Normal Dağılımın Özellikleri

Report
İTİCÜ
Mühendislik ve Tasarım
Fakültesi
Endüstri Mühendisliği
Bölümü
İSTATİSTİK VE OLASILIK I
7. Hafta: Sürekli Olasılık Dağılımları
Öğr. Gör. Berk Ayvaz
2013
Kesikli Olasılık Dağılım Türleri
Sürekli Olasılık
Dağılımları
Normal
Dağılım
• Verilen bir aralıkta sonsuz değer alan
deney sonuçlarına sürekli dağılıyor
denilir.
• Sürekli
dağılım
gösteren
rassal
değişkenlerin büyük çoğunluğu ise
normal dağılıma uymaktadır.
Normal Dağılımın Özellikleri





Sürekli bir olasılık dağılımıdır.
Normal dağılımı meydana getiren birimler ölçme yahut tartma
yoluyla elde edilmiş verilerdir ve (-∞ , +∞ ) arasında sonsuz sayıda
değer alabilirler.
Normal dağılımın moment çarpıklık katsayısı 0 ‘dır. Yani normal
dağılım simetriktir.
Normal dağılımın moment basıklık katsayısı 3’tür. Diğer bütün
dağılımların basıklık ölçüleri bu katsayı ile karşılaştırılır.
1 −
1
−2  

  =
.
 2
Bu fonksiyondaki e, yaklaşık olarak 2.71828’e eşit matematiksel
sabit;  = 3.14159’a eşit matematiksel sabit;  , anakütle ortalaması;
 anakütle standart sapması ve X, herhangi bir sürekli tesadüfi
değişkendir.
Normal Dağılımın Özellikleri




Anakütle ortalaması ve standart sapması bilinen X değerleri için ihtimal
hesabı yapılabilir.
Bu yüzden normal dağılımın  ve  gibi iki parametresi vardır.
Normal eğri altındaki toplam alan 1 ’e eşittir.
Normal dağılımda herhangi bir X sürekli değişkeninin nokta tahmini
sıfırdır. Çünkü normal eğri altında sonsuz sayıda X noktaları
sözkonusudur.



Bu yüzden ancak herhangi
bir X değerinin Xı ile X2
arasında bulunma ihtimali
hesaplanabilir.
Bunun hesaplanması için,
fonksiyonun Xı’den X2’ye
integrali alınır.
Bununla
birlikte
nokta
tahmini yapılacağı zaman,
verilen X sürekli değişkenine
0.5 değeri eklenip çıkarılarak
bir aralık tarif edilir ve daha
sonra tarif edilen aralığın
olasılığı hesaplanabilir.
Normal Dağılımın Özellikleri



Anakütle ortalaması ve standart sapmasının farklı olduğu her problem
için ayrı bir integrasyon işlemi uygulamak gerekecektir.
Ayrıca, bu eğrinin integral hesapları da ileri matematik işlemlere
dayanmakta ve çok zaman almaktadır.
Bu sebeple bütün problemlerde kullanılabilecek standart bir fonksiyon
geliştirilmiştir.
Normal Dağılımın Özellikleri

Normal dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilmektedir:
 − 

Z değerleri dağılımının ortalaması  = 0 ve standart sapması = 1’e eşitlendiğinde;
normal dağılım, standart normal dağılıma dönüşür.
Bir başka deyişle olasılık hesaplarken normal dağılım standart normal dağılıma
dönüştürülür.
Buna göre normal dağılımda N( ,  ) olmaktadır. Standart normal dağılım ise
N(0,1) şeklinde ifade edilir.
Bu durumda Z değişkeninin standart normal dağılım fonksiyonu,
=




  =



1
2
.
1
−2 2
gibi daha basit bir şekil alır.
Standart normal dağılımın bu özelliğinden hareketle tablolar geliştirilmiştir.
Bu tablo, verilen bir Z değeri ile Z = 0 aralığına düşen alanı bulmamızı sağlar.
Normal Dağılımı- Standart Normal Dağılım
X 
Z

