Ekonometrija

Report
Metodi sa ograničenom informacijom
Ekonometrija, IV godina
Predavač: Aleksandra Nojković
Beograd, školska 2012/13
Metodi sa ograničenom informacijom



Primena ONK u ocenjivanju parametra strukturnih
jednačina dovodi do pristrasnosti (pokazano je da
postoji zavisnost greške jednačine i neke od
eksplanatornih promenljivih).
Pri uobičajenim pretpostavkama, koeficijenti
redukovane forme se mogu konzistentno oceniti
metodom ONK.
Konzistentni metodi ocenjivanja strukturnih
jednačina razvijeni su upravo na relaciji koja
postoji između redukovane i strukturne forme
modela.
Metod indirektnih najmanjih kvadrata




Jednoznačne ocene parametara strukturne forme
mogu se dobiti iz ocenjenih koeficijenata
redukovane forme ako je jednačina tačno
identifikovana‚.
Dodatno, mora biti ispunjen i uslov ranga, kao i
pretposlavke o stohastičnosti KLRM u redukovanoj
formi modela.
Metod se još naziva i metod redukovane forme.
Ocene su pristrasne, ali konzistentne (pristrasnost
iščezava sa rastom uzorka).
Metod dvostepenih najmanjih kvadrata
(2SNK)




Najvažnji metod ocenjivanja u grupi metoda
sa ograničenom informacijom.
Primenjuje se i na tačno i na prekomerno
identifikovane jednačine.
Metod 2SNK daje konzistentne ocene.
Endogene promenljive koje su regresori u
strukturnim jednačinama, zamenjuju se
linearnim funkcijama svih predeterminisanih
promenljivih.
Metod 2SNK (nastavak)



Endogene promenljive, korelisane sa greškama
jednačine, zamenjuju se svojim ocenama iz
redukovane forme (predeterminisane prom. u limesu
verovatnoće nisu korelisane sa greškama jednačine).
Reč je metodu instrumentalnih promeljivih, u kome se
kao instrumenti za endogene prome. koriste njihove
ocene iz redukovane forme.
Ocene iz redukovane forme najbolji instrumenti (u
slučaju ispravne specifikacije modela): visoko
korelisani sa orig. vednostima endogenih promenljivih
i nekorelisae sa greškom jednačine).
Postupak primene 2SNK
Ako ocenjujemo prvu strukturnu jednačinu
jednačinu:
y1=Y1β1+X1α1+u1,
gde je:
y1-vektor kolona on n-opservacija zavisne prom.
Y1-matrica (nxl) opservacija tekućih vrednosti
drugih endogenih prom. iz prve jednačine
X1-matrica (nxk) opservacija predeterminisanih
prom. prisutnih u prvoj jednačini.
α1 i β1 su strukturni parametri uz prisutne prom.
u1-vektor od n grešaka.

Postupak primene 2SNK (nastavak)
Pri
tome,
matrica
dimenzija
(nxK)
svih
predeterminisanih prom. u sistemu može se zapisati
kao:
X= (X1 X2),
gde je X2 matrica K-k opservacija predetermininisanih
prom. izostavljenih iz prve jednačine, ali prisutnih u
sistemu.


Pretpostavlja se da je E(u1u1’)=σ12I, da je ispunjen
uslov ranga, a prema uslovu reda jednačina može
biti tačno ili prekomerno identifikovana.
Ocenjivanje u dva stepena


U prvom stepenu ocenjivanja primenjuje se
metod ONK na redukovanu fomru, da se dobije
ˆ.
ocena matrice Y
1
U drugom stepenu ocenjivanja, po drugi put se
primenjuje metod ONK u regresiji zavisne
promenljive y1 na predeterminisane X1 i
ˆ.
instrumentalne promenljive Y
1
Ocenjivanje u dva stepena


U prvom stepenu ocenjivanja primenjuje se
metod ONK na redukovanu fomru, da se dobije
ˆ.
ocena matrice Y
1
U drugom stepenu ocenjivanja, po drugi put se
primenjuje metod ONK u regresiji zavisne
promenljive y1 na predeterminisane X1 i
ˆ.
instrumentalne promenljive Y
1
Prvi stepen ocenjivanja metodom 2SNK

ˆ se dobija regresijom promenljivih
Ocena Y
1
Y1 na sve predeterminisane promeljive u
sistemu:
ˆ  XX' X1 X' Y  X
ˆ,
Y
1
1
gde su ˆ koeficijenti redukovane forme
ocenjeni metodom najmanjih kvadrata.
Prvi stepen ocenjivanja metodom 2SNK

ˆ se dobija regresijom promenljivih
Ocena Y
1
Y1 na sve predeterminisane promeljive u
sistemu:
ˆ  XX' X1 X' Y  X
ˆ,
Y
1
1
gde su ˆ koeficijenti redukovane forme
ocenjeni metodom najmanjih kvadrata.
Drugi stepen ocenjivanja metodom
2SNK

Zavisna promenljiva y1 se regresira na
ˆ :
predeterminisane X1 i instrumentalne promenljiveY
1
ˆ 'Y
ˆ
Y
1 1
 'ˆ
X1Y1

