CONO - Patini Liberatore

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Luogo geometrico :
l’insieme di tutti e soli i punti del piano che
godono di una data proprietà
Ogni proprietà caratteristica dei punti di un luogo
può essere tradotta in una relazione algebrica tra
l’ascissa e l’ordinata dei punti P(x;y) della figura
ovvero
F(x;y) = 0
Equazione che deve essere soddisfatta dalle
coordinate dei punti del luogo e soltanto da essi.
E’ proprio in questo che consiste il metodo
algebrico : caratterizzare ogni luogo con equazioni
del tipo F(x;y) = 0, dove F indica un’espressione
matematica contenente due variabili x e y.
Esempio :
L’asse di un segmento che ha come
proprietà il luogo dei punti
equidistanti dagli estremi oppure la
circonferenza che ha l’insieme di
tutti e soli i punti equidistanti da un
centro.
Nei casi in cui l’equazione
F(x;y) = 0
F rappresenti un numero finito di operazioni sulle variabili x e y quali l’addizione , sottrazione,
la moltiplicazione, la divisione e l’estrazione di radice n- esima, l’equazione si dice equazione
algebrica. Nello studio della geometria analitica ci limiteremo a considerare due casi :
1) F (x;y) è un polinomio di primo grado
F (x;y) = 0
ax +bx+c = 0 (retta) con a,b =0
2) F(x;y) è un polinomio di secondo grado
F(x;y) = 0
ax² + bxy + cy² + dx + ey +f = 0
Se ha soluzioni , rappresenterà una conica e detto il discriminante della conica
 = b² - 4ac
si ha per  < 0
ellissi o circonferenza
=0
parabola
>0
iperbole
Tali curve piane vengono chiamate sezioni coniche perché si ottengono sezionando un cono
circolare retto a due falde con un piano.
CONO A DUE FALDE
Il cono a due falde è la superficie di spazio generata dalla rotazione di una retta r
(generatrice) intorno ad un'altra retta a (asse di rotazione) incidente ad r. Il punto V
di intersezione tra r ed a è detto "vertice" del cono. Questo divide la superficie conica
in due parti, ciascuna delle quali è detta falda della superficie conica; l'angolo α
formato da r con a (minore di un angolo retto) è detto "apertura" del cono.
Quindi si dice sezione conica qualsiasi
curva ottenuta intersecando il cono a due
falde con un piano qualsiasi dello spazio,
non passante per il vertice V.
Un viaggio nella storia ….
Per i matematici greci le curve, non erano definite come luoghi del piano
che soddisfano determinate condizioni, ma con il seguente ordine :
TRE CATEGORIE
LUOGHI PIANI
LUOGHI SOLIDI
LUOGHI LINEARI
Sezioni coniche
Tutte le altre curve
Retta
Parabola
Ellisse
Cerchio
Circonferenza
Iperbole
… Un viaggio nella storia …
Le coniche, ottenute come sezioni piane di un cono, sono studiate inizialmente nello spazio in quanto curve
"solide". Le proprietà che le caratterizzano legano i loro singoli punti al cono di appartenenza. Una prima
teoria fu sviluppata dal matematico greco Menecmo, nella seconda metà del IV sec. a.C., che scoprì le sezioni
coniche nel tentativo di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Menecmo attribuì alle sezioni coniche
i nomi : ortotome, oxitome, amblitome. Di esse si sarebbero
occupati anche Aristeo il Vecchio e Euclide
(360-300 a.C.), sulle quali scrisse ben 4 libri, ma
di questi studi non vi è rimasta alcuna traccia .
Una sistemazione completa e organica
dal punto di vista teorico e della loro trattazione fu
data da Apollonio di Perga (200 a.C.).
La sua opera Sezioni Coniche ,che viene
considerata un capolavoro di rigore logico, era
composta originariamente da otto libri, alcuni di
essi sono andati perduti, ma a noi ne restano
solamente sette che sono arrivati fino a noi nella trattazione araba.
Nella sua opera Apollonio definisce le coniche come curve ottenute mediante l’intersezione di un piano con un
cono circolare retto. Le diverse inclinazioni del piano generano le diverse coniche. Ed è proprio da Apollonio
che le sezioni coniche hanno preso i nomi moderni di parabola, ellisse ed iperbole.
