二項分配與常態分配(881 KB )

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二項分配與常態分配
期望值與變異數的性質
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X為隨機變數,a,b為常數
E[aX+b]=aE[X]+b
Var(ax+b)=a2Var(X)
X與Y為隨機變數,a,b為常數
E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]
兩獨立隨機變數的定義
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隨機變數X取值為x1, x2 ,…,xn
隨機變數Y取值為y1,y2,…,yn
若{X=xj}的事件與{Y=yk}的事件獨立


P  X  xi  Y  y j  

P  X  xi , Y  y j 

P Y  y j 

  P  X  x 
 P  X  xi  P(Y  y j )  P( X  xi , Y  y j )
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則稱X與Y是獨立的隨機變數
i
獨立隨機變數的期望值與變異數
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E[XY]=E[X]E[Y]
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Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
例題4
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連續投擲一公正骰子2次,以X表示出現點
數的和,求X的期望值與變異數
設X1、X2為第1、2次擲出的點數
則E[X1]=1/6(1+2+…+6)=7/2
且E[X2]=1/6(1+2+…+6)=7/2
故E[X]=E[X1]+E[X2]=7
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Var(X1)=E[X12]-E[X1]2
=1/6(12+22+…+62)-(7/2)2=35/12
Var(X2)=35/12
因為X1和X2是獨立事件
Var(X)=Var(X1)+Var(X2)=35/6
隨堂練習4
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一袋中有寫著10,30,80號碼的卡片各一張,自
袋中隨機取卡片兩次,一次一張,取後放回,
以隨機變數X表示兩次的號碼和,求X的期望值
與變異數
設X1及X2分別為第1,2次的隨機變數
E[X]=E[X1]+E[X2]=2(1/3(10+30+80))=80
因為是獨立的兩件事
Var(X)=Var(X1)+Var(X2)
=2(1/3(102+302+802)-402))=5200/3
例題5
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若X與Y為獨立的隨機變數,其變異數分別
是9與16,求Var(2X+Y)與Var(2X-3Y)
Var(2X+Y)=Var(2X)+Var(Y)=4Var(X)+Var(Y)
=4*9+16=52
Var(2X-3Y)=Var(2X)+Var(3Y)=4Var(X)+
9Var(Y) =4*9+9*16=180
隨堂練習5
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
若X與Y為獨立的隨機變數,且Var(X)=1,
Var(Y)=10,求Var(3X+4Y)
Var(3X+4Y)=Var(3X)+Var(4Y)=
9Var(X)+16Var(Y)=9*1+16*10=169
二項分配的定義
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二項分配B(n,p)中, n為實驗次數,p為成
功機率,如果k是成功次數,則
P  X  k   C (1  p )
n
k
nk
p
k
例題6
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
連續投擲一均勻硬幣5次,以隨機變數X表
示出現正面的次數,求X的機率分配。
n=5,p=1/2
5 k
 1
P  X  k  C 1  
 2
5
k
X=k
0
P({X=k}) 1/32
k
5
1
51
   Ck  
 2
 2
1
2
3
4
5/32
10/32 10/32 5/32
5
1/32
隨堂練習6
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
連續投擲一公正骰子3次,以隨機變數Y表
示出現點數5的次數,求Y的機率分配。
n=3,p=1/6
1 3k  1 
P Y  k  C (1  )  
6
6
k
3
k
X=k
0
1
P({Y=k}) 125/216 25/72
2
5/72
3
1/216
二項分配的期望值,變異數,標準差
E  X   np
Var ( X )  np(1  p)
  Var  X   np 1  p 
例題7


連續投擲一公正骰子5次,以隨機變數X表
示出現點數6的次數,求X的期望值、變異
數與標準差。
n=5,p=1/6
1 5
E  X   np  5  
6 6
1  1  25
Var  X   np 1  p   5   1   
6  6  36
25 5
  Var  X  

36 6
隨堂練習7
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
連續投擲一均勻硬幣5次,以隨機變數X表
示出現正面的次數,求X的期望值、變異數
與標準差。
n=5,p=1/2
1 5
E  X   np  5  
2 2
1  1 5
Var  X   np 1  p   5   1   
2  2 4
5
  Var  X  
2
二項分配與常能分配

