Presentazione studenti - Piano Lauree Scientifiche

Report
“L’uomo è la misura di tutte le cose:
di quelle che sono in quanto
sono, di quelle che non sono in
quanto non sono.”
(Protagora)
Argomenti trattati a scuola negli incontri del laboratorio
• Teoria della misura
• Determinazione di aree mediante utilizzo della
bilancia ed il Teorema di Pick
• Calcolo di aree mediante quadrettatura
• Ricerca storica sulle origini della teoria della misura e
sulla sua evoluzione nel corso dei secoli
• Determinazione dell’area del segmento parabolico
mediante metodo meccanico di Archimede e
metodo di Esaustione
• Tassellazioni del piano
…
•Eudosso ed il metodo di esaustione
•Archimede ed il metodo meccanico
•Cavalieri e gli indivisibili
•La misura nella fisica moderna
•Concetto di misura
•Determinazione di aree mediante
utilizzo della bilancia
Cenni biografici
• Il matematico e astronomo greco Eudosso
nacque a Cnido tra il 408 e il 406 a. C. Egli fu
una figura fondamentale nello sviluppo della
matematica e dell’astronomia greca. Fu
inizialmente allievo di Platone e poi di Archita di
Taranto, da cui fu avviato allo studio del
problema della duplicazione del cubo, dei
numeri interi e della teoria della musica
Metodo di Esaustione
 Se gli antichi geometri avevano solo suggerito l’idea che il
cerchio (come le altre figure curvilinee) potesse essere
esaurito o colmato da poligoni regolari iscritti intuendo
soltanto il concetto di “passaggio al limite” , Eudosso per la
prima volta rende rigoroso il procedimento evitando di
ricorrere al concetto di limite stesso.
Egli infatti si proponeva di riempire o “esaurire” (da qui deriva
il nome del metodo) l’area del cerchio, inscrivendolo e
circoscrivendolo con delle figure note tale che l’area della
figura curvilinea risultasse essere compresa tra l’area dei
poligoni interni e l’area di quelli esterni.
 Tale metodo fu fondamentale e permise ad Archimede
di effettuare, ad esempio, il calcolo dell’area di un
segmento parabolico.
 In termini moderni il metodo di esaustione viene
ancora utilizzato nel calcolo integrale, anche se
oggigiorno non lo si chiama più «metodo di esaustione
di Eudosso», ma più semplicemente “calcolo
dell’integrale”. Il calcolo infinitesimale sposta il suo
campo d’azione dalla geometria all’analisi.
• Eudosso, più di 2000 anni fa, fu il primo a
sviluppare un calcolo che può definirsi,
quindi, la chiave dell’analisi infinitesimale
che ebbe il suo completo sviluppo solo
con Sir Isaac Newton nel 1600.
« Summis ingeniis dux et magister fuit »
« Dei più alti ingegni fu guida e maestro » J.L. Heiberg
Cominciò così …
Archimede, più che essere matematico, fisico e
ingegnere, è stato il massimo esponente di una
scienza che ignorava le divisioni che l'odierna
terminologia spinge a considerare inevitabili.
L'opera di Archimede che rappresenta il culmine
della scienza antica è il “Metodo Meccanico”: una
lettera scritta da Archimede al suo amico Eratostene,
il cui scopo è quello di illustrare il “metodo”
utilizzato da Archimede per scoprire le formule che
poi avrebbe dimostrato mediante il metodo di
esaustione.
Il Metodo
Per stupire l’amico con la potenza del suo metodo,
Archimede gli preannuncia che al termine della sua
lettera avrà dimostrato i seguenti due difficili
teoremi:
DEFINIZIONE. L’unghia cilindrica è quella parte di
cilindro che viene staccata tagliando il cilindro stesso
con un piano individuato dal centro di una base e da
una retta tangente al cerchio che costituisce la base
opposta.
TEOREMA 1. Sia data un’unghia cilindrica il cui
cilindro generatore è inscritto in un prisma retto a
basi quadrate: il volume di tale unghia è 1/6 del
prisma.