Normal
Dağılım
Standartlaşmış Normal
Dağılım

= 1

X
=0
Z
Normal Dağılımın Özellikleri





Standart normal eğride toplam alanın %68.27’si ±1 , ve %95.54’ü ±2 
ve %99.73'ü ±3  aralığında bulunur.
Standart normal dağılım için hazırlanan tablolardan yaralanabilmek için
verilen X değerlerinin standart Z değerlerine dönüştürülmesi gerekir.
X sürekli değişkeninin gözlenmesi ihtimali bu Z değerlerinin gösterdiği
alandan hesaplanır.
Z tablosundaki Z değerleri 0 ile 3.99 arasındadır.
Tablonun birinci sütununda virgülden sonra bir basamak yürütülmüş Z
değerleri vardır.
Z Tablosu
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
0
0.5000
0.4602
0.4207
0.3821
0.3446
0.3085
0.2743
0.2420
0.2119
0.1841
0.1587
0.1357
0.1151
0.0968
0.0808
0.0668
0.0548
0.0446
0.0359
0.0287
0.0228
0.0179
0.0139
0.0107
0.0082
0.0062
0.0047
0.0035
0.0026
0.0019
0.0014
0.0010
0.0007
0.0005
0.0003
0.0002
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.01
0.4960
0.4562
0.4168
0.3783
0.3409
0.3050
0.2709
0.2389
0.2090
0.1814
0.1563
0.1335
0.1131
0.0951
0.0793
0.0655
0.0537
0.0436
0.0352
0.0281
0.0222
0.0174
0.0136
0.0104
0.0080
0.0060
0.0045
0.0034
0.0025
0.0018
0.0013
0.0009
0.0007
0.0005
0.0003
0.0002
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.02
0.4920
0.4522
0.4129
0.3745
0.3372
0.3015
0.2676
0.2358
0.2061
0.1788
0.1539
0.1314
0.1112
0.0934
0.0778
0.0643
0.0526
0.0427
0.0344
0.0274
0.0217
0.0170
0.0132
0.0102
0.0078
0.0059
0.0044
0.0033
0.0024
0.0018
0.0013
0.0009
0.0006
0.0005
0.0003
0.0002
0.0002
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0.03
0.4880
0.4483
0.4090
0.3707
0.3336
0.2981
0.2643
0.2327
0.2033
0.1762
0.1515
0.1292
0.1094
0.0918
0.0764
0.0630
0.0516
0.0418
0.0336
0.0268
0.0212
0.0166
0.0129
0.0099
0.0076
0.0057
0.0043
0.0032
0.0023
0.0017
0.0012
0.0009
0.0006
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0.04
0.4840
0.4443
0.4052
0.3669
0.3300
0.2946
0.2611
0.2297
0.2005
0.1736
0.1492
0.1271
0.1075
0.0901
0.0749
0.0618
0.0505
0.0409
0.0329
0.0262
0.0207
0.0162
0.0126
0.0096
0.0073
0.0055
0.0042
0.0031
0.0023
0.0016
0.0012
0.0008
0.0006
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0.05
0.4801
0.4404
0.4013
0.3632
0.3264
0.2912
0.2578
0.2266
0.1977
0.1711
0.1469
0.1251
0.1057
0.0885
0.0735
0.0606
0.0495
0.0401
0.0322
0.0256
0.0202
0.0158
0.0122
0.0094
0.0071
0.0054
0.0040
0.0030
0.0022
0.0016
0.0011
0.0008
0.0006
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0.06
0.4761
0.4364
0.3974
0.3594
0.3228
0.2877
0.2546
0.2236
0.1949
0.1685
0.1446
0.1230
0.1038
0.0869
0.0721
0.0594
0.0485
0.0392
0.0314
0.0250
0.0197
0.0154
0.0119
0.0091
0.0070
0.0052
0.0039
0.0029
0.0021
0.0015
0.0011
0.0008
0.0006
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0.07
0.4721
0.4325
0.3936
0.3557
0.3192
0.2843
0.2514
0.2207
0.1922
0.1660
0.1423
0.1210
0.1020
0.0853
0.0708
0.0582
0.0475
0.0384
0.0307
0.0244
0.0192
0.0150
0.0116
0.0089
0.0068
0.0051
0.0038
0.0028
0.0021
0.0015
0.0011
0.0008
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0.08
0.4681
0.4286
0.3897
0.3520
0.3156
0.2810
0.2483
0.2177
0.1894
0.1635
0.1401
0.1190
0.1003
0.0838
0.0694
0.0571
0.0465
0.0375
0.0301
0.0239
0.0188
0.0146
0.0113
0.0087
0.0066
0.0049
0.0037
0.0027
0.0020
0.0014
0.0010
0.0007
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0.09
0.4641
0.4247
0.3859
0.3483
0.3121
0.2776
0.2451
0.2148
0.1867
0.1611
0.1379
0.1170
0.0985
0.0823
0.0681
0.0559
0.0455
0.0367
0.0294
0.0233
0.0183
0.0143
0.0110
0.0084
0.0064
0.0048
0.0036
0.0026
0.0019
0.0014
0.0010
0.0007
0.0005
0.0004
0.0002
0.0002
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
(Eğrinin altında kalan sağ taraftaki
alanı verir)
Örnek 1
X   6.2  5
Z

