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Report
Programa de certificación
de Black Belts
V. Seis Sigma – Medición
Parte B
P. Reyes / Abril 2010
1
V. Seis Sigma - Medición
D. Estadística básica
1. Términos básicos
2. Teorema del límite central
3. Estadística descriptiva
 Medidas de tendencia central
 Medidas de dispersión
 Funciones de densidad de probabilidad
 Distribuciones de frecuencia y
 Funciones acumulativas de distribución
4. Métodos gráficos
5. Conclusiones estadísticas válidas
2
V. Seis Sigma - Medición
E. Probabilidad
1. Distribuciones de probabilidad
2. Distribuciones de probabilidad discretas
Hipergeométrica, Binomial, Poisson
3. Distribución normal
4. Distribuciones muestrales
Chi Cuadrada, t de Student, F
5. Otras Distribuciones de probabilidad
Bivariada, Exponencial, Lognormal, Weibull
3
V. Seis Sigma - Medición
F. Capacidad de procesos
1. Índices de capacidad de procesos
2. Índices de desempeño de procesos
3. Capacidad a corto y a largo plazo
4. Capacidad de proceso de datos no normales
5. Capacidad de proceso para datos por atributos
6. Capacidad de procesos bajo Seis Sigma
4
V.D Estadística básica
5
V.D Estadística básica
1. Términos básicos
2. Teorema del límite central
3. Estadística descriptiva
4. Métodos gráficos
5. Conclusiones estadísticas válidas
6
V.D.1 Términos básicos
7
Estadística
“La estadística descriptiva nos proporciona métodos
para organizar y resumir información, la estadística
inferencial se usa para obtener conclusiones a partir de
una muestra”
Por ejemplo, sí deseamos saber el promedio de peso de las
personas en una población tenemos dos opciones:
Pesar a todas y cada una de las personas, anotar y organizar los
datos, y calcular la media.
Pesar solo una porción o subconjunto de la población (muestra).
Registrar y organizar los datos y calcular la media de la muestra,
tomándola para pronosticar o Inferir la media de toda la
población.
Población y muestra
Población: Es la colección de todos los elementos
(piezas, personas, etc.). En nuestro caso sería un
número infinito de mediciones de la característica del
proceso bajo estudio.
Muestra: Es una parte o subconjunto
representativo de la población, o sea un grupo de
mediciones de las características.
9
Estadísticos y parámetros
Estadístico: Es una medición tomada en una muestra que
sirve para hacer inferencias en relación con una población
(media de la muestra, desviación estándar de la muestra
se indican con letras latinas X, s, p).
Normalmente es una variable aleatoria y tiene asociada
una distribución.
Parámetro: Es el valor verdadero en una población
(media, desviación estándar, se indican con letras griegas
, , )
10
Tipos de datos
Distribución continua Una distribución con un número
infinito de puntos de datos (variables) que pueden
mostrarse en una escala de medición continua. Por
ejemplo: Distribuciones normal, uniforme, exponencial y
Webull
Distribución discreta: Una distribución que resulta de
datos contables (discretos) con un número finito de
valores posibles. Por ejemplo: Distribuciones binomial,
Poisson, hipergeométrica.
11
V.D.2 Teorema del límite central
12
Teorema del límite central

La distribución de las medias de las muestras tiende
a la normalidad independientemente de la forma de
la distribución poblacional de la que sean obtenidas.
Es la base de las cartas de control X-R.
13
Teorema del límite central


Por lo anterior la dispersión de las medias es menor
que para los datos individuales
Para las medias muestrales, el error estándar de la
media se relaciona con la desviación estándar de la
población como sigue:
sX 
X
n
14
Aplicación del teorema
del límite central
15
Teorema del Límite Central


La distribución de las medias de las muestras tienden a distribuirse en
forma normal
Por ejemplo los 300 datos (cuyo valor se encuentra entre 1 a 9)
pueden estar distribuidos como sigue:
50
40
30
Frec.
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
16
Teorema del Límite Central
Población con media  y desviación estándar  y cualquier distribución.
Seleccionando muestras de tamaño n y calculando la X-media o
promedio en cada una
X-media 1
X-media 2
X-media 3
Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se
distribuyen normalmente con media de medias  y desviación estándar
de las medias de las muestras  / n. También
se denomina Error estándar de la media.
Teorema del Límite Central


La distribución de las medias de las muestras tienden a distribuirse en
forma normal
Tomando de muestras de 10 datos, calculando su promedio y graficando
estos promedios se tiene:
10
8
6
Frec.
4
2
0
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
18
Cartas de Control
Causas
normales o
comunes
Causa
especial
DEFINICION
Es una ayuda gráfica para el control de las variaciones de los
procesos administrativos y de manufactura.
19
Variación observada
en una Carta de Control



Una Carta de control es simplemente un registro de
datos en el tiempo con límites de control superior e
inferior, diferentes a los límites de especificación.
El patrón normal de un proceso se llama causas de
variación comunes.
El patrón anormal debido a eventos especiales se
llama causa especial de variación.
20
Variación – Causas comunes
Límite
inf. de
especs.
Límite
sup. de
especs.
Objetivo
21
Variación – Causas especiales
Límite
inf. de
especs.
Límite
sup. de
especs.
Objetivo
22
Aplicación en la carta de control
“Escuche la Voz del Proceso”
M
E
D
I
D
A
S
C
A
L
I
D
A
D
Región de control,
captura la variación
natural del proceso
original
LSC
LIC
Tendencia del proceso
Causa Especial
El proceso ha cambiado
identifcada
TIEMPO
Patrones Fuera de Control
Corridas
7 puntos consecutivos de un lado de X-media.
Puntos fuera de control
1 punto fuera de los límites de control a 3 sigmas en cualquier
dirección (arriba o abajo).
Tendencia ascendente o descendente
7 puntos consecutivos aumentando o disminuyendo.
Adhesión a la media
15 puntos consecutivos dentro de la banda de 1 sigma del
centro.
Otros
2 de 3 puntos fuera de los límites a dos sigma
24
Patrón de Carta
en Control Estadístico
Proceso en Control estadístico
Sucede cuando no se tienen situaciones anormales y
aproximadamente el 68% (dos tercios) de los puntos de
la carta se encuentran dentro del 1  de las medias en
la carta de control.
Lo anterior equivale a tener el 68% de los puntos
dentro del tercio medio de la carta de control.
25
Aplicación en Intervalos de confianza

Intervalo de confianza para la media:

A) Sigma conocida y n>30 (n es tamaño de muestra)
  X  Z

n
2
  X  t
2


n
B) Sigma desconocida y n<30, los grados de libertad
son gl = n-1.
26
Aplicación en Intervalos de confianza

Intervalo de confianza para proporciones y varianza:

Para proporciones, p es la proporción y n>30
p (1  p )
  p  Z
n
2

Para la varianza
( n  1) s

2
2
, n 1
2
 
2

( n  1) s

2
2
1

2
, n 1
27
V.D.3 Estadística descriptiva
28
Estadística Descriptiva
No existen en la naturaleza
dos cosas exactamente iguales,
ni siquiera los gemelos, por tanto la variación es
inevitable y es analizada por la Estadística
29
Estadística descriptiva

La estadística descriptiva incluye:
 Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión

Funciones de densidad de probabilidad

Distribuciones de frecuencia y

Funciones acumulativas de distribución
30
Estadística descriptiva

Medidas de tendencia central
 Representan las diferentes formas de caracterizar
el valor central de un conjunto de datos

Media muestral x 

xi
n
poblacional  

xi
n
Ejemplo 1: En un equipo de fútbol, una muestra de estaturas de sus integrantes son las
siguientes: 1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media.
xi 19
x     1 .73
n 11
31
Estadística descriptiva

Medidas de tendencia central
 Mediana: es el valor medio cuando los datos se
arreglan en orden ascendente o descendente, en
el caso de n par, la mediana es la media entre los
valores intermedios
n 2  
~
X 
n 2   1
2
Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior cual es la mediana?
Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene:
1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84;
como tenemos 11 datos el número es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el número
que ocupa la sexta posición en los datos ordenados encontramos el valor de la mediana
~
x  1 . 73
32
Estadística descriptiva

Medidas de tendencia central
 Moda: Valor que más se repite, puede haber más de una

Media acotada (Truncated Mean): Se elimina cierto
porcentaje de los valores más altos y bajos de un
conjunto dado de datos (tomando números enteros),
para los valores restantes se calcula la media.
33
Estadística descriptiva

Medidas de tendencia central
34
Estadística descriptiva
35
Estadística descriptiva

Medidas de dispersión:

Rango: Es el valor mayor menos el valor menor de un
conjunto de datos
Por ejemplo para el conjunto de datos siguiente:
2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0
Su rango es R = 4.0 – 2.0 = 2.0
36
Estadística descriptiva

Medidas de dispersión:

Varianza: es el promedio de las desviaciones al
cuadrado respecto a la media (n para población y n-1
para muestra para eliminar el sesgo)
 
2
( xi  x )
n
2
s 
2

( xi  x )
2
n 1
37
Estadística descriptiva

Medidas de dispersión:

Coeficiente de variación: es igual a la desviación
estándar dividida por la media y se expresa en
porcentaje
Coeficient e .de . var iación  CV 
s
(100 )
X
Por ejemplo si la media de tiempos de espera es de 78.7 y su desviación estándar es 12.14, el CVt:
CV t 
12 . 14
(100 )  12 . 05 %
78 . 7
Por otra parte si la media de salarios es de 10 y su desviación estándar de 2, el CVs de salarios es:
CV s 
2
(100 )  20 %
10
Por tanto la dispersión de los salarios es mayor que la de los tiempos de espera, es posible comparar
estas dispersiones con el CV aunque los dos conjuntos de datos sean completamente disímbolos.
38
Medidas de
Dispersión- Rango, CV
Rango: Valor Mayor – Valor menor
Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media )*100%,
Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o tipo. Por
ejemplo:
Material
A
B
No. de
Media
Observaciones Aritmética
n
160
1100
150
800
Desviación
Estándar
s
225
200
Coeficiente
de Variación
Srel
0,204
0,250
El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B
Error estándar de la Media: Es la desviación estándar de las medias de las
muestras de mediciones, se representa como la desviación estándar de
la población entre la raíz de n = número de mediciones por muestra.
Estadística descriptiva

Función de densidad de probabilidad


El área bajo la curva de densidad de probabilidad a la
izquierda de un valor dado x, es igual a la probabilidad
de la variable aleatoria en el eje x para X<= x
Para distribuciones continuas




Para distribuciones discretas
f ( x)d ( x)  1
n

f ( x ) 1
0
40
Estadística descriptiva

Función de
densidad de
probabilidad
41
Estadística descriptiva

Función de distribución acumulada
Función
de densidad
Función de
distribución
acumulada
F ( x )

x

f (t ) d (t )
42
V.D.4 Métodos gráficos
43
Métodos gráficos

Se incluyen los métodos siguientes:

Diagramas de caja
Diagramas de tallo y hojas
Diagramas de dispersión

Análisis de patrones y tendencias





Histogramas
Distribuciones de probabilidad normales
Distribuciones de Weibull
44
Diagrama de caja
PERCENTILES, DECILES Y QUARTILES





Cada conjunto de datos ordenado tiene tres cuartiles que lo dividen en
cuatro partes iguales.
El primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las
observaciones y sobre el cual se encuentra el 75% restante.
El segundo cuartil divide a los datos a la mitad similar a la mediana.
El tercer cuartil es el valor debajo del cual se encuentra el 75% de las
observaciones.
Los deciles separan un conjunto de datos ordenado en 10 subconjuntos
iguales y los percentiles en 100 partes
45
Diagrama de caja
PERCENTILES, DECILES Y QUARTILES

La ubicación de un percentil se encuentra en:
L p  ( n  1)
P
100
Donde:
Lp es el sitio del percentil deseado en una serie ordenada
n es el número de observaciones
P es el percentil deseado
46
Diagrama de caja

Por ejemplo para los datos siguientes:
3
10
19
27
34
38
48
56
67
74
4
12
20
29
34
39
48
59
67
74
7
14
21
31
36
43
52
62
69
76
9
15
25
31
37
45
53
63
72
79
10
17
27
34
38
47
56
64
73
80
47
Diagrama de caja
La localización del percentil 35 se halla en:
L 35  ( 50  1)
35
 17 . 85
100
O sea que el percentil 35 está al 85% del trayecto comprendido entre
la observación 17 que es 29 y la observación 18 que es 31 o sea
L35 = 29 + (0.85)(31-29) = 30.7. Por tanto el 35% de las
observaciones están por debajo de 30.7 y el 65% restante por
encima de 30.7.
De la misma forma los percentiles 25, 50 y 75 proporcionan la
localización de los cuartiles Q1, Q2 y Q3 respectivamente.
Q1: es el número que representa al percentil 25
Q2 o Mediana: es el número que representa al percentil 50
Q3: es el número que representa al percentil 75 (hay 75% de los
datos por debajo de este).
Rango o Recorrido intercuartílico: es la diferencia entre Q1 y Q3.
Gráficas de caja
• Permite identificar la distribución de los datos, muestra la
mediana, bases y extremos.
•Mediana = dato intermedio entre un grupo de datos
ordenados en forma ascendente
Primer cuartil
Tercer cuartil
Mediana
Valor
mínimo

Valor
máximo
DEFINICION:
Es una ayuda gráfica para ver la variabilidad de los datos.
Métodos gráficos

Diagramas de caja

Representan un resumen de los datos. La línea media
es la mediana, los lados son el primer y tercer cuartil.
El máximo y el mínimo se dibuja como puntos al final
de las líneas (bigotes)
50
Métodos gráficos

Diagramas de tallo y hojas

El diagrama consiste del agrupamiento de los datos por
intervalos de clase, como tallos y los incrementos de
datos más pequeños como hojas.
Hojas
Tallos
51
Métodos gráficos

Diagramas de dispersión


Es una gráfica de muchos puntos coordenados X-Y que
representan la relación entre dos variables. También se
denomina carta de correlación. Se puede tomar la
variable dependiente para el eje Y y la dependiente en
el eje X.
La correlación tiene las siguientes fuentes:



Una relación de causa efecto
Una relación entre dos causas
Una relación entre una causa y dos o más causas
52
Métodos gráficos

Diagramas de dispersión
Positiva débil
Negativa fuerte
Positiva fuerte
Sin correlación
Relaciones no lineales
53
Métodos gráficos

Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación “r” determina el grado de
asociación entre dos variables X y Y
54
Métodos gráficos

Análisis de correlación



Busca descubrir relaciones, aplicar el sentido común
La línea de “mejor ajuste” es la línea de regresión, sin
embargo un análisis visual debiera ser suficiente para
identificar si hay o no hay relación
Los diagramas de dispersión deben ser analizados
antes de tomar decisiones sobre correlación estadística
55
Métodos gráficos

Análisis de patrones y tendencias

Para visualizar el comportamiento de los datos en el
tiempo
Tendencia creciente
Valores anormales
Tendencia decreciente
Ciclos
Corrida de proceso
Variabilidad creciente
56
Métodos gráficos

Análisis de patrones y tendencias

Para visualizar el comportamiento de los datos en el
tiempo
Tendencia creciente
57
Histogramas
58
Métodos gráficos

Histogramas



Son gráficas de columnas de frecuencia que muestran
una imagen estática del comportamiento del proceso y
requieren un mínimo de 50 a 100 puntos
La frecuencia en cada barra o intervalo es el número
de puntos que caen dentro de ese intervalo
Un proceso estable muestra un histograma con forma
de campana unimodal, es predecible
59
Métodos gráficos

Histogramas


Un proceso inestable muestra un histograma que no
tiene una forma acampanada. Sin embargo los
procesos que siguen una distribución exponencial,
lognormal, gamma, beta, Weibull, Poisson, binomial,
hipergeométrica, geométrica, etc. existen como
procesos estables
Cuando la distribución es acampanada, la variación
alrededor de la media es aleatoria, otras variaciones
son debidas a causas especiales o asignables.
60
Métodos gráficos
Permite ver la distribución que tienen los procesos de
manufactura y administrativos vs. especificaciones
Permiten ver la frecuencia con la que ocurren las cosas.
La variabilidad del proceso se representa por el ancho
del histograma, se mide en desviaciones estándar o .
Un rango de ± 3 cubre el 99.73%.