… Le differenze tra le due teorie sulle sezioni coniche …
1) Menecmo usa solo coni retti ottenuti per rotazione di opportuni triangoli rettangoli
attorno a un cateto,
e li taglia tutti con piani perpendicolari al lato obliquo
del triangolo assiale (l’ipotenusa) sicché le diverse coniche
giacciono su diversi tipi di cono.
2) Apollonio invece usa un cono generico (obliquo, con base circolare) e tagliandolo con
piani diversamente inclinati riesce a collocare su di esso tutte le curve scoperte da
Menecmo. Le differenti proprietà che le caratterizzano
sono (sia dall'uno che dall'altro studioso) ricavati sul cono, nello
spazio tridimensionale (e ciò qualifica tali curve
come "solide"): ma Apollonio le reinterpreta anche nel piano
introducendo così i termini ancora oggi in uso di ellisse, parabola,
iperbole.
A seconda della posizione che il piano ha rispetto al cono a due falde, la conica
può essere una curva di tipo diverso:
Se il piano è meno inclinato della retta
generatrice allora interseca una sola
delle due falde del cono, e taglia su di
esse una curva limitata detta ellissi.
Se il piano è orizzontale, l’ellissi è una,
circonferenza le circonferenze,
quindi sono particolari ellissi.
Se il piano è parallelo alla
generatrice, interseca una sola delle
due falde del cono, e taglia su di
esse una curva illimitata detta
Se il piano è più inclinato della
generatrice interseca entrambe le falde,
e taglia su di esse una curva (illimitata e
spezzata in due rami) detta iperbole.
parabola
CIRCONFERENZA
La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto
fisso detto centro.
PC = r
Da questa definizione di circonferenza
si può ricavare, con vari
passaggi,l’equazione conica di essa:
x²+y²+x+βy+γ=0
C
o
(1)
Fig. 1
Con x² e y² uguali a 1
Nel caso in cui il centro C
coincide con l’origine o,
avremo:
x²+y²=r²
(2)
r
P
r
P
o≡C
Fig. 2
ELLISSI
L’ellissi è il luogo dei punti di un piano per i quali è costante la
somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Indicando con 2a la somma costante delle distanze di un punto P dell’ellissi dai
fuochi F₁ ed F₂ e con 2c la distanza tra i due fuochi, possiamo scrivere che:
PF₁+PF₂=2a
F₁F₂= 2c
Da questa definizione di ellissi si può
ricavare, con vari passaggi, l’equazione
conica di essa:
x²/a²+y²/b²= 1
o
IPERBOLE
L’iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la
differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Sia 2a la differenza costante della distanza di un punto p della curva dai due
fuochi F1, F2 e sia 2c la distanza di questi punti .
|PF₂-PF₁|=2a= costante
F₂F₁=2c
Da questa definizione dell’iperbole si può
ricavare, con vari passaggi, l’equazione
conica di essa:
x²/a²+y²/b²= 1
Esperimento
Cosa
puntiamo
torcia
muro
Chesuccede
Che
“forma”seha
il
il fascio
fascioladi
diluce
luce
lucedise
seuna
punto
punto
una
unacontro
torcia
torcia ilcon
con
il
il ?
braccio
braccioinclinato
perpendicolare
rispettoalalmuro?
muro?
Risposta: si
forma
un’ellisse
una
circonferenza
Risposta:
forma
un
cono
di luce
osi un
iperbole
Circonferenza
Ellisse
Iperbole
Cono
PARABOLA
La parabola è il luogo geometrico dei punti di un piano
equidistanti da un punto fisso F (detto fuoco) e una retta
data d (detta direttrice).
Riferiamo gli elementi della definizione ad una
coppia di assi ortogonali di cui quello delle y
passa per F ed è perpendicolare alla retta data
d; l’origine o ( sull’asse y) è il punto equidistante
da F e da d (vertice della parabola);l’asse x è
parallelo alla retta d.
PF=PK
La retta passante per il vertice e
perpendicolare alla direttrice è l’asse di
simmetria della parabola: infatti se un
punto P appartiene alla parabola,
anche il punto P¹ simmetrico di P
rispetto a tale asse, appartiene alla
parabola
PARABOLA DI EQUAZIONE y = ax²
Riferiamo il fuoco e la direttrice della parabola ad un sistema cartesiano scelto in modo che l’origine
coincida con il vertice e l’asse y coincida con l’asse di simmetria della parabola. In tale sistema di
riferimento se p ≠ 0 è l’ordinata del fuoco,
• il fuoco è il punto F (0;p) ;
• la direttrice ha equazione y = -p
Sia P(x;y) un generico punto del piano e H(x;-p) la sua
proiezione ortogonale sulla direttrice.
