Elementy statystyki opisowej realizowane na II, III i IV etapie

Report
Elementy
statystyki
opisowej
realizowane na
II, III i IV etapie
edukacyjnym
Dobrzeń Wielki,
20.06.2013r.
Statystyka
Statystyka jest nauką, która zajmuje się
badaniami zjawisk masowych. Wyróżniamy
jej dwa działy:
 statykę opisową
 statystykę matematyczną
Podmiotem statystyki opisowej są
zagadnienia związane ze:
 zbieraniem
 porządkowaniem
 analizą
i interpretacją zgromadzonych
danych
Statystyka matematyczna jest
działem rachunku
prawdopodobieństwa i zajmuje się
modelami matematycznymi, których
używa się do badania zjawisk
masowych
Jednym z etapów badania
statystycznego jest obserwacja
statystyczna, które przeprowadza
się za pomocą wywiadu
kwestionariuszowego, ankiety i
monitoringu lub rejestracji.
Badaniem statystycznym obejmuje się
zwykle pewien zbiór obiektów, który
nazywamy populacją generalną
(zbiorowością generalną).
Badanie obejmujące wszystkie elementy
populacji nazywamy badaniem pełnym.
Najczęściej przeprowadza się badanie
częściowe, obejmujące tylko pewną część
populacji.
Taki podzbiór populacji, który został
bezpośrednio objęty badaniem
statystycznym, nazywamy próbą, a liczbę
elementów wchodzących w skład próbyliczebnością tej próby.
W statystyce mówimy o małych
próbach, jeśli liczebność próby jest
nie większa niż 30 oraz o próbach
dużych, jeśli liczebność próby jest
większa niż 30.
Próba, która podlega badaniu
statystycznemu powinna być
odpowiednio dobrana. Struktura
próby musi odzwierciedlać strukturę
badanej populacji, tak, aby istniała
możliwość uogólnienia otrzymanych
wyników na całą populację.
Elementy populacji generalnej, jakie podlegają
obserwacji statystycznej mają różne własności,
które nazywamy cechami mierzalnymi. W
przypadku populacji danego miasta możemy
mówić o nast. cechach:
 wiek
 płeć
 kolor oczu
 wykształcenie
 wzrost
 posiadanie własnego mieszkania,
samochodu czy komputera
 wykonywany zawód
Wśród cech są takie, które możemy wyrazić
za pomocą liczb. Te cechy nazywamy
cechami mierzalnymi. Są też cechy, które
możemy wyrazić jedynie za pomocą słów
(np. kolor oczu, wykształcenie, uczucia).
Nazywamy je cechami niemierzalnymi.
W wyniku badania statystycznego
otrzymujemy dane statystyczne. Dane te
analizujemy, opracowujemy. Następnie
prezentujemy wnioski wynikające z
uzyskanych danych.
Zdobyte przez ankieterów informacje
przedstawiamy na różne sposoby za
pomocą:
 tabel
 diagramu
kolumnowego
 diagramu
słupkowego
 diagramu
kołowego
 diagramu
częstości względnych
Zgodnie z podstawą programową na
II etapie edukacyjnym rozdział 13 p.
pkt. 1.2 absolwent szkoły
podstawowej gromadzi i porządkuje
dane oraz odczytuje i interpretuje
dane przedstawione w tekstach,
tabelach, diagramach i na
wykresach.
Zgodnie z podstawą programową rozdział 9
p. pkt. 1-5 na III etapie edukacyjnym, uczeń
gimnazjum nie tylko interpretuje dane
przedstawione za pomocą tabel,
diagramów słupkowych i kołowych,
wykresów ale także wyszukuje, selekcjonuje
i porządkuje informacje z dostępnych
źródeł oraz przedstawia dane w tabeli, za
pomocą diagramu słupkowego lub
kołowego. Wyznaczając liczby
charakteryzujące zbiór wyników, wyznacza
średnią arytmetyczną i medianę
W gimnazjum uczeń nabywa
pierwsze umiejętności związane z
rachunkiem prawdopodobieństwa a
mianowicie analizuje proste
doświadczenia losowe i określa
prawdopodobieństwa najprostszych
zdarzeń w tych doświadczeniach.
Warto zwrócić uwagę na fakt, że
analogiczne wymagania ogólne
sformułowano dla IV etapu edukacji.
Nieco inne wymagania dla II etapu
edukacji, wynikające z faktu, iż
stawiane są młodszemu uczniowi.
Dzięki spójności wymagań ogólnych
można będzie na każdym etapie
edukacji rozwijać kształtowane
wcześniej umiejętności i monitorować
ich rozwój.
Na IV etapie edukacyjnym na poziomie
podstawowym, rozdział 10 p. pkt. 1,2,3 uczeń:
 oblicza średnią ważoną i odchylenie
standardowe zestawu danych, interpretuje te
parametry dla danych empirycznych
 zlicza obiekty w prostych sytuacjach
kombinatorycznych, niewymagających
użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje
regułę mnożenia i regułę dodawania
 oblicza prawdopodobieństwa w prostych
sytuacjach, stosując klasyczną definicję
prawdopodobieństwa
Na poziomie rozszerzonym spełnia
wymagania określone dla zakresu
podstawowego a ponadto:
 wykorzystuje wzory na liczbę permutacji,
kombinacji, wariacji z powtórzeniami do
zliczania obiektów w bardziej złożonych
sytuacjach kombinatorycznych,
 oblicza prawdopodobieństwo
warunkowe,
 korzysta z twierdzenia o
prawdopodobieństwie całkowitym,
Rozważmy przykłady zadań z poziomu