DEFINICION
Un Histograma es la organización de un número de datos
muestra que nos permite visualizar al proceso de manera
objetiva.
61
Histograma de Frecuencia
Media
TAMAÑO
TAMAÑO
TAMAÑO
M
E
D
I
C
I
O
N
E
S
En un proceso estable las mediciones se distribuyen normalmente, a la
derecha y a la izquierda de la media adoptando la forma de una
campana.
M
E
D
I
C
I
O
N
E
S
TAMAÑO
TAMAÑO
62
Histograma de Frecuencia
•Permite ver la distribución de la frecuencia con la que ocurren las cosas en
los procesos de manufactura y administrativos.
•La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se
mide en desviaciones estándar o , ± 3 cubre el 99.73%.
LIE

LSE
DEFINICION
Un Histograma es la organización de un número de datos muestra que
nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.
Las distribuciones pueden variar en:
POSICIÓN
AMPLITUD
FORMA
… O TENER CUALQUIER COMBINACION
Ejemplos de histogramas:
Histogramas con Datos agrupados
El Histograma es una gráfica de las frecuencias que
presenta los diferentes datos o valores de mediciones
agrupados en celdas y su frecuencia.
Una tabla de frecuencias lista las categorías o clases de valores
con sus frecuencias correspondientes, por ejemplo:
CLASE
1-5
6-10
11-15
16-20
21-25
26-30
FRECUENCIA
7
12
19
16
8
4
66
Definiciones - datos agrupados
Límite inferior y superior de clase
Son los numeros más pequeños y más grandes de las clases (del
ejemplo, 1 y 5; 6 y 10; 11 y 15; 16 y 20; 21 y 25; 26 y 30)
Marcas de clase
Son los puntos medios de las clases (del ejemplo 3, 8, 13, 18, 23 y 28)
Fronteras de clase
Se obtienen al incrementar los límites superiores de clase y al
decrementar los inferiores en una cantidad igual a la media de la
diferencia entre un límite superior de clase y el siguiente límite inferior
de clase (en el ejemplo, las fronteras de clase son 0.5, 5.5, 10.5, 15.5,
20.5, 25.5 y 30.5)
Ancho de clase
Es la diferencia entre dos límites de clase inferiores consecutivas(en el
ejemplo, es 5).
Construcción del histograma - datos agrupados
Paso 1. Contar los datos (N)
Paso 2. Calcular el rango de los datos R = (Valor mayor- valor menor)
Paso 3. Seleccionar el número de columnas o celdas del histograma
(K). Como referencia si N = 1 a 50, K = 5 a 7; si N = 51 - 100; K = 6 - 10.
También se utiliza el criterio K = Raíz (N)
Paso 4. Dividir el rango por K para obtener el ancho de clase
Paso 5. Identificar el límite inferior de clase más conveniente y sumarle
el ancho de clase para formar todas las celdas necesarias
Paso 6. Tabular los datos dentro de las celdas de clase
Paso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal
Ejemplo: Datos para histograma
Datos:
19
21
25
33
30
27
31
25
35
37
44
43
42
39
43
40
38
37
36
42
41
44
32
45
46
47
45
54
52
50
48
49
47
48
49
47
52
51
50
49
58
59
61
62
63
59
61
66
76
70
Ejemplo: Construcción del histograma
Paso 1. Número de datos N = 50
Paso 2. Rango R = 76 - 16 = 60
Paso 3. Número de celdas K = 6;
Paso 4. Ancho de clase = 60 / 6 = 10
Paso 5. Lím. de clase: 15-24, 25- 34, 35- 44, 45- 54, 55 - 64, 65-74, 75-94
Paso 6. Número de datos: 2 7
14
17
7
2
1
Marcas de clase 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5
Paso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal
Histograma en Excel
•
•
Accesar el menu de análisis de datos con HERRAMIENTAS,
ANALISIS DE DATOS, HISTOGRAMAS
Marcar los datos de entrada en RANGO DE ENTRADA, marcar el
rango de los límites superiores de clase en RANGO DE CLASES,
indicar GRAFICA, marcar el área de resultados con RANGO DE
SALIDA y obtener resultados y gráfica
NOTA: Los datos deben estar en forma no agrupada, Excel forma los
grupos en forma automática o se le pueden proporcionar los
límites de las celdas.
71
Construcción del histograma
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Frec.
1524
2534
3544
4554
5564
6575
72
Otras medidas de
Dispersión- Rango, CV
Rango: Valor Mayor – Valor menor
Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media *100%
Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o tipo. Por
ejemplo:
Material
A
B
No. de
Media
Desviación
Coeficiente
Observaciones Aritmética Estándar
de Variación
n
s
Srel
160
1100
225
0,204
150
800
200
0,250
El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B
73
Cálculo de la media - datos agrupados
Media - Promedio numérico o centro de
gravedad del histograma
n
X 
F
i
* Xi
i 1
n
F
Donde,
Fi = Frecuencia de cada observación
xi = Valor de cada marca de clase
i
i 1
- Usa todos los datos
- Le afectan los extremos
Mediana - Es el valor que se encuentra en medio de
los datos
Moda - Es el valor que más se repite
Desviación Estándar - Datos agrupados
S es usada cuando los datos corresponden a una muestra de la población
Nota: Cada Xi representa la marca de clase
 típicamente es usada si se está considerando a toda la población
 F * X 
n
i
s
i 1
2
i
 n
   Fi * X i
 i 1
n 1


2

/n

 F * X 
n
i
 
i 1
2
i
 n
   Fi * X i
 i 1
n

NOTA: Para lo cálculos con Excel, se puede utilizar el mismo método
que para datos no agrupados, tomando como Xi los valores
de las marcas de clase.

2

/n

Ejercicio de Histogramas
Datos:
6.40
6.39
6.39
6.40
6.41
6.37
6.39
6.40
6.40
6.38
6.42
6.40
6.38
6.41
6.40
6.41
6.38
6.43
6.41
6.39
6.41
6.38
6.35
6.40
6.39
6.42
6.41
6.37
6.43
6.40
6.37
6.40
6.43
6.42
6.43
6.39
6.39
6.42
6.42
6.38
6.42
6.39
6.40
6.44
6.38
6.36
6.45
6.44
6.41
6.36
76
V.D.5 Conclusiones estadísticas
válidas
77
Estadística descriptiva e inferencial
Estudios descriptivos enumerativos :
 Los datos enumerativos son los que pueden ser
contados.

Para Deming:


En un Estudio enumerativo la acción se toma en el
universo.
En un estudio analítico la acción será tomada en un
proceso para mejorar su desempeño futuro
78
Obteniendo conclusiones válidas

Obtención de conclusiones estadísticas válidas


El objetivo de la estadística inferencial es obtener
conclusiones acerca de las características de la
población (parámetros , , ) con base en la
información obtenida de muestras (estadísticos X,
s, r)
Los pasos de la estadística inferencial son:


La inferencia
La evaluación de su validez
79
Obteniendo conclusiones válidas

Los pasos de la estadística inferencial son:

Definir el objetivo del problema en forma precisa

Decidir si el problema se evaluará con una o dos colas

Formular una hipótesis nula y la alterna

Seleccionar una distribución de prueba y un valor
crítico del estadístico reflejado el grado de
incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo)
80
Obteniendo conclusiones válidas

Los pasos de la estadística inferencial son:



Calcular el valor del estadístico de prueba con la
información de la muestra
Comparar el valor del estadístico calculado vs su valor
crítico y tomar una decisión de rechazar o no rechazar
la hipótesis nula
Comunicar los hallazgos a las partes interesadas
81
Obteniendo conclusiones válidas

Hipótesis nula a ser probada (Ho) y alterna (Ha)


La hipótesis nula puede ser rechazada o no ser
rechazada no puede ser aceptada
La hipótesis alterna incluye todas las posibilidades
que no están en la nula y se designa con H1 o Ha.


Ho: Ya = Yb Ha: Ya  Yb
Ho: A  B
Ha: A<B
Prueba de dos colas
Prueba de cola izquierda
82
Obteniendo conclusiones válidas
Estadístico de prueba:
 Para probar la hipótesis nula sobre un parámetro
poblacional, se debe calcular un estadístico de
prueba de la información de la muestra


El estadístico de prueba se compara con un valor
crítico apropiado
Se toma una decisión de rechazar o no rechazar la
hipótesis nula
83
Obteniendo conclusiones válidas
Tipos de errores:
 Error tipo I: resulta cuando se rechaza Ho siendo
verdadera, se denomina como alfa o riesgo del
productor


Error tipo II: resulta cuando no se rechaza Ho siendo
que es falsa, es denominado beta o riesgo del
consumidor
Incrementando el tamaño de muestra se reducen alfa
y beta. Alfa es normalmente 5%. Alfa y beta son
inversamente relativos
84
Obteniendo conclusiones válidas
Estudios enumerativos y analíticos:
 Los datos enumerativos pueden ser contados. Las
pruebas de hipótesis utilizadas son la Chi cuadrada,
binomial y de Poisson.


Deming: en los estudios enumerativos las acciones
se toman en el universo.
Deming: en los estudios analíticos se toma acción
en un proceso para mejorar su desempeño futuro
85
V.E Probabilidad
86
V. E Probabilidad
1. Conceptos básicos
2. Distribuciones utilizadas normalmente
3. Otras distribuciones
87
V.E.1 Conceptos básicos
88
Conceptos básicos
Introducción:
Diferencia entre experimento deterministico y
aleatorio (estocastico).
Deterministico. Se obtienen el mismo resultado, con
condiciones experimentales similares
• La caída de un cuerpo
Aleatorio. Se obtienen distintos resultados , aunque se
repitan en condiciones similares.
• Tiempo de vida de un componente eléctrico
89
Conceptos relacionados
a experimentos aleatorios:
Variable aleatoria. Es el nombre Que se le da a la
característica (s) de interés observada en un
experimento. Dicha variable es denotada por letras
mayúsculas. Pueden ser Continuas o Discretas.
Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles
valores Que toma una variable aleatoria en un
experimento. Puede ser finito o infinito.
Evento. Puede ser uno o una combinación de los valores
Que toma una variable aleatoria
90
Espacio Muestral
Consiste en todos los posibles resultados de un experimento.
Para el lanzamiento de una moneda es (A,S).
91
Probabilidad histórica o frecuentista.
Una forma de conocer algo acerca del comportamiento de
una variable aleatoria es conociendo como se comporto en
el pasado.
Note Que si un experimento se realizo un gran numero de
veces, N, y la se observo Que en n veces sucedía el evento
A, entonces n/N es un estimación razonable de la
proporción de tiempos Que el evento A sucederá en el
futuro. Para un gran numero de experimentos N, se puede
interpretar dicha proporción como la probabilidad de del
evento A.
n
P ( E v e n to A ) 
lim
N 
 
N
92
Ejemplo
» en los 1900-s , Karl Pearson lanzo una moneda 24,000 veces y obtuvo
12,012 caras, dando una proporción de 0.5005.
probabilidad de caras
1
.5
0
0
500
n
1000
93
Definición Clásica de Probabilidad.
La probabilidad de un evento A, puede ser calculada mediante la
relación de el numero de respuestas en favor de A, y el numero
total de resultados posibles en un experimento.
P ( E v e n to A ) 
# F a v o ra b le
# T o ta l
A
re su lta d o s
Note Que para las dos definiciones dadas de
probabilidad esta será un numero entre 0 y 1.
Ejemplo 1. Se observa si 3 artículos tienen defecto o no , con defecto
(m) o sin defecto (v).
S={vvv,mvv,vmv,vvm,vmm,mvm,mmv,mmm} es el espacio muestral .
Asociada a este espacio muestral se puede definir la variable aleatoria
X=# de defectos, la cual toma los valores {0,1,2,3}
Conceptos básicos

Principios básicos:





La probabilidad de un evento varia entre 0 y 1 (éxito)
Un evento simple no puede descomponerse
El conjunto de resultados posibles del experimento se
denomina espacio muestral
La suma de las probabilidades en el espacio muestra es 1
Si se repite un experimento un gran número de veces N y
el evento E es observado nE veces, la probabilidad de E es
aproximadamente:
P(E ) 
nE
N
95
Conceptos básicos



Eventos compuestos (conjunto de dos o más
eventos):
La unión de A o B contiene elementos de A o de B
La intersección de A y B contiene elementos comunes
que se localizan al mismo tiempo en A y en B
96
Leyes de probabilidades
1. En un experimento, si P(A) e la probabilidad de un
evento A, entonces la probabilidad de Que no suceda A es:
P( A )  1  P( A)
2. En un experimento, si A y B son dos eventos mutuamente
excluyentes entonces la probabilidad de Que ocurra A o el
evento B es
P( A
o
B) 
P( A)  P( B)
Para el caso de dos eventos A y B Que no son
mutuamente excluyentes.
P( A
o
B) 
P ( A )  P ( B )  P ( A yB )
A las dos ecuaciones se les conoce como
Leyes de adición de probabilidad
Reglas de la probabilidad
•
Ley de la Adición
Si 2 eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces la
probabilidad que el evento A o el evento B ocurra es:
P(A or B)  P(A)  P(B)  P(AB)
•Ley de la Multiplicación
probabilidad que ambos A y B ocurran es (A y B dependientes)
P(AB)
 P(A | B)P(B)
 P(B | A)P(A)
Cuando los eventos A y B son independientes, entonces P(A|B)
= P(A) y
P(AB)
 P(A)P(B)
98
Probabilidades de Eventos
1. P(E)  0
2. P(S) = 1
3. Si E1,En son mutuamente disjuntos
entonces


P  Ei  
 i 1

n
n

P(Ei )
i 1
Resultados
1. Si A  B entonces P(A)  P(B)
2. Si P(Ec)=1-P(E)
3. P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB)
4. Si B1B2…Bn = S entonces
n
P(E ) 

