Document

Report
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA
1.
Definicijsko območje, zaloga vrednosti
2.
Naraščanje in padanje, ekstremi
3.
Ukrivljenost
4.
Trend na robu definicijskega območja
5.
Periodičnost in simetrije
MATEMATIKA 1
1
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Definicijsko območje in zaloga vrednosti
f (x) 
1 x
1 x
Z f  [0, )
1
D f  [1,1)
1
Definicijsko območje Df je ‘senca’ (tj. slika projekcije) grafa na osi x,
zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y.
MATEMATIKA 1
2
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Naraščanje in padanje funkcije
naraščajoča
padajoča
Pri stalni
temperaturi je
tlak padajoča
funkcija
prostornine.
MATEMATIKA 1
3
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Lokalno naraščanje in padanje funkcije
pri a je funkcija padajoča
a
b
pri b je funkcija naraščajoča
MATEMATIKA 1
4
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Globalni ekstremi
(globalni) maksimum
(globalni) minimum
MATEMATIKA 1
5
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Lokalni ekstremi
lokalni maksimum
ravnovesne lege so tipični
primeri lokalnih ekstremov
lokalni minimum
MATEMATIKA 1
6
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Konveksnost in konkavnost
Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in
konkavna, če se graf krivi navzdol.
konveksna
konkavna
konveksnost grafa ponazarja
pospeševanje procesa
MATEMATIKA 1
konkavnost grafa ponazarja
pojemanje procesa
7
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Prevoji
Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz
konveksne v konkavno, ali obratno.
Prevoj je točka, pri kateri proces preide
iz pospeševanja v zaviranje ali obratno.
MATEMATIKA 1
Kritična točka snovi je prevoj na
kritični izotermi.
8
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Asimptote
Vodoravna asimptota
npr. temperatura posode, ki se segreje le
do temperature vira
npr. dušeno nihanje
MATEMATIKA 1
9
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Linearna asimptota
Vsiljeno nihanje, asimptota je
sinusoida
MATEMATIKA 1
10
FUNKCIJE
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ
Periodičnost in simetrija
liha
soda
MATEMATIKA 1
11
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi
p( x)  x3  7 x 2  1
Racionalne funkcije
x 2  3x  5
Q( x)  3
x  x 1
Algebrajske funkcije
Eksponentne
in
logaritmske funkcije
Kotne
A( x) 
MATEMATIKA 1
x  5 x2  x
f ( x)  e 2 x  2e  x
g ( x)  ln( x  1  x 2 )
u ( x)  sin(2 x  1)  3cos( x  2 )
in
ločne funkcije
x  1  3 x2 1
v( x)  arcsin
1 x
1 x
w( x)  arctg(1  x 2 )
12
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih
operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.
Osnovne funkcije:
potence
koreni
MATEMATIKA 1
xn , n 
eksponentna
ex
x, n 
logaritemska
ln x
n
sinus
sin x
arkus sinus
arcsin x
arkus tangens
arctg x
13
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
Funkcije podane z grafom
Funkcija f:AB je predpis, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.
Krivulja v ravnini je graf neke
funkcije če jo vsaka navpična
premica seka največ enkrat.
MATEMATIKA 1
14
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
OBRATNE FUNKCIJE
f :AB
Praslika
Predpis b ↦
f -1(b)={a ∈ A| f(a)=b}
(množica rešitev enačbe
f(a)=b)
f -1(b) določa funkcijo, če imajo množice f -1(b) natanko en element za vse b∈B.
Tedaj je f bijektivna, predpis
f -1:BA, b ↦ f -1(b)
pa je obratna (inverzna) funkcija za f.
f je surjektivna, če imajo
f -1(b) vsaj en element.
f je injektivna, če imajo
f -1(b) največ en element.
Kadar funkcija ni bijektivna, lahko včasih zožimo njeno domeno
ali kodomeno in tako dobimo sorodno funkcijo, ki je bijektivna.
MATEMATIKA 1
15
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
EKSPONENTNA FUNKCIJA
injektivna
surjektivna
Zožimo kodomeno na (0,+).
exp: (0,+) je bijektivna.
Obratna funkcija je
exp-1=ln: (0,+)  
MATEMATIKA 1
16
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
TANGENS
injektivna
surjektivna
Zožitev
tg :   2 , 2  
je bijektivna.
Obratna funkcija
arc tg  tg 1 :
   2 , 2 
je strogo naraščajoča, ima
vodoravni asimptoti y=±π/2
MATEMATIKA 1
17
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
SINUS
injektivna
surjektivna
Zožitev
sin :   2 , 2   [1,1]
je bijektivna.

2
1


2
1

2
1
1

Obratna funkcija je
MATEMATIKA 1

2
arcsin  sin 1 :[1,1]    2 , 2 
18
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
f (x)  x  ex
f:

y  x  ex
je bijekcija
x  y  ey
Obratna funkcija
f 1 :

ni elementarna funkcija.
MATEMATIKA 1
19
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
FUNKCIJSKE ENAČBE, IMPLICITNE FUNKCIJE
F(x,y)=0
f : AB je rešitev funkcijske enačbe, če je F(x,y)
definirana za x ∈ A, y ∈ B in je F(x,f(x))=0 za vse x∈A.
Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno.
x 2  xy  y 2  3
 x  12  3x 2
f2 ( x ) 
2
MATEMATIKA 1
 x  12  3x 2
f1 ( x ) 
2
f1 , f 2 :[2, 2] 
20
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
x 4  3x 2 y 2  3y 4  1
Implicitna enačba določa funkcijo
na odseku med dvema
navpičnima tangentama
1
f1 ( x ) 
3x 
2
12  3x
6
4
f2 ( x ) 
f3 ( x )  
3x  12  3x
6
2
2b
3a
3b
3x 2  12  3x 4
6
4
f4 ( x )  
MATEMATIKA 1
2a
4
3x 2 
12  3x 4
6
21
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
ZAPOREDJA FUNKCIJ
f1 ( x )  x
x3
f2 (x )  x 
3
x3 x5
f3 ( x )  x 

3
5
x3 x5 x7
f4 (x )  x 


3
5
7
f ( x )  arctg( x )
Taylorjevi približki za funkcijo arctg(x)
MATEMATIKA 1
22
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
f1 ( x )  1.19  sin( x )
f 2 ( x )  1.19  sin x  0.38  sin 2 x  0.29  sin 3x
f3 ( x )  1.19  sin x  0.38  sin 2 x  0.29  sin 3x
 0.20  sin 4 x  0.16  sin 5x
f 4 ( x )  1.19  sin x  0.38  sin 2 x  0.29  sin 3x
 0.20  sin 4 x  0.16  sin 5x
 0.13  sin 6 x  0.12  sin 7 x
f ( x )  arctg( x )
Fourierjevi približki za funkcijo arctg(x)
MATEMATIKA 1
23

similar documents