Handout Statistika Teknik-8 Konsep Dasar Probabilitas

Report
KONSEP DASAR
PROBABILITAS
 BILANGAN FAKTORIAL, PERMUTASI
DAN KOMBINASI
 RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
 SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIAN
A
 DUA KEJADIAN SALING LEPAS
 DUA KEJADIAN KOMPLEMENTER
 DUA KEJADIAN SALING BEBAS
 PROBABILITAS BERSYARAT
PENDAHULUAN
BILANGAN FAKTORIAL
NOTASI: n!
RUMUS: n! = n (n-1)(n-2) … 3.2.1
0! = 1, 1! = 1
CONTOH:
3! = 3.2.1 = 6
5! = 120
6! = ….

PERMUTASI






Misal suatu himpunan {a, b, c}  n=3, akan disusun
menjadi 1 anggota (r=1), 2 anggota (r=2), dan 3
anggota (r=3). Maka akan diperoleh susunan sbb:
r=1: ada 3 susunan:
a
b
c
r = 2:
ab
ac
bc
ba
ca
cb
r = 3:
abc bac cab
acb bca cba
Perhatikan bahwa abc≠acb, dst..
Sehingga diperoleh rumus:
nPr = n! / (n – r!)




Contoh:
Hitung Permutasi jika:
1. n=4 dan r=2
2. n=5 dan r=3
Jenis-jenis permutasi

A. Permutasi melingkar




Permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota2
himpunan secara melingkar.
Banyaknya permutasi = (n-1)!
B. Permutasi sebagian anggota yang sama jenisnya
n
n1, n2, n3 … nk
= n! / (n1! n2! n3! … nk!)
CONTOH:
Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat
“AKU SUKA KAMU”?
(jawab: 184.800)
KOMBINASI


Jika dalam permutasi ab≠ba, maka dalam kombinasi
ab=ba.
Maka jika r = 2, susunannya adalah:
ab=ba
ac=ca
bc=cb
(ada 3 susunan)
3
2
= (3!) / 2! (3-2)! = 3
Rumus:
nC r =
n
r
= (n!) / r! (n-r)!


Contoh:
Bila dari {a, b, c, d} diambil 3 obyek, maka
banyaknya permutasi dan kombinasi adalah:
Kombinasi
Permutasi
abc
abc
acb
bac
bca
cab
cba
abd
abd
adb
bad
bda
dab
dba
acd
acd
adc
cad
cda
dac
dca
bcd
bcd
bdc
cbd
cdb
dbc
dcb
Jumlah: 4
Jumlah: 4x6 = 24
PERMUTASI:
4
P3
= 4! / (4-3)! = 4.3.2.1 / 1! = 24
KOMBINASI:
4
C3
= 4! / 3!(4-3)! = 4.3.2.1 / 3!1! = 4



CONTOH:
Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan
dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang
terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan!
Misal: kimiawan = {K1, K2, K3, K4}
fisikawan = {F1, F2, F3}
KONSEP PROBABILITAS

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kejadian yang sulit
diketahui dengan pasti, misal:





Apakah
Apakah
Apakah
Apakah
naik?
nanti malam akan turun hujan?
pesawat Garuda datang tepat waktu?
besok ada domonstrasi massa di Jakarta?
tahun depan harga minyak mentah di pasaran dunia akan
Begitu juga dalam percobaan statistika, tidak bisa diketahui
dengan pasti hasil yang akan muncul, misalnya:



Pada pelemparan sebuah uang logam, tidak dapat diketahui sisi
mana yang akan muncul, muka atau belakang?
Pada pelemparan dua buah dadu, juga tidak bisa diketahui muka
mana yang keluar,: 1, 2, 3, 4, 5 atau 6?
Pada penarikan sebuah kartu bridge, tidak dapat dipastikan mana
yang muncul, kartu As, King, atau yang lain?
PERUMUSAN PROBABILITAS


ADA 2, YAKNI CARA KLASIK DAN FREKUENSI RELATIF
A. PERUMUSAN KLASIK
 Bila kejadian E (EVENT) terjadi dalam m cara dari seluruh n cara
yang mungkin terjadi, maka probabilitas dari E = P(E): m/n
Contoh:
 jika sebuah uang logam dilemparkan, berapa peluang
(probabilitas) munculnya sisi muka?