P ( E  Bi )
i 1
99
Permutaciones
Definición.
Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado
una permutación .
El numero resultante de ordenar n objetos diferentes
tomando r a la vez será representado por el símbolo Prn
Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!!
Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H),
Uno de Física (F), Otro de Matemáticas (M). Note Que existen 6
formas de acomodar dichos libros.
{ HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aquí importa el orden
3*2*1=6
Diagramas de árbol
En casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar
objetos en forma sistemática.
Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un
experimento que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4},
entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas
de {A1, A2, A3} hasta que se obtiene una falla.
L1
L2
L3
L4
A1
A2
A3
A1
A2
A3
12 tratamientos
A1
A2
A3
A1
A2
A3
101
El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n
lugares diferentes es :
n!  n(n  1)(n  2)...(2)(1)
n! se lee como n factorial
¿ Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar
n objetos, tal Que n es mayor o igual que r?
En este caso el numero de arreglos resulta ser:
n(n  1)(n  2)...(n  [r  2])(n  [r  1])  Pr
n

P 
n
r
n!
(n  r )!
102
Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un
tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes
intensidades de presión. Hay 10 diferentes intensidades y el orden
de administrar las intensidades es importante, ¿ cuantos motores
se ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?.
10 intensidades (i1,i2,…,i10 ) y 2 aplicaciones.
Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),…..
P2
10

10!
8!
 90.
103
Combinaciones
Una combinación es un arreglo de distintos elementos , en donde
una combinación difiere de otra solamente si el contenido del arreglo
es distinto.
!! En este caso no es importante el orden de
los objetos !!
Definición. (Combinaciones).
El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el
numero de maneras de formar un subconjunto de tamaño r de los n
objetos. Esto se denota como:
C
n
r
n
  
r 
104
Teorema 2.
n
Cr
n
 n
Pr
n!
   

r!
r !(n  r ) !
r
Ejemplo: En un lote de producción 100 chips de
computadora, un comprador desea adquirir 10 chips,
¿ de cuantas formas se pueden seleccionar 10 chips
de ese lote?.
 n
n!
100!
C   

 r  r !( n  r )! 10!(100  10)!
n
r
105
V.E.2 Distribuciones de
probabilidad
106
Distribuciones usadas
por los Black Belts
1. Distribuciones de probabilidad
2. Distribuciones de probabilidad discretas
Hipergeométrica, Binomial, Poisson
3. Distribución normal
4. Distribuciones muestrales
Chi Cuadrada, t de Student, F
5. Otras Distribuciones de probabilidad
Exponencial, Lognormal, Weibull
107
1. Distribuciones de probabilidad
108
Tipos de variables aleatorias
Variable aleatoria: Es aquella función que a cada
resultado posible de un experimento le asocia un numero
real.
Se denotan con letras Mayúsculas: X,Y,Z,etc....
Tipos de variables aleatorias
 Discretas

Continuas
109
Variables aleatorias discretas
Es aquella variable que únicamente toma valores
susceptibles de contarse.
Ejemplo 1: Considere el experimento de tomar al azar una
ficha de asistencia de un numero de empleados. Sea X la
variable numero de ausencias al año de un empleado. Note
que X toma valores 0,1,2,...,250.
Ejemplo 2: Considere un experimento que consiste en
medir el numero de artículos defectos de un lote de
producto. Si Y es la variable numero de defectos , toma
valores 0,1,2,...
110
Distribuciones y funciones de
probabilidad
Toda variable aleatoria tiene asociada una función de
probabilidades
Ejemplo : Se lanzan dos monedas y observamos el
numero Y de caras.
Espacio muestral:{a, as, sa, ss}
Y toma valores 0,1,2.
111
Función de probabilidades para Y.
y
P (Y = y )
0
1 /4
1
1 /2
2
1 /4
0.51
0.46
0.41
p
Gráfica
P(Y=y)
0.36
0.31
0.26
-0.2
0.3
0.8
1.3
1.8
y
Y
112
Formula para la distribución de
probabilidades de la tabla anterior
3 
3 y
y
P ( y )  P (Y  y )    (. 5 ) (. 5 )
 y
La distribución de probabilidades puede ser una Tabla, una
Gráfica o una formula.
113
Requisitos para una distribución
de probabilidad discreta
1.
0  P( y)  1
2.

P ( y ).
toda
y
En algunas ocasiones la notación
usada es:
f X ( x)  P ( X  x)
114
Funciones de distribución acumulativa
La función de distribución de probabilidades
acumulativa es calcula sumando las probabilidades obtenidas
hasta un determinado valor de la variable aleatoria.
FX ( x)  P ( X  x)
Esta función tiene propiedades.
0  F ( x)  1
F ( x)  1
Lim
x 
Lim
x  
F ( x)  0
115
Función de distribución acumulativa para Y=#de caras
0.9
F(x)
0.7
0.5
0.3
-0.2
0
0.3
0.8
1
y
1.3
1.8
2
116
Valor Esperado o Media de una
variable aleatoria discreta
La media o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X , denotada como  o E(X), es
X
 X  E ( X )   xf X ( x )   xP ( X  x )
x
x
La media es el centro de la masa del rango de los
valores de X.
117
Calculo de la media  X para la variable de No. De defectos
4
 X   xP ( X  X ) 
x0
 0  0 . 805  1  0 . 178  2  0 . 014  3  0 . 003  4  0
 0 . 215
En este caso note que esta media no toma un valor entero
como X
118
0 .8
prob
0 .6
0 .4
0 .2
0 .0
0
Media  X
1
2
3
4
x
119
Ejercicio:
La demanda de un producto es -1,0,1,2 por dia (-1
significa devolución). Con probabilidades dadas por
1/5,1/10,2/5,3/10. Calcular la demanda esperada.  X
120
Varianza de una variable aleatoria
Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de
probabilidades P(X=x). Entonces , la varianza de Y es:
 X  E [( X   X ) ] 
2
2
 (x  
) P ( X  x)
2
X
x
Medida de dispersión
121

2
X


( x   X ) P ( X  x)
2
x
 ( 0  0 . 215 )  0 . 805  (1  0 . 215 )  0 . 178
2
2
 ( 2  0 . 215 )  0 . 014 
2
 ( 3  0 . 215 )  0 . 003  ( 4  0 . 215 )  0
2
2
 0 . 2147
122
La desviación estándar de una variable aleatoria es
simplemente la raíz cuadrada de la varianza

X


2
X
123
2. Distribuciones de
probabilidad discretas
124
Distribuciones Discretas
Uniforme discreta.
La variable aleatoria toma un numero finito
de n valores , cada uno con igual
probabilidad.
f ( x)  P ( X  x) 
1
n
125
Uniforme discreta con n=10
0 .1 5
0 .1 3
p ro b
0 .1 1
0 .0 9
0 .0 7
0 .0 5
0
2
4
6
8
1e+001
x
126
La media y varianza de la distribución
Uniforme discreta son:
X 
( n  1)
2
n 1
2
 
2
X
12
Aplicaciones
127
Distribución hipergeométrica



Se aplica cuando la muestra (n) es una porporción
relativamente grande en relación con la población (n >
0.1N).
El muestreo se hace sin reemplazo
P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x éxitos
en una muestra de n elementos tomados de una
población de tamaño N que contiene D éxitos. La
función de densidad de distribución hipergeométrica:
D
P ( x )
N D
C x C n x
C
N
n
C
n
x

n!
x! ( n  x )!
128
Distribución hipergeométrica

La media y la varianza de la distribución
hipergeométrica son:
 
nD
N

2
D  N  n 
 nD  

 1  

N  N  1 
 N 
129
Distribución hipergeométrica
Ejemplo:
 De un grupo de 20 productos, 10 se seleccionan al
azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10
productos seleccionados contengan 5 productos
buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.
N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5
P(x=5) = 0.0183 = 1.83%
 5!   15 ! 



5
!
0
!
5
!
10
!



P (5 ) 
 0 . 0183
20 !
10 !10 !
130
Distribución Binomial
Ensayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo
tiene dos resultados. Éxito o fracaso.
Donde la probabilidad de éxito se denota por p
• Suponga se realizan n experimentos Bernoulli
independientes.
• Suponga que la variable X de interés es el numero de
éxitos.
• X toma valores 0,1,2,...,n
131
Distribución binomial





Se utiliza para modelar datos discretos y se aplica
para poblaciones grandes (N>50) y muestras
pequeñas (n<0.1N).
El muestreo binomial es con reemplazamiento.
Es apropiada cuando la proporción defectiva es
mayor o igual a 0.1.
La binomial es una aproximación de la
hipergeométrica
La distribución normal se paroxima a la binomial
cuando np > 5
132
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial
n x
n x
f ( x )  P ( X  x )    p (1  p )
 x
x  0 ,1,..., n
Tiene media y varianza.
E ( X )   X  np
V (X )  
2
X
 np (1  p )
133
Distribución de Poisson


Se utiliza para modelar datos discretos
Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor
a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16)
por tanto np < 5
134
Distribución de Poisson
Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si
toma probabilidades con.
f ( x) 
e


x
x  0 ,1,...
x!
  np
 
 
np
135
3. La Distribución Normal
136
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Abraham
de Moivre
Simon de
Laplace
Carl
Gauss
Francis
Galton
 Los primeros industriales frecuentemente se basaban en el
conocimiento de limites normales para clasificar artículos o
procesos como correctos o de otro modo.
 Por ejemplo, el colesterol arriba de 250 mg/dl es ampliamente
conocido que incrementa el riesgo de un paro cardiaco. Una
determinación precisa - pudiera ser asunto de vida o muerte.
 Sin embargo , no todas las variables son normales. Por
ejemplo: urea y ph
CARACTERISTICAS DE UNA
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La curva normal es acampanada y tiene un solo pico en
toda la distribución.
La media, mediana, y moda de la distribución son las
mismas y están localizadas en el pico.
La mitad del área de la curva esta arriba del punto central
(pico), y la otra mitad esta abajo.
La distribución normal es simétrica alrededor de su
media.
Es asintotica - la curva se acerca a eje x pero nunca lo
toca.
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL
La Normal is simétrica -
Cola
Teóricamente, la
curva se extiende a
- infinito
Cola
Media, mediana, y
moda son iguales
Teóricamente, la
curva se extiende a
+ infinito
140
Distribución Normal
Distribución de
la Función Normal
f( t ) 
 1 t  
exp  

  
2 
2

1

2



Función de Densidad de Probabilidad Normal
0.0140
0.0120
 = 500
 = 30
 = 50
 = 70
f(t)
0.0100
0.0080
0.0060
0.0040
0.0020
0.0000
200
400
600
Tiempo
800
1000
141
Curvas Normales con Medias iguales pero
Desviaciones estándar diferentes
  3.1
  3.9
 = 5.0
  20
Normales con Medias y
Desviaciones estándar diferentes
 = 5,  = 3
 = 9,  = 6
 = 14,  = 10
La distribución Normal estándar
La distribución normal estándar es una distribución de
probabilidad que tiene media 0 y desviación estándar de 1.
El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a
más infinito vale 1.
La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva
tiene un área de 0.5.
La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones
estándar, su número se describe con Z.
Para cada valor Z se asigna una probabilidad o área bajo la curva
144
mostrada en la Tabla de distribución normal
Las distribuciones pueden variar en:
POSICIÓN
AMPLITUD
FORMA
… O TENER CUALQUIER COMBINACION
145
La Distribución Normal
Para la población - se incluyen TODOS los datos
Para la muestra
3
2



2
3
x-3s
x-2s
x-s
x
x+s
x+2s
x+3s
X
146
La Distribución Normal Estándar
La desviación estándar
sigma representa la
distancia de la media al
punto de inflexión de la
curva normal
X
x-3
x-2
x-
x
x+
x+2
x+3
z
-3
-2
-1
0
1
2
3
147
AREA BAJO LA CURVA NORMAL
 Alrededor de
68 % del area bajo la curva normal
está entre más una y menos una desviación
estándar de la media. Esto puede ser escrito como:
m ± 1s.
 Cerca del 95 % del área bajo la normal está entre
más y menos 2 desviaciones estándar de la media,
m ± 2s.
 Prácticamente toda (99.74 %) el área bajo la normal
esta entre 3 desviaciones de la media
m ± 3s.
Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar

Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar =
1: Para Z = (X - Xmedia )/ s
1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía
Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida
Z
Area
2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05)
se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía
- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o
DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z
149
Entre:
1. 68.26%
2. 95.44%
3. 99.97%
3
2 1

1 2
3
Características de la Distribución Normal
68%
34% 34%
+1s
95%
+2s
99.73%
+3s
151
El valor de Z
Determina el número de desviaciones estándar
entre algún valor x y la media de la población, mu
Donde sigma es la desviación estándar de la
población.
En Excel usar Fx, ESTADISTICAS, NORMALIZACIÓN,
para calcular el valor de Z
z= x-

Proceso con media =100
y desviación estándar = 10
70
80
90
100
110
120 130
68%
34% 34%
90
80
110
68
95%
%
68%
2.356%
70
99.73%
120
2.356%
130
Áreas bajo la curva normal
154
Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar

Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar =
1: Para Z = (X - Xmedia )/ s
1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía
Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida
Z
Area
2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05)
se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía
- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o
DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z
Cálculos con Excel – Distr. Normal

Distribución normal, dadas una media y desviación estándar:
1. Área desde menos infinito a X se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía
- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM,
dar el valor de X, Media, Desviación Estándar s, VERDADERO y se
obtendrá el área requerida
X
Area
2. Un valor de X específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se
obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía
- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.INV, dar el valor del área, Media y Desviación Estándar
y se obtendrá el valor de la X
Calculo de Probabilidades normales
1. Identificar la variable de interés.
2. Identificar los parámetros de la variable (su media y
desv. estándar).
3. ¿Cual es la pregunta área bajo la curva de
probabilidad normal?
4. Convertir los valores a la distribución normal estándar
(estandarización Z = (X-Media)/S) .
5. Encuentre la probabilidad en tabla de la normal
estándar o por Excel.
Ejemplo
El agua usada diariamente por persona en México está
distribuida normalmente con media 20 litros y una
desviación de 5 lts..

¿Entre que valores cae cerca del 68% el agua usada
por una persona en Mexico?
m ± 1s = 20 ± 1(5). Esto es, cerca del 68% de la
cantidad usada por persona cae entre 15 lts. y 25 lts..
 De manera similar para 95% y 99%, el intervalo será
de 10 lts a 30 lts y 5 lts a 35 lts.
Ejemplo
El agua usada diariamente por persona en México es
distribuida normalmente con media 20 litros y una
desviación de 5 lts. Sea X el uso diario de agua.

Cual es la probabilidad que una persona
seleccionada al azar use menos de 20 lts./dia?
El valor z asociado es z = (20 - 20)/5 = 0.
entonces,
P(X < 20) = P(z < 0) = 0.5.
Ejemplo
Que porciento usa entre 20 y 24 lts?
El value z asociado con X = 20 es z = 0 y con X =
24, z = (24 - 20)/5 = 0.8.
Entonces, P(20 < X < 24) = P(0 < z < 0.8) = P(0.8) -

P(0) = 0.7881- 0.5 = 0.2881 o 28.81%.

