Il Piano Cartesiano

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Il
Piano Cartesiano
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Liceo Scientifico
“Salesiani – Rainerum”
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Piano Cartesiano
Il PIANO CARTESIANO è una struttura
matematica che permette di identificare la posizione
di un oggetto mediante numeri detti coordinate
   
1
2
3
4
3
2
1
4
5

1 dimensione: Es. una fila.
La posizione dell’oggetto è individuabile
con UNA coordinata:
 (3)
2 dimensioni: Es. battaglia navale.
La posizione dell’oggetto è individuabile
con DUE coordinata:
 (3; 2)
1 2 3 4
3
4
3
2
1

21
1 2 3 4
3 dimensioni: Es. oggetto nello spazio.
La posizione dell’oggetto è individuabile
con TRE coordinata:
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 (3; 4; 2)
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Notazione
L’asse verticale è chiamata
asse delle ORDINATE o Y
asse delle
ORDINATE
Y
asse delle
ASCISSE
X
L’asse orizzontale è chiamata
asse delle ASCISSE o X
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Notazione
La posizione di un oggetto nel piano
cartesiano è individuata da due numeri:
COPPIA ORDINATA di
COORDINATE
asse delle
ORDINATE
Y
 (3; 2)
(X; Y)

asse delle
ASCISSE
X
ORDINATA perché
la prima coordinata è SEMPRE la X
la seconda coordinata è SEMPRE la Y
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Rappresentazione
Y
4
 Tracciare l’asse X e l’asse Y
3
Mettere la freccia verso destra sull’asse X
Mettere la freccia verso l’alto sull’asse Y
2
1
O
O
O
1
2
3
4
X
Indicare con X l’asse delle ascisse
Indicare con Y l’asse delle ordinate
 Tracciare sugli assi le tacche delle coordinate
 Numerare le tacche
Le frecce indicano la direzione crescente dei numeri
Si noti che l’intersezione (= incontro) degli assi è individuata da:
coordinata X uguale a 0
coordinata Y uguale a 0
Per semplicità si preferisce indicare quel punto con la lettera
O e chiamarlo ORIGINE: O  (0; 0)
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Rappresentazione di un Punto
Y
Un oggetto viene rappresentato con un
PUNTO
A

Al quale viene associata una lettera
A, B, ….
O
X
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Distanza tra due Punti
Distanza tra due punti posti su un
segmento VERTICALE
Y
Due punti posti su un segmento verticale
sono caratterizzati dalla stessa coordinata X
A
4
La loro distanza AB
si determina attraverso la relazione
3
2
AB = YA – YB
B
1
O
1
2
3
4
AB = YA – YB = 4 – 1 = 3 u
X
cioè …
la distanza tra due punti posti su una verticale
è la differenza tra
la coordinata Y del punto più alto
e la coordinata Y del punto più in basso
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Distanza tra due Punti
Distanza tra due punti posti su un
segmento ORIZZONTALE
Y
Due punti posti su un segmento orizzontale
sono caratterizzati dalla stessa coordinata Y
4
A
B
La loro distanza AB
si determina attraverso la relazione
3
2
AB = XB – XA
1
O
1
2
3
4
AB = XB – XA = 3 – 1 = 2 u
X
cioè …
la distanza tra due punti posti su una verticale
è la differenza tra
la coordinata X del punto più a destra
e la coordinata X del punto più a sinistra
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Unità di Misura
La lettera u che compare al termine dei calcoli sta per
unità di misura
Nel ‘mondo reale’ le unità di misura
sono rappresentate da
metri, centimetri, chilometri, …
Nel disegno, NON essendo sempre
possibile riprodurre le distanze reali,
viene utilizzata come unità di misura la
distanza tra due tacche consecutive
È sempre possibile risalire alle distanze
reali se si conosce a quale lunghezza
corrisponde l’unità del disegno.
Es. se un segmento nel disegno risulta
lungo 5u e so che u=150m, posso
affermare che la distanza reale tra i due
punti è:
distanza reale = 5u = 5150= 750m
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Esercizio
La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3).
Calcolare la distanza che deve percorrere Dino per recarsi a scuola, esprimere
il risultato in metri e Km sapendo che una unità equivale a 105 metri.
Y
Comincio col disegnare il piano cartesiano
Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il
testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4;
…3)Soluzione
4
…
Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere
per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da
segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i
soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza)

Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo
la lunghezza del percorso espresso in unità
D