TEOREMA 2. In un cubo si inscriva un cilindro
avente basi inscritte in due quadrati di base opposti e
nello stesso cubo si inscriva un secondo cilindro
avente basi inscritte in altri due quadrati opposti: il
solido comune ai due cilindri è i 2/3 del cubo.
Archimede ha utilizzato il metodo
meccanico, in particolare, per il
calcolo dell’area di un segmento
parabolico.
DEFINIZIONE.
Un
segmento
parabolico è una regione di piano
compresa tra una corda della
parabola e l’arco congiungente i due
estremi della corda.
PROPOSIZIONE.
L’area
di
un
segmento di parabola è i 4/3
dell’area del triangolo inscritto nel
segmento ed avente la stessa base e
la stessa altezza del segmento.
In realtà il risultato difficile ottenuto da
Archimede è che l’area del segmento di
parabola è 1/3 dell’area del triangolo
avente come lati: la corda, un secondo
lato sulla retta parallela all’asse della
parabola per uno dei due estremi
dell’arco e un terzo lato sulla retta
tangente alla parabola nell’altro
estremo.
Di questo problema Archimede ha dato
varie dimostrazioni: una di natura
intuitiva basata sul teorema della leva,
che serviva ad Archimede per avere una
idea euristica sul risultato, e altre due
assolutamente rigorose basate sul
metodo di esaustione.
La distribuzione di pesi
definita dal triangolo OAB è
equivalente alla distribuzione
che ha tutto il peso
concentrato nel punto K per il
quale
OK : OA = 1 : 3
ma OA =OC = a dunque, per il
teorema della leva, tutto il
peso applicato in C sta al peso
del triangolo applicato in K
come OK sta a OC. Ma il
rapporto tra i pesi è uguale al
rapporto tra le aree e quindi:
Area Parabola : Area triangolo
=1:3
Bonaventura cavalieri (1598-1647), allievo di Galileo e professore
in un liceo di Bologna, fu influenzato da Keplero e da Galileo e
spinto da quest’ultimo a occuparsi dei problemi del calcolo
infinitesimale. Cavalieri sviluppò le idee di Galileo e di altri sugli
indivisibili incorporandole in un metodo geometrico e pubblicò
un’opera sull’argomento intitolata “geometria indivisibilibus
continuorum nova quadam ratione promota” (1635).
Perché lo ricordiamo?
…ah forse per il metodo degli Indivisibili??!
Egli considera un’area come costituita da un numero indefinito di
segmenti paralleli equidistanti e un volume come composto da un
numero indefinito di aree piane parallele; questi elementi sono detti
rispettivamente indivisibili di area e di volume. Cavalieri si rende conto
che il numero di indivisibili che costituiscono un’area o un volume
deve essere indefinitamente grande, ma non cerca di approfondire
questo fatto. In parole semplici, gli indivisibilisti sostenevano, come
dice Cavalieri nelle sue “Exercitationes geometricae sex” (1647), che
una retta è composta da punti come un rosario da grani; che un piano
è composto da rette come una stoffa da fili e che un volume è
composto da aree piane come un libro da pagine. Essi ammettevano
tuttavia che gli elementi costituenti fossero in numero infinito.
Il metodo o principio di Cavalieri è illustrato
dalla seguente proposizione, che può
naturalmente essere dimostrata in altri modi.
Per provare che il parallelogramma ABCD ha
area doppia di quelle dei triangoli ABD o BCD,
Cavalieri osservava che, se
GD = BE, allora GH = FE.
I triangoli ABD e BCD sono perciò composti
da un numero uguale di segmenti uguali come
GH ed EF e devono perciò avere aree uguali.
Lo stesso principio è incorporato
nella proposizione nota oggi con il
nome di:
Teorema di
Cavalieri
“Se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni tagliate
da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da
queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi
dei solidi staranno in questo rapporto."