¿Que porciento usa entre 16 y 20 lts?
El valor z1 para X = 16 es z1 = (16 - 20)/5 = -0.8,
y para X = 20, z2 = 0. Entonces, P(16 < X < 20) =
P(-0.8 < z < 0) = P(0) - P(-0.8) = 0.5 - 0.2119 =
0.2881 = 28.81%.
P(0 < z < 0.8)
= 0.2881.
0.8
Ejemplo

Cual es la probabilidad que una persona
seleccionada al azar use mas de 28 lts?
El valor z asociado a X = 28 es
z = (28 - 20)/5 = 1.6. Ahora, P(X > 28) = P(z > 1.6)
= 1 - P(z < 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548.
P(z > 1.6) =
1 - 0.9452=
0.0548
Area =
0.9452
1.6
z
Ejemplo
• ¿Que porcentaje usa entre 18 y 26 lts?
El valor z asociado con X = 18 es z = (18 - 20)/5 = 0.4, y para X = 26, z = (26 - 20)/5 = 1.2.
entonces, P(18 < X < 26)= P(-0.4 < z < 1.2) =
F(1.2) - F(-0.4)= 0.8849 - 0.3446 = 0.5403.
Ejemplos




El tiempo de vida de las baterías del conejito tiene una
distribución aproximada a la normal con una media de
85.36 horas y una desviación estándar de 3.77 horas.
¿Qué porcentaje de las baterías se espera que duren 80
horas o menos?
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre
86.0 y 87.0 horas?
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de
87 horas?
165
Área bajo la curva normal
¿Que porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas
o menos?
Z = (x-mu) / s
Z = (80-85.36)/(3.77)= - 5.36/ 3.77 = -1.42
80
-1.42
85.36
0
Área bajo la curva normal
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure
entre 86.0 y 87.0 horas?
85.36 86 87
0
1
Área bajo la curva normal
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más
de 87 horas?
85.36
87
1.67 = .33 ó 33% de las veces una batería durará más
de 87 horas
Ejercicios
Considere una media de peso de estudiantes de 75 Kgs.
con una desviación estándar de 10Kgs. Contestar lo
siguiente:
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese más
de 85Kgs.?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese
menos de 50Kgs.?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 60 y 80
Kgs.?.
4. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 55 y 70
Kgs.?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 85 y
100Kgs.?
169
4. Distribuciones muestrales
170
Distribuciones muestrales
1. Introducción a las distribuciones muestrales
2. Distribución Chi cuadrada
3. Distribución t de student
4. Distribución F
171
A las distribuciones de los estadísticas muestrales
se les llama distribuciones muestrales.
POBLACION
172
Distribuciones Derivadas del
muestreo de Poblaciones Normales
Muestra
Aparecen distribuciones muestrales:
Normal, Chi-cuadrada, t-student, F
Población
173
Distribución de la Media:
Si X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una Poblacion
(X) con distribución normal n (  ,  2 ) .Entonces X se
distribuye normal con media  , y varianza  2 / n
X
 n( ,
2
/ n)
174
Distribución Chi Cuadrada


Esta distribución se forma al sumar los cuadrados de
las variables aleatorias normales estándar.
Si Z es una variable aleatoria normal, entonces el
estadístico Y siguiente es una variable aleatoria Chi
cuadrada con n grados de libertad.
y  z  z  z  ....  z
2
1
2
2
2
3
2
n
175
Distribución de la varianza.
Repaso de la distribución ji-cuadrada.
La función de densidad de probabilidad con k grados de
libertad y la función gama Γ es:
1
f (x) 
k
2
2
k 
 
2
k
1
x2 e
x
2
,
x  0.
k=grados de libertad. (1,2,...)
176
Gráficas de la distribución ji-cuadrada
K=1
K=5
K=25
K=50
Con k grande ji-cuadrada se hace normal
177
Media y varianza de una ji-cuadrada.
E(X)=k
V(X)=2k
Calculo de puntos críticos usando las tablas de jicuadrada
P ( X    ,k )  
2
178
Ejemplo: Calcule el valor critico que satisface
P ( X   0 .05 , 20 )  . 05
2
De tablas de ji-cuadrada con alfa=.05 y k=20
 0 .05 , 20  31 . 41
2
179
Resultado:
Si X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una Poblacion
(X) con distribución normal n (  ,  2 ) .Entonces ( n  1) S 2
se

2
distribuye ji-cuadrada con k= n-1 grados de libertad.
Donde S cuadrada es la varianza muestral.
( n  1)

2
S
2
 
2
n 1
180
Distribución t-student
Si X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una
Población (X) con distribución normal n (  ,  ) .
2
Entonces ( X   ) ( s / n )
se distribuye
t-student con n-1 grados de libertad. Se utiliza en
vez de la distribución normal cuando sigma es
desconocida (que la aproxima con n > 100)
( X   ) (s /
n )  t n 1
181
Función de Distribución t-student
f ( x) 
 [( k  1) / 2 ]
 k  [ k / 2 ][ x / 2  1]
2
( k 1) / 2
x  (  ,  )
K=1
K=10
K=100
182
Función de Distribución t-student
183
 
k
k 2
; k 3
Distribución t de Student

La media y la varianza de la distribución t son:
  0

 
k
k 2
; k 3
De una muestra aleatoria de n artículos, la
probabilidad de que
t 
x
s/
n
Caiga entre dos valores especificados es igual al área
bajo la distribución de probabilidad t de Student con
los valores correspondientes en el eje X, con n-1
grados de libertad
184
 
k
k 2
; k 3
Distribución t de Student
Ejemplo:

La resistencia de 15 sellos seleccionados
aleatoriamente son: 480, 489, 491, 508, 501, 500,
486, 499, 479, 496, 499, 504, 501, 496, 498
¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia promedio
de los sellos sea mayor a 500?. La media es 495.13 y
la desviación estándar es de 8.467.
t = -2.227 y el área es 0.0214
t 
495 . 13  500
  2 . 227
8 . 467 / 15
185
Distribución F
Surge de dividir dos ji-cuadradas independientes
F=(W/u)/(Y/v)
W se distribuye ji-cuadrada con u g.l.
Y se distribuye ji-cuadrada con v g.l.
El uso de esta distribución es para
comparar varianzas (Recuerde el análisis de
varianza)
186
Distribución
F.
Función de
f ( x) 
densidad de la Distribución F
 [( u  v ) / 2 ]u / v 
 ( u / 2 )  [ v / 2 ][
u
u
2
x
( u / 2 ) 1
x  1]
(k v)/ 2
v
x  (0,  )
u=10
u=20
v=5
v=20
187
Distribución
F.
Función de
densidad de la Distribución F
188
Distribución F

Para determinar la otra cola de la distribución F se
determina con la expresión.
Falfa, k1, k2 = 1 / F(1-alfa), k2, k1

Dado K1 = 8 y K2 = 10, F0.05 = 3.07, encontrar el
valor de F0.05 con K1 = 10 y K2 = 8
F0.05,10,8 = 1/ F0.95,8,10 = 1/ 3.07 = 0.326
189
Distribución F.Función
de densidad
de la Distribución F
190
V.E.3 Otras distribuciones de
probabilidad
191
Otras distribuciones de
probabilidad
1. Distribución bivariada
2. Distribución exponencial
3. Distribución Lognormal
4. Distribución de Weibull
192
Distribución Bivariada

La distribución conjunta de dos variables es llamada
una distribución bivariada. El coeficiente de
correlación es :
193
Distribución Exponencial



Se usa para modelar artículos con una tasa de falla
constante y está relacionada con la distribución de
Poisson.
Si una variable aleatoria x se distribuye
exponencialmente, entonces el recíproco de x,
y = 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.
La función de densidad de probabilidad exponencial
es: Para x >= 0
x

1 
x
f ( x ) e
 e
194

Distribución Exponencial


Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la media
La función de densidad de la distribución exponencial
195
Distribución Exponencial

Distribución Exponencial
 Es usada como el modelo, para la parte de vida
útil de la curva de la bañera, i.e., la tasa de falla
es constante
 Los sistemas complejos con muchos componentes
y múltiples modos de falla tendrán tiempos de
falla que tiendan a la distribución exponencial
 Desde una perspectiva de confiabilidad, es la
distribución más conservadora para predicción.
La forma de la
exponencial siempre es
la misma
196
Distribución Exponencial

El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple
de todo los modelos de distribución del tiempo de vida. Las
ecuaciones clave para la exponencial se muestran:
CDF : F (t )  1  e
 t
CONFIABILIDAD : R(t )  e
PDF : f (t )  e
1

MEDIA : m
t
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0035
 t
0.0025

@
0.693

1

 = 0.002, MEDIA = 500
0.0020
 = 0.001, MEDIA = 1,000
0.0015
ln 2
VARIANZA :
f(t)

MEDIANA :
 = 0.003, MEDIA = 333
0.0030
2
TASA DE FALLA : h (t )  
0.0010
0.0005
0.0000
0
500
1,000
Tiempo
1,500
2,000
Distribución Exponencial
R(t) = e(-t) (Confiabilidad)
Función de Confiabilidad Exponencial
1.200
1.000
R(t)
0.800
 = 0.001, MTBF = 1,000
 = 0.002, MTBF = 500
0.600
 = 0.003, MTBF = 333
0.400
0.200
0.000
0
500
1,000
Tiempo
1,500
2,000
198
Distribución Exponencial
h(t) =   1  MEDIA (Velocidad de Falla)
Note que la tasa de
falla tiende a ser una
constante  para
cualquier tiempo. La
distribución exponencial
es la única que tiene
una velocidad de falla
constante
Función de la Tasa de Falla Exponencial
0.004
 = 0.003, MTBF = 333
0.003
h(t)
 = 0.002, MTBF = 500
0.002
 = 0.001, MTBF = 1,000
0.001
0.000
0
500
1,000
Tiempo
1,500
2,000
199
Distribución Lognormal

La transformación más común se hace tomando el
logaritmo natural, pero también se puede hacer con
los logaritmos base 2 y base 10.
Y = x1 x2 x3
Ln y = ln x1 + ln x2 + ln x3
La función de densidad de probabilidad lognormal es
con Y = ln(t):
1 y 
2
f (t ) 
1
t
y
2
e
 
2 
y

y



200
Distribución Lognormal

La media y la varianza de la distribución lognormal
son las siguientes:
Media  e
Var  ( e
( 2  
2
(  
)
)( e
2

2
/ 2)
 1)
201
Distribución Lognormal



Un tiempo de falla se distribuye según una Lognormal
si el logaritmo del tiempo de falla está normalmente
distribuido.
La Distribución Lognormal es una distribución sesgada
hacia la derecha.
La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y
diminuye después.
202
Distribución Lognormal

Si un tiempo t está distribuido Lognormal, t~LN(t, t) y si Y =
ln(t) entonces Y~N(y, y)
t
PDF
CDF
f (t ) 

1
t
2
y
y = ln(t)
e




2
f (y ) 
 ln( t  T 50 ) 

F (t )   


y


2

y 

 exp   y 

2 

MEDIA
 t  T 50
MEDIANA
T 50  exp(  y ) 
VARIANZA
1 y y

2   y
t
1
T 50 exp( 
2
2
y

) exp( 
2
y

2
t

2
t
1

y
2

e
1 y y

2   y
 y  y
F (y )  
 
y





2




 y  ln( T 50 )
 
)1
(z) es la CDF de la Normal estándar

y
2

t
ln  1  2

t





203
Distribución Lognormal



La Distribución de vida Lognormal, como la Weibull, es
un modelo muy flexible que puede empíricamente
ajustar a muchos tipos de datos de falla.
En su forma de dos parámetros tiene los parámetros
sln(t) = sy parámetro de forma, y T50 = la mediana
(un parámetro de escala)
Si el tiempo para la falla t, tiene una distribución
Lognormal, entonces el logaritmo natural del tiempo de
falla (y =ln(t)) tiene una distribución normal con media
204
my = ln T50 y desviación estándar sy.
Distribución Lognormal

Esto hace a los datos lognormales convenientes para
trabajarlos así:


Determine los logaritmos naturales de todos los tiempos
de falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice
los datos normales resultantes.
Posteriormente, haga la conversión a tiempo real y a los
parámetros lognormales usando y como la forma
lognormal y T50 = exp(y como (mediana) el parámetro
de escala.
205
Distribución Lognormal

Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t<18)
 Calculemos los valores que nos permiten usar
la tabla normal estándar
t
2
T 50   t  1 
y
2
t
2

t
 ln  1  2

t

y 
2
2
 4 
 25  1  
  24 . 68
 25 
2



4


  ln  1  
   0 . 02527


 25  


0 . 02527  0 . 1589
Para poder usar las Tablas de la Normal Estándar:
P(t<18) = P{Z<[ln(t/ T50)]/ y] = P{Z<[ln(18/24.7)]/0.159} =
P(Z<-1.99) = 0.023
206
Distribución Lognormal
Función de
Distribución
Lognormal
f( t ) 
1
t
 1  ln ( t )  
exp  



2
2


2
donde  y  son funciones de ln’s
Función de Densidad de Probabilidad Lognormal
0.5000
0.3000
=0
=1
f(t)
0.4000
=0
 = 0.5
=1
 = 0.5
0.2000
=1
=1
0.1000
0.0000
0
1



2
3
4
Tiempo
5
6
7
207
Distribución Lognormal

Función de Distribución
Lognormal
R (t) 


 f( t )d t   f[ ln ( t ) ]d [ ln ( t ) ] 
t
ln ( t )
  ( z )d z
z [ ln ( t ) ]
donde z[ln(t)] = [ln(t)-/]
(z) = normal estandarizada normal pdf
Función de Confiabilidad Lognormal
1.000
=1
 = 0.5
0.800
=1
=1
R(t)
0.600
=0
=1
0.400
=0
 = 0.5
0.200
0.000
0
1
2
3
4
Tiempo
5
6
7
208
Distribución Lognormal
Función de Distribución Lognormal
h ( t )
f( t )
R( t)
Función Tasa de Falla Lognormal
0.7000
=0
 = 0.5
0.6000
h(t)
0.5000
=1
 = 0.5
0.4000
0.3000
0.2000
0.1000
=1
=1
0.0000
0
1
2
=0
=1
3
4
Tiempo
5
6
7
209
Distribución Lognormal






Número de ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes
metálicas, en niveles de tensión mucho menores que sus límites
Representa bien el tiempo de falla de los dispositivos mecánicos,
especialmente en el caso de uso
La resistencia de materiales frecuentemente sigue una distribución
Lognormal
Las variables de peso son frecuentemente bien representadas con
una distribución Lognormal
Es una buena distribución para cualquier variable
La medida de cualquier resultado el cual es el resultado de una
proporción o efecto multiplicativo es Lognormal
210
Distribución de Weibull



La distribución de Weibull es una de las más
utilizadas en confiabilidad y estadística.
La versión de dos parámetros forma y escala (que
representa la vida característica) no incluye el
parámetro de localización es cero.
La versión de tres parámetros tiene una parámetro
de localización cuando hay un tiempo de falla
diferente de cero para la primera falla
211
Distribución de Weibull

La función de densidad de probabilidad de Weibull de
3 parámetros es:
f ( x )
  x 

 



 1
 x 
exp 

  

Para x 
 es el parámetro de forma
 es el parámetro de escala
 es el parámetro de localización
212
Distribución de Weibull

La función de densidad de probabilidad de Weibull de
3 parámetros también se puede expresar como:
f ( t )
  y 

 



 1
t 
exp 
 




Para t 0
 es el parámetro de forma
 es el parámetro de escala
 es el parámetro de localización diferente de cero
 También es la vida característica si el parámetro de
localización es cero, de otra forma será + 
213
Distribución de Weibull

La media y la varianza de la distribución de Weibull
es:

1 
     1  
 


2
 
2 
1 
2
     1      1   
 
 

 
2
214
Distribución de Weibull

Efecto del parámetro de forma Beta con Theta = 100
y Delta = 0
215
Distribución de Weibull

Efecto del parámetro de escala Theta
216
Distribución de Weibull

Efecto del parámetro de escala Delta
217
El Modelo Weibull
En muchas aplicaciones de confiabilidad, el supuesto
de tasa de riesgo constante no es apropiado.