podstawowego, które mogą być
rozwiązywane na III lub IV etapie
edukacyjnym
1. Mediana zestawu danych: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 3,
1, 3 jest równa:
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 3.
2. Średnia ważona liczb: 8, 3, 5, 12 z wagami
odpowiednio: 1,8; 1,2; 0,9; 1,1 jest równa:
a) 5,6
b) 7,04
c) 7,14
d) 6,25.
3. Średnia arytmetyczna liczb 3, 4a, 2a – 1, 8 jest
o 2 mniejsza od średniej arytmetycznej
liczb a – 1, 8a, 10. Zatem liczba a należy do
przedziału:
a) (0, 1
b) (1, 2
c) (2, 3
d) (3, 4.
4. Troje przyjaciół ma wzrost odpowiednio
równy 170 cm, 150 cm, 190 cm. Odchylenie
standardowe od średniej wzrostu wynosi w
przybliżeniu:
a)20 cm b)16 cm c)17 cm d)18 cm.
5. Średnia ważona liczb 4, 3, x, 7, których
jedyną modą jest 3, z wagami odpowiednio
1, 2, 2, 5 wynosi:
a) 4/51
b) 1,7
c) 4,25
d) 5,1.
6. (5 pkt) Przeprowadzono sondę uliczną, zadając pytanie: „Ile książek przeczytał(a) Pan(i),
w ciągu ostatniego miesiąca?” Wyniki sondażu przedstawiono na diagramie poniżej.
a) Jaki procent badanych osób przeczytało więcej niż dwie książki w ciągu ostatniego
miesiąca?
b) Jaka jest mediana liczby przeczytanych książek? Wskaż modę.
c) Ile wynosi średnia liczba przeczytanych książek?
d) Oblicz odchylenie standardowe od średniej liczby przeczytanych książek. Wynik podaj
z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
e) Przedstaw tabelę częstości względnych liczby przeczytanych książek.
7. (3 pkt) W pewnej firmie średnia płaca
pracowników produkcyjnych wynosi 2816 zł,
zaś średnia płaca pozostałych
pracowników tej firmy wynosi 2480 zł.
Średnia płaca wszystkich pracowników
firmy jest równa 2720 zł. Oblicz, jaki procent
pracowników produkcyjnych stanowią
pozostali pracownicy tej firmy.
8. (5 pkt) W I semestrze z matematyki
Maciek otrzymał 5 ocen, z których wszystkie
to bardzo dobre i dostateczne. Oblicz, ile
piątek ma Maciek, jeśli trójek ma więcej, a
wariancja jego ocen wynosi 0,96.
9. (3 pkt) Trzy różne od zera liczby: 9, x, y,
których średnia arytmetyczna wynosi 3,
tworzą
(w podanej kolejności) ciąg geometryczny.
Oblicz odchylenie standardowe od średniej
tych liczb. Wynik podaj z dokładnością do
jednego miejsca po przecinku.
Elementy kombinatoryki
1. Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych
podzielnych przez 7?
a) 14
b) 13
c) 12
d) 11
2. Na placu zabaw w przedszkolu bawi się
piętnaścioro dzieci, wśród nich znajduje się
dziesięć dziewczynek i siedmioro dzieci z grupy
„Zuchy”. Najmniejsza możliwa liczba
dziewczynek należących do „Zuchów” i
bawiących się na podwórku wynosi:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7.
3. Z liczb 1, 2, 3, 4 tworzymy czterowyrazowe
ciągi różnowartościowe. Liczba wszystkich
takich ciągów jest równa:
a) 24
b) 16
c) 48
d) 256.
4. W klasie znajduje się 13 dziewcząt i 15
chłopców. Na ile sposobów można wybrać
dwuosobową delegację, w której będzie
tylko jedna dziewczynka?
a) 13
b) 13 + 15 c) 13  15
d) 13  27
5. Sześcian z zewnątrz pomalowano, a
następnie pocięto na 27 jednakowej
wielkości sześcianików. Ile spośród tych
sześcianików ma pomalowaną co najwyżej
jedną ścianę?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
6. (5 pkt) Dane są zbiory: A = {x: x  N i x < 5}, B =
{y: y  N i 1  y  3}. Wypisz wszystkie pary liczb
postaci (x, y), gdzie x  A i y  B. Ile jest wśród nich
takich par (x, y), że:
a) suma liczb x i y jest podzielna przez 3
b) iloczyn liczb x i y jest nie mniejszy od 8
c) iloraz liczby x przez y jest większy od 1?
7. (5 pkt) Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych numerów
telefonów, które spełniają łącznie następujące
warunki:
 pierwszą cyfrą jest 6 lub 8
 druga cyfra oznacza liczbę pierwszą
 cyfra czwarta oznacza liczbę mniejszą od 7
 ostatnie trzy cyfry oznaczają trzy kolejne liczby
nieparzyste (patrząc od lewej do prawej).
1. Ola wycięła jednakowe pasy materiału w trzech
różnych kolorach. Ile różnych trójkolorowych flag
można utworzyć z tych pasów, jeśli paski układamy
poziomo i kolory w jednej fladze nie mogą się
powtarzać?
a) 1
b) 3
c) 6
d) 9
2. Na płaszczyźnie danych jest 7 różnych punktów.
Liczba wszystkich odcinków, których końcami są te
punkty, jest równa:
a) 14
b) 21
c) 28
d) 35.
3. Krzysiek urodził się w 1995 roku. Ile różnych
czterocyfrowych kodów może utworzyć,
przestawiając dowolnie cyfry swojego roku
urodzenia?
a) 12
b) 24
c) 18
d) 6
4. W pewnej grupie osób tylko dwie osoby
wyróżniają się tym, że urodziły się w tym
samym dniu tygodnia. Ile co najwyżej osób
liczy ta grupa?
a) 8
b) 7
c) 4
d) 2
5. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 50,
