5. előadás - DE Műszaki Kar

Report
ÁLTALÁNOS GÉPTAN
Előadó: Dr. Fazekas Lajos
Debreceni Egyetem
Műszaki Kar
5. Előadás
Hő- és Áramlástan
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Áramlástan
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A vízsugár erőhatása (erőimpulzus)
•A szilárd testek esetén I=m·v az ún. impulzus
(mozgásmennyiség), amely az m tömeg és a v
sebesség szorzata, és ugyancsak vektormennyiség.
•Ha az impulzus az időegység alatt megváltozik,
akkor ezt valamilyen erő okozza, illetve valamilyen
erő a következménye.
Fd 
dI
dt

d (m  v)
dt
  Fi
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
dI/dt = I-nek a t
szerinti elsőrendű
deriváltja =
időegység alatt
bekövetkező
impulzusváltozás.
A vízsugár erőhatása (erőimpulzus)
•Az előző egyenlet Newton második törvényének
általános alkalmazása.
•Az Fd gyorsító erőt erőimpulzusnak nevezik, amelynek
van ellentétes tehetetlenségi eredője (Fi).
•Az előző képlet általános érvényű, vagyis az áramló
folyadékokra is igaz.
•Az áramló folyadéknak azonban nincs egyetlen m-mel
kifejezhető tömege, hanem adott keresztmetszeten az
időegység alatt átáramló, ṁ ún. tömegárama, amely
kifejezhető a q térfogatáram és a ρ sűrűség szorzatából:

m
V 
m 

 q
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
t
t
Vázlat a vízsugár erőhatásának
értelmezéséhez
Alapvető törvény, hogy
zárt mechanikai
rendszer impulzusa
állandó.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Az áramló folyadék sebességének viszonya
a folyadék egyéb fizikai jellemzőivel
•Ha az áramló folyadék sebessége megváltozik, az mindig erő
hatására történik.
•Megváltozhat a sebesség hatásvonala anélkül, hogy abszolút
értéke változnék.
•A hatásvonal megváltoztatásának oka pl. a vízsugár útjába
helyezett lap (lapát) lehet.
•Az áramló folyadék erőimpulzusának vizsgálatára célszerű ún.
ellenőrző (zárt) felülettel elhatárolni a folyadéktér egy részét.
•Így azonnal az eredő erőimpulzus határozható meg, mert
könnyen megszerkeszthető a Δv sebességváltozás, és az
ellenőrző felületen belüli jelenségekkel nem kell foglalkozni. A
megszerkesztett Δv=v2-v1 különbségi sebességvektor:
Fd  m   v  q   v   v  A  v   v   v   Fi
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Az áramló folyadék sebességének viszonya
a folyadék egyéb fizikai jellemzőivel
Δv=v2-v1 különbségi sebességvektor:
Fd  m   v  q   v   v  A  v   v   v   Fi
képletből számítható, iránya a Δv sebességváltozás
irányával megegyezik. Az Fi értelme azzal
ellentétes.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A vízsugárra ható erők a vízsugár
sebességének függvényében
•A bal oldalon látható síklapot A keresztmetszetű vízsugár éri.
•A lapot megtámasztották, így a vízsugár elfordul, szétterül az
egész lapon, és a K pontból induló sugarak irányában elhagyja
azt.
•A vízsugarat a lap által közvetített erő gyorsította.
Síklapra merőlegesen
érkező vízsugár.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A vízsugárra ható erők a vízsugár
sebességének függvényében
•A rajzolt módon felvett ellenőrző felületre v1 sebességgel
érkező vízsugár v2 sebességgel távozik a lap középpontjára
szimmetrikusan, egy körkerület mentén.
•Így
a
v2
sebességvektorokkal
képzett
impulzus
(mozgásmennyiség) vektorok páronként kioltják egymást,
eredőjük nulla.
Síklapra merőlegesen
érkező vízsugár.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A vízsugárra ható erők a vízsugár
sebességének függvényében
•Az ellenőrző felülettel körülzárt folyadékot támadó erők eredője
F
i
  q m  v1  
• a negatív előjel utal az erő helyes értelmezésére.
• Figyelembe véve, hogy
q m    q v    A  v1
• az eredő erő nagyságára a