Jika sebuah dadu dilempar, berapa peluang munculnya salah satu
muka?


Muka=muka, belakang=b, n=2  P(m) = P(b) = ½
P(E) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6
Hitung peluang memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil
secara acak dari semua kartu?

Jwb: Jumlah seluruh kartu: n = 52
Jumlah kartu hati: m = 13
Maka P(E) = 13/52
PERUMUSAN DG FREKUENSI RELATIF

Jika kejadian E terjadi sebanyak f kali dari seluruh
pengamatan sebanyak n, di mana n mendekati tak
berhingga, maka probabilitasnya:

P(E) = lim (n ∞) f/n
Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 1000 kali, frekuensi
munculnya muka dadu adalah sbb:

Muka dadu (X)
Frekuensi


1
2
3
4
5
6
164
165
169
169
166
167
P(E) = P(1) = 164/1000, P(2) = 165/1000, dst…
Dari 100 mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika, distribusi nilai
mahasiswa adalah sbb:

Nilai X
45
55
65
75
85
95
Frekuensi (f)
10
15
30
25
15
5
P(E) = P(X=45) = 10/100 = 0,1, P(X=55) = 55/100, dst…
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

RUANG SAMPEL (S) adalah kumpulan (himpunan) dari
semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada
suatu percobaan statistik. Angota S disebut titik sampel.
S
A adalah himpunan bagian dari S
A
Konsep Probabilitas
Teori Himpunan
Ruang Sampel S
Kejadian A
Titik Sampel
Himpunan Semesta S
Himp bagian A
Anggota himpunan
Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi
dalam n cara, maka peluang A:
P(A) = n(A)/n(S) = m/n


Contoh:
1. Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan kejadian A menyatakan
munculnya muka dadu genap pd S, maka A = {2,4,6}. Maka


2. pada pelemparan 2 uang logam:



P(A) = 3/6 = ½
Tentukan ruang sampel S
Bila A = kejadian munculnya sisi-sisi yang sama uang tsb, tentukan P(A)!
3. pada pelemparan 2 dadu:



Tentukan ruang sampel S!
A: kejadian munculnya muka dadu sama, tentukan P(A)!
B: kejadian munculnya jumlah mukadadu kurang dari 5, tentukan P(B)!
SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIAN A ( P(A) )

Sifat 1: 0<P(A)<1






karena A adalah himpunan bagian dari S, maka n(A) < n(S) 
0 < n(A)/n(S) < 1
Sifat 2: P(A) = 0  A tidak terjadi pada S
Sifat 3: P(A) = 1  A = S , n(A) = n(S)  n(A)/n(S) = 1
Bila hasil sifat 1, 2 dan 3 digabung, akan diperoleh sifat:
0≤P(A)≤1
P(A) = 0 : A kejadian yang mustahil terjadi
P(A) = 1 : A kejadian yang pasti terjadi
Perumusan probabilitas untuk AUB dan AภB
S
A
AUB
B
S
A
B
AภB

Banyaknya anggota himpunan (AUB) adalah:
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AภB)

Rumus: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AภB)m

Contoh:
1. Ambil satu kartu secara acak dari kartu bridge. Bila A =
kejadian terpilihnya kartu as dan B = kejadian terpilihnya
kartu wajik, hitung P(AUB)! (jawab: 4/13)


2. peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adl 2/3,
peluang lulus B.Inggris 4/9 dan peluang lulus sekurangnya
satu MK tsb adalah 4/5. Berapa peluang ia lulus kedua
mata kuliah itu?