które w wyniku podzielenia przez 8 dają
resztę 2?
a) 10
b) 7
c) 5
d) 6
6. (5 pkt) Do kina wybrało się 7 znajomych osób: trzy
dziewczyny i czterech chłopaków, wśród nich Kasia i Tomek.
Mają bilety na kolejne miejsca, znajdujące się w jednym
rzędzie. Na ile sposobów mogą zająć te miejsca, jeśli:
a) Kasia i Tomek mają siedzieć obok siebie
b) między dowolnymi dwoma chłopakami ma siedzieć jedna
dziewczyna.
7. (5 pkt) W pudełku znajdują się 2 kule czerwone, 3 zielone i 4
niebieskie. Wszystkie kule są ponumerowane. Na ile sposobów
można wybrać dwie kule tak, aby:
a) tylko jedna z nich była niebieska
b) obie kule były tego samego koloru.
8. (5 pkt) Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6} wybieramy trzy cyfry i
tworzymy liczby trzycyfrowe; cyfry nie mogą się powtarzać. Ile
można utworzyć takich liczb, które:
a) są podzielne przez 4
b) są mniejsze od 345?
Udowodnij, że...
1. (P) Wykaż, że istnieje dokładnie 3360 liczb
pięciocyfrowych utworzonych
z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, w których zapisie
dziesiętnym występuje dokładnie 2 razy cyfra 1,
a pozostałe cyfry są między sobą różne.
D: Ustalamy, na ile sposobów można wybrać
pozycję dla dwóch jedynek w liczbie
5!
4∙5
pięciocyfrowej na tyle, ile jest 52 =
=
=
2!∙3!
2
10.
Trzy pozostałe cyfry losujemy z
ośmioelementowego zbioru, czyli możliwości jest
8!
3
3
tyle, ile 8 = 8 ∙ 3! =
∙ 3! = 6 ∙ 7 ∙ 8.
3!∙5!
Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy 52 ∙
83 = 10 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 3360.
2. (P) Uzasadnij, że jest 28800 liczb naturalnych sześciocyfrowych,
w zapisie których występuje dokładnie raz cyfra 7 i dokładnie 2
razy cyfra 4.
D: Należy rozpatrzeć trzy przypadki:
1° Cyfra 7 jest pierwszą cyfrą tej liczby, następnie wyznaczamy
pozycję dla dwóch czwórek, a to możemy zrobić na 52 = 10
sposobów i następnie wyznaczamy pozostałe trzy cyfry na 83 =
512 sposobów.
2° Cyfra 4 jest pierwszą cyfrą tej liczby, następnie wyznaczamy
pozycję dla drugiej czwórki i to możemy zrobić na 51 = 5
sposobów, następnie pozycję dla 7 i następnie wyznaczamy 3
pozostałe cyfry na 83 = 512 sposobów.
3° Pierwszą cyfrą tej liczby jest cyfra należąca do zbioru
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, zatem wszystkich możliwości jest 7 ∙ 51 ∙ 42 ∙ 82 ,
Łącznie otrzymujemy: 1 ∙ 10 ∙ 512 + 1 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 512 + 7 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 64 ==
5120 + 10240 + 13440 = 28800 liczb.
Zadanie można rozwiązać krótszą metodą:
5∙4
3∙4
61 ∙ 52 ∙ 83 − 11 ∙ 51 ∙ 42 ∙ 82 = 6 ∙ − 1 ∙ 5 ∙ ∙ 82 = 30720 − 1920 =
2
2
28800.
3. (P) Uzasadnij, że jest 27500 liczb pięciocyfrowych,
które w zapisie dziesiętnym mają trzy cyfry parzyste i
dwie cyfry nieparzyste.
D: Najpierw ustalmy, gdzie stoją cyfry parzyste, a gdzie
nieparzyste. Należy rozpatrzeć dwa przypadki: P_ _ _ _
lub N_ _ _ _.
Jeśli pierwszą cyfrą jest cyfra parzysta, to możemy ją
wybrać na 4 sposoby (bez 0). Miejsca dla dwóch cyfr
nieparzystych możemy wybrać na tyle sposobów, ile
jest 42 = 6. Jeżeli już ustaliliśmy, gdzie stoją cyfry
parzyste, a gdzie nieparzyste, to każdą cyfrę można
wybrać na 5 sposobów, zatem 4 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 15000.
Gdy na pierwszym miejscu stoi cyfra nieparzysta, to
możemy ją wybrać na 5 sposobów, drugą cyfrę
nieparzystą możemy rozmieścić na 4 sposoby. Każdą
pozostałą cyfrę możemy wybrać na 5 sposobów,
zatem 5 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 12500.
Uwzględniając oba przypadki otrzymujemy 15000 +
12500 = 27500.
4. (P) Uzasadnij, że są 1344 liczby naturalne
czterocyfrowe o 4 różnych cyfrach takich,
że jedną z cyfr jest 6 i żadna z trzech
pozostałych cyfr nie jest zerem.
D: W liczbie czterocyfrowej cyfra 6 może
być na 4 pozycjach. Trzy pozostałe cyfry
wybieramy z 8-elementowego zbioru,
zatem wszystkich możliwości jest
4 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 1344.
5. (R) Ze zbioru liczb , , , … ,  +  ,  ∈ 
losujemy jednocześnie dwie liczby. Wykaż,
że prawdopodobieństwo wylosowania
dwóch liczb takich, że suma tych liczb jest
+
liczbą parzystą, wynosi
.
+
6. (R) Ze zbioru liczb , , , … ,  +  , ( ∈
+ ) losujemy jednocześnie dwie liczby.
Wykaż, że prawdopodobieństwo
wylosowania dwóch takich liczb, że suma
kwadratów tych liczb jest liczbą podzielną
+
przez 4, jest równe
.
(+)(+)
7. (R) Ze zbioru  = , , , , , , , , ,  losujemy
jednocześnie pięć liczb. Wykaż, że prawdopodobieństwo
zdarzenia  polegającego na tym, że dokładnie dwie liczby
będą parzyste i dokładnie jedna liczba będzie podzielna przez