F i    A  v1
2
• egyszerű összefüggés adódik.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A vízsugárra ható erők a vízsugár
sebességének függvényében
Jobb oldalon látható síklap u sebességgel mozog a folyadéksugárral
megegyező irányban. Az ellenőrző felület együtt halad a lappal. A
jelenség az előzőkben tárgyalthoz hasonló, a távozó folyadék
impulzus (mozgásmennyiség) vektorai páronként kioltják egymást.
A folyadék most
így
F
v1-u
sebességgel lépi át az ellenőrző felületet,
  q m   v1  u 
eredő erőt kapunk.
A vízsugárra ható erők a vízsugár
sebességének függvényében
Figyelembe véve, hogy az ellenőrző felületet átlépő
tömegáram is kisebb, most
q m    A  v1  u 
az eredő erő nagyságára az
F
   A  v1  u 
összefüggés adódik.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
2
Az áramlási veszteségek
•A valóságos folyadék áramlása nem
veszteségmentes.
•Súrlódási erő hat mind a csőfal és a folyadék
között, mind az egyes folyadékrészecskék között,
ha közöttük bármely okból sebességkülönbség
van.
•Ezen kívül ún. leválási veszteségek lépnek fel a
csőidomokban, csőszerelvényekben.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Súrlódási veszteségek
c = a közeg abszolút sebessége (itt a max. sebessége)
u = a közeg lokális sebessége
y = a faltól mért távolság
Fal melletti sebességeloszlás
súrlódásmentes (a) és súrlódásos (b)
esetekben.
A Newton-féle súrlódási törvény
értelmezése: a folyadékrészecskék
közti csúsztatófeszültség miatti
sebességeloszlás jelensége.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A veszteséges Bernoulli-egyenlet
A súrlódási veszteséget kifejező fajlagos munkát az
áramlás irányában felírt Bernoulli-egyenlet jobb
oldalára, a kettes indexű tagok mellé írják, így
  g  h1  p 1   
v
2
1
   g  h2  p2 
2
v
2
2
 p
2
vagyis az áramlás 1 pontbeli fajlagos összenergiája
egyenlő a 2 pontbeli fajlagos összenergia és a Δp
nyomásveszteség összegével. Ez a nyomásveszteség
magában foglalja a súrlódási és a leválási
veszteségeket.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A veszteséges Bernoulli-egyenlet
A nyomásveszteség:
p     
v
2
2
a nyomásveszteség arányos a fajlagos mozgási
energiával, ahol az arányossági tényező
(veszteségtényező)
egyenes,
állandó
keresztmetszetű csővezetékre:

 
d
λ- csősúrlódási tényező,
ℓ- a cső hossza,
d- a cső átmérője.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Áramlási veszteségek
•Az veszteségtényezőt csőidomokra,
csőszerelvényekre alkalmazzák, ahol a leválási
veszteségek dominálnak, melyet mérések,
modellkísérletek útján határozzák meg.
•Egyszerűbb üzemtani számításokhoz tapasztalatok
alapján, becsléssel veszik fel ezeket az  értékét.
•Az áramlási veszteség legyőzésére fordított munka
hővé alakul, amely részben bennmarad az áramló
közegben, részben a csőfalon át távozik.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Áramlási veszteségek
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Áramlási veszteségek
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
20 mm belső átmérőjű cső
ellenállása 80 °C víz esetén,
különböző csőérdesség mellett.
Áramlási veszteségek
• A csősúrlódási tényező (λ) értéke attól függ, hogy
az áramlás képe (jellege) lamináris (réteges) vagy
turbulens (gomolygó, keveredő).
• A lamináris áramlás esetén a vízrészecskék
rendezett sorokban rétegesen áramlanak, az
egyes vízrészecskék áramlás közben szigorúan
„saját rétegükben” maradnak.
• A turbulens áramlásnál ezzel szemben egyik
vízrészecske áthatol a másik pályájára, ütközések
lépnek fel, a különböző nagyságú és irányú
sebességek miatt.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Lamináris és turbulens áramlás
•Egy m tömegű vízcseppecske sebességvektorát
szemlélteti a kétfajta áramlás esetére.
•Az „a” ábrán a lamináris áramlás sebességvektora
látható.
•Turbulens áramlás esetén (b ábra) a fő mozgási
irányba eső, középértéknek tekinthető, sebességvektor
végpontja köré rajzolt gömbnek bármely pontjába
mutathat a pillanatnyi sebességvektor.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Lamináris és turbulens áramlás
• A sebességvektor végpontja három tengely irányába
végez egyszerre oszcilláló mozgást.
• Azt, hogy az áramlás képe lamináris-e vagy turbulens,
a dimenzió nélküli Reynolds-szám dönti el.
• A λ csősúrlódási tényező értéke a Reynolds-számtól
és a cső belső falának érdességétől függ.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A Reynolds-szám
•d = a jellemző hosszméret, azaz a
csőszakasz belső átmérője,
•v = az áramlás sebessége,
•υ = az áramló folyadék
kinematikai viszkozitása.
Re 
d v