Los artículos mecánicos tienen Failure Rate Creciente.
Otros artículos pueden ser Failure Rate Decreciente.
6
Failure Rate
Failure Rate
Decreciente
5
4
h(t)

Creciente
3
2
Failure Rate Constante
1
0
0
0.5
1
T im e ( t )
1.5
2
218
Modelo Weibull

Un modelo que puede representar un amplio espectro
de comportamientos es el modelo Weibull.
S (t )  e
 ( t )
f ( t )  
h (t )  
t
 1
 t
exp
   t  

1
La densidad del modelo Weibull puede tomar
muchas y diferentes formas.
=3
1.2
 = 0.5
1
0.8
f(t)




=1
0.6
=2
0.4
0.2
0
0
0.5
1
T im e

1.5
2
(t)
Note que si  = 1 entonces se tiene el modelo exponencial
219
como caso particular del modelo Weibull.
Modelo Weibull

El modelo Weibull es
 FRC si  = 1
 FRI
si  > 1
 FRD si  < 1
FRD
6
FRI
 = 0.5
5
=3
h(t)
4
3
=1
FRC
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
T im e ( t )

Entonces el parámetro  muestra la forma de la función de riesgo.
220
Modelo Weibull
Que es  ?

6
5
h(t)
4
=3
3
=2
=1
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
T im e ( t )

Entonces  presenta la escala de h(t).
221
Modelo Weibull
Los momentos de la distribución Weibull son:


E [T ] 

tf ( t ) dt 
0
1


1

1









E [T
2
] 
t
2
f ( t ) dt
0
Var ( T )  E [ T
 k

2
]  E [T ]
2



x
k 1
exp

1


2
 
2
1

 


 


  

2

1

1








x dx
0
222
Modelo Weibull

El tiempo de vida (sobre horas) de cierto tipo de
resorte usado continuamente bajo condiciones de
funcionamiento, es sabido que tiene una distribución
de Weibull con parámetro de forma 0.00022 y de
escala 1.28.



Cuál es el tiempo medio de falla?
Cuál es la probabilidad de que un resorte funcionará por 500
horas?
Cuál es la probabilidad que un resorte que ha funcionado
por 200 horas funcione por otras 500 horas?
223
Modelo Weibull



Se tiene un sistema de n componentes.
Los componentes son independientes e
idénticamente distribuidos de acuerdo a una
distribución Weibull.
Cual es la distribución del tiempo de vida del
sistema? T  min{ T ,  , T }
1

n
Se sabe que
P T  t   P (min{
T1 ,  , T n }  t )


Entonces
224
Distribución Weibull

La distribución de Weibull
es un modelo de
distribución de vida útil
muy flexible, para el caso
de 2 parámetros:
Donde h (etha) es un
parámetro de escala (la
vida característica) y
beta se conoce como el
parámetro de forma
(pendiente) y G es la
función Gamma con
G(N)=(N-1)! para N entero
CDF : F ( t )  1  e





DAD : R ( t )  e
CONFIABILI
PDF : f ( t ) 
MEDIA
 t
 

  t 
 1
 
  
e
 t
 





 t
 








1 

:    1 
 

1
MEDIANA
VARIANZA
:  ln 2  


2  
1 
2
     1 
 
:    1 
   
 

TASA DE FALLA :
  t 


  
 1
225
2
Distribución Weibull
CDF : F ( t )  1  e
Una forma más general
de 3 parámetros de la
Weibull incluye un
parámetro de tiempo
de espera localización
ó desplazamiento).
Las fórmulas se obtienen
reemplazando t por (t-g).
No puede ocurrir una
falla antes de g horas, el
tiempo comienza en g no
en 0.
 t 
 
 





DAD : R ( t )  e
CONFIABILI
PDF : f ( t ) 
 t  

  
 1


e
 t 
 
 
 t 
 
 











1

MEDIA :      1 
 

1
MEDIANA
VARIANZA
:    ln 2  

2   
1 
     1 
 
:    1 
   
 

2
TASA DE FALLA :
 t  

 



 1
226
2
Distribución Weibull
Función de Distribución Weibull
 t
f( t )   
 
 1
   t 
e x p    
    

 

 
Función de Densidad de Probabilidad Weibull
0.0030
 = 0.5
 = 1000
0.0020
f(t)
 = 1.0
 = 1000
 = 3.4
 = 1000
0.0010
0.0000
0
500
1000
1500
Tiempo
2000
2500
3000
227
Distribución Weibull
Funciones de Distribución Weibull
   t    
R (t) e x p      
      
Función de Confiabilidad Weibull
1.000
 = 3.4
 = 1000
0.800
 = 1.0
 = 1000
R(t)
0.600
0.400
 = 0.5
 = 1000
0.200
0.000
0
500
1000
1500
Tiempo
2000
2500
3000
228
Distribución Weibull
Funciones de Distribución Weibull
 t 
h( t )   
 
Función Tasa de Falla Weibull
0.0060
 = 3.4
 = 1000
0.0040
h(t)
 = 0.5
 = 1000
 = 1.0
 = 1000
0.0020
0.0000
0
500
1000
1500
Tiempo
2000
2500
3000
229
 1
Distribución Weibull

Distribución Weibull
 La función pdf de la distribución exponencial
modela la característica de vida de los sistemas, la
Weibull modela la característica de vida de los
componentes y partes
 Modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos
 Es el traje correcto para datos de vida
 La función de distribución Weibull pdf es una
distribución de la confiabilidad de los elementos
de una muestra
 Muy flexible y puede tomar diferentes formas
230
Distribución Weibull

Tiene usted una Distribución Weibull con =2 y =2,
¿Cuál es la media y la varianza?

1

m     1 



varianza
2  
1 
2 
     1 
 
    1 
   
 

1
2
2
Archivo
Weibull.xls
3
231
Distribución
Weibull

decreciente
<1
Fallas
tempranas

constante

creciente
=1
>1
Desgaste
Tiempo de vida útil
Las tres porciones de la curva
de tina de la bañera tienen
diferentes índices de falla.
Las fallas tempranas se
caracterizan por un índice de
falla decreciente, la vida útil
por un índice de falla
constante y el desgaste se
caracteriza por un índice de
falla creciente. La distribución
de Weibull puede modelar
matemáticamente estas tres
situaciones.
tiempo
 < 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil
 = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias
1<  < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión
 > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y
envejecimiento
232
La Distribución Weibull - Interpretación
 < 1 (Tasa de riesgo decreciente)
•Implica mortalidad infantil
•Si esto ocurre, puede existir:
-Carga, inspección o prueba inadecuada
-Problemas de Manufactura
-Problemas de reparación
•Si un componente sobrevive la mortalidad
infantil , la resistencia a fallar mejora con la
edad.
1 <   4 (Tasa de Riesgo creciente)
•Si esto ocurre
-La mayoría de los baleros y engranes
fallan
-Corrosión o Erosión
-El reemplazo programado puede ser
efectivo en costo
  =3.44aprox. Normal,  =2Rayleigh
 = 1 (Tasa de riesgo constante)
•Implica fallas aleatorias(Distribución
Exponencial)
•Una parte vieja es tan buena como una
nueva
•Si esto ocurre:
-Mezcla de modos de falla
-Las fallas pueden deberse a eventos
externos, como:luminosidad o errores
humanos
-Fundido y removido antes de su
desgaste
  4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)
•Implica edad avanzada y rápido desgaste
•Si esto ocurre, sospeche de:
-Propiedades del material
-Materiales frágiles como la cerámica
-Variabilidad pequeña en manufactura o
material
Distribución Weibull
•Cuando  = 2.5 la Weibull se aproxima a la
distribución Lognormal(estas distribuciones son tan
cercanas que se requieren tamaños de muestra
mayores a 50 para distinguirlas).
•Cuando se modela el tiempo que se necesita para
que ocurran reacciones químicas, se ha mostrado
que la distribución Lognormal usualmente
proporciona un mejor ajuste que la Weibull.
•Cuando  = 5 la Weibull se aproxima a una Normal
puntiaguda.
234
Distribución Weibull
Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla
observadas que no pueden modelarse adecuadamente
mediante la Weibull. Algunos ejemplos son.
1.La resistencia a la ruptura de componentes o el
esfuerzo requerido para la fatiga de metales.
2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.
3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan, tales
como las llantas de un automóvil.
4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más
débil del sistema(la distribución Weibull representa una
distribución de valor extremo).
235
Distribución Weibull
•¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo
tiene el valor de la vida característica, t = ?


R ( t )  exp  

 t
 
  




 

 

si t  


R ( t   )  exp  

 
 
  




 
1
   e  0 . 3678
 

F ( t   )  1  R ( t   )  0 . 6321
Al llegar al tiempo
de vida igual a la
vida característica el
63.2% de los
elementos habrá
fallado. Este hecho
se usa en las
gráficas para
identificar el valor
de h (eta)
Este mismo resultado se obtiene para el caso
exponencial, recordando que la Weibull se puede
reducir a una exponencial cuando b = 1.
236
V.F Capacidad de procesos
237
V.F Capacidad de procesos
1. Índices de capacidad de procesos
2. Índices de desempeño de procesos
3. Capacidad a corto y a largo plazo
4. Capacidad de proceso de datos no normales
5. Capacidad de proceso para datos por atributos
6. Capacidad de procesos bajo Seis Sigma
238
V.F.1 Índices de capacidad del
proceso
239
Teoría del camión y el túnel
•El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto
(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor
que la especificación.
•Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de la
especificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Si
el chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma
chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.
El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado
Ancho 9´
Nigel´s Trucking Co.
Objetivos de la capacidad del proceso
1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones
2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus
modificaciones
3. Especificar requerimientos de desempeño para el equipo
nuevo
4. Seleccionar proveedores
5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura
6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto
interactivo de los procesos en las tolerancias
241
Análisis de la capacidad de proceso –
Estudios de capacidad

La capacidad del proceso es un patrón predecible de
comportamiento estadístico estable donde las causas
de variación se comparan con las especificaciones.
242
Análisis de la capacidad de proceso –
Estudios de capacidad
LSE
Especificación
superior
LIE
Especificación
inferior
Z
s
xi
_
X
p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones
243
¿Cómo vamos a mejorar esto?
Podemos reducir la desviación estándar...
Podemos cambiar la media...
O (lo ideal sería, por supuesto) que podríamos cambiar ambas
Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo,
asegúrarse que se mantenga
244
Procedimiento
1. Seleccionar una máquina donde realizar el estudio
2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso
3. Seleccionar un operador entrenado
4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R <
10%)
5. Cuidadosamente colectar la información
6. Construir un histograma de frecuencia con los datos
7. Calcular la media y desviación estándar del proceso
245
Análisis de la capacidad de proceso –
Estudios de capacidad
Objetivos:
 Establecer un estado de control sobre el proceso de
manufactura mantenerlo en el tiempo.

Al comparar el proceso vs los límites de
especificación pueden ocurrir los siguientes eventos:





No hacer nada
Cambiar las especificaciones
Centrar el proceso+
Reducir la variabilidad
Aceptar las pérdidas
246
Análisis de la capacidad de proceso –
Estudios de capacidad
Identificación de características:




