Statistik dan Probabilitas pert 21 & 22

Report
STATISTIK DAN PROBABILITAS
pertemuan 21 & 22
Oleh :
L1153
Halim Agung,S.Kom
BAB XVI Pendugaan Secara Statistik
Fungsi nilai sampel yang digunakan untuk menduga parameter tertentu dinamakan
penduga parameter. Sedangkan nilai-nilai yang dinyatakan dengan angka-angka dan
yang kita peroleh dengan jalan mengevaluasi penduga dinamakan dugaan secara
statistik (statistical estimate)
Penduga yang baik adalah : Tidak bias, efisien dan konsisten
Pendugaan parameter dengan sampel besar
1. Pendugaan parameter x dengan x diketahui dan populasi tidak terhitung.

 

p  x  z / 2 x   x  x  z / 2 x   1  
n
n

p ( x  z / 2
atau
x
n
  x  x  z / 2
x
)c
n
Contoh:
Sebuah biro priwisata di Jakarta mengadakan suatu penelitian tentang kepariwisataan di
Indonesia dan ingin memperkirakan pengeluaran rata-rata para wisatawan asing per
kunjungannya di Indonesia. Guna keperluan tersebut , suatu sampel random yang terdiri
dari 100 wisatawan asing telah dipilih guna diwanwancarai dari populasi yang dianggap
tidak terhigga dan terdiri dari semua wisatawan yang ada di Indonesia dari hasil
wawancara diketahui bhwa rata-rata pengeluaran perkunjungannya sebesar $800 per
wisatawan. Jika deviasi standard sebesar$120, buatlah interval keyakinan sebesar 95%
menduga rata-rata pengeluaran para wisatawan perkunjungannya di Indonesia
Jawab :
p ( 800  z 0 , 05 / 2 .
120
100
  x  800  z 0 , 05 / 2
p ( 77 , 48   x  823 ,53 )  0 ,95
120
100
)  0 ,95
2. Pendugaan parameter x dengan x diketahui dan populasi terbatas.

x

p x  z / 2

n

N n
N 1
  x  x  z / 2
N n 
  1
N  1 
x
n
Contoh : Andaikan sampel random sebesar n = 64 dan x rata-rata =0,1165 dipilih dari
populasi yang terbatas sebesar N = 300 dan diketahui memiliki x=0,0120 maka
pendugaan parameterx= dengan interval keyakinan sebesar 95,45 %
Jawab :

0 , 012

p 0 ,1165  z 0 , 0455

64
2

236
299
  x  0 ,1165  z 0 , 0455
2
0 , 012
64
236 
  0 ,9545
299 
p 0 ,1165  2 ( 0 , 00134 )   x  0 ,1165  2 ( 0 , 00134 )   0 ,9545
p ( 0 ,11382   x  0 ,11918 )  0 ,9545
3. Pendugaan parameter x dengan x tidak diketahui
s
s 

p  x  z / 2
  x  x  z / 2
  1
n
n

Contoh:
Sebuah sampel random yang terdiri dari 100 mahasiswa telah dipilih dari populasi
mahasisiwa sebuah universitas. Ke 100 mahasisiwa tersebut telah diberi semacam tes
kecerdasan guna menentukan angka kuosin kecerdasannya. Angka rata-rata bagi ke 100
mahasiswa tersebut 112 dengan standard deviasi sebesar 11. tentukanlah interval
keyakinan 95%
Jawab :

p  112  z 0 , 05 / 2

11

p  112  1,96

11
100
100

  0 ,95
100 
  x  112  z 0 , 05 / 2
11
  x  112  1,96
11
p 109 ,844   x  114 ,156   0 ,95

  0 ,95
100 
4. Pendugaan parameter proporsi

p  p  z / 2


p (1  p )
n

 p  p  z / 2
p (1  p ) 
  1

n

Contoh :
Departemen Kesehatan Kota ingin sekali meneliti persentasi penduduk Kota Dewasa
yang merokok paling sedikit satu bungkus perhari. Sebuah sampel random sebesar n =
30 telah dipilih dari populasi yang terdiri dari penduduk kota yang telah dewasa dan
ternyata 36 orang merokok paling sedikit satu bungkus perhari. Tentukan interval
keyakinan sebesar 95% guna menduga proporsi penduduk kota yang merokok paling
sedikit satu bungkus perhari
Jawab :
 36
p
 1, 96
 300

0 ,12 x 0 ,88
 p 
300
36
 1, 96
300
p ( 0 ,12  0 , 037  p  0 ,12  0 , 037 )  0 , 95
p ( 0 , 083  p  0 ,157 )  0 , 95
0 ,12 x 0 ,88 
  0 , 95

300

5.
Pendugaan parameter 1- 2 dengan 1- 2 diketahui
2
2
2
2 





1
1
p  ( x1  x 2 )  z  / 2
 2   1   2  ( x1  x 2 )  z  / 2
 2   1

n1 n 2
n1 n 2 


Contoh :
Seorang importir menerima kiriman 2 jenis lampu pijar masing-masing bermerk A dan
B dalam jumlah yang besar. Importir diatas secara random memilih dari kedua merk
diatas masing-masing 50 buah lampu serta menguji daya tahan lampu tersebut. Ternyata
lampu A daya tahan rata-rata 1.282 jam dan lampu B rata-rata 1.208 jam.Dengan
standard deviasi masing-masing sebesar 80 dan 94 jam. Buatlah interval keyakinan
95%.
Jawab :
2
2
2
2 

80
94
80
94
  1
p  74  1, 96 .