 .12

10
Normal
Dağılım
 = 10
= 5 6.2 X
Standartlaşmış Normal
Dağılım
=1
= 0 .12
Z
Örnek 2


Mesela Z = 2.14’ün gösterdiği normal eğri alanını bulmak
istediğimizde tablonun ilk sütunundaki 2.1 değerinin bulunduğu
satır ile başında 0.04 bulunan sütunun kesişme noktasındaki değere
bakarız.
Z = 2.14’ün gösterdiği normal eğri alanı 0.4838’dir.
Z Tablosu
f(x)
c
x
d
Olasılık eğrinin altında kalan alana eşittir.
P (c  x  d ) 

d
c
f ( x ) dx
?
Örnek 3: Standart normal dağılım (z) değerinden olasılık hesaplama
Standart Normal Dağılım
Olasılık Tablosu
Z
.00
.01
=1
.02
0.0 .0000 .0040 .0080
0.1
.0398 .0438
.0478
.0478
0.2 .0793 .0832 .0871
= 0 .12
0.3 .1179 .1217 .1255
Olasılık değerleri
Z
Örnek 4
Ortalama : 5 ve standart sapma: 10 için P(2.9  X  7.1)=?
Çözüm 4
Z 
Z 
X 

X 

 = 
Normal Dağılım

2 .9  5
  . 21
10

7 .1  5
 . 21
10
Standart Normal Dağılım
=
.0832
.0832
2,9
5
7,1
-0,21
0
0,21
.1664
Örnek 5

Z = -1.44 ile Z = 2.06 arasındaki alanı bulunuz.
ÇÖZÜM
 Z değerleri tablosu yardımıyla sözkonusu alanı kolayca bulabiliriz.
 Önce tablodan Z = -1.44’ün gösterdiği alanı tesbit ederiz.
 Bu alan Z = -1.44 ile 0 arasındaki alandır.
 Daha sonra Z = 2.06 ile Z = 0 arasındaki alanı buluruz.
 O halde Z= -1.44 ile Z = 2.06 arasındaki alan az önce tespit edilen iki alanın
toplamına eşittir. Aşağıdaki grafik bu alanı göstermektedir.
P(-1.44 ≤ Z ≤ 2.06) =0.4251 + 0.4803 = 0.9054
Örnek 6