Deben ser indicativas de un factor clave en la calidad
del producto o proceso
Debería ser posible ajustar el valor de la característica
como factor de control
Las condiciones de operación que afecten la
característica medida deben ser identificadas y
controladas
El PPAP indica la evaluación una inicial de la capacidad
247
Estimación de la desviación estándar
con el proceso normal o en control
La desviación estándar del proceso cuando se encuentra en
control se determina como sigue con base en una carta de
control X-R siempre que esté bajo control estadístico:
Desv. Est. st =
(Within)
Rango medio
Constante d2 de acuerdo al
tamaño de subgrupo en X-R
D2 = 1.128 para carta I-MR con n=2
D2= 2.326 para carta X-R con n=5
248
Límites de tolerancia
natural del proceso
LTNS = Media + 3*sigma
LTNI = Media – 3*sigma
Si los límites de especificación son: LIE y LSE
El Cp = (LSE – LIE) / (LTNS – LTNI) debe ser mayor a 1
249
Capacidad del proceso
Z’s y P(Z’s) Fracción defectiva
Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a
las fórmulas siguientes:
Zi
=
LIE - promedio del proceso
Desviación Estándar - st
Zs
=
LSE - Promedio del proceso
Desviación Estándar - st
La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:
P(Zi) = Área en tabla (-Z)
P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)
Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)
250
Índices de Capacidad Potencial del
proceso en control – Corto plazo
El índice de capacidad potencial del Proceso (Cp) mide la
variación del proceso en relación con el rango de Especificación.
Cp =
LSE - LIE
Tolerancia
=
Variación del proceso 6 Desviaciones Estándar - st
La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le
indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del
proceso.
Rango del proceso
6 desviaciones estándar - st
=
CR =
LSE - LIE
Tolerancia
Otro índice que toma en cuenta
LSE  LIE
Cpm 
2
2
el centrado del proceso vs
6   (X  M )
Media de Especificaciones M es:
251
Índice de capacidad real del proceso
en control estadístico – corto plazo
Cpk es una medida de la capacidad real del proceso en función de
la posición de la media del proceso (X) en relación con con los
límites de especificación.
Con límites bilaterales da una indicación del centrado.
Es el menor de:
Cpk =
LSE - promedio del proceso Promedio del proceso - LIE
y
3 desviaciones Est. - st
3 desviaciones Estándar - st
252
Cálculo de la capacidad del proceso
Habilidad o capacidad potencial
Cp = (LSE - LIE ) / 6 st
Debe ser  1.33, si está entre 1 – 1.33 requiere mucho control, <1 inac.
para tener el potencial de
cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Habilidad o capacidad real
Cpk = Menor | ZI y ZS | / 3
El Cpk debe ser  1.33 para que el
proceso cumpla especificaciones, entre 1 y 1.33 requiere control, <1 inac.
253
Tasa de falla vs Cp
254
Tasa de capacidad
Tasa de capacidad
l
Cp = 6 st/ (LSE - LIE )
Debe ser <= 0.75 si está entre 0.75 y 1 requiere mucho control, >1 inac.
para tener el potencial de
cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Índice Cpm basado en el índice de Taguchi, equivale al Cp tomando en
cuenta el centrado:
T = valor objetivo
255
Capacidad del proceso
Z’s y P(Z’s) Fracción defectiva
Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a
las fórmulas siguientes:
Zi
=
LIE - promedio del proceso
Desviación Estándar - st
Zs
=
LSE - Promedio del proceso
Desviación Estándar - st
La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:
P(Zi) = Área en tabla (-Z)
P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)
Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)
256
Capacidad de proceso a partir de
Histogramas y Distribución normal
257
Ejemplo
Se tomaron los datos siguientes:
265
197
346
280
265
200
221
265
261
278
215
251
205
286
317
242
254
235
176
262
248
250
318
263
274
242
260
281
246
248
271
260
265
271
307
243
258
321
294
328
263
245
274
270
293
220
231
276
228
223
296
231
301
337
298
277
268
267
300
250
260
276
334
280
250
257
290
260
281
208
299
308
264
280
274
278
210
283
234
265
187
258
235
269
265
253
254
280
258
299
214
264
267
283
235
272
287
274
269
275
258
Ejemplo (cont…)
Agrupando los datos en celdas se tiene:
Intervalo Marca
de clase de clase
170 - 189
179.5
190 - 209
199.5
210-229
219.5
230-249
239.5
250-269
259.5
270-289
279.5
290-309
299.5
310-329
319.5
330-349
339.5
Frecuencia
2
4
7
13
32
24
11
4
3
Frecuencia
Relativa
0.02
0.04
0.07
0.13
0.32
0.24
0.11
0.04
0.03
Frecuencia
Absoluta
0.02
0.06
0.13
0.26
0.58
0.82
0.93
0.97
1.00
259
.
Ejemplo (cont…)
El histograma es el siguiente (se observa con forma normal):
35
30
25
20
15
Frec.
10
5
0
170189
210229
250269
290309
330349
260
Ejemplo (cont…)
Calculando la media y la desviación estándar se tiene:
X-media = 264.06
s = 32.02
La variabilidad del proceso se encuentra en 6  = 192.12
Si las especificaciones fueran LIE = 200 y LSE = 330
Cp = (330 - 200 ) / 192.2 < 1 no es hábil el proceso
Zi = (330 - 264.06) / 32.02
Zs = (200 - 264.06) / 32.02
Cpk = menor de Zi y Zs < 1 el proceso no cumple especificaciones
261
Ejercicio
Calcular la capacidad del proceso con la distribución de frecuencias
siguiente considerando LIE = 530 y LSE = 580:
Intervalo
de clase Marca de clase Frecuencia
531 - 535
536 - 540
541 - 545
546 - 550
551 - 555
556 - 560
561 - 565
566 - 570
571 - 575
533
538
543
548
553
558
563
568
573
Frecuencia
Relativa
Frecuencia
Absoluta .
6
8
12
13
20
19
13
11
8
262
Ejemplo de capacidad de proceso
P r oc e s s C a pa bility of V is c os ida d
LS L
USL
P ro ce ss D a ta
LS L
W ith in
9 .0 0 0 0 0
T a rg e t
O v er all
*
USL
1 4 .0 0 0 0 0
S a m p le M e a n
1 1 .7 4 4 0 0
S a m p le N
P o te n tia l (W ith in ) C a p a b ility
50
S tD e v (W ith in )
0 .8 5 5 7 7
S tD e v (O v e ra ll)
0 .8 0 2 5 9
Cp
0 .9 7
C PL
1 .0 7
C PU
0 .8 8
C pk
0 .8 8
C C pk
0 .9 7
O v e ra ll C a p a b ility
Pp
1 .0 4
PPL
1 .1 4
PPU
0 .9 4
P pk
0 .9 4
C pm
9 .6
O b se rv e d P e rfo rm a n ce
1 0 .4
E xp . W ith in P e rfo rm a n ce
6 7 1 .8 5
1 1 .2
1 2 .0
1 2 .8
*
1 3 .6
E xp . O v e ra ll P e rfo rm a n ce
P P M < LS L
0 .0 0
P P M < LS L
P P M < LS L
3 1 4 .3 5
PPM > USL
0 .0 0
PPM > USL
4 1 9 1 .6 6
PPM > USL
2 4 7 0 .2 4
P P M T o ta l
0 .0 0
P P M T o ta l
4 8 6 3 .5 1
P P M T o ta l
2 7 8 4 .5 9
263
Interpretación de salida Minitab



Desviación estándar “Within” se determina con R /
d2, se usa para determinar los índices de capacidad a
corto plazo Cp, Cpk y PPM “Within”
Desviación estándar “Overall” det. Con la desviación
estándar de los datos S/C4,
donde C4=4(n–1)/(4n-3)), se usa para determinar
los índices de Desempeño Pp, Ppk y PPM “Overall”
El “Observed Perfomance” se determina comparando
los datos de la muestra con las especificaciones
264
Capacidad a partir
de cartas de control
265
EN CASOS ESPECIALES COMO ESTOS
DONDE LAS VARIACIONES PRESENTES SON
TOTALMENTE INESPERADAS
TENEMOSUN PROCESO INESTABLE o “IMPREDECIBLE”.?
?
?
?
?
?
?
266
Bases del CEP
SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES,
SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO “ESTABLE”.
LA DISTRIBUCION SERA “PREDECIBLE” EN EL TIEMPO
Predicción
Tiempo
267
Control y Capacidad de Proceso
Control de Proceso:
Cuando la única fuente de variación es normal o de causa común,
se dice que el proceso esta operando en “CONTROL”.
Capacidad de Proceso:
Medición estadística de las variaciones de causa común que son
demostradas por un proceso. Un proceso es capaz cuando
la causa común de variación cae dentro de las especificaciones
del cliente.
La capacidad no se puede determinar a menos que
el proceso se encuentre en Control y Estable.
268
Proceso en Control Estadístico
La distribución de la mayoría de las características medidas forman una curva en
forma de campana o normal, si no hay causas especiales presentes, que alteren
la normalidad . ¿cuales son las causas comunes?|
Area entre 0 y 1s
-Probabilidad de Ocurrencia
Distribución
del Proceso
x
_
x= media
34%
34%
14 %
-3s
-2s
-1s
2%
s= sigma; es la
desviación
estándar;
medida
de la variación
del proceso.
14 %
x
+1s +2s
99.73%
3s
2%
269
Ejemplo de carta de control X-R
X ba r -R C ha r t o f P ul s e 1
90
S a m p le M e a n
U C L= 8 6 . 8 4
80
_
_
X= 7 2 . 6 9
70
60
LC L= 5 8 . 5 3
2
4
6
8
10
12
14
16
18
S a m p le
U C L= 5 1 . 8 9
S a m p le R a n g e
48
36
_
R = 24.54
24
12
0
LC L= 0
2
4
6
8
10
S a m p le
12
14
16
18
270
Estudios de capacidad
Desviación estándar:

Si el proceso sigue una distribución normal y está en
control estadístico, entonces la desviación estándar
puede ser estimada de:
R 

R
d2
Para procesos nuevos, se puede estimar la capacidad
del proceso de una producción piloto
271
Desviación Estándar del proceso
 =R
d2
o
 =S
c4
Donde,
 = Desviación estándar de la población
d2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X R
C4 = Idem al anterior para una carta X - S
NOTA: En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango
Medio= Suma rangos / (n -1)
272
Capacidad de proceso
Cuando las causas comunes son la única variación:
Cp
El índice de capacidad potencial del proceso compara
la amplitud del proceso con la amplitud especificada.
Cp = (LSE - LIE) / 6 
Cpk
El índice de capacidad real del proceso compara la media
real con el límite de especificaciones más cercano (LE) a esta.
Cpk = LE – Xmedia Cpk = menor |Z1 ; Z2| / 3
3
273
Ejemplo (carta X - R)
De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo
siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con
causas comunes:
Xmedia de medias = 264.06
Rmedio = 77.3
Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
 = X media de medias
33.23
 = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 =
[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]
Si el límite de especificación es: LIE = 200.
El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no
cumple con las especificaciones
274
Ejemplo (carta X - S)
De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo
siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con
causas comunes:
Xmedia de medias = 100
Smedio = 1.05
Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
 = X media de medias
1.117
 = Smedio / C4 = 1.05 / 0.94 =
[ C4 para n = 5 tiene el valor 0.94 ]
Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105.
El Cpk = (105 - 100) / (1.117 ) (3) = 1.492
El Cp = (105 - 85) / 6 (1.117 ) = 2.984
por tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones
275
Ejercicios
1) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 8) se
obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó
quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46):
Xmedia de medias = 40
Rmedio = 5
2) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 6) se
obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó
quedando sólo con causas comunes (LIE = 15, LSE = 23):
Xmedia de medias = 20
Smedio = 1.5
276
V.F.2 Índices de desempeño del
proceso
277
Estimación de la desviación estándar
con el proceso a largo plazo
Se toman todos los datos del proceso históricos, no importa que
el proceso no esté en control o no sea normal.
n
 ( Xi  X )
2
i 1
Desv. Est. lt =
(Overall)
 lt 
n 1
4 ( n  1)

S
C4

Desvest ( datos )
C4
4n  3
278
Índices de desempeño Potencial
del proceso – Largo plazo
El índice de desempeño potencial del Proceso (Pp) mide la
variación del proceso en relación con el rango de Especificación.
Pp =
LSE - LIE
Tolerancia
=
Variación del proceso 6 Desviaciones Estándar - lt
La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le
indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del
proceso.
CR =
Rango del proceso
Tolerancia
=
6 desviaciones Est. - lt
LSE - LIE
279
Índice de desempeño real del
proceso – largo plazo
Ppk es una medida del desempeño real del proceso en función de la
posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites
de especificación.
Con límites bilaterales da una indicación del centrado.
Es el menor de:
Ppk =
LSE - promedio del proceso Promedio del proceso - LIE
y
3 desviaciones est. - lt
3 desviaciones Estándar - lt
280
Cálculo del desempeño del
proceso a lago plazo
Índice de desempeño potencial
Pp = (LSE - LIE ) / 6 lt
Debe ser  1 de preferencia >1.33
para tener el potencial de
cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Índice de desempeño real
El Ppk debe ser  1 para que el
proceso cumpla especificaciones
de preferencia > 1.33
Ppk = Menor | ZI y ZS | / 3
281
IIIF.3 Capacidad a corto
y a largo plazo
282
Corto y largo plazos


Corto plazo:
 Es un periodo corto de tiempo en el cual no hay
cambios significativos en el proceso en relación a
las 6M’s (personal, materiales, métodos, medio
ambiente, mediciones, máquinas)
Largo Plazo
 Es el periodo de tiempo en el cual ya han ocurrido
todos los cambios posibles en el proceso, se trata
de información histórica
283
Carta de corridas cortas



Se puede utilizar una carta X-R modificada para
corridas cortas, con base en subgrupos de 3 a 10
piezas.
Inicialmente se utilizan A2 y D4 para calcular los
límites de control que se modifican al tomar más
puntos
El Cpk calcualdo de esta forma se considera
preliminar
284
Corto y largo plazos


Los índices de capacidad del proceso Cp y Cpk se
consideran a corto plazo, cuando no se presentan
cambios en el proceso (en las 6 M’s)
Los índices de desempeño Pp y Ppk se consideran a
largo plazo con datos históricos cuando ya han
sucedido todos los cambios en el proceso
285
V.F.4 Análisis de la Capacidad de
procesos no normales
286
Procesos no normales


Los datos no siempre se ajustan a la distribución
normal.
Se tienen dos estrategias para transformar los datos
no normales para lograr un comportamiento normal,
la de Box Cox y Johnson
287
Transformación de Box Cox



Minitab encuentra una transformación óptima (W =
Y**Lamda)
Está limitada a datos positivos . Asume que los datos
están en subgrupos para permitir un análisis “dentro
del subgrupo”
La transformación de potencia de Box-Cox dada por:
x 1
2
x ( ) 

;   0
x (  )  ln(  ) ;   0
288
Procesos no normales

Dadas las observaciones X1, X2, X3,….., Xn,
seleccionar la potencia  que maximice el logaritmo
de la función de máxima verosimilitud
n
 n ( x i (  )  x (  )) 2 
f ( x )  ln  
  (   1)  ln( x i )
2  i 1
n
i 1

n

Con la media aritmética de los datos transformados
dada por:
1 n
x ( )   x i ( )
n i 1
289
Capacidad de procesos no normales
transformando datos con Box - Cox
Con archivo de Minitab TILES.MTW, lamda = 0.5

Box-Cox Plot of Warping
Lower C L
Upper C L
Lambda
20
(using 95.0% confidence)
StDev
15
Estimate
0.345504
Lower C L
Upper C L
0.052120
0.642093
Best Value
0.500000
10
5
Limit
0
-2
-1
0
1
2
Lambda
3
4
5
290
Capacidad de procesos no normales
transformando datos con Box - Cox

Con la raíz cuadrada de los datos y de los límites de
especificaciones se tiene:
Process Capability of Transf
LSL
USL
P rocess D ata
LS L
0.00000
T arget
*
USL
2.82843
S ample M ean
1.62374
S ample N
100
S tD ev (Within)
0.51337
S tD ev (O v erall) 0.53934
W ithin
O v erall
P otential (Within) C apability
Cp
0.92
C PL
1.05
C PU
0.78
C pk
0.78
C C pk
0.92
O v erall C apability
Pp
PPL
PPU
P pk
C pm
0.0
O bserv ed P erformance
P P M < LS L
0.00
P P M > U S L 20000.00
P P M T otal
20000.00
0.4
0.8
E xp. Within P erformance
P P M < LS L
781.08
PPM > USL
9472.66
P P M T otal
10253.74
1.2
1.6
2.0
2.4
E xp. O v erall P erformance
P P M < LS L
1303.73
PPM > USL
12754.26
P P M T otal
14057.99
0.87
1.00
0.74
0.74
*
2.8
291
Transformación de Johnson

Minitab selecciona la función de transformación de
tres tipos de funciones (SB, SL y SU), para tener
muchas opciones
292
Transformación de Johnson
Con archivo Tiles.mtw
Johnson Transformation for Warping
N
100
AD
1.028
P-Value 0.010
99
90
50
10
1
0.1
-5
0
5
Select a T r ansfor mation
P-Value for A D test
P r obability P lot for O r iginal Data
99.9
Percent
Warping Transf
1.60103 -0.59006
0.84326 -1.2498
3.00679 0.194749
1.29923 -0.81675
2.24237 -0.19365
2.63579 0.014173
0.34093 -2.02042
6.96534 1.975802
3.46645 0.404347
1.41079 -0.72885
Etc.
Etc.
0.6
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Ref P
0.8
Z Value
(P-Value = 0.005 means <= 0.005)
10
0.2
0.4
0.6
1.0
1.2
P r obability P lot for T r ansfor med Data
99.9
N
100
AD
0.231
P-Value 0.799
99
90
Percent

