Temat11

Report
TEORIA GIER A EKONOMIA
PROBLEM DUOPOLU
Agnieszka Baraniak
Karina Borkowska
POJĘCIE DUOPOLU
• Nazwą DUOPOLU określa się stan, w którym dwaj
producenci kontrolują łącznie cały rynek jakiegoś
produktu, zaś problem duopolu polega na
określeniu wysokości produkcji, przy której
producent określa największy zysk.
• Będziemy porównywać 4 różne ‘rozwiązania’
problemu duopolu. Niektóre z nich wymagają
różniczkowania wielomianów oraz znajdowania
maksimum funkcji, czyli miejsca zerowego jej
pochodnej.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
 qi - wielkość produkcji (w tysiącach sztuk) producenta i (i=1,2)
 ACi - średni koszt (w dolarach) wyprodukowania jednej sztuki
przez producenta i
 TCi = qi x ACi = łączne koszty produkcji (w tysiącach dolarów)
producenta i
 MCi =
= koszt krańcowy, koszt (na jedną sztukę)
nieznacznego zwiększenia produkcji przez producenta i
 p = cena sprzedaży jednej sztuki produktu
 Pi = qi x pi - TCi = zysk producenta i w tysiącach dolarów
Średni koszt wyprodukowania jednej sztuki
zależy od wielkości produkcji; w naszym
przykładzie przyjmiemy, że określają go
następujące funkcje:
AC1 = 64 - 4q1 + q12
AC2 = 80 - 4q2 + q22
Wykresy funkcji średniego kosztu produkcji w przykładzie duopolu
Dla obu firm średni koszt produkcji wraz z jej
wzrostem początkowo maleje dzięki
efektywniejszemu wykorzystywaniu zasobów
firmy, osiągając minimum w punkcie q = 2, po
czym zaczyna wzrastać, gdy zwiększanie
produkcji wymaga dodatkowego kapitału i
zwiększenia zatrudnienia. Producent 1 jest
bardziej wydajny od producenta 2 i,
niezależnie od kosztów produkcji, ma koszty
produkcji niższe o 16 dolarów na jednej
sztuce.
Koszty krańcowe obliczamy, różniczkując łączne koszty produkcji.
TC1 = 64q1 - 4q12 + q13
MC1 = 64 - 8q1 + 3q12
TC2 = 80q2 - 4q22 + q23
MC2 = 80 - 8q2 + 3q22
Przyjmijmy założenie co do relacji pomiędzy całkowita wielkością produkcji,
a możliwą do uzyskania ceną jednej sztuki produktu.
p = 160 – 8(q1 + q2)
Jeśli podaż jest bardzo mała, jedną sztukę można sprzedać za 160 dolarów.
Gdy jednak produkcja wzrasta a rynek się nasyca, sprzedaż wszystkiego co
się wyprodukowało, możliwe jest dopiero po obniżeniu ceny.
P1 = q1 (160 – 8(q1 + q2)) – (64q1 - 4q12 + q13 ) = 96q1 - 4q12 - q13 - 8 q1q2
P2 = 80q2 - 4q22 – q23 - 8 q1q2
Każdy z producentów dąży do osiągnięcia
takiego poziomu produkcji qi , który
zmaksymalizuje jego zysk Pi ; naszym zadaniem
jest zrozumienie mechanizmów, dzięki którym
przedsiębiorstwa mogą do niego dojść.
Uwzględnijmy, że poziom zysków zależy nie
tylko od działań firmy, ale także od wielkości
produkcji jej konkurenta. We wzorze zależność
ta zawarta jest w wyrazie -8q1q2.
Rozważymy cztery różniące się poziomem
złożoności strategie firm znajdujących się w
takiej sytuacji.
Na początek rozważmy podejście niestrategiczne, klasyczne w ekonomii.