Per definizione, P appartiene alla parabola se e solo se :
PF = PH
Determiniamo PF e PH :
• PF = √( Xp – Xf)² + ( Yp – Yf )²
• PH = ∣Yp – Yh∣ = ∣Y - (-p)∣
PF = √ x² + ( y – p)²
PH= ∣y + p∣
Sostituendo nella relazione PF = PH le espressioni trovate otteniamo :
√ x² + ( y –p)² = ∣y + p∣
x² + (y - p) = (y + p)²
x² = 4py
x² + y² - 2py + p² = y² +2py + p²
y = 1/4p * x² con p≠0
Ponendo 1/4p= a , l’equazione diviene
y = a x²
a≠0
La relazione precedente è l’equazione di una parabola che il vertice nell’origine e
l’asse di simmetria coincidente con l’asse y:
V (0;0)
x = 0 (asse y)
vertice
equazione dell’asse di simmetria
Per determinare le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice della
parabola, dobbiamo tenere presente la relazione:
1/4p = a
1/4a = p
Grazie a essa le coordinate del fuoco F(0;p) e l’equazione della direttrice y = -p si
possono esprimere in funzione di a:
F (0; )
fuoco
equazione della direttrice
Il coefficiente a
• Se nell’equazione y=ax² è a>0, la parabola passa
per l’origine degli assi e in tale punto la curva è
tangente all’asse x. Inoltre l’origine degli assi coincide
con il vertice della parabola e tutti gli altri punti della
curva si trovano al di sopra dell’asse x. Quindi la
parabola volge la concavità verso l’alto
y
x
y
x
• Se nell’equazione y=ax² è a<0, la parabola
è tangente all’asse x nell’origine, che è il
vertice, ma tutti i punti della curva si trovano
al di sotto dell’asse x. Quindi la parabola
volge la concavità verso il basso
Inoltre il valore assoluto del coefficiente a
determina l’apertura della parabola. Quanto più
|a| è piccolo, tanto più la parabola è “aperta”;
quanto più |a| è grande, tanto più la parabola
è “chiusa”. Per questo motivo a è detto
coefficiente di apertura della parabola.
coefficiente c determina il punto di intersezione
della parabola con l'asse delle ordinate.
Il coefficiente b è legato alla posizione
dell'asse della parabola (la retta verticale
passante per il vertice)
esempio
Data la parabola di equazione y = - 1/6 x², determinare le coordinate del
fuoco e l’equazione della direttrice e rappresentarla graficamente.
L’equazione è nella forma
y = ax², con a = - 1/6
Il vertice della parabola è
nell’origine, essendo a<0
la parabola volge la
concavità verso il basso
F (0; )
F(0; - 3/2)
y = 3/2
Parabola di equazione y = a x² + b x + c
Vogliamo ora determinare l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo
all’asse y e vertice nel punto V(x₀;y₀).
Sia Υ₀ una parabola con vertice nell’origine O(0;0) e
asse di simmetria coincidente con l’asse y, di
equazione
, con a≠0. sottoponiamo i punti di
Υ₀ a una traslazione di vettore v( x₀;y₀). La parabola Υ₀
è quindi trasformata nella parabola Υ con vertice V ,
trasformato di O, e asse di simmetria parallelo all’asse
y e di equazione x = x₀. L’equazione della parabola
traslata Υ si trova si trova effettuando sull’equazione di
Υ₀ la sostituzione [x⇀x - x₀ ʌ y⇀y - y₀] associata alla
traslazione T di equazione :
y – y₀ = a (x – x₀)²
Possiamo quindi concludere che una parabola con vertice nel punto V(x₀;y₀) e asse di simmetria
parallelo all’asse y ha equazione
y – y₀ = a(x – x₀)²
a≠0
y = ax² - 2ax₀x + ax₀² + y₀
Ponendo
b = - 2ax₀
c = ax₀² + y₀
y = a x² + b x + c a≠0
Ogni parabola con asse di simmetria all’asse y ha equazione y=ax²+bx+c.