  1   2  74  1, 96 .


50
50
50
50 


p ( 74  1, 96 x17 , 321   1   2  74  1, 96 x17 , 321 )  0 , 95
p ( 40 , 05   1   2  107 , 95 )  0 , 95
6. Pendugaan parameter p1- p2 dengan p1-p2 diketahui

 
p  ( p 1  p 2 )  z  / 2



p1  p 2
p1  p 2


 p 1  p 2  ( p 1  p 2 )  z  / 2
p 1 (1  p 1 )
n1

p1  p 2

  1

p 2 (1  p 2 )
n2
Contoh :
Sampel random sebesar 400 keluarga konsumen golongan pertama, 500 keluarga
konsumen golongan kedua. 230 keluarga dari golongan pertama menyatakan suka dan
200 keluarga dari keluarga konsumen kedua menyatakan suka dengan produk tertentu.
Buatlah interval keyakinana 95%.
Pendugaan parameter dengan sampel kecil
1.
Pendugaan parameter x dengan x tidak diketahui dan populasi tidak
terbatas

p  x  t ( / 2 , d . f )


  x  x  t ( / 2 , d . f )   1  
n

s
Contoh:
Sebuah sampel random yang terdiri dari 10 mahasiswa telah dipilih dari populasi
mahasisiwa sebuah universitas. Ke 10 mahasisiwa tersebut telah diberi semacam tes
kecerdasan guna menentukan angka kuosin kecerdasannya. Angka rata-rata bagi ke 10
mahasiswa tersebut 112 dengan standard deviasi sebesar 11. tentukanlah interval
keyakinan 95%
Jawab :
s


p  x  t ( / 2 , d . f )
  x  x  t ( / 2 , d . f )   1  
n


11
11 

p  112  t ( 0 , 025 , 9 )
  x  112  t ( 0 , 025 , 9 )
  0 ,95
10
10 

11
11 

p  112  2 , 262
  x  112  2 , 262
  0 , 95
10
10 

p (104   x  120 )  0 , 95
2. Pendugaan parameter x dengan x tidak diketahui dan populasi terbatas

p  x  t ( / 2 , d . f )


s
n
N n
N 1
  x  x  t ( / 2 , d . f )
s
n
N n 
  1
N  1 
Contoh :
Biro pendidikan Fasilkom UBM ingin mengetahui rata-rata hasil ujian Statistik, Sebuah
sampel random yang terdiri atas 14 angka hasil ujian mahasiswa telah dipilih dari 90
mahasisiwa ternyata rata-ratanya 75,6 dan standar deviasi 2,65. tentukan interval
keyakinan 95% guna menduga rata-ratanya
Jawab :

2 , 65
p  75 , 6  t ( 0 , 025 ,13 )

14

90  14

2 , 65
p  75 , 6  2 ,160

14

90  14
90  1
90  1
p 74 , 2   x  77 , 0   0 ,95
  x  75 , 6  t ( 0 , 025 ,13 )
  x  75 , 6  2 ,160
2 , 65
14
2 , 65
14
90  14 
  0 ,95
90  1 
90  14 
  0 ,95
90  1 
3. Pendugaan Parameter Proporsi
Contoh :


 x
p   t ( / 2 , d . f )
n



x
x 
1


 
n
n 
  1
n



x
x
1  
x
n
n
 p 
 t ( / 2 , d . f )
n
n
Dari sampel random sebanyak 10 rumah tangga yang memiliki pesawat TV , 4
diantaranya memiliki TV layar datar. Hitung interval keyakinan 95% proporsi keluarga
pemilik TV layar datar.
Jawab :


 4
p
 t ( 0 , 025 , 9 )
10




p  0 , 4  t ( 0 , 025 , 9 )


4 
4 
1 

4
10 
10 
 p
 t ( 0 , 025 , 9 )
10
10
0 , 4 x 0 ,6
10
4 
4 
1 

10 
10  
  0 ,95
10



 p  0 , 4  t ( 0 , 025 , 9 )
p  0 , 0496  p  0 , 7504

0 , 95
0 , 4 x 0 ,6 
  0 , 95

10

4. Pendugaan parameter 1-2 dengan 1dan 1 tidak diketahui

p  ( x 1  x 2 )  t (  / 2 , d . f ) Sp


1
n1
1

n2
  1   2  ( x 1  x 2 )  t (  / 2 , d . f ) Sp
( n1  1) s1  ( n 2  1) s 2
2
Sp 
1 
  1

n1 n 2 
1
2
n1  n 2  2
Contoh :
Sebuah sampel random sebesar n1=7 dipilih dari populasi normal dengan 1 dengan
sampel random n2=6 dipilihdari populasi normal dengan 2. hasil observasi sampel
diatas diberikan pada tabel berikut
x1
x2
57,8
64,2
56,2
58,7
61,9
63,1
54,4
62,5
53,6
59,8
56,4
59,2
53,2
n1  7 , x 1  56 , 21 , s1  9 , 02
2
n 2  6 , x 2  56 , 21 , s 2  5 , 296
2
6 x 9 , 02  5 x 5 , 296
Sp 

p  5 , 04  2 , 201 x 2 , 7069 x


762
1
7

1
6
 2 , 7069
  1   2  5 , 04  2 , 201 x 2 , 7069 x
p 1, 7386   1   2  8 , 354   0 ,95
1
7

1 
  0 ,95
6 

similar documents