Gli indivisibili di Cavalieri furono criticati dai suoi
contemporanei e Cavalieri tentò di rispondere alle critiche,
senza però essere in possesso di una giustificazione
rigorosa. A volte sosteneva che il suo era soltanto un
metodo pragmatico per evitare di far ricorso al metodo di
esaustione. Nonostante le critiche, il metodo degli
indivisibili venne applicato intensivamente da molti
matematici. Altri, come Fermat, Pascal e Roberval, si
servirono del metodo e anche dello stesso suo linguaggio
adoperando espressioni come la somma delle ordinate, ma
pensavano all’area come a una somma di rettangoli
infinitamente piccoli piuttosto che come a una somma di
segmenti.
W. HEISENBERG (1901-1976)
E SCHRODINGER (1887-1961)
Meccanica quantistica
• La
meccanica
quantistica
è
una
teoria fisica che si è sviluppata e consolidata
nella prima metà del XX secolo, per supplire
all'inadeguatezza
della
meccanica
classica relativa alla descrizione del moto
delle particelle costituenti la materia.
• La meccanica quantistica si distingue in maniera
radicale dalla meccanica classica in quanto si
limita a esprimere la probabilità di ottenere un
dato risultato a partire da una certa misurazione,
rinunciando così al determinismo assoluto
proprio della fisica precedente. Questa
condizione di incertezza o indeterminazione non
è dovuta a una conoscenza incompleta da parte
dello sperimentatore dello stato in cui si trova il
sistema fisico osservato, ma è da considerarsi
una
caratteristica
intrinseca,
quindi
ineliminabile, del sistema e del mondo
subatomico in generale.
Il paradosso della misura
• In meccanica quantistica il comportamento di una
particella è espresso in termini di funzione d’onda, e la
sua evoluzione nel tempo è descritta perfettamente
dall’equazione di Schrödinger. Tuttavia, nel momento
in cui cerchiamo di misurare la posizione, la quantità di
moto o qualunque altra grandezza fisica relativa alla
particella, ne perturbiamo il moto. Così facendo,
l’equazione di Schrödinger non vale più e non siamo
più in grado di descrivere il moto della particella.
Principio di
indeterminazione
• Il fisico Werner Heisenberg formulò un principio, noto come
principio di indeterminazione, il quale afferma che
l’incertezza sulla posizione di una particella e quella sulla sua
quantità di moto sono inversamente proporzionali.
• Ciò vuol dire che esistono coppie di variabili (dette tra loro
coniugate), come posizione e impulso di una particella, il cui
valore non può essere neanche in linea di principio
conosciuto simultaneamente con precisione arbitraria,
indipendentemente dall'accuratezza sperimentale con cui
vengono effettuate le misure.
Paradosso EPR
 Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen (paradosso
EPR) è un esperimento mentale che dimostra come una
misura eseguita su una parte di un sistema quantistico
possa propagare istantaneamente (interpretazione di
Copenhagen) un effetto sul risultato di un'altra misura,
eseguita successivamente su un’altra parte dello stesso
sistema quantistico, indipendentemente dalla distanza
che separa le due parti. Il paradosso EPR si basa su un
fenomeno predetto dalla meccanica quantistica,
conosciuto come entanglement quantistico, per
mostrare che misure compiute su parti di un sistema
fisico separate spazialmente possono avere in
apparenza un'influenza istantanea l'una sull'altra.
• Immaginiamo un sistema, di cui sia nota la quantità di moto p, formato
da due atomi. Nel momento in cui questi due atomi si separano, deve
essere rispettata ovviamente la legge di conservazione della quantità di
moto p1+p2=p. Immagino, dunque, di misurare la quantità di moto p1
della particella 1 con precisione infinita (lo posso fare purché la
precisione con cui misuro la sua posizione sia nulla, poiché in questo
caso il prodotto fra le incertezze è indeterminato). Allo stesso modo
immagino di misurare con precisione infinita la posizione della particella
2. Ci troviamo di fronte ad un paradosso: infatti conosco con incertezza
zero la posizione della particella 2, ma allo stesso tempo anche la sua
quantità di moto, essendo questa uguale a p-p1.
• L’UNICO MODO PER RISOLVERE IL PARADOSSO E’ IMMAGINARE CHE
QUANDO MISURO P1, ISTANTANEAMENTE PERDO QUALSIASI
INFORMAZIONE SULLA PARTICELLA 2.