5, jest równe .
D: Wszystkich możliwych wyników w tym doświadczeniu jest
tyle, ile wariacji pięcioelementowych dziesięcioelementowego
zbioru, czyli
5
Ω = 10
= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 30240.
Zdarzenie A polega na tym, aby dokładnie dwie liczby były
parzyste i dokładnie jedna była podzielna przez 5. Temu
zdarzeniu sprzyjają zdarzenie 1 , które polega na wylosowaniu
liczby 10 oraz jednej liczby parzystej z 4 liczb parzystych, a
także wylosowaniu 3 liczb nieparzystych spośród 4 liczb
nieparzystych (bez 5) lub zdarzenie 2 , które polega na
wylosowaniu 2 liczb parzystych spośród 4 parzystych (bez 10),
jednej liczby 5 oraz 2 liczb nieparzystych spośród 4.  = 1 ∪ 2 ,
1 = 1 ∙ 4 ∙ 43 = 4 ∙ 4 = 16, 2 = 42 ∙ 1 ∙ 42 = 6 ∙ 6 = 36,  = 16 +
52
13
36 = 52, zatem   = 30240 = 7560.
8. (R) Listonosz losowo rozmieszcza 8 listów w 6 różnych skrzynkach na listy.
Uzasadnij, że prawdopodobieństwo tego, że w każdej skrzynce znajdzie się

