ANALISIS VARIANSI - Blog Mahasiswa UI

Report
ANALISIS VARIANSI
Pada bab sebelumnya telah dibahas prosedur
pengujian untuk menentukan apakah mean dua
populasi normal yang saling bebas, sama atau
tidak apabila variansi kedua populasi
diasumsikan sama (walaupun tidak diketahui ).
 Teknik tersebut dapat diperluas sehingga dapat
digunakan untuk membandingkan mean
beberapa (k) populasi.

CONTOH




akan diuji apakah tiga varitas gandum secara ratarata memberikan hasil yang sama apabila tanaman
gandum tersebut ditanam pada petak-petak yang
berukuran sama dan mempunyai kondisi tanah yang
sama
ingin diselidiki apakah enam laboratorium yang ada
memberikan hasil analisis yang sama apabila
diberikan sampel-sampel dari bahan yang sama.
Dalam kasus ini, ada satu factor yang disebut
perlakuan (treatment).
Factor perlakuan pada kasus gandum adalah varitas
gandum yang mempunyai 3 level sedangkan pada
kasus kedua factor perlakuannya berupa
laboratorium yang mempunyai enam level.
Pada kasus pengujian k mean populasi, dengan
k > 2, diasumsikan bahwa terdapat k sampel
dari k populasi.
 Prosedur yang biasa digunakan dalam hal ini
dinamakan analisis variansi atau ANOVA.
 Analisis variansi adalah suatu teknik stastistik
untuk menganalisis pengukuran-pengukuran
yang bergantung kepada beberapa efek /
pengaruh yang bekerja serentak, menentukan
efek mana yang penting dan menduga efek itu.

Analisis variansi didasarkan pada pemecahan
variansi total menjadi bagian-bagian /
komponen- komponen yang masing-masing
mengukur variabilitas yang disebabkan oleh
berbagai sumber.
 Dalam membandingkan k mean populasi , dua
sumber variasi adalah :
1. perbedaan antar mean
2. variasi dalam populasi ( error )

KLASIFIKASI SATU ARAH

Pada analisis variansi satu arah,hanya satu
faktor (treatment) yang diteliti.
Misalnya :
- pengaruh varitas gandum terhadap hasil panen
- pengaruh konsentrasi bahan kimia terhadap
pertumbuhan tanaman
- pengaruh laboratorium terhadap hasil analisis.
Misalkan terdapat k populasi yang saling bebas,
berdistribusi normal dengan mean masingmasing 1 ,  2 , …,  k dan variansi  2 .
 Dari setiap populasi,masing-masing diambil
sampel berukuran n1 , n2 ,.....,nk .
 Setiap populasi diidentifikasikan sebagai
populasi dari respon- respon dibawah treatment
tertentu .
 xij adalah pengamatan ke-j dari populasi
(treatment) ke-i,i=1,2,3,..k dan j=1,2,… ni

Populasi
1
Total
Mean
2
k
xk1
xk 2
x11
x21
x12
x22
x1n1
x2n2
xknk
x1.
x2.
xk .
x..


x 1.
x 2.


x k.
x ..
MODEL MATEMATIKA
adalah variabel acak yang saling bebas,
mempunyai mean i dan variansi  .
 Model matematika :
xij  i   ij , j = 1,2,…,ni dan i = 1,2,…,k.
dimana :
x : pengamatan ke-j dari treatment ke-i
i : mean treatment ke-i
 uj : error, diasumsikan saling bebas dan
berdistribusi N 0, 
 X ij
2
ij
2
HIPOTESIS
H 0 : 1   2         k
H1 : minimal ada dua mean yang tidak sama
Uji hipotesis akan didasarkan pada perbandingan
dua nilai dugaan/penaksir yang saling bebas
untuk variansi populasi  2 .
Nilai dugaan ini dapat diperoleh dengan cara
menguraikan variabilitas total pada data
menjadi dua komponen.

Variansi dari seluruh pengamatan (untuk kasus
banyaknya pengamatan tidak sama untuk tiap
treatment seperti pada tabel sebelumnya):
s   x
k
2
ni
2
 x 
k
n   ni
i 1
,
Pembilang dalam s2 disebut jumlah kuadrat
total yang mengukur keragaman total dalam
data.
Keragaman total tersebut dapat diuraikan melalui
identitas berikut : JKT = JKTr + JKE
i 1 j i
ij
n 1
Cat : untuk kasus banyaknya pengamatan pada treatment sama, rumus-rumusnya dapat dilihat di
buku.
2
2
k
k
i




  


x

x

n
x

x

x

x
..
i
.
..
i
.