Dalla formula ottenuta possiamo ricavare le coordinate (x₀;y₀) del vertice V di γ in funzione di a,b,c.
y₀= c-ax₀² =c-a*b²/4a²
y₀= -b²-4ac/4a
• Vertice:
• Asse di simmetria:
Utilizzando le equazioni della traslazione troviamo
che il fuoco F di γ trasformato del fuoco F₀(0; ¼ a) di γ₀ è:
La direttrice di Υ₀ ha equazione
direttrice di γ avremo:
e per la
y-y₀= Quindi la direttrice di ha equazione
+ y₀ cioè
Massimi e minimi della funzione quadrica
Quindi come abbiamo visto il grafico dell’equazione y=ax²+bx+c è una parabola. Dopo aver posto
f(x)=ax²+bx+c osserviamo:
1) Se a>0 si ha:
• f(x) decresce per x<-b/2a
• f(x) cresce per x>-b/2a
• f(x) assume il valore minimo per x=-b/2a e
tale valore è f(-b/2a)= -/4a quindi :
Min f(x)= -/4a
2) Se a<0 si ha:
• f(x) cresce per x<-b/2a
• f(x) decresce per x>-b/2a
• f(x) assume il valore massimo per x=-b/2a e tale
valore è f(-b/2a)= -/4a quindi :
Max f(x)= -/4a
Parabola di equazione x=ay²+by+c
Le considerazioni che abbiamo fatto sulle parabole con asse di simmetria parallelo
all’asse y si possono ripetere, con opportune modifiche, per le parabole con asse di
simmetria parallelo all’asse x .
x = ay²+by+c
L’equazione precedente si può ottenere dall’equazione y=ax²+bx+c sostituendo la variabile x con
la variabile y. Tale sostituzione è associata alla simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3°
quadrante. Pertanto la parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x, di equazione
x=ay²+bx+c è la simmetrica della parabola con asse di simmetria parallelo a y, di equazione
y=ax²+bx+c.
Quindi per determinare fuoco, vertice, direttrice e asse della parabola con asse di simmetria
parallelo all’asse x, basta scambiare x con y nelle formule già viste precedentemente della
parabola con l’asse parallelo all’asse y
Direttrice:
Asse di simmetria:
Se a>0 la parabola volge la
concavità verso destra
Se a<0 la parabola volge la
concavità verso sinistra
REALIZZATO DA:
Campana Miriana
D’Addario Laureana
IL CONO
CONO RETTO
Quando un triangolo rettangolo ruota intorno ad un cateto
fissato fino a ritornare alla posizione da cui era partito, la figura
così racchiusa è un CONO RETTO.
In alternativa, un CONO RETTO è la figura delimitata dal
cerchio e dalla superficie conica situata tra il VERTICE V,
che giace sull’asse perpendicolare alla base, e la
circonferenza del cerchio.
CONO QUALSIASI
Un CONO è la figura delimitata dal cerchio e superficie conica
situata tra il VERTICE V e la circonferenza del cerchio; L’ASSE del
cono è la retta tracciata dal vertice al centro del cerchio; e la BASE
è il cerchio.
… PENSIERO DÌ MENECMO …
Se il triangolo rettangolo è isoscele ( angoli alla
base = 60°), si ottiene l'ortotome (parabola).
Se il triangolo rettangolo è
acutangolo, (3 angoli <90°), si
ottiene l'oxitome (ellisse).
Se il triangolo rettangolo è
ottusangolo, (1 angolo >90°), si
ottiene l'amblitome (iperbole).
… PENSIERO DÌ APOLLONIO …
Egli affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni
coniche, variando semplicemente l’inclinazione del piano di intersezione.
Inoltre dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o
in coni retti.
Circonferenza
Ellisse
Parabola
Iperbole
Applicazioni alla vita reale de circonferenza
Il radar
Il radar è un sistema che usa
le onde radio per rilevare la
distanza, la posizione e la
velocità di oggetti: la più
importante applicazione è il
rilevamento di posizione,
rotta di aerei e navi.
tagliare
un tronco
d’albero
Astronomo e fisico, Aristarco , è noto soprattutto
per avere per primo introdotto una teoria
astronomica nella quale il Sole e le stelle fisse
sono immobili mentre la Terra ruota attorno al
Sole percorrendo una circonferenza.