•A Reynolds-szám kritikus értéke: csövek esetén Rekr=2320.
•Ennél kisebb Reynolds-számnál az áramlás képe lamináris,
efölött pedig turbulens.
•A lamináris áramlás esetén (közelítőleg):
 
64
Re
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A lamináris és a turbulens áramlás
•di = a jellemző hosszméret, azaz a
csőszakasz belső átmérője,
•v = az áramlás sebessége,
•υ = az áramló folyadék
kinematikai viszkozitása.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A csősúrlódási tényező a Reynoldsszám függvényében
•A turbulens áramlásnál a csősúrlódási tényező
meghatározásához több képlet ismeretes, amelyek csak
egy-egy tartományra adnak jó közelítő értéket (PrandtlKármán-képlet, Blasius-képlet, Nikuradze-képlet).
•A cső belső falának érdességére az r/k hányados, a relatív
érdesség a jellemző. Itt az „r” a körszelvény sugara és a „k”
a fal kiszögellésének (egyenetlenségének) átlagos mérete.
•Egy bizonyos Re-számnál bármilyen relatív érdességű cső λ
csősúrlódási tényezője a sima cső csősúrlódási tényezőjével
válik egyenlővé, azaz a cső hidraulikailag simának
tekinthető.
•A gyakorlatban előforduló feladatok legtöbbjénél a
csősúrlódási tényező λ=0,02…0,03 között van.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A csősúrlódási tényező a Reynoldsszám függvényében
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Hőtan
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Termodinamika I. főtétele
• Egy zárt termodinamikai rendszer munkája a
belső energia megváltozásából és a hőcseréből
dW = a munka változása
áll.
dU = a belső energia vált.
dW   dU  dQ
dQ = a közölt hőmennyiség
változása
• Zárt termodinamikai rendszerben: W pozitív, ha a
rendszer végez munkát (expanzió), Q pozitív, ha a
rendszer vesz fel hőt, negatív, ha hőt ad le a
környezetnek.
• A hő a belső energia megváltozására és
Egyes szakirodalmak a
munkavégzésre fordítható:
közeg munkavégzését W
L-el jelölik.
dQ  dU  dW (Pl. helyett
DE MK Hőtan jegyzet)
Termodinamika egyéb rendszerek
esetében
A meleg
rendszer átadja
hőjét
környezetének.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Bármilyen esetleges
hasonlóság ismert
emberekkel a véletlen műve!
A közeg munkavégzése a
termodinamika I. főtétele alapján
A felvett hő növeli, a végzett munka csökkenti a belső
energiát.
Az előző egyenlet dUdU  dQ  dW
ra rendezett alakja.
mivel
dQ  dU  dW
A munka változása a
nyomás és a
térfogatváltozás szorzata
továbbá
dW  pdV
Azonban integrálással az egyenlet
differenciálos alakja megszüntethető:
W 
 p  dV
A p konstans V szerinti
integrálja.
Batman-féle termodinamika
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A levegő (gáz) állapotváltozása
Állapotváltozás állandó térfogaton (V = konst.)
(Izochor folyamat)
Az állapotváltozás p-V
diagramja
(p1 < p2 és V1 = V2).
Energiaváltozás szemléltetése
sematikus ábrával.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Izochor állapotváltozás
Állandó térfogatú állapotváltozás csak hőközlés vagy
hőelvonás útján jöhet létre, ami zárt, merev falú térben
történő közegmelegítést vagy hűtést jelent.
Az izochor állapotváltozás két pontja közötti nyomás
egyenesen arányos az abszolút hőmérséklettel:
p1
p2