ij
i
ij


 i 1 j 1 

i 1 j 1 
i 1
k
ni
n
2
JKT
= JKTr
+ JKE
Untuk mempermudah perhitungan, rumus-rumus
diatas dapat dituliskan dalam bentuk :
 x
k
1. JK Total (JKT) :
ni
i 1 j 1
 x 
2
ij
k
k
x
x

= 
n
i 1 j 1
2
ij
2. JK Treatment (JKTr) :  ni xi  x 2
i 1
3. JK Error (JKE) : x
k
ni
i 1 j 1
 xi  
2
ij
2
ni
2
x
xi
= 
n
i 1 ni
k
2
= JKT - JKTr
Statistik uji yang akan digunakan dalam anova
adalah :
S
F=S
yang berdistribusi F dengan db 1  k  1 dan  2  n  k
dimana
JKE
JKTr
S
= k  1 dan = n  k
S
: Rata-rata JK Treatment
S
: Rata-rata JK Error
S
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
Penurunan Distribusi F dapat dijelaskan sbb:

Untuk setiap i : X adalah variabel acak
berukuran ni dari populasi normal dengan
variansi  2.
ij
 X
ni

j 1

ni
i 1 j 1
berdistribusi khi kuadrat dg db = ni-1
2
 X
k

 X i 
2
ij
 X i 
2
ij
2
berdistribusi khi kuadrat dg db = n-k


X i : variabel acak berdistribusi normal dengan
variansi
k

i 1
X
i
 X 
2
2
.
ni
 =  n X
k
2
i 1
ni
i
 X  berdistribusi
2
i
khi kuadrat,
2
db = k-1.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya,
12 / 1
(n  k ) S 22
(k  1) S12
2
F 2
2
dan  2   2
 2 / 2 ,dimana 1   2
yang masing-masing berderajat bebas (k-1) dan
(n-k). Sehingga
F=
S1
2
S2
2
berdist F dgn db 1  k  1 dan  2  n  k

Kriteria pengujian :
Pada tingkat signifikasi  , Ho ditolak jika
F ≥ F ;k 1,nk 
TABEL ANOVA
Jumlah
Derajat
Rata – rata
Kuadrat
Bebas
Jumlah Kuadrat
Hitung
Treatment
JKTr
k-1
JKTr
s12 
k 1
s12
s22
Error
JKE
n-k
Total
JKT
n 1
Sumber
s22 
JKE
nk
F
CONTOH
Dalam suatu percobaan biologi,empat
konsentrasi bahan kimia digunakan untuk
merangsang pertumbuhan sejenis tanaman.
Percobaan dilakukan selama periode waktu
tertentu.
 Apakah pertumbuhan rata-rata tanaman
berbeda untuk keempat konsentrasi bahan kimia
tersebut?
 Ujilah dengan menggunakan tingkat signifikasi
0,01.
 Data pertumbuhan tanaman (dalam sentimeter)
adalah sebagai berikut :

Konsentrasi
Total
1
8,2
8,7
9,4
9,2
35,5
2
7,7
8,4
8,6
8,1
8,0
3
6,9
5,8
7,2
6,8
7,4
4
6,8
7,3
6,3
6,9
7,1
40,8
6,1
40,2
34,4
150,9
- Model matematika :
xij  i   ij , i = 1,2,3,4 , j = 1,2,…,ni
Dimana :
xij : pertumbuhan tanaman ke-j pada konsentrasi ke-i
i : pertumbuhan rata-rata tanaman yang disebabkan
konsentrasi ke-i
 ij : error, diasumsikan saling bebas dan berdistribusi
N 0, 2 
- Hipotesis :
H 0 : 1   2  3   4
H1 : minimal ada dua
i
yang tidak sama
-
Perhitungan
n1 = 4, n2 = 5, n3 = 6 dan n4 = 5
x1  35,5
x2  40.8
x3  40,2
x4  34,4
JKT = 8,2  8,7        7,1  15020,9 = 19,35.
JKTr = 354,5       345,4  15020,9 = 15,46
JKE = 3,89
2
2
2
2
2
2
3,89
15,46
s 22 
 0,24
s 
 5,15
16
3
2
1
2
TABEL ANOVA
Sumber
Jumlah
Derajat
Rata-rata
Kuadrat
Bebas
Jumlah
F
Kuadrat
Treatment
15,46
3
5,15
Error
3,89
16
0,24
Total
19,35
19
F
5,15
 21,4
0,24
  0,01
F0,01;3;16  5,29
 Karena F = 21,4 >5,29 maka Ho ditolak

Kesimpulan :
Pertumbuhan rata-rata tanaman berbeda untuk
keempat konsentrasi bahan kimia tersebut.

similar documents