La bandiera olimpica .
Secondo
l'interpretazione
ufficiale i cinque cerchi
rappresentano i cinque
continenti. I cerchi
simboleggiano gli ideali
di universalità e
fratellanza.
SCIENZA
Jhoannes Keplero (1571-1630) astronomo e
matematico tedesco scoprì empiricamente le
leggi che governano il movimento dei
pianeti studiando i dati sperimentali di
Tycho Brane di cui fu assistente. Keplero
propone un modello eliocentrico in cui non
vengono più considerate le orbite circolari,
le forme perfette, ed è supportato nel farlo
dai dati sperimentali ottenuti da Tycho
Brahe. Osserviamo che, poiché l'ellisse è una
figura piana, i moti dei pianeti avvengono in
un piano, detto piano orbitale. Per la Terra
tale piano è detto ellittica. Cosi formulò la
prima legge :
« L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse,
di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. »
ARTE
Specchio neoclassico
francese
Tavolino barocco
Esposto in “Il Barocco Andino
e le Serie Angeliche”, Castello
della Marigolda, Curno
(Bergamo) Il dipinto
rappresenta L’Arcangelo
Archibugiere Aspiele , mentre
porta l’archibugio rivolto
verso il basso.
Bernini. Piazza S. Pietro, Roma.
ARCHITETTURA
Arena di Pompei
Chiesa di San Carlo alle quattro fontane (San Carlino) a Roma. La chiesa venne realizzata da
Francesco Borromini. L'interno è un'altra splendida architettura di Borromini che con apparente
semplicità sfrutta i ridotti spazi presenti conferendogli
plasticità uniche, è difficile capire da quale parte
prende inizio il progetto borrominiano ... probabilmente
dall'idea di alternare pareti concave e convesse, infatti
il Borromini si muove all'interno di uno spazio romboidale
ricavato a sua volta all'interno del corpo di fabbrica a
disposizione, ovvero un ottagono allungato, gli ordini
superiori poi vennero concepiti armonizzando
le linee curve con la più naturale delle forme geometriche allungate: l'ellisse.
pianta della chiesa di
Sant'Andrea al
Quirinale (1658) a
Roma, opera di Gian
Lorenzo Bernini
Stadio di
Taiwan, con
pannelli solari
L'arena romana di
Nimes in Francia
Piazza San Pietro a Roma,
progettata da Gian Lorenzo Bernini. I
fuochi dell'ellisse sono evidenziati
sulla pavimentazione.
LEGGE DÌ BOYLE
La legge di Boyle e Mariotte afferma
che in condizioni di temperatura
costante la pressione di un gas
perfetto è inversamente
proporzionale al suo volume, ovvero
che il prodotto della pressione del gas
per il volume da esso occupato è
costante. Ne segue che per una certa
temperatura in un diagramma con il
volume V del gas in ascissa e la
pressione P in ordinata (piano di
Clapeyron) la legge di Boyle è
rappresentata da un ramo (quello
positivo) di un'iperbole equilatera,
come evidenziato nel diagramma qui a
lato.
Un’occasione in cui possiamo osservare una iperbole completa è
quando una lampada con paralume di forma cilindrica o conica,
aperto da entrambe le parti, proietta la sua ombra sulla parete vicina.
I nostri nonni potevano osservare un ramo di iperbole su una parete
quando ponevano, sul comodino accanto alla parete, una candela
accesa su un candeliere avente la base circolare.
La forma che assume la superficie libera dell’acqua
(o della sabbia ) di una clessidra, formata da un
cono a due falde, appoggiata su una superficie piana
rappresenta una iperbole
Il profilo delle grandi torri di raffreddamento dell’acqua
negli stabilimenti industriali ci presenta una iperbole.
Il primo e più
importante è il moto
dei corpi. Tutti gli
oggetti spinti in aria
descrivono, cadendo,
archi di parabola
L’acqua zampillante di una fontana, di una
cascata, di un irrigatore a getto …
… Le foglie molto lunghe
delle piante si dispongono ad
arco di parabola.