50
P -V alue for Best F it: 0.798895
Z for Best F it: 0.6
Best Transformation Ty pe: S B
Transformation function equals
0.882908 + 0.987049 * Ln( ( X + 0.132606 ) / ( 9.31101 - X ) )
10
1
0.1
-2
0
2
4
293
Capacidad con distribuciones
diferentes a la normal
Se pueden utilizar otras distribuciones que ajusten a
los datos no normales para determinar el Pp y el Ppk
Probability Plot for Warping
LSXY Estimates-Complete Data
C orrelation C oefficient
Weibull
0.994
Lognormal
0.978
E xponential
*
N ormal
0.978
Lognormal
99.9
99.9
90
99
50
90
P er cent
P er cent
Weibull
10
1
50
10
1
0.1
0.1
1.0
War ping
0.1
0.1
10.0
1.0
War ping
E xponential
10.0
N ormal
99.9
99.9
90
99
50
90
P er cent
P er cent

10
1
50
10
1
0.1
0.001
0.010
0.100
1.000
War ping
10.000
0.1
0
5
War ping
10
294
Capacidad de procesos no normales
usando la distribución de Weibull

Con archivo de Minitab TILES.MTW
Process Capability of Warping
Calculations Based on Weibull Distribution Model
LSL
USL
P rocess D ata
LS L
0.00000
Target
*
USL
8.00000
S ample M ean 2.92307
S ample N
100
S hape
1.69368
S cale
3.27812
O v erall C apability
Pp
0.81
PPL
1.03
PPU
0.73
P pk
0.73
E xp. O v erall P erformance
P P M < LS L
0.0
P P M > U S L 10764.5
P P M Total
10764.5
O bserv ed P erformance
P P M < LS L
0
P P M > U S L 20000
P P M Total
20000
0.0
1.5
3.0
4.5
6.0
7.5
295
Capacidad de procesos por Pearson
• Independientemente de si los datos siguen una distribución
normal o no, se pueden calcular los índices de capacidad y
habilidad de proceso determinando los valores de los
“Percentiles” o “límites de control” equivalentes a un área bajo
la curva de 0.135% de cada lado de la misma.
• Este método ha sido propuesto por Clements (1989) con base
en las curvas de Karl Pearson (1893), para ello, es necesario
caracterizar la curva de distribución de acuerdo a su posición
(Media), dispersión (Desviación Estándar) y forma (Grado de
asimetría mediante el Sesgo y grado de “achatamiento” o
Kurtosis).
296
Capacidad de procesos por Pearson
Procedimiento :

Identificar los límites de especificación de la variable
de interés (LSE, LIE)

Calcular la Media (Y).

Calcular la Desviación estándar (s ó s)

Calcular el coeficiente de sesgo (a3)

Calcular el coeficiente de Kurtosis

Pi’ se determina de la tabla 1ª y Ps’ de la 1b
297
Capacidad de procesos por Pearson
Cálculo del sesgo:
Donde : momento 3 = m3 = (S(yi – y)3)/n
O bien :
a3 =
a3 > 0
n
.
(n-1)(n-2)
n
(
S
i=1
a3 = 0
yi – y
s
3
)
a3 < 0
298
Capacidad de procesos por Pearson
Calcular el coeficiente de curtosis (a4 -3)
a4 = m4 / 4
Donde : momento 4 = m4 = (S(yi – y)4)/n
O bien :
{
a4-3 =
n (n+1) .
(n-1)(n-2)(n-3)
n
(
S
i=1
yi – y
s
4
)} -
3 (n-1)2 .
(n-2)(n-3)
Curva Leptocúrtica : a4 > 3
Curva Mesocúrtica : a4 = 3
Curva Platicúrtica : a4 < 3
299
Con Minitab
Stat > Basic Statistics > Display descriptive statistics
>> Graphs... >> Graphical Summary

Descriptive Statistics
Variable: Dist.1
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared:
P-Value:
0.40
0.55
0.70
0.85
1.00
95% Confidence Interval for Mu
3.073
0.000
Mean
StDev
Variance
Skewness
Kurtosis
N
0.543699
0.146490
2.15E-02
1.44751
2.48515
96
Minimum
1st Quartile
Median
3rd Quartile
Maximum
0.34483
0.45455
0.51316
0.58824
1.11111
95% Confidence Interval for Mu
0.51402
0.48
0.53
0.58
0.57338
95% Confidence Interval for Sigma
0.12829
0.17075
95% Confidence Interval for Median
95% Confidence Interval for Median
0.47619
0.52875
300
Con Minitab
De la tabla 2 de las curvas de Pearson obtenga
la Mediana estandarizada (M’) :
Para coeficiente de sesgo positivo cambie el signo a M’.
Para coeficiente de sesgo negativo deje el signo de M’.
Calcular el percentil 0.135 estimado (PI) :
PI = y – s * PI’
Calcular percentil 99.865 estimado (PS) :
PS = y + s * PS’
Calcular la Mediana estimada (M) :
M = y + s * M’
301
Con Minitab
Calcular el índice de capacidad potencial de proceso (Pp).
LSE
LIE
Pp =
PS - PI
Calcular el índice de habilidad del proceso (Ppk)
Ppi = M - LIE
M - PI
Pps = LSE – M
PS - M
Ppk = min {Ppi, Pps}
302
Sesgo
Curtosis
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
8.0
8.2
8.4
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
9.8
10.0
10.2
10.4
10.6
10.8
11.0
11.2
11.4
11.6
11.8
12.0
12.2
Sesgo
0.0
1.512
1.727
1.966
2.210
2.442
2.653
2.839
3.000
3.140
3.261
3.366
3.458
3.539
3.611
3.674
3.731
3.782
3.828
3.870
3.908
3.943
3.975
4.004
4.031
4.056
4.079
4.101
4.121
4.140
4.157
4.174
4.189
4.204
4.218
4.231
4.243
4.255
4.266
4.276
4.286
4.296
4.305
4.313
4.322
4.330
4.337
4.344
4.351
4.358
4.365
4.371
4.377
4.382
4.388
4.393
4.398
4.403
4.408
0.1
1.421
1.619
1.840
2.072
2.298
2.506
2.692
2.856
2.986
3.088
3.164
3.222
3.266
3.300
3.327
3.349
3.367
3.382
3.395
3.405
3.415
3.423
3.430
3.436
3.441
3.446
3.450
3.454
3.458
3.461
3.464
3.466
3.469
3.471
3.473
3.475
3.477
3.478
3.480
3.481
3.483
3.484
3.485
3.486
3.487
3.488
3.489
3.490
3.491
3.492
3.492
3.493
3.494
3.495
3.495
3.496
3.496
3.497
0.2
1.317
1.496
1.696
1.912
2.129
2.335
2.522
2.689
2.834
2.952
3.045
3.118
3.174
3.218
3.254
3.282
3.306
3.325
3.342
3.356
3.367
3.378
3.387
3.395
3.402
3.408
3.414
3.419
3.423
3.428
3.431
3.435
3.438
3.441
3.444
3.446
3.448
3.451
3.453
3.454
3.456
3.458
3.459
3.461
3.462
3.464
3.465
3.466
3.467
3.468
3.469
3.470
3.471
3.472
3.473
3.473
3.474
3.475
0.3
1.206
1.364
1.541
1.736
1.941
2.141
2.329
2.500
2.653
2.785
2.896
2.986
3.058
3.115
3.161
3.199
3.229
3.255
3.277
3.295
3.311
3.324
3.326
3.346
3.356
3.364
3.371
3.378
3.384
3.389
3.394
3.399
3.403
3.406
3.410
3.413
3.416
3.419
3.422
3.424
3.426
3.429
3.431
3.432
3.434
3.436
3.437
3.439
3.440
3.442
3.443
3.444
3.445
3.447
3.448
3.449
3.450
3.451
0.4
1.092
1.230
1.384
1.555
1.740
1.930
2.116
2.289
2.447
2.589
2.714
2.821
2.910
2.983
3.043
3.092
3.133
3.167
3.196
3.220
3.241
3.259
3.274
3.288
3.300
3.311
3.321
3.329
3.337
3.344
3.350
3.356
3.362
3.367
3.371
3.375
3.379
3.383
3.386
3.389
3.392
3.395
3.398
3.400
3.403
3.405
3.407
3.409
3.411
3.412
3.414
3.416
3.417
3.418
3.420
3.421
3.422
3.424
3.425
0.5
0.979
1.100
1.232
1.377
1.539
1.711
1.887
2.059
2.220
2.368
2.502
2.622
2.727
2.817
2.893
2.957
3.011
3.055
3.093
3.126
3.153
3.177
3.198
3.216
3.233
3.247
3.259
3.271
3.281
3.290
3.299
3.306
3.313
3.320
3.326
3.331
3.336
3.341
3.345
3.349
3.353
3.357
3.360
3.363
3.366
3.369
3.372
3.374
3.377
3.379
3.381
3.383
3.385
3.387
3.388
3.390
3.392
3.393
3.395
3.396
0.6
0.868
0.975
1.089
1.212
1.348
1.496
1.655
1.817
1.976
2.127
2.267
2.396
2.512
2.616
2.708
2..787
2.855
2.914
2.964
3.006
3.043
3.075
3.103
3.127
3.149
3.168
3.184
3.200
3.213
3.225
3.236
3.246
3.256
3.264
3.272
3.279
3.286
3.292
3.297
3.303
3.308
3.312
3.316
3.321
3.324
3.328
3.331
3.335
3.338
3.340
3.343
3.346
3.348
3.351
3.353
3.355
3.357
3.359
3.361
3.363
3.364
0.7
0.762
0.858
0.957
1.062
1.175
1.299
1.434
1.578
1.726
1.873
2.015
2.148
2.271
2.385
2.488
2.581
2.664
2.736
2.800
2.855
2.904
2.946
2.983
3.015
3.043
3.069
3.091
3.111
3.129
3.145
3.160
3.173
3.186
3.197
3.207
3.216
3.225
3.233
3.240
3.247
3.254
3.260
3.265
3.270
3.275
3.280
3.284
3.289
3.292
3.296
3.300
3.303
3.306
3.309
3.312
3.315
3.317
3.320
3.322
3.325
3.327
3.329
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.747
0.836
0.927
1.023
1.125
1.235
1.356
1.485
1.619
1.754
1.887
2.013
2.132
2.243
2.345
2.438
2.524
2.600
2.669
2.730
2.784
2.831
2.874
2.911
2.945
2.974
3.001
3.025
3.047
3.066
3.084
3.100
3.114
3.128
3.140
3.152
3.162
3.172
3.181
3.189
3.197
3.204
3.211
3.218
3.224
3.229
3.235
3.240
3.244
3.249
3.253
3.257
3.261
3.265
3.268
3.272
3.275
3.278
3.281
3.283
3.286
3.289
0.8
0.9
1.0
0.804
0.887
0.974
1.065
1.163
1.269
1.382
1.502
1.625
1.748
1.876
1.981
2.089
2.189
2.283
2.369
2.448
2.521
2.586
2.646
2.699
2.747
2.790
2.829
2.864
2.895
2.923
2.949
2.972
2.994
3.013
3.031
3.047
3.062
3.076
3.089
3.100
3.111
3.122
3.131
3.140
3.148
3.156
3.164
3.171
3.177
3.183
3.189
3.195
3.200
3.205
3.209
3.214
3.218
3.222
3.226
3.230
3.233
3.237
3.240
3.243
0.692
0.766
0.841
0.919
1.000
1.086
1.178
1.277
1.381
1.491
1.602
1.713
1.821
1.925
2.023
2.116
2.202
2.283
2.358
2.427
2.491
2.549
2.602
2.651
2.695
2.735
2.771
2.805
2.835
2.863
2.888
2.911
2.933
2.952
2.970
2.987
3.003
3.017
3.030
3.043
3.054
3.065
3.075
3.085
3.094
3.103
3.111
3.118
3.125
3.132
3.138
3.144
3.150
3.156
3.161
3.166
3.171
3.175
3.179
3.184
3.188
3.191
3.195
0.9
1.0
Curtosis
1.1
0.656
0.723
0.791
0.861
0.933
1.008
1.087
1.172
1.262
1.357
1.456
1.556
1.664
1.755
1.850
1.940
2.026
2.107
2.183
2.254
2.321
2.383
2.440
2.494
2.543
2.588
2.629
2.668
2.703
2.735
2.765
2.793
2.818
2.841
2.863
2.883
2.902
2.919
2.936
2.951
2.965
2.978
2.990
3.002
3.013
3.023
3.033
3.042
3.051
3.059
3.067
3.075
3.082
3.088
3.095
3.101
3.107
3.112
3.118
3.123
3.128
3.132
3.137
3.141
1.1
1.2
0.616
0.677
0.739
0.801
0.865
0.931
1.000
1.072
1.149
1.230
1.316
1.404
1.494
1.584
1.673
1.760
1.844
1.924
2.000
2.072
2.140
2.205
2.265
2.321
2.374
2.424
2.470
2.513
2.562
2.589
2.624
2.656
2.685
2.713
2.739
2.763
2.785
2.806
2.825
2.843
2.860
2.876
2.891
2.906
2.919
2.932
2.943
2.955
2.965
2.975
2.985
2.994
3.003
3.011
3.019
3.026
3.033
3.040
3.046
3.053
3.058
3.064
3.070
3.075
1.2
1.3
0.574
0.630
0.686
0.742
0.799
0.857
0.917
0.979
1.045
1.113
1.185
1.261
1.339
1.420
1.501
1.581
1.661
1.738
1.813
1.884
1.953
2.018
2.080
2.138
2.194
2.246
2.296
2.342
2.386
2.427
2.465
2.501
2.535
2.567
2.597
2.624
2.651
2.675
2.698
2.720
2.740
2.759
2.777
2.794
2.810
2.825
2.839
2.853
2.866
2.878
2.890
2.901
2.911
2.921
2.930
2.940
2.948
2.956
2.964
2.972
2.979
2.986
2.993
1.3
Tabla 1a de Pearson
1.4
0.531
0.583
0.634
0.685
0.736
0.787
0.840
0.894
0.950
1.008
1.068
1.132
1.198
1.267
1.338
1.410
1.483
1.555
1.626
1.695
1.762
1.827
1.889
1.948
2.005
2.059
2.111
2.160
2.206
2.250
2.292
2.332
2.369
2.405
2.438
2.469
2.499
2.527
2.554
2.579
2.603
2.625
2.646
2.666
2.685
2.703
2.720
2.736
2.752
2.766
2.780
2.793
2.806
2.818
2.829
2.840
2.851
2.861
2.870
2.879
2.888
2.896
1.4
1.5
0.536
0.583
0.629
0.675
0.721
0.768
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0.863
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4.978
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5.156
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5.164
5.166
5.169
5.171
5.173
0.9
1.0
Curtosis
1.1
1.885
2.114
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2.970
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1.1
1.2
1.928
2.152
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5.322
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
Tabla 1b de Pearson
1.952
2.169
2.412
2.687
2.984
3.283
3.561
3.808
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Sesgo
Curtosis
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12.2
Sesgo
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0.020
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0.019
0.019
0.019
0.019
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1.0
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0.069
0.069
0.068
0.9
1.0
Curtosis
1.1
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0.080
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0.078
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0.076
1.1
1.2
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0.085
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1.2
1.3
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0.093
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
Tabla 2 de Pearson
0.531
0.582
0.607
0.579
0.527
0.474
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1.7
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1.8
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0.506
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0.415
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0.317
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0.175
0.173
0.171
0.169
0.168
0.166
0.165
0.163
1.9
0.445
0.475
0.503
0.522
0.530
0.525
0.513
0.495
0.475
0.495
0.435
0.416
0.399
0.382
0.367
0.353
0.340
0.328
0.317
0.307
0.298
0.289
0.281
0.273
0.267
0.260
0.254
0.249
0.243
0.238
0.234
0.229
0.225
0.221
0.218
0.214
0.211
0.208
0.205
0.202
0.200
0.197
0.195
0.192
0.190
0.188
0.186
0.184
0.182
0.181
0.179
2.0
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
8.0
8.2
8.4
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
9.8
10.0
10.2
10.4
10.6
10.8
11.0
11.2
11.4
11.6
11.8
12.0
12.2
Índices de desemepeño
Procedimiento :
 Obtener el índice de capacidad potencial de proceso a corto
plazo (Cp) y el índice de capacidad real de proceso a largo plazo
(Ppk).
 Calcular el índice de desempeño potencial de proceso (Zcp).
Zst = 3 Cp (P/especif. Bilaterales)
Zst = 3 Cpk (P/especif. Unilaterales)
 Calcular el índice de desempeño real de proceso (Zlp):
Zlt = 3 Ppk
 Calcule el índice de desempeño entre grupos (Zshift):
Zshift = Zst - Zlt
Índices de desempeño
Analice la información; se consideran como valores
aceptables los siguientes:
Zlt > 3 ; Zst > 4 ; Zshift < 1.5
Control
2.0
1.0
0.0
Bueno
Zshift
Control
3.0
Zshift Malo

