Sistemas de ecuaciones
lineales
Prof. Adrian Sedano De La Cruz
Método gráfico
La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales,
es una recta . Por lo que el método gráfico:
Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para
determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.
Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema
Solución

x  y  1
2x  y  1
Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas.
Observe:
y  2x  1
y  x 1
x
0
–1
x
0
2
y
1
0
y
–1
3
Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla
en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para
determinar la solución. Observe:
y
3
(2, 3)
1
–1
0
–1
2
x
El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son
gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:
x  2,
y 3
Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado,
compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las
rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan
exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución
del sistema.
Ejemplo 8
El sistema

x  3y  1
tiene solución única. Observe:
x  4y  8
y
x  4y  8
2
(4, 1)
1
0
1
x  3y  1
2
4
x
Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de
soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se
caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la
misma recta.
Ejemplo 10 El sistema
y

x

 1

2


 2x  y  2
tiene infinidad de soluciones. Observe:
y
x 
y
1
2
0
1
2x  y  2
2
x
Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema
inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de
las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.
Ejemplo 11 El sistema
y

x

 1

2


 2x  y  3
no tiene solución. Observe:
y
x 
y
1
2
1
x
0
-2
2x  y  3
-3
Interpretación geométrica
Cada ecuación representa una recta:
- y
-
2x + y = 8
.
x + 2y = 7
2x + y = 8
El punto de
corte es la
única solución.
Sistema
compatible determinado
(3,2)
-
x + 2y = 7
C.S. = {(3;2)}
x
Interpretación geométrica
2x
+
-
y
4y = 14
x + 2y = 7
2x + 4y =
14
Rectas
coincidentes:
infinitas
soluciones
-
x + 2y = 7
Sistema
compatible indeterminado
x
C.S. = {(x;y) Є R2 / x + 2y = 7}
Interpretación geométrica
-
y
x + 2y =
7
2x + 4y =
Rectas paralelas:
x + 2y = 7
no admite solución.
8
Sistema
Incompatible
-
C.S. = Ø
2x + 4y = 8
x
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
COMPATIBLE
Determinado:
solución única.
Indeterminado :
infinitas soluciones.
INCOMPATIBLE
CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO
Sistemas de Ecuaciones
Ejemplos:
Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico
1)
 2x  y  5

x  y  1
y
Solución :  2 , 1 
x
2x  y  5
x y 1
11
Sistemas de Ecuaciones
2)
x  y  2

x  y  0
y
4
x y 2
3
2
Solución :  1 , 1 
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x5
-1
-2
x y 0
-3
-4
12
Sistemas de Ecuaciones
x  y  2
3) 
2 x  2 y  0
Las dos líneas son
paralelas, no tienen
puntos de intersección.
El conjunto de soluciones
es vacío.
y
4
3
2
C .S .  
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x5
-1
-2
-3
-4
13
Sistemas de Ecuaciones
x  y  2
4) 
2 x  2 y  4
y
4
3
x y 2
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x5
C .S .    x , 2  x  : x   
-1
-2
4
El sistema es
dependiente y tiene
infinitas soluciones.
Las soluciones se
pueden encontrar
buscando puntos de
cualquiera de las
líneas.
2 x  2 y  4
-3
-4
14
x
AÑOS
ESTAMOS HECHOS UNOS
JOVENCITOS . ENTRE LOS
DOS , 150 AÑOS.
SÍ, RAIMUNDO, PERO YO
SIGO SIENDO 6 AÑOS
MÁS JOVEN QUE TÚ .
y
AÑOS
x+ y= 150
x– y= 6
2
3
2 a+ 2b= 10
3 a+ 2b= 18
+
+2
= 10
= 18
Sistemas de Ecuaciones
Aplicaciones:
1. El precio de un boleto para cierto evento es de
$2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden
450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos
boletos de cada tipo se vendieron?
S o lu ció n :
S ea x el n ú m ero d e b o leto s ven d id o s d e ad u lto s.
S ea y el núm ero de boletos vendidos de niños.
Obtenemos
el sistema
:
 x  y  450

 2.25 x  1.50 y  777.75
16
Sistemas de Ecuaciones
2. Una lancha de vapor operada a toda máquina
hizo un viaje de 4 millas contra una corriente
constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con
la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10
minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la
velocidad equivalente a la lancha en aguas
tranquilas en millas por hora.
S o lu ció n :
S ea x la velocidad de la corriente.
S ea y la velocidad de la lancha.
y  x  velocidad
de la lancha en contra de la corriente.
y  x  velocidad
de la lancha a favor de la corriente. 17
Sistemas de Ecuaciones
U sando la fórm ula para distancia d  vt y
cam biando el tiem po a horas tenem os que:
15 minutos
10 minutos


hora 
1
60
4
10
hora 
1
15
60
1
4
1
6
y  x  4

y  x  4
hora
hora
6
1
1
 4 y  4 x  4

1 y  1 x  4
 6
6
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
18
Sistemas de Ecuaciones
x  4 millas
y  20 millas
hora
hora
La velocidad de la corriente es, x  4 m ph.
La velocidad de la lancha es, y  20 m ph.
19
Sistemas de Ecuaciones
Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
4x + y = 0
-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
5x - 2y = -1
7x + 4y = 53
3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
2x + 6y = -16
-2x - 13y =
37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
5x + 13y =
12x - 11y =
8
-23
20
Sistemas de Ecuaciones
5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
3x + y =13
2x - 7y =-7
6. Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el
Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo
invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto
deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos
de $ 15,100 al año?
21
Sistemas de Ecuaciones
Respuestas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
x = 1, y = -4
x = 3, y = 8
x = 1, y = -3
x = -1, y = 1
x = 5, y = -2
$ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%
22
Fin