… le particelle luminose dei
fuochi d’artificio
Gli specchi stradali e gli specchietti retrovisori sono specchi parabolici
convessi (la riflessione avviene sulla superficie esterna della forma
parabolica, cosicché il fuoco della superficie riflettente giace dalla parte
opposta dello specchio rispetto all'osservatore). Con tali specchi è possibile
vedere oggetti sotto un grande angolo poiché si crea un'immagine virtuale
dritta e rimpicciolita dell'oggetto a qualunque distanza esso si trovi davanti
allo specchio.
Principio della
parabola …
Se si pone una sorgente nel fuoco di uno specchio parabolico, per esempio
una lampadina, i raggi riflessi formano un fascio parallelo all'asse, meno
disperso e di più alta luminosità direzionata.
Questo principio viene sfruttato nella costruzione dei fari dei porti (il fascio di
luce deve essere visibile a grande distanza e deve indicare chiaramente la
direzione di provenienza),
Fari delle automobili (oltre ad assicurare una buona illuminazione della strada, il
fascio di luce proiettato in un'unica direzione, verso la strada, evita di abbagliare i
conducenti delle auto provenienti in senso contrario), di flash, torce elettriche e
dei proiettori in genere.
SCIENZa …
Gli specchi ustori sono
specchi in grado di
concentrare i raggi paralleli
provenienti dal Sole in un
punto, detto fuoco dello
specchio. Tale scoperta viene
attribuita ad Archimede.
Uno specchio ustore può essere realizzato con uno
specchio parabolico, uno specchio, cioè, la cui superficie
abbia la forma di un paraboloide di rotazione.
Naturalmente la funzione degli specchi ustori può
essere svolta con buona approssimazione anche usando
un gran numero di specchi piani che riflettano la luce in un unico punto.
Si è ipotizzato che questa seconda soluzione (ottenuta magari con specchi indipendenti,
ciascuno manovrato da una persona) sia stata quella utilizzata in pratica. Vennero usati
durante la seconda guerra punica fatta tra Romani e Fenici.
Il radiotelescopio è una
grande superficie parabolica
che raccoglie le onde radio provenienti da
una sorgente celeste.
LA parabola solare termica a concentrazione
I pannelli solari termici installati fin'ora sui tetti producono acqua
calda prevalentemente nella bella stagione o in zone felici dal punto di
vista climatico, la parabola (per le sue caratteristiche) permette di
raccogliere i raggi solari in maniera tale da scaldare l’acqua a buone
temperature anche in pieno inverno e in condizioni di cielo coperto.
RadioAstron, il più grande telescopio mai messo in orbita. Con la sua antenna da 10
metri lavorerà con i maggiori radiotelescopi terrestri creando una rete in grado di
fornire immagini dettagliatissime dell'universo, con una risoluzione mille volte più
precisa del telescopio Hubble.
Moto Parabolico
Il moto parabolico è la composizione di due moti :
• Moto rettilineo uniforme in orizzontale
• Moto uniformemente accelerato in verticale
Velocità iniziale orizzontale
Per ottenere la traiettoria del moto occorre conoscere la posizione del
corpo in ogni istante, sapendo che la sua posizione lungo l’asse X si
trova utilizzando la formula del moto rettilineo uniforme :
x = v̥t
Mentre per trovare la posizione del corpo sull’asse delle Y si usa la
legge del moto uniformemente accelerato :
y = - ½ gt²
Equazione cartesiana della traiettoria
di un corpo, essa rappresenta una
parabola che ha il vertice nell’origine
degli assi.
y = - ½ g/v̥²x²
Velocità iniziale obliqua
Consideriamo una palla da basket che viene
lanciata verso il canestro, è conveniente
scomporre la velocità iniziale nelle sue
componenti orizzontali e verticali v Vx e Vy.
Per il teorema di Pitagora
abbiamo che
v ̥ = √ (Vx)²+ (Vy)²
Con un procedimento analogo a quello
precedente otterremo l’equazione
della traiettoria di questo moto :
Y = Vy / Vx * x – ½ g/v²x * x²
Quindi anche la traiettoria di un oggetto
lanciato in direzione obliqua è una
parabola
ARCHITETTURA
La chiesa di Grignano architetto
Zocconi la chiesa a san Luigi
Barcellona
ARTE
Barcellona. Park Güell.
Particolari interni ed
esterni del rivestimento
in maiolica della grande
panchina ondulata.
IL MANIFESTO DELL’ARCHITETTURA
FUTURISTA, e la “città nuova” di Antonio sant’
Elia.