Z = -1.44 ile Z = -0.51 arasındaki alanı bulunuz.
Önce Z = -1.44’ün daha sonra Z = -0.51’in gösterdiği alanı tespit ederiz.
Büyük olan alandan küçük olan alan çıkarıldığında istenen alan bulunmuş olur.
Aşağıdaki grafik bu alanı göstermektedir.
P(-1.44 ≤ Z ≤ -0.51) = 0.4251 - 0.1950 = 0.2301
Eğer iki pozitif Z değeri arasındaki alan istenirse yine büyük olandan küçük olan
alan çıkarılarak istenen alan bulunur.
Örnek 7

P(Z ≤ -1.44 ) değerini bulunuz.
Çözüm 7
Normal eğri altında kalan alana eşittir.
Eğri tam ortadan ikiye bölündüğünde sol taraftaki alan
0,5’e eşit olur.
Z=-1.44 ile Z= 0 arasındaki alan 0.4251 olduğuna göre ;
P(Z ≤ -1.44 )= 0,5-0,4251=0,0749 olur.
Örnek 8
P(X  8)=?
X  85
Z

 .30

10
 = 
Normal Dağılım
Standart Normal Dağılım
=
.3821
.1179
5
8
0
0,30
Örnek 9
Bir üretim sürecinde belli bir problemden dolayı üretilen ürünlerdeki
hataların ortalaması 15 ve varyansı 9 olan normal dağılıma sahip
oldukları bilinmektedir.
 Bu süreç içinden rasgele seçilen bir ürünün üzerindeki hata sayısının,
a) 11 den küçük
b) 12 den büyük
c) 9 ile 16 arasında olasılığı nedir?

Çözüm 9
Örnek 10

Bir imalat sürecinde üretilen mamüllerin ortalama ağırlığı 5 kg
ve standart sapması 0.15 kg’dir. Söz konusu imalat sürecinden
rassal olarak seçilen bir malın 5.05 kg’dan fazla olma olasılığı
nedir?
Çözüm 10
X= 5.05 kg’nin standart değeri;
Z=
−

=
5.05−5
0.15
= 0.33
Buna göre aranan olasılık:
P(X ≥ -1.44 ) = P(Z ≥ . )=0.5-0.1293= 0.3707 olarak hesaplanır.
Örnek 11
Bir istatistik sınavında sınıf ortalaması 60, standart
sapması 10 olsun. Sınavdan 1,5 standart puan alan bir
öğrencinin gerçek notu kaçtır?
Çözüm 11
Z=
−

X=75
=
−

= , 
Örnek 12
1587 kişinin alınacağı bir iş sınavına 10000 kişi
başvurmuştur. Yapılan sınavın ortalaması 50, std. sapması 5
‘tir. İşe girebilmek için gerekli en düşük puan nedir?
Çözüm 12

N=10000
n=1587
=50
=5
P=1587/10000=0,1587

Z=




z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
−

0
0.5000
0.4602
0.4207
0.3821
0.3446
0.3085
0.2743
0.2420
0.2119
0.1841
0.1587
0.1357
0.1151
0.0968
0.0808
=
−

0.01
0.4960
0.4562
0.4168
0.3783
0.3409
0.3050
0.2709
0.2389
0.2090
0.1814
0.1563
0.1335
0.1131
0.0951
0.0793
Toplam alan: 0,5
=
0.02
0.4920
0.4522
0.4129
0.3745
0.3372
0.3015
0.2676
0.2358
0.2061
0.1788
0.1539
0.1314
0.1112
0.0934
0.0778
0.03
0.4880
0.4483
0.4090
0.3707
0.3336
0.2981
0.2643
0.2327
0.2033
0.1762
0.1515
0.1292
0.1094
0.0918
0.0764
0.04
0.4840
0.4443
0.4052
0.3669
0.3300
0.2946
0.2611
0.2297
0.2005
0.1736
0.1492
0.1271
0.1075
0.0901
0.0749
0.05
0.4801
0.4404
0.4013
0.3632
0.3264
0.2912
0.2578
0.2266
0.1977
0.1711
0.1469
0.1251
Z=1
0.1057
0.0885
0.0735
0.06
0.07
0.08
0.4761
0.4721
0.4681
0.4364
0.4325
0.4286
0
0.3974
0.3936
0.3897
0.3594
0.3557
0.3520
P=0,1587
0.3228
0.3192
0.3156
0.2877
0.2843
0.2810
0.2546
0.2514
0.2483
0.2236
0.2207
0.2177
P=0,3413
0.1949
0.1922
0.1894
0.1685
0.1660
0.1635
0.1446
0.1423
0.1401
−
−
0.1230
0.1210
0.1190
Z=
=
0.1038
0.1020  0.1003
0.0869
0.0853
0.0838
0.0721
0.0708
0.0694
X=55
0.09
0.4641
0.4247
0.3859
0.3483
0.3121
0.2776
0.2451
0.2148
0.1867
0.1611
0.1379
0.1170
=

