Document

Report
Mean, Korelasi, dan Kovariansi
Diberikan proses stokastik X(t)
• Mean
m X ( t )  E [ X ( t )]
• Autokorelasi
R X ( t1 , t 2 )  E [ X ( t1 ) X ( t 2 )]
Prostok-3-firda
1
Autokovariansi:
C X ( t1 , t 2 )  C ov ( X ( t1 ), X ( t 2 ))
 E  [ X ( t1 )  m X ( t1 )][ X ( t 2 )  m X ( t 2 )]
 R X ( t1 , t 2 )  m X ( t1 ) m X ( t 2 )
Variansi:

2
X
( t )  V ar [ X ( t )]  E  [ X ( t )  m X ( t )]
2
 C X (t , t )
Prostok-3-firda
2

Contoh:
Misal X ( t )  cos(  t   )
dengan  ~ U (   ,  )
Tentukan:
a. Mean dari X (t )
b. Fungsi autokorelasi dari X (t )
c. Fungsi autokovariansi dari X (t )
Prostok-3-firda
3
Jawab:
 ~ U (  ,  )
pdf ,
a. Mean dari
1

,    

f ( )     (   )

0 ,  lainnya

 1

,    
  2

 0 ,  lainnya
X (t )

E [ X ( t )] 
 cos(  t   ) f ( ) d 


1
2

 cos(  t   ) d 


1
2
sin(  t   )


0
Prostok-3-firda
4
b. Fungsi autokorelasi dari X (t )
R X ( t1 , t 2 )  E [ X ( t1 ) X ( t 2 )]
 E [cos(  t1   ). cos(  t 2   )]
1

E [cos(  ( t1  t 2 )  2  )  cos(  ( t1  t 2 ))]
2

1
2

 cos  ( t
1
 t 2 )  2 .

1
2
d 
1
2
cos  ( t 1  t 2 ) 
…

1
2
cos  ( t1  t 2 ) 
Prostok-3-firda
5
c. Fungsi autokovariansi dari X (t )
C X ( t1 , t 2 )  R X ( t1 , t 2 )  m X ( t1 ).m X ( t 2 )
karena m X ( t )  0 , maka
C X ( t1 , t 2 )  R X ( t1 , t 2 )

1
2
cos  ( t1  t 2 ) 
Prostok-3-firda
6
Diberikan proses stokastik X(t) dan Y(t)
Proses X(t) dan Y(t) disebut bebas jika
random variabel X(t1), X(t2),…,X(tk) dan
Y ( t ), Y ( t ), ..., Y ( t ) bebas  k , j
1
1
1
2
1
k
Kros korelasi dari X(t) dan Y(t)
R X ,Y ( t1 , t 2 )  E [ X ( t1 )Y ( t 2 )]
Proses X(t) dan Y(t) disebut saling tegak lurus
jika RX,Y(t1,t2) = 0
Prostok-3-firda
7
Cross-kovariansi dari X(t) dan Y(t)
C X ,Y ( t1 , t 2 )  C o v ( X ( t1 ), Y ( t 2 ))
 E  [ X ( t1 )  m X ( t1 )][Y ( t 2 )  m Y ( t 2 )]
 R X ,Y ( t1 , t 2 )  m X ( t1 ) m Y ( t 2 )
Proses X(t) dan Y(t) disebut tidak berkorelasi
jika CX,Y(t1,t2) = 0
Prostok-3-firda
8
Proses Stokastik Stasioner
Proses stokastik X ( t ), t  T 
dikatakan stasioner
jika distribusi bersama dari beberapa sample waktu
tidak berubah terhadap pergeseran waktu
Atau
F X ( x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n )  F X ( x1 ,..., x n ; t1  h ,..., t n  h )
Prostok-3-firda
9
Proses stokastik stasioner orde pertama
FX ( x , t )  FX ( x , t  h )  FX ( x )
m X ( t )  E ( X ( t ))  m
Var ( X ( t ))  
2
Prostok-3-firda
10
Proses stokastik stasioner orde kedua
F X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )  F X ( x1 , x 2 ; 0, t 2  t1 ),  t1 , t 2
Hal ini mengakibatkan fungsi autokorelasi
dan autokovariansi hanya tergantung pada
t2-t1
R X ( t1 , t 2 )  R X [ t 2  t1 ],  t1 , t 2
C X ( t1 , t 2 )  C X [ t 2  t1 ],  t1 , t 2
Prostok-3-firda
11
Proses stokastik X(t) disebut wide-sense Stasioner
jika
m X ( t )  m (k o n stan )
d an
C X ( t1 , t 2 )  C X [ t 2  t1 ],  t1 , t 2
wide –sense
stasioner
stasioner
Prostok-3-firda
12
Proses Saling Bebas (Independent processes)
Suatu proses stokastik X ( t ), t  T ,
dikatakan proses yang saling bebas jika
n
F X ( x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n ) 
F
X
( xi ; ti )
i 1
Prostok-3-firda
13
Kenaikan bebas (independent increments)
Proses stokastik waktu kontinu X ( t ), t  0
dikatakan mempunyai kenaikan bebas jika
untuk setiap 0  t 0  t1  t 2 ,...  t n , var acak
X ( t1 )  X ( t 0 ), X ( t 2 )  X ( t1 ),..., X ( t n )  X ( t n 1 )
saling bebas.
dengan X ( t i )  X ( t i 1 ) disebut kenaikan.
Prostok-3-firda
14
e. Kenaikan stasioner (stationary increments)
Proses stokastik waktu kontinu { X ( t ), t  0}
dikatakan mempunyai kenaikan stasioner
jika X ( t  s )  X ( t ) mempunyai distribusi
yang sama  t  0 .
Prostok-3-firda
15
f. Kenaikan bebas stasioner
(stationary independent increments)
Proses stokastik waktu kontinu { X ( t ), t  0}
dikatakan mempunyai kenaikan bebas stasioner
jika X ( t 2  s )  X ( t1  s ) mempunyai distribusi
yang sama  t 2  t1  0 dan s  0 .
Prostok-3-firda
16
Soal
1. Jika X ( t )  A cos 2 t , A var acak dan A ~ U (  1,1)
Tentukan: a. mean
X (t )
b.Fungsi autokorelasi
X (t )
c. Fungsi autokovariansi
Prostok-3-firda
X (t )
17

similar documents