(jwb: 14/45)
Rumus Probabilitas kejadian majemuk AUBUC adalah:
P(AUBUC) =
P(A) + P(B) + P(C) – P(AภB)- P(AภC)- P(BภC) +
P(AภBภC)
DUA KEJADIAN SALING LEPAS

Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka P(AภB) = P(0) = 0,

Sehingga probabilitas kejadian AUB adalah:
P(AUB) = P(A) + P(B)
S
A
B
Contoh:
Pada pelemparan 2 dadu, tentukan P munculnya muka 2 dadu dengan
jumlah 7 atau 11!

Bila A, B dan C tiga kejadian saling lepas, maka probabilitas kejadian
AUBUC adalah:
P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)
DUA KEJADIAN SALING KOMPLEMENTER

A’ = komplemen dari A, dimana kejadian A’ adalah
kumpulan titik-titik sampel yang merupakan titik sampel S
tetapi bukan merupakan titik sampel A.
S

A
A’
Rumus: P(A’) = 1 - P(A)
Contoh:

Bila A dan A’ 2 kejadian saling komplementer, dg P(A) = 0,6, maka P(A’) = 0,4

Pada pelemparan 2 dadu, jika A adl kejadian munculnya muka 2 dadu dengan
sama, hitung P munculnya muka 2 dadu yg tak sama!
DUA KEJADIAN SALING BEBAS

Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan
saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian
B, dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian
A. Rumus:
P(AภB) = P(A).P(B)
Contoh:
Pada pelemparan dua uang logam, apakah kejadian munculnya muka
dari uang logam pertama dan kedua saling bebas?
Pada pelemparan 2 dadu, apakah kejadian munculnya muka X ≤ 3 dadu I
Dan muka Y ≥ 5 dadu II saling bebas?
PROBABILITAS BERSYARAT




Kejadian A terjadi dg syarat kejadian B lebih dulu terjadi
atau kejadian A bersyarat B. ditulis: A/B.
Rumus: P(A/B) = P(AภB) / P(B) P(B) > 0
Misal:
Sebuah dadu dilempar, B=kejadian munculnya bil kuadrat
murni. Peluang munculnya bil ganjil=1/9. Peluang
munculnya bil genap=2/9. bila diketahui A = {4,5,6} telah
terjadi, hitunglah P(B/A)!
PROBABILITAS BERSYARAT UNTUK DUA
KEJADIAN SALING BEBAS
1.
RUMUS:
P(A/B) = P(A) DAN P(B/A) = P(B)
2.
P(AภB) = P(A/B).P(B)
3.
P(AภBภC) ) = P(A/BภC) .P(B/C).P(C)

Contoh:
Misal diambil 3 kartu, diambil 3 kali, pada sekelompok kartu
bridge yang lengkap. Tiap mengambil, kartu yang dipilih
tidak dikembalikan. Tentukan probabilitasnya!
SOAL
1.
2.
3.
Dalam berapa cara 6 kelereng yang warnanya berbeda dapat
disusun dalam satu baris ?
Seorang anak perempuan mempunyai 3 bunga yang jenisnya
berlainan. Berapa banyak cara berbeda yang dapat dibuat ?
Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7
sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2
sarjana ekonomi dan 3 sarjanan hukum. Berapa banyak cara
untuk membuat tim itu. Jika :



tiap orang dapat dipilih dengan bebas ?
seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu ?
dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu ?
4.
Lima kartu diambil secara acak dari sekelompok
kartu bridge yang lengkap.tentukanlah :




probabilitas terambilnya kartu AS
probabilitas terambilnya 4 kartu AS dan 1 kartu King
probabilitas terambilnya 3 kartu sepuluh dan 2 kartu Jack
probabilitas terambilnya 1 kartu masing-masing dari kartu 9,
kartu 10,kartu queen,kartu King dan 1 kartu Jack
5. Sebuah kotak berisi 8 bola merah,7 bola putih dan
5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara
acak,tentukanlah probabilitas terpilihnya :





bola merah
bola putih
bola biru
tidakmerah
merah atau putih
6. Peluang bahwa seorang pria akan hidup selama
25 tahun adalah 3/5 dan peluang bahwa
istrinya akan hidup selama 25 tahun adalah 2/3.
tentukanlah peluang bahwa :