0.0985
0.0823
0.0681
Kesikli Dağılımın Normale Yakınsaması








Örnek hacmi n’in büyük olduğu hallerde kesikli ihtimal dağılımlarına ait
formüllerin kullanılması uzun hesaplamalar gerektirir.
Örnek hacmi yeterince büyük olduğunda, X değerlerinin dağılımı normal
dağılıma yaklaşır.
−

Standart normal değerleri bulmayı sağlayan, Z=
formülündeki  ve

 normal dağılımın parametreleridir.
Bu formülde normal dağılım parametreleri yerine gerekli şartları sağlayan
kesikli olasılık dağılımlarının ortalama ve standart sapmaları yazıldığında
kesikli olasılık değerlerinin kolaylıkla hesaplanabilmesini sağlayacak Z
değerleri elde edilir.
Kesikli olasılık dağılımları ile nokta tahmini yapılabilir.
Normal dağılımda nokta tahmini yapabilmek için verilen X değerine 0.5
ilave edilip çıkarılarak belirli bir aralığın tarif edilmesi gerekir.
Buna süreklilik düzeltmesi denir.
Standart Z değerleri hesaplanırken gerekli hallerde X değişkenine 0.5
ilave edilir ya da çıkarılır.
Binom’un Normale Yakınsaması
 Örnek hacimlerinin büyük ve p’nin 0.5’e yakın olduğu hallerde binom problemleri




genellikle normale yaklaştırma yolu ile çözülmektedir.
Örnek hacmi ile p değerinin çarpımı 5’e eşit veya daha büyük olursa binom dağılımı
normale yaklaşır.
Simetrik binom dağılımlarında, n küçük dahi olsa normale yaklaşım binom formülüne
yakın sonuçlar verdiği halde, p’nin 0’a veya 1’e yaklaşması halinde, normale yaklaştırma
yoluyla elde edilen sonuçlara güvenilmez.
Zira, bu hallerde eğri sağa veya sola çarpık olacağından normal eğri cetveliyle
hesaplamak ihtimaller, gerçek ihtimallerden sapma gösterecektir.
Şu var ki, n'in çok büyük değerleri için p’nin çok küçük (veya büyük) olması halinde bile,
normale yaklaştırma yoluyla gerçeğe yakın sonuçlar elde edilebilir.
 X değerlerine ait ihtimallerin hesaplanmasında standart Z değeri formül anakütle
ortalaması ve standart sapmasının yerine binom dağılımının ortalama ve standart sapması
yazılır.
 Böylece standart Z değeri formülü,
Z=
−
(1−)
Örnek 13
Bir fabrikanın ürettiği ürünlerin %10’u standartlara uymaktadır.
Bu fabrikanın imalatından alınan 150 birimlik mamül örneğinde 10
mamülün standartlara uymaması olasılığı % kaçtır?