3
2
1

O
A
1
2
3
4
X
OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u
DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u
Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u
Calcolo la lunghezza reale trasformando le unità prima in metri e poi i metri in chilometri
Percorso = 7u = 7 x 105m = 735 m
Percorso = 735m : 1000 = 0.735 Km
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Esercizio
La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3).
Sapendo che Dino per andare a scuola percorre 1.225 Km determinare a quanti
metri corrisponde una unità
Y
Comincio col disegnare il piano cartesiano
Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il
testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4;
…3)Soluzione
4
…
Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere
per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da
segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i
soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza)

Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo
la lunghezza del percorso espresso in unità
D

3
2
1

O
A
1
2
3
X
4
OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u
DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u
Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u
Calcolo a quanti metri
corrisponde una unità.
Trasformo i Km in m
1.225 Km x 1000 = 1225 m
Calcolo la lunghezza reale di una unità
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1u = 1225 m : 7 = 175 m

Prima di proseguire apriamo una
parentesi per rivedere alcuni
concetti riguardanti
Rette parallele
Rette perpendicolari.
E fornire alcuni simbolismi e
notazioni che serviranno da qui in
avanti.
sono state inserite slide prese dalla presentazione
“rette
e segmenti”
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Notazione
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Notazione
Punto:
lettere MAIUSCOLE dell’alfabeto latino: A; B …
Segmento:
P
la coppia di lettere MAIUSCOLE che
rappresentano gli estremi del segmento: AB; …
Retta:
lettere minuscole dell’alfabeto latino: a; b …
Angolo:
Lettere dell’alfabeto greco: a; b; …
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P
Q
r
a
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Rette
Perpendicolari
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rette PERPENDICOLARI ()
2 rette si dicono PERPENDICOLARI
se intersecandosi formano
4 angoli retti
w
s
v
90° 90°
90° 90°
r
w  v perché
wv?
le rette incidenti
NON formano 4 angoli retti
sr
perché
rette incidenti
formanti 4 angoli retti
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ASSE del SEGMENTO
si chiama ASSE del SEGMENTO
la retta PERPENDICOLARE al segmento
passante per il suo PUNTO MEDIO
P
r
Evidenziamo il punto medio
A
M
r è ASSE di AB
w
M
Q
w NON è ASSE di PQ
perché NON
per
w è passa
ASSE
diMPQ ?
B
w NON è ASSE di PQ
perchèdiwPQ
 PQ
w è ASSE
?
perché
P
r  AB
w
M
Q
r passa per M (punto medio di AB)
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DISTANZA punto-retta
La DISTANZA di un punto da una retta
è il segmento PIÙ CORTO congiungente il punto con la retta
P
E
D
C
H
B
A
r
Quale è il segmento
PH è il più
segmento
più corto
corto ?
undire
CosaForma
si può
ANGOLOl’angolo
RETTO
riguardo
con
la retta
formato
con
la retta ?
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PIEDE dell’ALTEZZA
Il PIEDE dell’ALTEZZA
è
il punto d’intersezione H
di r con la perpendicolare
condotta da P a r
P
r
H
piede dell’altezza
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Rette
Parallele
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rette PARALLELE (//)
2 rette si dicono PARALLELE
se NON si intersecano mai
P
Q
r
=
=
P'
R
Q'
R'
w
s
v
2 rette sono PARALLELE
w // v
// vdistanza
?
perchéw
la loro
se la loro distanza
NON cambia
CAMBIA
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Distanza
tra due
Rette
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Distanza tra due rette
È possibile calcolare (misurare)
la distanza tra due rette
SOLO se le due rette sono
PARALLELE
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DISTANZA tra due RETTE
Vediamo come determinare la distanza tra
due rette parallele
Scegliere su una delle due rette un punto
Tracciare da questo punto la perpendicolare
alla seconda retta. (chiamiamo H l’intersezione
tra la perpendicolare e la seconda retta)
A
H
r
s
La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele
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DISTANZA tra due RETTE
A
r
s
H
La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele
La distanza AH cambia se
si prende A in un’altra
posizione sulla retta r ? NO

La distanza AH cambia se
si prende A sulla
retta s ?

NO
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Chiudiamo la parentesi
e
vediamo come applicare
questi concetti
in un piano cartesiano
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Rappresentazione di una Retta
una linea dritta infinita”
Detta ‘volgarmente’ una retta è: “
r
In un piano cartesiano una retta può essere rappresentata in tre modi:
Y
Perpendicolare all’asse X
(oppure parallela all’asse Y)
Perpendicolare all’asse Y
(oppure parallela all’asse X)
O
Obliqua rispetto gli assi
X
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Rappresentazione di una Retta
Retta perpendicolare all’asse X
(oppure parallela all’asse Y)
Y
r
Dal disegno si osserva che tutti i
punti della retta hanno la
STESSA COORDINATA X
O
È quindi possibile identificare la
retta con la coordinata comune a
tutti i suoi punti
retta: X = 2
X
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
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Rappresentazione di una Retta
Retta perpendicolare all’asse Y
(oppure parallela all’asse X)
Y
r
O
Dal disegno si osserva che tutti i
punti della retta hanno la
STESSA COORDINATA Y
È quindi possibile identificare la
retta con la coordinata comune a
tutti i suoi punti
retta: Y = 3
X
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
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Rappresentazione di una Retta
Retta OBLIQUA
Y
Dal disegno si osserva che i punti della
retta cambiano sia
la COORDINATA Y
che la COORDINATA X
r
QUINDI È TROPPO DIFFICILE
DESCRIVERLA ORA, LO SI FARÀ ALLA
SCUOLA SUPERIORE.
O
X
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Esercizio
Descrivere la retta disegnata nel piano cartesiano