przynajmniej 1 list, jest równe
.

D: Zauważmy, że każdy list może trafić do jednej z sześciu skrzynek, zatem
Ω = 68 .
Mamy dwie możliwości:
1 - w jednej skrzynce znajdą się trzy listy, a w każdej z pozostałych po
jednym liście. Skrzynkę, w której byłyby 3 listy, można wybrać na 6
sposobów, zaś trzy listy na tyle sposobów, ile jest kombinacji
trójelementowych 8-elementowego zbioru- 83 = 56, a pozostałych 5 listów
można umieścić w skrzynkach na 5! sposobów.
8
1 = 6 ∙
∙ 5! = 6 ∙ 56 ∙ 5! = 40320
3
2 - zdarzenie polegające na tym, że dwie skrzynki zawierają dwa listy. Dwie
skrzynki możemy wybrać na 62 = 15 sposobów. Następnie wybieramy 4 listy,
8!
które znajdują się w tych skrzynkach. Możemy to zrobić na 84 =
=
4!4!
5∙6∙7∙8
= 70 sposobów. Należy jeszcze ustalić, które dwa z tych czterech listów
2∙3∙4
4∙3
trafią do pierwszej z wybranych skrzynek. Możemy to zrobić na 42 =
=6
2
sposobów (lub też mogliśmy wybrać najpierw dwa listy do pierwszej skrzynki
8
6
=
28,
a
następnie
dwa
do
drugiej
na
= 15 sposobów). Pozostałe
2
2
cztery listy możemy dowolnie rozmieścić pomiędzy 4 pozostałe skrzynki,
zatem:
2 = 82 ∙ 62 ∙ 62 ∙ 4! = 15 ∙ 420 ∙ 4! = 6300 ∙ 24 = 151200
191520
2660
665
 = 1 + 1 = 40320 + 151200 = 191520  =
=
=
.
8
6
23328
5832
9. (R)  i  są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω
takimi, że

  −  =   −  = i  ′ ∪ ′ = . Wykaż, że


′
′
  ∩ = .