Dağılımın ortalaması: np= 150* 0,1=15

Standart sapması: np(1 − p) = 15(1 − 0,1)=3,67


Normal dağılımda herhangi bir noktanın ihtimali 0’dır.
Bu yüzden X= 10 değerine 0,5 ilave edip çıkararak 1 = 10,5 2 =
9,5 değerleri elde edilir.
Daha sonra bu X değerleri;

1 =

2 =

Buna göre aranan ihtimal;
P(X=10)=0,4332-0,3907=0,0425 olarak hesaplanır.


−
(1−)
−
(1−)
=
9,5−15
3,67
=
= −1,23
10,5−15
3,67
= −1,50 standart değerlerine dönüşür.
Örnek 14
Alkol bağımlılığı ile ilgili yapılan araştırmalarda alkolik anne
babadan doğan çocuklarda alkol bağımlılığı oranının %80
olduğu saptanmıştır. 23-45 yaş grupları arasından 200 kişi
seçilmiştir. Buna göre
a) p( ≥ )
b) p( =178)
c) p( <  <161)
d) p( <190) olasılıklarını bulunuz.
Çözüm 14
Çözüm 14
Poisson Dağılımının Normale Yakınsaması




Büyük örnek hacimleri çok küçük p değerleri kullanıldığında λ ≥ 5
olursa poisson dağılımı normale yakınsar.
λ bilinmediğinde np formülü yardımıyla hesaplanabilir.
Poisson olasılıkları normal dağılım varsayımları altında hesaplanırken
standart Z değeri formülündeki anakütle ortalaması ve standart
sapmasının yerine poisson dağılımının aritmetik ortalama ve standart
sapması yazılır.
Bu durumda standart Z değeri,
Z=

−λ
λ
X süreklilik düzeltmesine tabi tutulacaktır.
Örnek 15
Bir otomobil fabrikasında malzeme yokluğu sebebiyle, günde,
ortalama 12 kez üretim durmaktadır. Buna göre, rastgele seçilen bir
günde malzeme yokluğu sebebiyle üretimin 15 kez veya daha az defa
durması ihtimalini hesaplayınız.

Ortalama, X = 12 ve standart sapma, 3.46’dır.
15 veya daha az defa üretimin durması ihtimali sorulduğu
için 15, ihtimal bölgesindedir.
15’in üst sınırı 15.5 olduğundan, bu noktanın standart değeri,

Z=

Bu noktanın sol tarafındaki alan aranan alandır. Buna göre 15
veya daha az defa üretimin durması olasılığı
P(X≤ 15) = P(Z ≤1.01) = 0.5+0.3438=0.8438



−λ
λ
15.5−12
12
=
= 1.01
Hipergeometrik Dağılımın Normale Yakınsaması




Örnek hacmi ile p değerinin çarpımı 5’e eşit veya daha büyük
olduğunda hipergeometrik dağılım normale yaklaşır.
Sınırlı anakütleden iadesiz çekilişler yapıldığı için hipergeometrik
dağılımın standart sapması düzeltme faktörü ile çarpılır.
Standart Z değeri formülündeki anakütle ortalaması ve standart
sapması yerine Hipergeometrik dağılımının aritmetik ortalama ve
standart sapması yazılır.
Bu durumda standart Z değeri,
Z=
−
(1−)

−
−1
X süreklilik düzeltmesine tabi tutulacaktır.
Örnek 16
1000 mamulden oluşan bir partideki mamullerin %10’u standartlara uymamaktadır.
Sözkonusu mamul partisinden iadesiz olarak alınan 150 birimlik mamul örneğinde
8’den az mamulün standartlara uymaması ihtimali % kaçtır?

Dağılımın ortalaması= np=150*0.10=15

Standart sapması: (1 − )

Z=

olarak elde edilirken bu noktanın ötesine düşen alan aranan olasılıktır.
P(X< 8) = P(Z < -2.21) = 0.5- 0.4864=0.0136=%1.36

7.5−15
3.39
−
−1
= 15(1 − 0.1)
1000−150
=3.39
1000−1
= −2.21

similar documents