Barcellona. Palau Güell (1886-89). Facciata
principale casa vicens. A Gaudí di utilizzare i
migliori materiali reperibili in tutto il mondo. Fu in
questo palazzo che comparvero per la prima volta gli
archi parabolici, ricordo dell’arco ogivale medievale e
neogotico.
Curiosità
Gaudì a Barcellona
Gaudì ha ricamato Barcellona con le sue opere
pazzesche apparentemente irregolari e fantasiose
ma costruite secondo scienza e rigore. L’architetto
utilizza due curve matematiche : la parabola e la
catenaria che in realtà sono due luoghi geometrici.
La parabola è definita come la linea che si ottiene
intersecando un cono circolare con un piano
parallelo a una delle rette che descrive la superfice
del cono. Si puo notare che se su una curva agisce
una forza peso, questa si distribuisce lungo la
parabola in modo che gli sforzi risultino equamente
distribuiti lungo la direttrice. Ruotando e traslando
la parabola lungo la retta, il fuoco della conica
descrive la catenaria. Questa curva ha una
proprietà molto importante dal punto di vista
dell’equilibrio : soggetta ad un carico, distribuisce il
peso uniformemente lungo la curva stessa.
Barcellona è una città che brilla di luce propria e
rispecchia la bellezza della luce matematica,
facendo rispettare aria di civiltà e liberta ai
cittadini provenienti da tutto il mondo.
Barcellona. Park Güell.
Barcellona. Casa
Calvet (1898-1900).
Facciata principale.
Park Güell. Particolare della fontana con la salamand
sulla scala di accesso alla sala ipostila.
“ barCElloNa è uNa CIttà ChE brIlla dI luCE proprIa E rISpECChIa la
bellezza della luce matematica, facendo respirare aria di civiltà e
lIbErtà aI CIttadINI provENIENtI da tutto Il moNdo. “
L’architetto catalano costruisce modelli dei suoi
progetti con corde con alle quali appende
sacchetti di sabbia. A seconda della disposizione
degli stessi, le corde assumono la configurazione
di una parabola, se i sacchetti si distribuiscono
uniformemente lungo la direttrice, oppure di
una catenaria se i sacchetti si distribuiscono
uniformemente lungo la curva stessa. Solo una
volta ottenuto un risultato soddisfacente,
l’artista capovolge il tutto e applica il modello
ottenuto alle sue architetture.
Parco Güell
camminata sorretta
da dei pilastri di roccia
avvolgenti che
sembrano uscire dal
suolo come dei tronchi
d'albero.
Cit. Gaudì
Barcellona Gaudí
architettura inside
la Sagrada Familia
Duplicazione del cubo
Il problema della duplicazione del cubo, ossia la costruzione di un cubo avente volume doppio
rispetto a quello di un cubo di spigolo dato costituisce, uno dei tre problemi classici
della geometria greca.
Il problema della duplicazione del cubo è giunto a noi sotto forma di mito.
La prima testimonianza in merito è una lettera di Eratostene al re Tolomeo III citata,
settecento anni più tardi. Vi si narra di un antico tragico che, mettendo in scena il re
Minosse al cospetto del sepolcro in costruzione, di forma cubica, del re Glauco, disse:
«piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la forma; si
raddoppino, pertanto, tutti i lati». Eratostene, dopo aver rilevato che l'ordine dato era
erroneo, perché raddoppiando i lati di un cubo se ne ottiene un altro con volume otto
volte maggiore, riferisce che nacque tra gli studiosi il cosiddetto "problema della
duplicazione del cubo".
La seconda testimonianza, conosciuta come Problema di Delo. Egli, citando
Eratostene, riporta che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l'oracolo di Apollo sul
modo di liberarsi dalla peste, avessero ricevuto l'ordine di costruire un altare, di forma
cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente.
I problemi classici, così come tutti i problemi della matematica, non risultano ben posti
se non dopo che si sia precisato l'insieme degli strumenti assegnati per la loro
risoluzione.
È pertanto possibile distinguere due questioni relative alla risoluzione del problema
della duplicazione del cubo: una prima questione riguarda l'impossibilità di risolvere il
problema con quelli che vengono chiamati "strumenti elementari",
cioè la riga e il compasso; una seconda questione riguarda la ricerca
di altri strumenti o procedimenti.

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