… Soluzione …
Y r
r
r
r

Y=4
r
Y=3
r
Y=1
r
O
X
X=0
Y=0
X=3
X=1
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Distanza Punto - Retta
Vediamo come determinare la distanza tra un punto e una retta
Determinare la distanza tra il punto P(1; 2) e la retta r: X=3
1.- Rappresentiamo il problema
Y
2.- Tracciamo l’altezza tra P e r,
chiamiamo H il piede dell’altezza
r
La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata
P
Per determinare PH dobbiamo conoscere le
coordinate di H
H
3.- Determiniamo le coordinate di H
L’ascissa di H la ricavo dalla retta: XH = 3
L’ordinata di H la ricavo è quella del punto: YH = 2
O
X
4.- Calcoliamo PH
PH = XH – XP = 3 – 1 = 2u
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Distanza Punto - Retta
Ora prova da solo
Determinare la distanza tra il punto P(3; 1) e la retta r: Y=4
1.- Rappresentiamo il problema
2.- Tracciamo l’altezza tra P e r,
chiamiamo H il piede dell’altezza
Y
H
r
La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata
Per determinare PH dobbiamo conoscere le
coordinate di H
3.- Determiniamo le coordinate di H
P
O
L’ordinata di H la ricavo dalla retta: YH = 4
L’ascissa di H la ricavo è quella del punto: XH = 3
X
4.- Calcoliamo PH
PH = YH – YP = 4 – 1 = 3u
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Distanza Retta - Retta
Nelle slides 23, 24, 25 è stato mostrato come calcolare la
distanza tra due RETTE PARALLELE
1.- Rappresentiamo il problema
2.- Scegliamo (a caso) un punto P su
una delle due rette
Y
H
r: y=4
3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e
l’altra retta, sia H il piede dell’altezza
La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata
t: y=1
O
Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ascissa e
quindi la loro distanza è data dalla differenza delle
coordinate y
P
X
Le coordinate y dei due punti sono date dalle
equazioni delle due rette.
4.- Calcoliamo PH
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d(r,t) = PH = YH – YP = 4 – 1 = 3u

Distanza Retta - Retta
… Soluzione …
Prova da solo
Determinare la distanza tra le rette r: x=0.5 e t: x=4

1.- Rappresentiamo il problema
2.- Scegliamo (a caso) un punto P su
una delle due rette
Y
3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e
l’altra retta, sia H il piede dell’altezza
La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata
O
r: x=0.5
Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ordinata
e quindi la loro distanza è data dalla differenza
delle coordinate x
H
P
X
t: x=4
Le coordinate x dei due punti sono date dalle
equazioni delle due rette.
4.- Calcoliamo PH
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d(r,t) = PH = XH – XP = 4 – 0.5 = 3.5u

Distanza Retta - Retta
Riassumendo
Date due rette parallele,
Date duelarette
loroparallele
distanza è data dalla …
DIFFERENZA DELLE COORDINATE NOTE
Y
Y
H
r: y=4
d(r,t) = YH – YP
H
P
t: y=1
O
d(r,t) = XH – XP
r: x=0.5
X
O
X
t: x=4
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P
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
Rette perpendicolari
Le rette parallele all’asse x
sono perpendicolari
alle rette parallele all’asse y
Y
r: y=2
O
X
t: x=3
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Rette perpendicolari - INTERSEZIONE
Le rette parallele all’asse x sono perpendicolari alle rette parallele all’asse y
Determiniamo le coordinate del punto P
intersezione delle due rette
Y
r: y=2
P è un punto della retta verticale e
quindi ha la stessa ascissa di tutti gli
altri punti della retta.
Nel nostro esempio x=3
P
O
X
P è un punto della retta orizzontale e
quindi ha la stessa ordinata di tutti
gli altri punti della retta.
Nel nostro esempio y=2
t: x=3
Quindi le coordinate di P sono
P = (3; 2)
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