הוכח כי לפונקציה אין גבול

Report
‫‪1‬‬
‫מתמטיקה ב' לכלכלנים‬
‫שיעור ‪ – 2‬הגדרות קבוצות‪ ,‬גבולות ורציפות‬
‫פרקטיקה‬
‫‪2‬‬
‫חישוב תחום הגדרה‬
‫שאלה‪:‬‬
‫) ‪ ln( y  5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xy‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x  y‬‬
‫‪F ( x, y, z ) ‬‬
‫איך ניגשים?‬
‫מצא את תחום ההגדרה של ‪ F‬וצייר אותו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫חישוב תחום הגדרה‬
‫‪x  2y‬‬
‫‪ ln( y  5 ) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xy‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪x  0, y  0‬‬
‫‪{( x , y ) x  0 , y  0} ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x  y‬‬
‫‪(x  y)  0‬‬
‫‪xy  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xy  0‬‬
‫}‪{( x , y ) x  0 , y  0‬‬
‫‪x  2y‬‬
‫‪y5‬‬
‫‪2x  y  0‬‬
‫‪y5 0‬‬
‫‪F ( x, y, z ) ‬‬
‫אברי מנה‬
‫צריכים להיות‬
‫שונים מ‪0-‬‬
‫שורשים צריכים‬
‫להיות גדולים או‬
‫שווים ל‪0‬‬
‫‪ ln‬צריך להיות גדול‬
‫ממש מ‪0-‬‬
4
‫חישוב תחום הגדרה‬
Y
x  y
x  0, y  0
X{( x , y ) x  0 , y  0} 
{( x , y ) x  0 , y  0}
{( x , y ) x  2 y }  {( x , y ) y  5}  {( x , y 2
) x  yy}
y5
‫‪5‬‬
‫קבוצות פתוחות וסגורות‬
‫זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא)‬
‫מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן‪ .‬האם הקבוצה חסומה?‬
‫השפה‬
‫}‪{( x , y )  2  x  3 ,  1  y  4‬‬
‫‪Y‬‬
‫} ‪{( x , y ) 0  4 y  x  36‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫} ‪{( x , y ) y  x‬‬
‫‪3‬‬
‫חסומה‬
‫לא סגורה ולא‬
‫פתוחה‬
‫}‪{( x , y ) xy  4‬‬
‫‪6‬‬
‫קבוצות פתוחות וסגורות‬
‫זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא)‬
‫מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן‪ .‬האם הקבוצה חסומה?‬
‫השפה‬
‫}‪{( x , y )  2  x  3 ,  1  y  4‬‬
‫‪Y‬‬
‫} ‪{( x , y ) 0  4 y  x  36‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫} ‪{( x , y ) y  x‬‬
‫‪3‬‬
‫חסומה‬
‫קבוצה פתוחה‬
‫}‪{( x , y ) xy  4‬‬
‫‪7‬‬
‫קבוצות פתוחות וסגורות‬
‫זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא)‬
‫מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן‪ .‬האם הקבוצה חסומה?‬
‫השפה‬
‫}‪{( x , y )  2  x  3 ,  1  y  4‬‬
‫‪Y‬‬
‫} ‪{( x , y ) 0  4 y  x  36‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫} ‪{( x , y ) y  x‬‬
‫‪3‬‬
‫לא חסומה‬
‫קבוצה סגורה‬
‫}‪{( x , y ) xy  4‬‬
‫‪8‬‬
‫קבוצות פתוחות וסגורות‬
‫זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא)‬
‫מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן‪ .‬האם הקבוצה חסומה?‬
‫השפה‬
‫השפה‬
‫‪Y‬‬
‫}‪{( x , y )  2  x  3 ,  1  y  4‬‬
‫} ‪{( x , y ) 0  4 y  x  36‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫} ‪{( x , y ) y  x‬‬
‫‪3‬‬
‫לא חסומה‬
‫פתוחה‬
‫}‪{( x , y ) xy  4‬‬
‫‪9‬‬
‫קבוצות פתוחות וסגורות‬
‫הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה‪:‬‬
‫} ‪{( x , y ) x  y  16‬‬
‫‪2‬‬
‫הרעיון‪:‬‬
‫עלינו לבחור נקודה‬
‫בקבוצה שאיננו יודעים‬
‫עליה דבר‪.‬‬
‫עלינו להראות שהיא‬
‫פנימית‪.‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫קבוצות פתוחות וסגורות‬
‫הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה‪:‬‬
‫נחשב את המרחק של‬
‫הנקודה מקצה הקבוצה‪.‬‬
‫ונמצא סביבה של הנקודה‬
‫ברדיוס קטן יותר‪.‬‬
‫} ‪{( x , y ) x  y  16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫קבוצות פתוחות וסגורות‬
‫הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה‪:‬‬
‫איך נחשב את המרחק?‬
‫‪2‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Y‬‬
‫אם הנקודה נמצאת ב)‪(x,y‬‬
‫אז מרחקה מהשפה הוא‪:‬‬
‫} ‪{( x , y ) x  y  16‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫קבוצות פתוחות וסגורות‬