ˆ ' X   ˆ   Y
ˆ 'y 
Y
1 1
1 1
1





.
'
'
X1X1  ˆ 1  X1 y1 
Kako u redukovanoj formi važi:
ˆ V ,
Y1  Y
1
1
gde je V1matrica reziduala u ocenjenim jednačinama
redukovane forme, uz važenje osobina reziduala
dobijenih metodom ONK:
ˆ ' V  0.
X1’V1=0; Y
1 1
Drugi stepen ocenjivanja metodom
2SNK (nastavak)


Kako je:

ˆ 'Y
ˆ  Y'X X'X
Y
1 1
1
Odatle sledi:


1

Y ' X X ' X 1 X ' Y
1
 1
X 1' Y1

ˆ 'X  Y'X .
X ' Y1 i Y
1 1
1 1
Y1' X 1 

'
X 1 X 1 


 ˆ 1  Y1' X X ' X 1 X ' y1 
,
 
'
X 1 y1
ˆ 1  

.
Ako eksplanatorne promenljive polaznog modela označimo sa
 
W1 = (Y1 X1), a strukturne parametre sa 1   1  , tada se ocene
 1 
2SNK mogu izraziti formulom:



ˆ 1  W X X X
'
1
'

1
'
X W1

1

W1' X X ' X

1
X ' y1 ,
koja je izračunata iz originalnih podataka uključujući
oba stepena ocenjivanja.
Konzistentnost ocena 2SNK
Polaznu jednačinu: y1=Y1β1+X1α1+u1,
ˆ   X   u  V   ,
možemo zapisati kao: y1  Y
1 1
1 1
1
1 1
odnosno kao: y1  Z11  u1  V11  , gde je Z1–matrica
eksplanatornih promenljivih u drugom stepenu, a δ1
je vektor eksplanatornih promenljivih.


Pri tome, nove greške imaju novu varijansu.

Vektor ocena primenom NK u drugom stepenu:

ˆ 1  Z1' Z1

1

Z1' y1  1  Z1' Z1

1
Z1' u1.
Konzistentnost ocena 2SNK (nastavak)
Uzimajući limes verovatnoće ocena NK u drugom stepenu:

1
1
1

p lim (ˆ 1 )  1  p lim  Z1' Z1  p lim ( Z1' u1 )  1 ,
n
n

1 ' 
p
lim
jer je:
 Z1 u 1   0.
n

U praksi se matrica ocena varijansi i kovarijansi ocena 2 SNK
dobija kao:

2
1

'
1
s Z Z1

1



'
ˆ
, gde je : s  y1  Y11  X 1ˆ 1 y1  Y1ˆ 1  X 1ˆ 1 / n  l  k  ,
2
1
dakle, varijansa grešaka se ocenjuje kao suma kvadrata
reziduala iz drugog stepena ocenjivanja, podeljena sa brojem
stepeni slobode za datu jednačinu.
Metod instrumentalnih promenljivih


Metod 2SNK se može predstaviti kao primena metoda
instrumentalnih promenljivih na strukturni jednačinu.
Matrica instrumenata je particionirana tako da sadrži
ocenjene vrednosti endogenih promenljivih iz prvog stepena
ocenjivanja, a predeterminisane promenljive koje se javljaju
u jednačini su sopstveni instrumenti:


ˆ X .
Z1  Y
1
1

Jednostavno se pokazuje jednakost ocena ONK u drugom
stepenu ocenjivanja i ocena dobijenih metodom inst.
promenljivih:

ˆ 1  Z1' Z1

1

Z y  Z W1
'
1 1
'
1

1
Z1' y1 .
Metod IP (nastavak)


U klasi instrumentalnih promenljivih koje su
linearne funkcije predeterminisanih varijabli,
varijable Z su najbolji instrumenti, odnosno imaju
najmanje varijanse.
Preko konzistentnosti ocena dobijenih metodom
2SNK, dokazuje se da i metod instrumentalnih
promenljivih daje konzistentene ocene.
Metod maksimalne verodostojnosti



Zasniva se na pretpostavci o normalnoj raspodeli
slučajne greške, daje ocene sa asimptotski poželjnim
osobinama.
Metod MV uzima uzorak kao fiksiran, te imajući u vidu
varijacije uzorka, o parametrima skupa se sudi na
osnovu njihove ocene iz uzorka.
Kako je uzorak mogao biti generisan iz različitih
populacija, sa različiim skupovima parametara, od svih
mogućih skupova parametara bira se onaj koji je sa
najvećom verovotnoćom (maks. verodostojnost)
generisao opservisani uzorak.
Metod maksimalne verodostojnosti sa
ograničenom informacijom (MVOI)
Zasniva se na sledećim pretpostavkama:
- Jednačina koja se ocenjuje sadrži samo deo od
ukupnog broja endogenih i predeterminisanih prom.
sistema (koje su sve poznate)
- Jednačina je prekomerno identifikovana
- Strukturne jednačine sistema su linearne
- Greške jednačina imaju normalnu raspodelu i nisu
autokorelisane
- Dozvoljava se istovremena zavisnost grešaka
različitih jednačina.

Metod MVOI (nastavak)




Mora se poznavati tačna specifikacija strukturne
jednačine koja se ocenjuje i predeterminisane
prome. celog sistema.
Ignoriše se informacija o strukturi drugih
jednačina (slično metodama NK).
Invarijantan je na pravilo normalizacije (za razliku
od metoda NK).
Komplikovanija procedura računanja ocena.

similar documents