講義資料 - 堀山研究室

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基本情報技術概論 I (第6回)
アルゴリズム と データ構造
埼玉大学 理工学研究科
堀山 貴史
1
ソート アルゴリズム

計算量
基礎的なもの



バブルソート (隣と交換)
選択ソート (最小値 or 最大値 を選択)
挿入ソート (未ソートの値を1つずつ挿入)

少し高速なもの

高速なもの
O(n2)
単純な実装 O(n2)
 シェルソート (挿入ソートの改良版) もう少し速くできる

クイックソート (交換で、基準値より
小さい値/大きい値に分ける)

ヒープソート

マージソート (ソート済リストをマージ)
最悪 O(n2)
平均 O(n log n)
O(n log n)
2
基礎的なソートアルゴリズム
3
バブルソート

(隣接交換法)
隣り合う値を見比べて、大小関係が逆なら交換
小 大
小
が
バ
ラ
大 バ
ラ
20
30
5
10
1
20
30
5
見比べて 1
交換
10
1
20
30
5
10
1
20
5
30
10
20
30
1
5
10
1 確定
20
バ
30
ラ
バ
5
ラ
10
20
1
30
5
10
1
5 確定
20
バ
ラ
30
バ
10
ラ
…
4
バブルソート

n個
比較回数
n (n – 1) / 2
交換回数 最悪 n (n – 1) / 2
(隣接交換法)
計算量
1
20
30
5
10
確定
1
5
20
30
10
1
確定 5
10
20
30
1個目を確定させるのに 2個目
比較が n – 1 回
n–2回
確定
…
1
5
10
20
30
3個目
… n - 1 個目
n–3回 … 1回
全部で O( n2 )
5
バブルソート
開始
n→k
(隣接交換法)
繰返し
1
20
30
5
10
k≦1
確定
1→i
T( i+1) → w
T( i ) → T( i+1)
w
→ T( i )
交 換
i=k
>
T(i), T(i+1) を交換
T(i):T(i+1)
≦
i+1→i
1
5
20
30
10
確定
交 換
k-1→k
繰返し
終了
6
比較回数 n (n – 1) / 2
交換回数 最悪 n - 1
選択ソート

小 ソ
ー
ト
範
囲
大
ソ
ー
ト
範
囲
最小値 (or 最大値) を選択し、ソート範囲の先頭へ
20
30
5
10
1
最小値
の候補
比較
1 確定
最小値
30
の候補
5
10
20
20
30
5
10
1
1
30
5
10
20
最小値
の候補
最小値
の候補
20
30
5
10
1
20
30
5
10
1
交換
最小値
交換
最小値
7
比較回数 最悪 n (n – 1) / 2
交換回数 最悪 n (n – 1) / 2
挿入ソート

小
大
未
ソ
ー
ト
未ソートの値を挿入
20
30
5
10
1
5
20
30
10
1
挿入
10
挿入
20
30
5
10
1
5
20
30
1
5
挿入
10
挿入
20
30
10
1
5
10
20
30
1
5
挿入
1
挿入
8
高速なソートアルゴリズム
9
マージソート

ソートされた2つの列
→ 1つにマージ(併合)するのは簡単
(各列の先頭を見比べながら、小さい方を取っていく)
5 20 25 50

(併合ソート)
1 10 30 40
1回のマージの実行時間は、要素数に比例
10
マージソート
(併合ソート)
5 25 50 20 30 40 10 1
5 25 50 20
5 25
5
25
5 25
30 40 10 1
50 20
50
20
20 50
30 40
30
40
30 40
分割
10 1
10
log n 段
1
1 10
マージ
log n 段
1 段に O( n ) 時間 → 全部で O( n log n ) 時間
クイックソート
5 25 50 20 30 40 10 1
基準値 は 20
(基準値の決め方は色々)
5 25 50 20 30 40 10 1
基準値
以上
5
基準値
以下
基準値
以上の値を左から
以下の値を右から
探して、交換
1 50 20 30 40 10 25
基準値
以上
5
交換
真ん中の位置の
値が基準値
交換
基準値
以下
1 10 20 30 40 50 25
基準値
以上
基準値
以下
12
クイックソート
基準値以下
5
基準値以上
1 10 20 30 40 50 25
基準値
以上
クイックソート
再帰的に
クイックソート
基準値
以下
クイックソート
※ 基準値以上、基準値以下が、半分ずつの大きさに
分かれる保証は無い (大きさが偏ることもある)
13
シェルソート

k = n/2 離れた要素の部分列を挿入ソート
5 25 50 20 30 40 10 1
5 25 50 20 30 40 10 1
5 25 50 20 30 40 10 1
5 25 10 20 30 40 50 1
5 25 10 1 30 40 50 20
14
シェルソート

k = n/4 離れた要素の部分列を挿入ソート
5 25 10 1 30 40 50 20
5 25 10 1 30 40 50 20
5
1 10 20 30 25 50 40
※ 25, 40 や 1, 20 はソートされているので、
25, 1, 40, 20 の挿入ソートは、
要素数4の一般の挿入ソートよりも
最悪の比較・交換回数が少なくて済む
15
シェルソート

k = n/8 離れた要素の部分列を挿入ソート
5
1 10 20 30 25 50 40
1
5 10 20 25 30 40 50
ある間隔で要素を取り出した部分列をソートし、
さらに間隔をつめた部分列を取り出してソートする
16
前回の復習:

ヒープソート
ヒープの最大値の取り出し、ヒープの維持を繰り返す
7
1
6
5
6
3
2
4
1
最大値の取り出し
5
6
3
2
4
1 7
最後の葉の移動
3
7
2
4
ヒープの維持
4
6
3
5
5
7
1
2
4
最大値の取り出し
3
5
67
1
2
4
最後の葉の移動
3
1
5
67
2
ヒープの維持
17
前回の復習:

ヒープソート
ヒープの最大値の取り出し、ヒープの維持を繰り返す
7
6
1
5
6
3
2
4
1
最大値の取り出し
計算量 O( 1 )
3
5
7
2
4
ヒープの維持
計算量 O( log n )
n 回 繰り返し
… トータルの計算量
O( n log n )
18
19
20
選択ソート
20
30
5
10
1
最大値
の候補
比較
(演習 2-02)
20
30
5
10
1
最大値を選択して、
大きい順にソートする
開始
交換
i = 1, 2, ..., n-1
最大値
の候補
i→k
最大値
j = i+1, i+2, ..., n
>
j→k
X(j):X(k)
≦
最大値
X(k), X(j) を交換
交 換
終了
21
22
23
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