‫הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה‪:‬‬
‫} ‪{( x , y ) x  y  16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫תהי (‪ a=)x,y‬נקודה כלשהי בקבוצה‪ .‬נסתכל על סביבה ברדיוס‬
‫‪2‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫מסביב לנקודה‪ .‬מרחקה של ‪ a‬מ‪ 0‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ואילו מרחקה של כל נקודה בסביבה מ‪ a‬קטן מ‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ולכן מרחקה של כל נקודה בסביבה מ‪ 0‬קטן מ‪:‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪44‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫ולכן סביבה זו כולה בקבוצה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪13‬‬
‫גבולות‬
‫בהינתן שהגבול קיים חשב אותו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪1‬‬
‫כיוון שהגבול‬
‫קיים‪ ,‬נציב מסילה‬
‫לבחירתנו‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪e‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) (0 ,0‬‬
‫) ‪f (t )  (t ,0‬‬
‫נקבע ונציב‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪t 0‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2 te‬‬
‫לופיטל‬
‫‪2‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪t 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪e‬‬
‫‪t 0‬‬
‫‪14‬‬
‫גבולות‬
‫הוכח כי לפונקציה אין גבול‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 xy‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) (0 ,0‬‬
‫הרעיון‪:‬‬
‫כדי להוכיח כי אין גבול ננסה להראות כי מסילות שונות‬
‫נותנות גבולות שונים‪.‬‬
‫לשם כך ננסה לגרום לכך שהאיבר בעל החזקה הנמוכה‬
‫ביותר במכנה יהיה זהה לאיבר בעל החזקה הנמוכה‬
‫ביותר במונה‪ ,‬אך יחס המקדמים יהיה שונה בכל פעם‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫גבולות‬
‫הוכח כי לפונקציה אין גבול‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) (0 ,0‬‬
‫‪3 xy‬‬
‫נציב‪:‬‬
‫) ‪(t , t‬‬
‫) ‪(t ,2 t‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪t  4t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6t‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) (0,0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪t t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3t‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( 0 ,0‬‬
‫שני גבולות שונים במסילות שונות ‪‬אין גבול!‬
‫‪16‬‬
‫גבולות‬
‫אבל איך הפונקציה נראית?‬
‫‪2‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 xy‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) (0 ,0‬‬
‫‪17‬‬
‫גבולות‬
‫עוד על השיטה להוכחת היעדר קיומו של גבול‪:‬‬
‫ניזכר בשיטה לחישוב גבול של מנת פולינומים ב‪.0‬‬
‫ראשית נוציא גורם משותף מינימלי‪.‬‬
‫אחר כך נמחק את הגורמים הזניחים בסוגריים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪x ( x  x  2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪x  x  2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪x  0 x ( x  3 x  1‬‬
‫‪x  3x  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim 2 x  0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪18‬‬
‫גבולות‬
‫עוד על השיטה להוכחת היעדר קיומו של גבול‪:‬‬
‫נסמן ב‪ m‬את מעלת האיבר בעל המעלה הנמוכה ביותר‬
‫במכנה‪ ,‬וב‪ n‬את מעלתו של האיבר בעל המעלה הנמוכה‬
‫ביותר במונה‪ .‬נסמן ‪ xm‬ו‪ xn‬את מקדמיהם בהתאמה‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪m  n  lim ‬‬
‫‪ g ( x) ‬‬
‫‪ f ( x) ‬‬
‫לא ‪ ‬מוגדר ‪   ,  ,‬‬
‫‪m  n  lim ‬‬
‫‪ g ( x) ‬‬
‫‪ f ( x)  xn‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m  n  lim ‬‬
‫‪ g ( x)  xm‬‬
19
‫גבולות‬
x x x
6
lim
x  3x
3
x 0
lim
x 0
lim
x 0
2
x
10