Keduanya akan hidup selama 25 tahun
Hanya pria yang hidup selama 25 tahun
Hanya istri yang hidup selama 25 tahun
Paling sedikit salah satu dari mereka (suami/istri) yang hidup
selama 25 tahun
7. Tiga wanita dipilih secara acak untuk ditanya
apakah mereka mencuci pakaian dengan
detergen.



Tulislah anggota suang sample S dengan memakai huruf
Y = ya dan T = tidak
Tulislah anggota kejadian E dalam S yang menyatakan
bahwa paling sedikit dua wanita memakai detergen
Hitunglah P (E)
8. Peluang suatu penerbangan regular berangkat tepat
pada waktunya adalah P(D) =0,83, peluang
penerbangan itu mendarat tepat pada waktunya
adalah P(A)=0,92,danpeluang penerbangan itu
berangkat dan mendarat pada waktunya adalah
P(A∩D) =0,78. Hitunglah peluang dalam suatu
pesawat pada penerbangan itu


mendarat tepat waktu bila diketahui bahwa pesawat
tersebut berangkat tepat waktu
berangkat tepat waktu biladiketahui bahwa pesawat tersebut
mendarat tepat waktu
9. Misalkan kita mempunyai sebuah kotak berisi 20
sekering,dan diantaranya rusak. Bila dua sekering
diambilsecara acak (satu-satu) tanpa
pengembalian, berapa peluang sekering yang
terambil itu keduanya rusak ?
10.Dari 10 orang staf bagian pemasaran
PT. Rumah Elok, diketahui :




sarjana
sarjana
sarjana
sarjana





teknik pria 1 orang
teknik wanita 3 orang
ekonomi pria 2 orang
ekonomi wanita 4 orang
Dari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang
untuk menjadi manajer pemasaran.
Berapa cara yang dapat dibentuk, jika diinginkan
bahwa manajer harus sarjana teknik ?
Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian
bahwa manajer adalah seorang wanita ?
Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian
bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik?
Hitunglah P(A/B) dan P(AB)!
11. Sebuah distributor telepon genggam akan
menyewa 2 buah stand disuatu pusat
perbelanjaan. Ada 5 buah stand yang terdiri
atas 2 menghadap ke utara (U1, U2) dan
3 menghadap ke selatan (S1,S2, S3).kelima
stand tersebut mempunyai harga sewa
yang sama danmempunyai lingkungan yang
sama.jika distributor tersebut memilih stand
dengan cara acak :



berapa kemungkinan cara yang dia dapatkan untuk
memilih stand tersebut secara sembarang;
jika distributor inginmenyewa hanya di stand yang
menghadap ke selatan, berapa kemungkinan cara yang
dia dapatkan untukmemilih stand;
jika distributor ingin menyewa 1 stand yang
menghadap ke utara dan 1 stand yang menghadap ke
selatan, berapa kemungkinan cara yang dia dapatkan
untukmemilih stand ?
12. Ada 3 kotak ,yaitu 1, 2 dan 3 yang masing-masing berisi bola merah
dan putih sebagai berikut :
Kotak 1
Kotak 2
Kotak 3
Jumlah
Bola merah
Bola putih
5
4
7
3
8
8
20
13
Jumlah
9
10
14
33
Mula-mula satu kotak dipilih secara acak,kemudian dari kotak yang
terpilih diambil satu bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai
kesempatan yang sama untuk terpilih
•
•
•
•
•
Berapa peluang yang sama untuk terpilih
Berapa peluang bahwa bola itu merah ?
Berapa peluang bahwa bola itu putih ?
Bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1 ?
Bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2 ?

similar documents