0.0
2.0
Zst
4.0
6.0
Capacidad/Diseño/Tecnología
3.0
2.0
Pobre
capacidad
1.0
0.0
Pobre
control
Pobre control y
pobre capacidad
0.0
Malo
2.0
Zst
Estado
deseado
4.0
6.0
Bueno
Capacidad/Diseño/Tecnología
V.F.5 Capacidad de procesos por
atributos
308
Capacidad de proceso
para datos por atributos




En este caso la capacidad del proceso es la proporción
media de producto no conforme
Para cartas p y np, la capacidad del proceso es la p media
de fracción no conforme. Se puede usar 1 – p.
Para cartas c, la capacidad del proceso es el promedio de
las no conformidades, c media, para una muestra fija de
tamaño n.
Para cartas u, la capacidad del proceso es el promedio de
las no conformidades por unidad, u media
309
V.E.6 Capacidad de procesos
bajo Seis Sigma
310
Capacidad de procesos
bajo Seis Sigma

Motorola notó que muchas operaciones en productos
complejos tendían a desplazarse 1.5  sobre el
tiempo, por tanto un proceso de  6  a la larga
tendrá 4.5  hacia uno de los límites de
especificación, generando 3.4 DPMOs (defectos por
millón de oportunidades)
311
Variación a Corto Plazo
(periodo durante el cual no se
presenta ningún cambio en el
proceso)
Zst = Zlt + 1.5
Variación a largo plazo
(periodo en el cual ya se
han presentado todos los
cambios posibles en el
proceso) - Zlt
Variación Global - Zbench.
312
Capacidad en el corto y largo plazo
LIE
LSE
Capacidad a
Corto Plazo
3.5
Salida2.5
1.5
Mes
Variabilidad
Total
(Natural)
E F M AM J J A S O ND E F MA MJ J A SO N D
Variabilidad
= “entre
subgrupos”
+
Variabilidad combinada
“dentro del subgrupo”
Capacidad a
Largo Plazo
313
Rendimiento de la capacidad real
Recibo de partes
del proveedor
95.5% de rendimiento
1,000,000 unidades
Después de la
inspección de recepción
97%
de rendimiento
De las operaciones
45,000
Unidades
desperdiciadas
de Maquinado
28,650
Unidades
desperdiciadas
94.4% de
51,876
Unidades
desperdiciadas
YRT = .955*.97*.944 =
87.4%
125,526 unidades desperdiciadas
por millón de oportunidades
En los puestos
rendimiento
de prueba 1er intento
Correcto la
primera
vez
314
Ejemplos de defectos / unidad
Determinar DPU en la producción de 100 unidades
Defectos
20
10
12
4
Unidades
70
20
6
4
DPU = D/U = (20+10+12+4)/100=0.46
Si cada unidad tiene 6 oportunidades para defecto
(características A, B, C, D, E y F), calcular DPO y DPMO
DPO = DPU / O = 0.46/6 = 0.078 DPMO = 78,333
315
Relaciones de sigmas

La probabilidad de uno o más defectos es:
P(d) = 1- Yrt = 1 – FPY o P(d) = 1 – Yrt para varios
procesos
Si se tiene FPY = 95%  P(d) = 0.05
Entonces la Z a largo plazo se encuentra en tablas
como Zlt = 1.645 sigma y por tanto la Zst a corto
plazo es:
Zst = 1.645 + 1.5 (corrimiento) = 3.145
316
¿Como calcular la capacidad Seis Sigma para un
proceso (equivale a la Zst de corto plazo)?









¿Qué proceso se considera?
¿Cuántas unidades tiene el proceso?
¿Cuántas están libres de defectos?
Facturación y CxC
1,283
1,138
Calcular el desempeño del proceso
Calcular la tasa de defectos
1138/1283=0.887
1 - 0.887 = 0.113
Determinar el número de oportunidades
que pueden ocasionar un defecto (CTQs)
24
Calcular la tasa de defecto por caract. CTQ
0.113 / 24 = .004709
Calcular los defectos x millón de oportunidades
DPMO = 4,709
Calcular #sigmas con tabla de conversión de sigma 4.1
317
Planta escondida
100 Y =0.90 90 Y =0.90 81 Y =0.90 73 Y =0.90 66
1
2
3
3
10
100
$1/Unit
Rework 10
9
100
$1/Unit
8
100
Rework 10
$1/Unit
7
100
Rework 10
100
$1/Unit
Rework
10
318
La eficiencia rolada
100
$1/Unit
Reproceso
YRT =
n
10
100
100
$1/Unit
Reproceso
10
$1/Unit
Reproceso
p Yi = 0.9 x 0.9 x 0.9 x 0.9 = 0.9
4=
100
10
$1/Unit
Reproceso
100
10
66/100 = 0.66 = 66%
i=1
Aproximando de Binomial a Poisson :
YRT = e- DPU = e- (40/100) = e- 0.4 = 0.67 = 67%
1 – YRT = Probabilidad de un defecto/unidad = 1 – 0.67 = 0.33 = 33%
1 + (1 – YRT) = Numero de unidades equivalentes iniciadas para
producir una unidad buena = 1 + (1 - 0.67) = 1.33
319
Costos de pobre calidad
100
$1/Unit
Rework
10
100
100
$1/Unit
Rework
10
$1/Unit
Rework
100
10
$1/Unit
Rework
100
10
Considerando :
• No existe scrap ni costos de inventarios
• Precio de Ventas = $5.00/Unidad
Por lo tanto :
• Como el número de unidades equivalentes iniciadas para producir una unida
buena = 1.33
• Costo de producir una unidad buena = 1.33*$4 = $5.32
• Utilidades = $5.00 - $5.32 = -$0.32/Unidad
• COPQ = ($5.32-$4.00)/$5.00 = 26.4% de las ventas
320
Eficiencias y DPMOs PPMs
El desempeño de un proceso también puede ser
expresado en términos de eficiencia. Las 3 eficiencias
más usadas son :
 Eficiencia de primer paso (bien a la primera vez),
eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)

Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield” (YRT)

Eficiencia Normalizada (Ynorm)
321
Eficiencias y DPMOs PPMs

Eficiencia de primer paso (bien a la primera vez),
eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)
Yfinal =
Número de unidades buenas antes de retrabajo
Número de unidades probadas ó evaluadas
322
Eficiencias y DPMOs PPMs

E
Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield” (YRT)
Y1=S1/E
Para datos
continuos :
S1
Y2=S2/S1
S2
Y3=S3/S2
S3
Sn-1
.....
Yn=Sn/Sn-1
Sn
YRT = p Yi = Y1 x Y2 x Y3 x....x Yn
n
i=1
Donde : Y1, Y2, Y3,...., Yn son “first time Yield” de los pasos 1, 2,
3,...,n
Para datos discretos (Aproximación de Binomial a Poisson) :
Donde :
-TDPU
YRT = e
e = 2.71828182845
m
YRT = e-(DPO)
m = Número de oportunidades por
unidad
323
Eficiencias y DPMOs PPMs
Cálculo de la Eficiencia Normalizada (Ynorm) :

Eficiencia Normalizada (Ynorm)
Ynorm = (YRT)1/k
Cálculo de DPU a partir de la Eficiencia :
DPU = 1 - Y
Eficiencia a partir de PPM’s :
Y = 1 – (PPM/1’000,000)
324
Relaciones con el rendimiento Y

La probabilidad de encontrar X defectos con la
distribución de Poisson es:

X es un entero y DPU > 0
Para el caso de que X sea cero se tiene

Rendimiento o FRC = P(X=0) = Exp(-DPU)

325
Fórmulas de desempeño
326
Rolled Troughput Yield (Yrt)


Yrt es el cálculo acumulativo del índice de defectos a
lo largo de procesos múltiples
La probabilidad de un defecto es 1 – P(Yrt) = 0.05
327
Tablero de control
de variable discreta
Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un
CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.



Defina el defecto, la unidad y el número de
oportunidades por unidad
Defina que es un corto plazo
Evalúe el desempeño en DPMO y Z del CTQ en varios
(k) cortos plazos
328
Tablero de control
de variable discreta

Evalúe el desempeño en DPMO del largo plazo,
considerando lo siguiente
k
Dlt = S Dsti
Donde :
i=1
Dlt = Defectos de largo plazo
k
TotOplt = S [Ui*(Op/U)i ] Dst = Defectos de corto plazo
i=1
U = Número de unidades
DPMOlt =
Dlt . * 106
Op/U = Oportunidades por unidad
TotOplt
TotOp = Total de oportunidades
DPMOlt = Defectos por Millón de Oportunidades
k = Número total de características críticas
329
Tablero de control
de variable discreta



Con los DPMOlt evalúe la Zlt
Identifique la Z de corto plazo más pequeña y ésta
será la Zst
Calcule la Zshift considerando que :
Zshift = Zst - Zlt
330
Tablero de control
de variable continua
Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un
CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.
 Determine la variable y los Límites de Especificación



Defina que es un periodo de tiempo
Recolecte datos de cada periodo y calcule la
desviación estándar de Corto plazo (Sst) y las PPM’s
de cada periodo de tiempo
Calcule la Zst y Zlt de cada periodo de tiempo
331
Tablero de control
de variable discreta
Calcule la Sst total del CTQ mediante:

sst =
Donde : n = Número Total de Datos
nj = Número de datos del grupo j

2
(n
-1)
s
(n-g)
sj = Desviación Estándar del grupo j
j
j
j=1
g = Número de grupos
g


Calcule la Zst total del CTQ
Calcule los PPM’s totales mediante un promedio
ponderado
332
Tablero de control
de variable discreta
PPM = S ni PPMi
k
i=1


N
Donde : PPM = PPM Totales
PPMj = PPM’s del periodo i
ni = Número de datos del periodo i
N = Número total de datos
Con los PPM’s totales obtenga Zlt total del CTQ
Calcule la Zshift considerando que :
333
Tablero de control
de variable discreta



Con los DPMOlt evalúe la Zlt
Identifique la Z de corto plazo más pequeña y ésta
será la Zst
Calcule la Zshift considerando que :
Zshift = Zst - Zlt
334
Tablero de control
de variable múltiple
Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un
Producto, Proceso ó Sistema a partir del desempeño
de varios CTS’s, CTQ’s ó CTP’s

Defina el Producto, Proceso ó Sistema a evaluar


Identifique los CTS’s, CTQ’s ó CTP’s del Sistema a
evaluar
Evalúe de forma individual cada CTS, CTQ ó CTP en
términos de DPMOlt
335
Tablero de control
de variable múltiple
•
Calcule la eficiencia (Yftlt) de cada CTS, CTQ ó CTP
considerando que:
yftlti = 1 – DPMOlti
106
•
Donde :
yftlti = Eficiencia de la característica crítica i
DPMOlt = Defectos por Millón de Op. de la caract. i
i
Evalúe desempeño potencial de cada característica
crítica expresado en DPMOst, el cual se puede
obtener a partir de la Zst ó los menores DPMO que
el proceso ha demostrado generar a corto plazo.
336
Tablero de control
de variable múltiple
Calcule la eficiencia (yftst) de cada CTS, CTQ ó CTP considerando que :
yftsti = 1 – DPMOsti
106
Calcule las eficiencias roladas (YRT) de Corto (st) y largo plazo (lt) del
Producto, Proceso ó Sistema mediante :
k
YRTlt = P yftlti
i=1
k
YRTst = P yftsti
i=1
Donde :
YRTlt = Eficiencia rolada total del sistema
YRTst = Eficiencia rolada potencial del sistema
yftlti = Eficiencia de la característica crítica i
yftsti = Eficiencia potencial de la característica crítica
k = Número total de características
337
Tablero de control
de variable múltiple
Calcule la Eficiencia Normalizada (ynorm) de corto (st) y largo plazo (lt) :
Ynormst = (YRTst)1/k
Ynormlt = (YRTlt)1/k
En caso de que cada Característica Crítica tenga un diferente nivel de
importancia, entonces la Eficiencia Normalizada se puede obtener
ponderando las eficiencias de cada Característica usando la siguiente
fórmula :
(1/SIi)
Ynorm = (d1I1) x (d2I2) x … x (dnIn)
I es la importancia. La característica crítica con mayor valor
de I es ponderado con mayor peso al calcular el valor total
compuesto Y
338
Tablero de control
de variable múltiple
• Calcule los DPMO totales del sistema mediante:
DPMOst = (1 – Ynormst)*106
DPMOlt = (1 – Ynormlt)*106
• Con los DPMOst obtenga la Zst, con los DPMOlt
obtenga la Zlt
 Calcule la Zshift del sistema mediante :
Zshift = Zst - Zlt
339

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