考慮X~B(10,1/2)的二項分配,則
  E  X   np  10 1/ 2  5
  Var  X   np 1  p 
1 1
10
 10   
 1.58
2 2
2
二項分配與常能分配
X=k
0
1
2
3
4
P({X=k})
1/1024
5/512
45/1024
15/128
105/512
0.00098
0.00977
0.04395
0.11719
0.20508
5
6
7
8
9
10
63/256
105/512
15/218
45/1024
5/512
1/1024
0.24609
0.20508
0.11719
0.04395
0.00977
0.00098
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二項分配與常態分配
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

與期望值相差1個標準差的範圍為
3.42=5-1.58≤X ≤5+1.58=6.58
因為X取值範圍為整數
教實際上是4 ≤X ≤6
而由上一張投影片
P({4 ≤X ≤6})=0.65625
二項分配與常態分配
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
與期望值相差2個標準差的範圍為
1.84=5-2*1.58≤X ≤5+2*1.58=8.16
因為X取值範圍為整數
教實際上是2 ≤X ≤8
而由之前投影片
P({2 ≤X ≤8})=0.978512
二項分配與常態分配
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



與期望值相差3個標準差的範圍為
0.26=5-3*1.58≤X ≤5+3*1.58=9.74
因為X取值範圍為整數
教實際上是1≤X ≤9
而由之前投影片
P({1≤X ≤9})=0.998074
二項分配與常態分配
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


在二項分配B(10,1/2)中
差1,2,3個標準差範圍內的值約為
65.6%─97.9%─99.8%
在常態分配中
差1,2,3個標準差範圍內的值約為
68%─95%─99.7%
非常相似
二項分配與常態分配
二項分配與常態分配
例題8

設X是參數B(5,1/6)之二項分配的成功次數,
計算
P     X      , P   2  X    2 

可得E[X]=5/6,σ=5/6
10 

P      X        P  0  X  
6

 P  X  0  P  X  1
5
4
5
1
5

5

5
6250
5




5
    C1     

 0.804
3
6
7776
6
6 6
5
4
 5
15  
P   2  X    2   P    X   
6 
 6
 P  X  0  P  X  1  P  X  2
55  5  54  10  53 7500


 0.965
5
6
7776
隨堂練習8

同例題8,計算 P
  3  X    3 
  10
20  
 X  
P   3  X    3   P  
6 
 6
 P 0  X  3
 P  X  0  P  X  1  P  X  2  P  X  3
7750
5  5  5  10  5  10  5
 0.997


5
7776
6
5
4
3
2
二項分配與常態分配


二項分配B(n,p)我們是以X當做為成功次數
的隨機變數,如果我們想要了解的不是每
次的成功次數,而是平均的成功次數 X
時情況會變怎樣呢?
X
而這也就是討論變數 X 
n
二項分配與常態分配
1
X  1


E  X   E    E  X    np  p
n
n n
 
X 1
Var X  Var    2 Var  X 
n n
p 1  p 
1
 2 np 1  p  
n
n
 
 X  Var X 
p 1  p 
n
二項分配與常態分配

注意到,這裡的平均數(期望值)和標準差就
變得和之前信賴區間和信心水準時的情況
一樣,也就是如在95%的信心水準下的信
賴區間為 
p 1  p 
p 1  p  
 p2


n
, p2
n



例題9

連續投擲一公正骰子500次,以 X 表示這
500次所出現5點的比率,計算 X 的期望值
及標準差,並估計離期望值3個標準差範圍
內機率。
1
E  X  
6
X 
1/ 6   5 / 6 
500
1
1


3600 60

要估計三個標準差範圍內的機率有多少,
因為母體n=500很大,趨近常態分配,所以
在期望值相距3個標準差範圍內的機率約
99.7%
隨堂練習9

連續擲一均勻硬幣2500次,以 X 表示出現
正面次數的比率,計算 X 的標準差,並做
計 X 會落在與期望值相距2個標準差範圍
內的機率
1


E X  
2
1  1  1 
1
X 
   
2500  2  2  100

2個標準差範圍內的機率為95%

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