مثال (1)

Report
Week 3
‫االحتمال ‪ ..‬كلمة للتعبير عن حدث بذاته غير مؤكد الحدوث‬
‫‪ ‬التجربة العشوائية )‪(Random Experiment‬‬
‫التجربة التي تكون جميع نتائجها معلومة ولكن ال يمكن ألحد التنبؤ‬
‫بحدوث هذه النتائج مسبقا‬
‫مثال (‪:)1‬‬
‫رمي قطعة نقود مرة واحدة‬
‫نتائجها الممكنة ‪ :‬ظهور الصورة أو ظهور الكتابة‬
‫‪ ‬فراغ العينة )‪(Sample Space‬‬
‫المجموعة المكونة من جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية‬
‫ويرمز لها )‪(S‬‬
‫ كل نتيجة تسمى ‪ :‬نقطة عينة‬‫ مثال (‪: )1‬‬‫}‪S={H,T‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫الصورة = ‪H‬‬
‫الكتابة = ‪T‬‬
‫‪‬‬
‫الحدث )‪(Event‬‬
‫◦ تكون الحادثة ‪ A‬وقعت اذا ظهر في التجربة واحد او اكثر من النتائج المحتملة‬
‫للتجربة‬
‫◦ مثال (‪:)1‬‬
‫◦ الحادثة ‪ A‬تمثل ظهور صورة ‪:‬‬
‫}‪A= {H‬‬
‫‪‬الحاالت المتنافية ‪ :‬استحالة وقوع حادثتين في نفس الوقت‬
‫‪ ‬احسبي الحوادث التالية وعدد عناصر كل منها للتجربة‪:‬‬
‫رمي قطعة نقود مرتين‪ ..‬حيث‬
‫}الحصول على صورة ‪ H‬في الرمية األولى {=‪A‬‬
‫}الحصول على كتابة ‪ T‬في الرمية األولى {=‪B‬‬
‫}الحصول على صورة واحدة على األقل {=‪C‬‬




S={HH,HT,TH,TT}
A={HH,HT}
n(A)=2
B={TH,TT}
n(B)=2
C={HH,HT,TH}
n(c)=3
‫‪ ‬االتحاد‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ‬التقاطع‬
‫‪A B‬‬
‫‪ ‬الحادثة المكملة‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪P(A)= n(A‬‬
‫)‪n(S‬‬
‫)‪ = n(A‬عدد عناصر الحادثة ‪A‬‬
‫)‪= n(S‬عدد عناصر فراغ العينة ‪S‬‬
‫مثال(‪: )1‬‬
‫ما هو احتمال حدوث ظهور صورة في كال الرميتين؟‬
‫‪A={HH}  n(A)=1‬‬
‫‪P(A)= 1/4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫هو قيمة عددية تعرف على نقاط فراغ العينة الناتجة عن تجربة عشوائية‬
‫الغرض منه ‪ :‬تسهيل التعامل مع التجارب العشوائية‬
‫‪ ‬مثـــال (‪:)1‬‬
‫فراغ العينة لرمي قطعة النقود ‪S={HH,HT,TH,TT} :‬‬
‫نعرف المتغير العشوائي ‪=X‬عدد الصور الظاهرة‬
‫فيكون‪:‬‬
‫‪, X({TH})=1‬‬
‫‪, X({HT})=1‬‬
‫القيم الممكنة للمتغير العشوائي‪:‬‬
‫‪x=0,1,2‬‬
‫‪X({HH})=2‬‬
‫‪X({TT})=0‬‬
‫‪‬‬
‫هو وضع جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي مع احتماالتها في جدول‬
‫او دالة ‪:‬‬
‫‪f(x)=p(X=x), ∀x‬‬
‫تسمى دالة التوزيع االحتمالي )‪(Probability Distribution Function‬‬
‫أو دالة الكتلة االحتمالية )‪(Probability Mass Function‬‬
‫‪‬‬
‫دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ‪= X‬عدد الصور الظاهرة‪:‬‬
‫)‪f(x)=P(X=x‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Probability Distribution Function‬‬
‫‪Random Variable‬‬
‫‪1/4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2/4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1/4‬‬
‫‪2‬‬
‫خواصها‪:‬‬
‫ تتراوح قيمها بين (‪)1-0‬‬‫‪ -‬مجموع الدالة االحتمالية=‪1‬‬
f(x)=p(X<=x)
F(0)=P(X<=0)=1/4
F(1)=P(X<=1)=3/4
F(2)=P(X<=2)=4/4 =1
E(X) ‫المتوسط أو القيمة المتوقعة للمتغير هي ת او‬
E(X)=Ƹxi.f(xi)
x
(i=1…n)
f(x)=P(X=x)
x.f(x)
Random Variable
Probability Distribution
Function
Expected Value
0
1/4
0
1
2/4
2/4
2
1/4
2/4
E(X)=Ƹxi.f(xi)
1

V(X)=E(X²)-[E(X)]²
x
f(x)=P(X=x)
x.f(x)
x². f(x)
Random Variable
Probability Distribution Function
Expected Value
0
1/4
0
0
1
2/4
2/4
2/4
2
1/4
2/4
4/4
V(X) =E(X²)-[E(X)]²
Variance
6/4 - 1=1/2


Discrete Uniform Distribution
Poisson Distribution
‫ قيمه احتماالت متساوية‬X ‫هو توزيع لمتغير عشوائي‬
f(x1)=f(x2)=……=f(xn)

f(x)=1/n


Variance of a Random Variable = V(X)=E(X²)-[E(X)]²
Expected Value of a Random Variable = E(X)=Ƹxi.f(xi)
(i=1…n)
‫‪ ‬رمي مكعب متزن مرقم على من (‪ , )6-1‬عرف المتغير العشوائي‬
‫‪= X‬الرقم الظاهر في األعلى‬
‫‪Random value: 1,2,…..,6‬‬
‫‪f(x)=1/6‬‬
‫‪E(X)=1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6‬‬
‫‪+6*1/6 = 21/6‬‬
‫‪V(X)= 91/6 – (21/6)² = 105/36‬‬
‫‪‬‬
‫هو توزيع متغير عشوائي يمثل عدد األحداث التي تحدث في فترة زمنية‬
‫أو مكانية محددة‬
‫‪ℷˣ -ℷ‬‬
‫‪e‬‬
‫!‪x‬‬
‫=)‪f(x‬‬
‫‪‬‬
‫‪E(X)=ℷ‬‬
‫‪‬‬
‫‪V(X)= ℷ‬‬
‫‪‬‬
‫اذا كان متوسط وصول السفن الى احد الموانئ سفينتان في اليوم ‪ .‬أوجد‬
‫احتمال ان تصل ‪ 3‬سفن لهذا الميناء في يوم معين‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تعريف المتغير العشوائي ‪ =X‬عدد السفن الواصلة‬
‫القيم الممكنة …‪x=0,1,2,‬‬
‫احتمال ان تصل ‪ 3‬سفن لهذا الميناء في يوم معين هو‬
‫‪f(3)=(2)ˣ / 3! * e-2‬‬
‫‪= 0.18‬‬
‫‪‬‬

similar documents