T1
T2
Az állapotváltozás során csak a belső energia változik:
•m = a gáz tömege [kg]-ban,
•cp = a fajlagos hőkapacitás állandó
nyomáson (izobár fajhő) [kJ/kg·K] -ben,
•T = a hőmérséklet [K]-ben
Q1, 2  m  c p  T 2  T1 kJ 
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Állapotváltozás állandó nyomáson
(p = áll.)
(Izobár folyamat)
Az állapotváltozás p-V
diagramja
(p1 = p2 és V1 < V2).
Energiaváltozás szemléltetése
sematikus ábrával.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Izobár állapotváltozás
•Izobár állapotváltozást végez egy gáz, ha a tér, amelyben
melegítik vagy hűtik, követi a gáz térfogatváltozását (pl.
egy állandó súlyerővel terhelt dugattyú elmozdulásával).
•Állandó nyomásnak tekinthető (jó közelítéssel) a
csövekben, csatornákban áramló közeg hűtése vagy
fűtése, ha a be- és kilépősebességek különbsége nem
nagyon nagy.
•Az izobár állapotváltozás két pontja között a
fajtérfogatok egyenesek arányosak az abszolút
hőmérséklettel:
V2
T2
v2
T2

vagy

V1
T1
v1
T1
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Fajlagos mennyiségek és a hőközlés
•A fajtérfogat (fajlagos térfogat) a sűrűség
reciproka v=1/ρ , mértékegysége m3/kg.
•Az állapotváltozás során közölt hő (Q) egy része
külső munkavégzésre, a másik része pedig a belső
energiaváltozásra fordítódik. Az állapotváltozáshoz
szükséges hő: Q1,2=m·cv·(T2-T1), ahol
•cv - a fajlagos hő kapacitás állandó térfogaton:
A fajlagos mennyiséget úgy
W=p·(v2-v1)
nyerjük, hogy az adott
mennyiséget egységnyi tömegre (1
kg-ra) vonatkoztatva adjuk meg,
tehát dimenziója egy [kg] osztóval
kiegészül.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A hőközlés matematikai magyarázata
dq  c v dT
Ez beszorozva m-mel, hogy ne fajlagos mennyiségünk legyen:
dQ  m  c v dT
A hőközlés differenciált alakja áll rendelkezésünkre,
melyet Riemann-szerint az alábbiak szerint integrálunk:
2
2
 dQ
1

 m  c dT
v
1
m és Cv konstans volta miatt ők kivihetők az integráljel elé:
2
 dQ
1
2
 m  c v  dT

Q 12  m  c v (T 2  T 1)
1
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Állapotváltozás állandó hőmérsékleten
(T = konst.)
(Izotermikus folyamat)
Az állapotváltozás p-V
diagramja
(p1 > p2 és V1 < V2).
Energiaváltozás szemléltetése
sematikus ábrával.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Állapotváltozás állandó hőmérsékleten
(T = konst.)
Izotermikus állapotváltozás (kompressziót vagy expanziót)
úgy hajtják végre, hogy közben a hőmérséklet ne változzék,
amelynek törvényét a
p  V  konst .; vagyp  v  konst ., illetve
p2
p1