D: Zauważmy, że ′ ∪ ′ = Ω −  ∩  , to  ′ ∪ ′ =
 Ω− ∩ .
Z założenia  ′ ∪ ′ = 1, to 1 =  Ω −  ∩ 
1=
 Ω − ∩ .
Z własności prawdopodobieństwa  Ω = 1, zatem
1 = 1 −   ∩    ∩  = 0.
  =   −     = ( − ).
Uwzględniając założenie, możemy zapisać, że
1
1
  = i   = .
5
5
 ′ ∩ ′ = Ω − ( ∪ )  ∪  =   +   −
1
1
2
 ∩ = + −0= .
5
5
5
2
3
′
′
  ∩ =1− ∪ =1− = .
5
5


10. (∗ ) Wiedząc, że  ′ ∩  = ,   ∩  = ,



  ∪  = , to uzasadnij, że prawdopodobieństwo

zajścia zdarzenia  pod warunkiem zajścia

zdarzenia  jest równe .

′
D: Zauważmy, że  ∩  =  −  ∩  , zatem
11
 ′ ∩  =   −   ∩  , więc =   −
3
35
35
14
.
35
  =
Korzystając z własności prawdopodobieństwa,
otrzymujemy:   ∪  =   +   − ( ∩ ),
zatem
31
14
3
20
4
=  + −
  = = .
35
35
35
35
7
Korzystamy z definicji prawdopodobieństwa
warunkowego
3
 | =
 ∩
 
=
35
4
7
=
3 7
∙
35 4
=
3
.
20
11. (R) Dziesięć różnokolorowych par
rękawiczek rozmieszczamy w trzech
szufladach. Zdarzenie  polega na tym, że
w pierwszej szufladzie są dwie pary
rękawiczek. Zdarzenie  polega na tym, że
czarna para rękawiczek znalazła się w
szufladzie drugiej. Uzasadnij, że zdarzenia 
i  nie są niezależne.
12. (R) Uzasadnij, że dla dowolnych zdarzeń
,  ⊂ Ω zachodzi nierówność
  −  ≥   − ().
13. (∗ )W zestawie egzaminacyjnym umieszczono  tematów z
algebry,
 z geometrii i  z rachunku prawdopodobieństwa. Zdający wylosował
kolejno dwa tematy (bez zwracania). Udowodnij, że
prawdopodobieństwo, że
za drugim razem wylosował temat z geometrii jest równe , .
D: Przedstawione w treści zadania doświadczenie jest doświadczeniem
dwuetapowym.
Zdarzenie  – za drugim razem wylosowano temat z geometrii.
Korzystamy z własności   =   1 ∙  1 +   2 ∙  2 +   3 ∙
 3 ,
zdarzenie 1 – za pierwszym razem wylosowano temat z geometrii
zdarzenie 2 – za pierwszym razem wylosowano temat z algebry
zdarzenie 3 – za pierwszym razem wylosowano temat z rachunku
prawdopodobieństwa
24
12
18
9
8
4
 1 = 50 = 25,  2 = 50 = 25 i  3 = 50 = 25.
Prawdopodobieństwo warunkowe:
23
24
24
  1 = 49,   2 = 49 i   3 = 49.
Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
23 12
24 9
  =   1 ∙  1 +   2 ∙  2 +   3 ∙  3 = 49 ∙ 25 + 49 ∙ 25 +
24 4
∙ .
49 25
  = 0,48.
Zdanie można rozwiązać także, stosując drzewo stochastyczne.
Dziękuję za uwagę

similar documents