salam
Dan
La ode Ahmad Jazuli
Pendahuluan
Himpunan
Pemetaan
Bilangan Bulat
Operasi Biner
Grup
Definisi Grup dan contoh grup
Sub Grup
Sub grup Normal dan Grup hasil bagi
Homorfisma
Automorfisma
Grup Permutasi
Ring (Gelanggang), Daerah
Integral dan Lapangan
Definisi dari gelanggang
Daerah integral
Lapangan
REFERENSI
1. I.N. Herstein, Topics in Algebra,
secon edition, 1975.
2. Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert,
Elements of Modern Aljebra, fifth
edition, 2000, publiser Gary
Ostedt.
3. Buku-buku lain yang berkaitan
dengan materi yang akan dibahas
HIMPUNAN
1. Himpunan adalah suatu kumpulan obyek
yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Obyek-obyek dalam himpunan
dinamakan anggota himpunan.
2. Untuk membentuk himpunan dapat
digunakan metode Roster yaitu dengan
cara menyebut atau mendaftar semua
anggota dan metode Rule yaitu dengan
menyebut syarat keanggotaannya.
HIMPUNAN
1. Himpunan A dikatakan sebagai
himpunan bagian dari himpunan
B jika setiap anggota himpunan A
merupakan anggota himpunan B
dan dinotasikan dengan A  B .
2. Himpunan A=B jika dan hanya jika
A  B dan B  A
HIMPUNAN
1. Dari suatu himpunan A dapat dibuat
himpunan kuasa yaitu himpunan
yang anggota-anggotanya adalah
himpunan bagian dari himpunan A.
2. Komplemen dari himpunan A adalah
semua anggota dari semesta yang
bukan anggota A, dan dinotasikan A C
HIMPUNAN
1. Gabungan dari dua buah himpunan
A dan B, ditulis A  B adalahx : x  A atau
2. Irisan dari dua himpunan A dan B,
ditulis dengan A  B , adalah
himpunan x : x  A dan x  B 
3. Diberikan sembarang dua buah
himpunan A dan B, maka A-B adalah
x  A : x  B 
himpunan
x  B
HIMPUNAN
1. Dua himpunan A dan B dikatakan
saling asing apaa bila A  B  
2. Misalkan diberikan dua buah
himpunan A dan B, maka himpunan
AxB adalah didefinisikan sebagai
himpunan semua pasangan terurut
(a,b) dimana a anggota A dan b
anggota B. Pasangan (c,d)=(e,f) jika
dan hanya jika c = e dan d = f.
RELASI EKIVALEN
Relasi biner  pada Himpunan A
dikatakan relasi ekivalen pada A,
jika untuk setiap a, b, c dalam A
memenuhi :
1. a a (reflesif)
2. jika a b maka b c (simetri)
3. jika a  b dan b  c maka a  c
(transitif)
RELASI EKIVALEN
1. Misalkan S sembarang himpunan dan
didefinisikan ab untuk a, b anggota S, jika
dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian
tersebut suaatu relasi ekivalen pada S.
2. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat,
diberikan a,b elemen S, definisikan ab jika
a-b adalah bilangan bulat genap.
3. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat
dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b
elemen S, definisikan ab jika a-b adalah
kelipatan dari n.
DEFINISI CLASS EKIVALEN
Jika A suatu himpunan dan jika 
suatu relasi ekivalen pada A, maka
class ekivalen dari a anggota A
adalah himpunan semua x
anggota A dimana a berelasi
dengan x. Dan kita notasikan
dengan cl(a).
class EKIVALEN
1.
2.
3.
Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan ab
untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka
pendefinisian tersebut suaatu relasi ekivalen pada S.
Class ekivalen pada a adalah a sendiri.
Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan
a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah bilangan
bulat genap. Class ekivalen pada a adalah semua
bilangan bulat yang berbentuk a + 2m, dimana m
bilangan bulat.
Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1
bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan
ab jika a-b adalah kelipatan dari n. Class ekivalen
pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a
+ kn, dimana k bilangan bulat.
PEMETAAN
DEFINISI
Jika S dan T himpunan-himpunan tak
kosong, maka pemetaan dari S ke T
adalah sub himpunan M dari SxT
sedemikian sehingga untuk setiap sS
terdapat secara tunggal t T sedemikian
sehingga pasangan terurut (s,t) M.
CONTOH PEMETAAN
1.
2.
3.
Misalkan S sembarang himpunan; definisikan
:SS dengan (s) = s untuk setiap sS. Pemetaan
 disebut pemetaan identitas dari S
Misalkan S dan T sembarang himpunan; dan t0
suatu elemen dari T. Definisikan :ST dengan 
:s  t0 untuk setiap s S.
Misalkan S adalah himpunan bilangan rasional
positif dan T=JxJ dimana J adalah himpunan
bilangan bulat. Diberikan suatu bilangan rasional
s, dimana s dapat ditulis dengan s = m/n dimana
m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan.
Definisikan :ST dengan (s) = (m,n).
CONTOH PEMETAAN
4. Misalkan J himpunan semua bilangan bulat
dan S = m , n   JxJ : n  0; misalkan T adalah
himpunan dari bilangan rasional; definisikan
:ST, dengan ((m,n))=m/n untuk setiap
(m,n) dalam S.
5. Misalkan J himpunan bilangan bulat dan S =
JxJ. Definisikan :SJ dengan (m,n)=m+n.
6. Misalkan S dan T sembarang himpunan;
definisikan :SxTS dengan (a,b) = a untuk
setiap (a,b)SxT.  ini disebut proyeksi dari
SxT pada S. Dengan cara serupa definisikan
proyeksi dari SxT pada T.
CONTOH PEMETAAN
7. Misalkan S adalah himpunan yang terdiri
dari elemen-elemen x1, x2, x3. Definisikan
:SS dengan (x1)=x2, (x2)=x3, (x3)=x1.
8.
Misalkan S adalah himpunan bilangan
bulat dan T adalah himpunan yang
terdiri dari elemen-elemen E dan 0.
Definisikan :ST dengan (n)=E
jika n bilangan genap dan (n)=0
jika n bilangan ganjil
DEFINISI
1. Pemetaan  dari S kedalam T
adalah dikatakan onto
(pada) T, jika diberikan tT
terdapat suatu sS
sedemikian sehingga (s)=t.
2. Pemetaan  dari S kedalam T
adalah dikatakan pemetaan
satu-satu jika untuk
sembarang s1s2 maka
(s1)=(s2)
DEFINISI
1. Dua pemetaan  dan  dari
S kedalam T adalah
dikatakan sama jika (s)=
(s) untuk setiap sS.
2. Jika :ST dan :T U
maka komposisi dari  dan 
adalah pemetaan 0:S U
didefinisikan dengan 0(s)=
((s)) untuk setiap sS.

similar documents