V2
V1
vagy
p2
p1

v2
v1
képletek fejezik ki. Az állapotváltozás képe a p·v
diagramban egyenlőszárú hiperbola.
A fajlagos térfogatnyi levegő izotermikus állapotváltozására a
következő adódik:
Az általános
p·v=R·T
gáztörvény.
A kompresszió/expanzió
végrehajtása lassan történik,
mivel az állandó hőmérséklet
csak így biztosítható.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Kompresszió = sűrítés;
Expanzió = terjeszkedés.
A gáztörvény
A Boyle-Mariotte-féle gáztörvény:
p·v=R·T
•
•
•
•
Boyle és Mariotte kísérletei
azt mutatták, hogy állandó
hőmérséklet mellett
gázoknál a nyomás
és a térfogat szorzata
állandó: (pv)T = áll.
p - az abszolút nyomás,
v - a fajlagos térfogat,
T - az abszolút hőmérséklet,
R - a Regnault-féle (ejtsd: Rönyó) gázállandó.
A belső energia az állapotváltozás során állandó
marad és az összes közölt hő külső munkavégzésre
fordítódik:
W IT  R  T   n 
p1
p2
 p 1  v1   n 
v2
v1
A munkavégzés levezetése
(példa egy termodinamikai képlet bizonyítására izoterm esetben)
Tudjuk, hogy:
És azt is, hogy az I. főtétel differenciális alakja fajlagos mennyiségekre:
dq = du + dw
ismeretes továbbá az is, hogy a belső energia megváltozása arányosan változik
a hőmérséklet növelésével (ha ismert az izochor fajhő):
du = cvdT, de dT=0, mivel T=áll. és minden konstans deriváltja zérus, ezért:
du = 0 és így:
dq = dw, de dw = pdv
így az első főtétel izotermás differenciális alakja:
dq = pdv
Az első egyenletből:
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A munkavégzés levezetése
(példa egy termodinamikai képlet bizonyítására - izoterm esetben)
Ezt behelyettesítve az izotermás I. főtétel p helyére, majd
integrálva az egyenlet mindkét oldalát (1 és 2 között):
felhasználva azt, hogy az alábbi alapintegrál
alkalmazható, mivel RT=konstans:
középiskolából ismert az az összefüggés, miszerint:
Így a fajlagos munka:
mivel a legelső egyenletből:
Az állapotváltozás alatt hőcsere nincs
(dQ = 0)
(Adiabatikus állapotváltozás)
Az állapotváltozás p-V
diagramja
(p1 > p2 és V1 < V2).
Energiaváltozás szemléltetése
sematikus ábrával.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Az adiabatikus állapotváltozás
•Ha a gázt a környezettől teljesen elszigetelve
komprimálják, megnő a hőmérséklete, mert az
összenyomásra fordított munka hővé alakul át.
•Expanzió esetében viszont a visszanyert
mechanikai munka következtében csökken a gáz
energiája és hőmérséklete.
•Ez a gyakorlatban igen fontos állapotváltozás a p-V
diagramban hiperbolával ábrázolható.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Az adiabatikus állapotváltozás képlete:
1
k
p  v  konst ., illetve
k
p1
p2
1
p1
p2
 T1
 
 T2
 v 2  v1
 p2  k
 ;
 ;
 
 


v
v
p
2
 1 
 1 
1
 k  1 v1
 T1  k 1 T1
 v2 
 ;
 ;

 
 



v2
T2

 T2 
 v1 
k 1
k 1
 p1 

;
 

T2
 p2 
T1
k
•k=1,4, ideális gáz és levegő esetén.
•A munka teljes egészében a belső energiából fedeződik.
•Terjeszkedéskor a belső energia csökken, sűrítéskor nő.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Az adiabatikus munkavégzés:
W ad 
k
k 1
  p1  v1  p 2  v 2 .
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Az állapotváltozás során tetszőleges
hőcsere van (p·vn= konst).
(Politropikus állapotváltozás)
•A
valóságban
nincs
tökéletes
adiabatikus
állapotváltozás, mert nem lehet a vizsgált gáztérfogatot
a környezettől tökéletesen izolálni.
•Csak
megközelítőleg
tudják
az
adiabatikus
állapotváltozást oly módon, hogy a kompressziót vagy
expanziót gyorsan hajtják végre.
•Hasonlóképpen nincs a valóságban tökéletes
izotermikus állapotváltozás sem.
•Úgy lehet megközelíteni, hogy a hengert hűtik,
amelyben az állapotváltozás végbemegy.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A politropikus állapotváltozás
A valóságos állapotváltozás az adiabatikus és az
izotermikus között játszódik le, és ez a politropikus
állapotváltozás, amelynek képletei:
 v2
p  v  konst ., illetve
 
p 2  v1
n
p1
n
 T1  v 2 
 ;
 
 T v 
2

 1
n 1
n 1
 p1 

;
 
T 2  p 2 
T1
n
, ahol
n - kitevő az állapotváltozás alatt, értéke
1  n  1, 4
A valóságos állapotváltozásokat abban az értelemben
nevezik adiabatikusnak vagy izotermikusnak, hogy melyik
állapotváltozást közelítik meg jobban.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Különleges kitevőjű politropák a p-V
diagramban
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A politropikus állapotváltozás az ismertetett négy
állapotváltozás speciális esete, ugyanis
Kitevő
pV
Áll. vált.
n=0
Konst.
Izobár
n=1
Konst.
Izoterm
n=k
Konst.
Adiabatikus
n=∞
Konst.
Izochor
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Köszönöm figyelmüket!
Viszont látásra!
Debreceni Egyetem Műszaki Kar

similar documents