Obie firmy na początku produkują niewielkie ilości towaru, a następie
powoli zwiększają produkcję aż do momentu, gdy koszt wyprodukowania
dodatkowej sztuki jest równy cenie, którą można za nią uzyskać. Sytuacje
taka nazywamy klasyczną równowaga rynkową. Wielkość produkcji w
tym momencie możemy znaleźć rozwiązując równanie:
MC1 = p = MC2
Czyli
64 - 8q1 + 3q12 = 160 – 8(q1 + q2) = 80 - 8q2 + 3q22
Rozwiązując układ równań
8q2 = 96 - 3q12
8q1 = 80 - 3q22
Otrzymujemy, że:
q1 = 4,69
q2 = 3,76
Zatem cena sprzedaży w obu firmach wynosi p = 92 $, a zyski P1 = 118,
P2 = 50.
Klasyczna równowaga rynkowa nie uwzględnia faktu, iż wielkość
produkcji obu producentów wpływa na cenę produktu. Gdyby
produkcja była mniejsza, cena byłaby wyższa i możliwe, że
pozwoliłoby to osiągnąć większe zyski.
Możemy to przedstawić jako grę dwuosobową pomiędzy
Producentem 1, a Producentem 2.
Nie jest to gra o sumie zerowej. Punkt klasycznej równowagi
rynkowej znajduje się w prawej dolnej ćwiartce tabeli.
Producenci mogą podnieść swoje zyski ograniczając produkcje.
Diagram przesunięć
dla gry duopolu.
Gra ma jedna równowagę Nasha, gdzieś w pobliżu punktu q1 = 3,75 i q2 = 3.
Możemy znaleźć jej dokładne położenie wykorzystując fakt, że jest to punkt, w
którym żaden z graczy nie może zwiększyć swojego zysku Pi przez zmianę qi .
Zatem musi być spełniony układ równań:
= 96 - 8q1 - 3q12 - 8 q2
= 80 - 8q2 – 3q22 - 8 q1
Rozwiązaniem tego układu równań są
q1 = 3,75
q2 = 2,96
Przy takiej produkcji cena wyniesie 106 $, a zyski
P1 = 162
P2 = 87.
Równowaga Nasha-Cournota w tej grze nie jest paretooptymalna, co
zobaczymy zaznaczając wypłaty na wykresie – obie firmy zyskałyby
na wzajemnej kooperacji. Jeżeli dopuścimy kooperację możemy
wyznaczyć rozwiązanie arbitrażowe Nasha – znajduje się ono w
punkcie q1 = 3,30, q2 = 2,40, przy cenie 114$ i zyskach P1 = 174
i P2 = 91.
Kooperacja w warunkach duopolu z reguły polegająca na zmniejszeniu
produkcji i podniesieniu cen, jako niekorzystna dla konsumentów
jest często nazywana „zmową producentów” i prawnie zakazywana.
Na koniec rozpatrzmy sytuacje, gdy jedna z firm może
przekazywać drugiej wypłaty uboczne. W takiej sytuacji firmy
mogą osiągnąć jeszcze większe zyski przy q1 = 3,66, q2 = 1,66,
kiedy łączny zysk obu firm wynosi 269 (P1 = 200
i P2 = 69). Jeśli Producent 1 przekaże Producentowi 2 wypłatę
uboczną w wysokości 24 (zyski obu firm będą wynosiły
odpowiednio 176 i 93), zarówno Producent 1, jak i Producent
2 uzyskają większy zysk niż przy rozwiązaniu arbitrażowym
Nasha.
Na koniec podsumujmy wszystkie omawiane przez nas
rozwiązania problemu duopolu, razem z sytuacjami, gdy jedna
z firm ma monopol i w tej sytuacji maksymalizuje swoje zyski.
Omówimy dwa punkty widzenia:
Producentów
Konsumentów.
Z punktu widzenia producentów, rozwiązania można
uporządkować od najbardziej do najmniej korzystnego:
 monopol
 kooperacja z wypłatami ubocznymi
 kooperacja bez wypłat ubocznych
 niekooperacyjna równowaga w grze
 klasyczna równowaga rynkowa
Z punktu widzenia konsumenta uporządkowanie jest odwrotne.
W tabeli poniżej znajdują się porównania wszystkich
rozpatrywanych przez nas rozwiązań problemu duopolu.

similar documents