Ecco i metodi da utilizzare…
Come cominciare…
…Misurare
significa confrontare la
grandezza incognita
con una grandezza
omogenea con essa
scelta come unità di
misura
Si definisce misura di A, il rapporto :
a= A/U
dove a è il valore della misura, A è la grandezza da misurare, U
è l’unità di misura.
Stabilite due unità di misura diverse Ua e Ub, la misura della
grandezza A, riferita alle due unità è :
a’ =A/Ua
a’’=A/Ub
Otterremo quindi dei valori differenti a seconda dell’unità di
misura utilizzata. Tuttavia è possibile introdurre un fattore di
conversione, mediante il quale è possibile “passare” da
un’unità di misura all’altra.
a’’= a’ Ua/Ub
a’’=a’k
dove k=Ua/Ub è il fattore di conversione
Bisogna però notare che nell’effettuare il
passaggio da un’unità di misura ad un’altra nel
caso delle aree il fattore di conversione dovrà
essere elevato al quadrato (k²) in quanto l’area è il
prodotto tra i lati…(e quindi tra 2 misure lineari)…
Per estensione del concetto il coefficiente
relativo al volume dovrà essere elevato al cubo
(k³)…
K²=Ua²/Ub²
È possibile misurare in due
differenti modi..
Direttamente
Mediante il confronto
diretto tra l’oggetto e
l’unità di misura
Indirettamente
Attraverso dei calcoli
matematici, come nel
caso del calcolo dell’area
di un rettangolo
mediante il prodotto
delle misure dei lati.
Quando si effettua una misurazione bisogna tener sempre
conto dell’errore (ottenere una misura infinitamente precisa è
infatti impossibile)).
Propagazione degli errori
L’errore sulla somma o differenza di 2 misure è
dato dalla somma dei 2 errori assoluti :
Δ(a+b)=Δa+Δb
L’errore relativo su una misura è dato dal
rapporto tra l’errore assoluto e la misura
stessa…
Quindi l’errore relativo(ε) su un prodotto è
dato dalla somma degli errori relativi:
ε (ab)=ε(a)+ε(b)
Misura dell’area di una figura
attraverso la massa
 E’ possibile calcolare l’area di una figura sfruttando la massa?
La risposta è sì, sfruttando la relazione tra la massa e la densità di due figure: un
quadrato regolare, preso come unità campione, e una figura irregolare.
Massa= volume ∙ densità m=V ∙ d
Volume= Area ∙ spessore
V=A ∙ s
quindi,
massa=d ∙ A ∙ s
Avendo preso in esame figure della stessa densità e spessore, la quantità d ∙ s è una
costante. Indicando con “m” ed “mq” ed “A” ed “Aq” rispettivamente le masse e le
Aree dell’oggetto incognito e del quadrato campione, si ottiene:
m =k∙A mq= k∙Aq
da qui:
m/A=mq/Aq
A=(Aq/mq)∙m
Utilizzo della bilancia elettronica
• Per calcolare , quindi, l’area di una figura irregolare è
necessario conoscerne la massa.
A=(Aq/mq)∙m
Per determinare le masse possiamo utilizzare la bilancia
elettronica.
Utilizzo della bilancia a bracci uguali
 Per determinare l’area, in funzione della massa, possiamo utilizzare
anche la bilancia a bracci uguali.
Sfruttando questo strumento, bisogna usare il concetto di momento
e di leva.
Nella bilancia a bracci uguali vale la relazione:
F1b1= F2b2
dove F indica la forza peso esercitata dalla massa e b il braccio.
Poiché i bracci sono uguali la relazione diventa:
F1=F2
Per trovare l’area della figura sconosciuta la poniamo sul primo
piatto mentre sul secondo si pongono tante figure campione, di cui
è nota l’area, fino a raggiungere una condizione di equilibrio.
• Di conseguenza, essendo l’area
direttamente proporzionale alla massa,
l’area della figura irregolare è uguale alla
somma delle aree delle figure campione
utilizzate.

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