Sistemas de ecuaciones lineales Prof. Adrian Sedano De La Cruz Método gráfico La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el método gráfico: Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan. Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema Solución x y 1 2x y 1 Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe: y 2x 1 y x 1 x 0 –1 x 0 2 y 1 0 y –1 3 Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe: y 3 (2, 3) 1 –1 0 –1 2 x El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es: x 2, y 3 Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema. Ejemplo 8 El sistema x 3y 1 tiene solución única. Observe: x 4y 8 y x 4y 8 2 (4, 1) 1 0 1 x 3y 1 2 4 x Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta. Ejemplo 10 El sistema y x 1 2 2x y 2 tiene infinidad de soluciones. Observe: y x y 1 2 0 1 2x y 2 2 x Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí. Ejemplo 11 El sistema y x 1 2 2x y 3 no tiene solución. Observe: y x y 1 2 1 x 0 -2 2x y 3 -3 Interpretación geométrica Cada ecuación representa una recta: - y - 2x + y = 8 . x + 2y = 7 2x + y = 8 El punto de corte es la única solución. Sistema compatible determinado (3,2) - x + 2y = 7 C.S. = {(3;2)} x Interpretación geométrica 2x + - y 4y = 14 x + 2y = 7 2x + 4y = 14 Rectas coincidentes: infinitas soluciones - x + 2y = 7 Sistema compatible indeterminado x C.S. = {(x;y) Є R2 / x + 2y = 7} Interpretación geométrica - y x + 2y = 7 2x + 4y = Rectas paralelas: x + 2y = 7 no admite solución. 8 Sistema Incompatible - C.S. = Ø 2x + 4y = 8 x CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES COMPATIBLE Determinado: solución única. Indeterminado : infinitas soluciones. INCOMPATIBLE CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO Sistemas de Ecuaciones Ejemplos: Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico 1) 2x y 5 x y 1 y Solución : 2 , 1 x 2x y 5 x y 1 11 Sistemas de Ecuaciones 2) x y 2 x y 0 y 4 x y 2 3 2 Solución : 1 , 1 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x5 -1 -2 x y 0 -3 -4 12 Sistemas de Ecuaciones x y 2 3) 2 x 2 y 0 Las dos líneas son paralelas, no tienen puntos de intersección. El conjunto de soluciones es vacío. y 4 3 2 C .S . 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x5 -1 -2 -3 -4 13 Sistemas de Ecuaciones x y 2 4) 2 x 2 y 4 y 4 3 x y 2 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x5 C .S . x , 2 x : x -1 -2 4 El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas. 2 x 2 y 4 -3 -4 14 x AÑOS ESTAMOS HECHOS UNOS JOVENCITOS . ENTRE LOS DOS , 150 AÑOS. SÍ, RAIMUNDO, PERO YO SIGO SIENDO 6 AÑOS MÁS JOVEN QUE TÚ . y AÑOS x+ y= 150 x– y= 6 2 3 2 a+ 2b= 10 3 a+ 2b= 18 + +2 = 10 = 18 Sistemas de Ecuaciones Aplicaciones: 1. El precio de un boleto para cierto evento es de $2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden 450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron? S o lu ció n : S ea x el n ú m ero d e b o leto s ven d id o s d e ad u lto s. S ea y el núm ero de boletos vendidos de niños. Obtenemos el sistema : x y 450 2.25 x 1.50 y 777.75 16 Sistemas de Ecuaciones 2. Una lancha de vapor operada a toda máquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10 minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora. S o lu ció n : S ea x la velocidad de la corriente. S ea y la velocidad de la lancha. y x velocidad de la lancha en contra de la corriente. y x velocidad de la lancha a favor de la corriente. 17 Sistemas de Ecuaciones U sando la fórm ula para distancia d vt y cam biando el tiem po a horas tenem os que: 15 minutos 10 minutos hora 1 60 4 10 hora 1 15 60 1 4 1 6 y x 4 y x 4 hora hora 6 1 1 4 y 4 x 4 1 y 1 x 4 6 6 Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos, 18 Sistemas de Ecuaciones x 4 millas y 20 millas hora hora La velocidad de la corriente es, x 4 m ph. La velocidad de la lancha es, y 20 m ph. 19 Sistemas de Ecuaciones Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 4x + y = 0 -4x + y = -8 2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 5x - 2y = -1 7x + 4y = 53 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2x + 6y = -16 -2x - 13y = 37 4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 5x + 13y = 12x - 11y = 8 -23 20 Sistemas de Ecuaciones 5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 3x + y =13 2x - 7y =-7 6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año? 21 Sistemas de Ecuaciones Respuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6) x = 1, y = -4 x = 3, y = 8 x = 1, y = -3 x = -1, y = 1 x = 5, y = -2 $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5% 22 Fin