Fraktálok

Report
Fraktálok világa
Fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai
alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy
felismerhető (tehát matematikai eszközökkel leírható)
ismétlődés tapasztalható.
Az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb rész
felnagyítva ugyanolyan struktúrát mutat, mint egy
nagyobb rész.
Az elnevezést 1975-ben Benoit Mandelbrot adta, a latin
fractus (vagyis törött; törés) szó alapján.
Ismertebb fraktálok és fraktálcsaládok:Mandelbrot-halmaz, Júlia-halmaz,
Koch- görbe.
A matematikában a Mandelbrot-halmaz egy síkbeli alakzat, amely azon
c komplex számokból áll, melyekre az alábbi xn rekurzív sorozat:
X1 = c
Xn+1=(xn)2 +c
nem tart végtelenbe.
A Mandelbrot-halmaz tükörszimmetrikus a valós tengelyre. Összefüggő, és
telt, vagyis nem tartalmaz szigeteket, vagy lyukakat.
Mandelbrot-halmaz peremén megtalálhatók a Mandelbrot-halmaz
hozzávetőleges, kicsinyített másai; ezek az úgynevezett szatelliták.
Minden képkivágás, ami egyaránt tartalmaz pontokat a Mandelbrothalmazból és a Mandelbrot-halmazon kívülről, végtelen sok ilyen
szatellitát tartalmaz.
Mivel minden szatellitát további szatelliták öveznek, ezért mindig van
egy hely, ahol tetszőleges struktúrák tetszőleges sorrendben
tartalmazzák egymást. Ennek észleléséhez azonban nagyon nagy
nagyítás kell.
Júlia – halmaz
A Julia- és Mandelbrot-halmazok összefüggnek egymással.
Ha a Mandelbrot-halmaz belsejéből választunk c értéket,
akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz összefüggő lesz,
ellenkező esetben viszont diffúz halmazt kapunk. Ha a c
értéke pontosan a Mandelbrot-halmaz határára esik, akkor a
hozzá tartozó Julia-halmaz egy bokorszerű fraktális vonal,
aminek területe nulla. Így a Mandelbrot-halmaz az összes
Julia-halmaz sokféleségét magában foglalja.
A Mandelbrot- és Julia-halmazok határvonala fraktál,
melyet bármeddig nagyítunk, sosem érünk el egy maximális
nagyítást.
Koch-görbe vagy Koch-hópehely Helge von Koch svéd
matematikus által 1904-ben leírt fraktál, mely ilyen
minőségében az egyik legelső.
A görbét úgy állíthatjuk elő, hogy egy szabályos
háromszög oldalait elharmadoljuk, majd a középső
harmadára ismét egy szabályos háromszöget
rajzolunk. Ezen háromszögek oldalait szintén
harmadoljuk, és háromszöget rajzolunk rájuk. Ezt a
végtelenségig folytatjuk. A görbe hossza az n-edik
lépés után (4 / 3)n. A határértékként kapott görbe
végtelenül finoman strukturált, és csak közelítőleg
lehet ábrázolni.
Cantor-halmaz
Előállítás szempontjából a legegyszerűbb egyben a legrégebben felfedezett fraktál a
Cantor
halmaz vagy Cantor-por. 1883-ban jelentette meg Georg Cantor.
A Cantor-por előállítása:
0. lépés: vegyünk egy szakaszt
1. lépés: vágjuk ki a középső egyharmadát
2. lépés: a keletkezett két szakasznak is vágjuk ki a középső egyharmadát
3. lépés: a keletkezett összes szakasznak vágjuk ki a középső egyharmadát
És így tovább. Amit végtelen lépés után kapnánk, az a Cantor-halmaz, vagy
Cantor-por.
0. lépés
1.lépés
2.lépés
3.lépés
Az önhasonló fraktálokra példa a Sierpinski-háromszög.
azt a fraktált 1916-ban mutatta be Waclaw Sierpinski lengyel matematikus. A
Sierpinski-háromszög az eddigiekkel ellentétben nem egy fraktálgörbe, hanem
olyan fraktál, melynek előállításakor szakasz helyett egy egyszerű síkidomból,
egy szabályos háromszögből kell kiindulnunk. Az előállítási szabály ezúttal
sem bonyolult:
0. lépés: vegyünk egy szabályos háromszöglapot
1. lépés: kössük össze a háromszög oldalainak felezőpontjait egymással, így a
háromszöget négy kisebb háromszögre osztottuk. A középső, csúcsára állított
háromszöget vágjuk ki.
2. lépés: a maradék három kis háromszögnek ugyanígy vágjuk ki a közepét.
3. lépés: a keletkezett összes háromszöggel tegyük ugyanezt.
És így tovább.
Sierpinski-szőnyeg
Önhasonló fraktál a pitagorasz-fa, amely négyzetekből épül
fel. Ezek a négyzetek úgy helyezkednek el, ahogy azt a
Pitagorasz-tétel ábrázolásai mutatják.
Ebbe a csoportba tartozik a Newton-fraktál is.
Fraktálok természetesen azelőtt is léteztek mielőtt Mandelbrot
nevet adott volna nekik, mint például a természetben….
A hindu és dél-kelet ázsiai szakrális építészetben évszázadok óta használnak fraktálokat : egy
nagyobb tornyot több kisebb vesz körbe, ezt pedig a maga során még kisebbek. William
Jackson szerint (a matematika és építészet kapcsolatát vizsgálja): „ez a felépités a végtelen
tudati és létezési szintekre utal, az egyre terjedelmesedő formák a túlvilág felé mutatnak és
egyúttal szent mélységeket foglalnak magukba.”
Már az ókori építészetben megjelentek a természetet utánzó fraktálszerű elemek.
Keresztény templomokon is gyakran bukkanunk fraktálokra, mind az építészeti elemekben,
mind pedig a belső tér kialakításában (egyes templomok ezek közül a középkorban épültek).
Mivel a fraktálok a természet leggyakoribb alkotóelemei közé tartoznak,
gyakran jelentek meg fraktálszerű elemek művészetben is.
A számítógépes grafika a fraktálművészet legelterjedtebb formája. Ma már
számtalan olyan program létezik (a legtöbbjük ráadásul ingyenes) amelyek
segítségével nagyon kis tudással gyönyörű fraktálokat lehet elővarázsolni.
Források:
http://teamlabor.inf.elte.hu/logosecsetvonasok/erdekesseg7.html
http://www.cs.elte.hu/~tamaga/erdekesseg/fractal.pdf
www.wikipedia.com
http://fraktalmuv.freebase.hu/index.files/frame.htm
Készítette : Hörnyék Franciska
Tanos Balázs
Kalányos Norbert József
Mozgásjavító Általános Iskola, Szakközépiskola és Diákotthon
1145 Budapest, Mexikói út 60.

similar documents