3
 5x  2x
3
2
 0
x  4x
3
152 x
40
 7x
15 x
14
:‫אימון קצר‬
1
15
 2x
 4x
4
lim
x
10
x 0
4

2
4

 9x  8x
3
124 x
15
2

?
1
2
xn = ‫ מקדם מונה‬,xm = ‫ מקדם מכנה‬, n = ‫ מעלת מונה‬, m = ‫מעלת מכנה‬
 f ( x) 
  0
m  n  lim 
g
(
x
)


 f ( x)  xn
 
m  n  lim 
 g ( x)  xm
 f ( x) 
   ,  , ‫ מוגדר‬ ‫לא‬
m  n  lim 
 g ( x) 
‫‪20‬‬
‫גבולות‬
‫שים לב‪ :‬אסור להציב (‪ )t,0‬כיוון שמסילה זו‬
‫לחישוב היעדר גבול נרצה לבחור‬
‫כולה מחוץ לתחום ההגדרה!‬
‫כדי לבחור מסילות מתאימות‬
‫בעיר מסילות מסוג‪ .‬נוכל להשתמש גם במסילה אחת מסוג‪.‬‬
‫המחשה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3t  t  t‬‬
‫‪3t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3t‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( t ,t )  ( 0 , 0‬‬
‫‪3x  x  y‬‬
‫) ‪t  (t , t‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( t ,t )  ( 0 , 0‬‬
‫) ‪t  (0, t‬‬
‫) ‪( x , y ) (0 ,0‬‬
‫‪3y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪3x  x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3y‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) (0 ,0‬‬
‫והוכחנו כי אין גבול‪.‬‬
‫מעלת מכנה = ‪ , m‬מעלת מונה = ‪ , n‬מקדם מכנה = ‪ ,xm‬מקדם מונה = ‪xn‬‬
‫‪ f ( x) ‬‬
‫לא ‪ ‬מוגדר ‪   ,  ,‬‬
‫‪m  n  lim ‬‬
‫‪ g ( x) ‬‬
‫‪ f ( x)  xn‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m  n  lim ‬‬
‫‪ g ( x)  xm‬‬
‫‪ f ( x) ‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪m  n  lim ‬‬
‫‪g‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪21‬‬
‫גבולות‬
‫כדי לבחור מסילות מתאימות לחישוב היעדר גבול נרצה לבחור‬
‫בעיר מסילות מסוג‪ .‬נוכל להשתמש גם במסילה אחת מסוג‪.‬‬
‫המחשה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3t  t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3t‬‬
‫‪3t  t‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( t ,t )  ( 0 , 0‬‬
‫) ‪t  (t , t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 xy‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3t‬‬
‫‪3x  y‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪t  (t , t‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪( t ,t )  ( 0 , 0‬‬
‫‪3x  y‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( 0 ,0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 xy‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( 0 ,0‬‬
‫והוכחנו כי אין גבול‪.‬‬
‫מעלת מכנה = ‪ , m‬מעלת מונה = ‪ , n‬מקדם מכנה = ‪ ,xm‬מקדם מונה = ‪xn‬‬
‫‪ f ( x) ‬‬
‫לא ‪ ‬מוגדר ‪   ,  ,‬‬
‫‪m  n  lim ‬‬
‫‪ g ( x) ‬‬
‫‪ f ( x)  xn‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m  n  lim ‬‬
‫‪ g ( x)  xm‬‬
‫‪ f ( x) ‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪m  n  lim ‬‬
‫‪g‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪22‬‬
‫גבולות‬
‫ומה עושים כשכל זה לא מסתדר?‬
‫בדרך כלל מוציאים ‪.1/t‬‬
‫המחשה‪:‬‬
‫‪3x  y‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪t  (t , t‬‬
‫‪3 xy‬‬
‫) ‪1 (1  3t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪t (1  3t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( t ,t )  ( 0 , 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3t‬‬
‫והוכחנו כי אין גבול כיוון ש‪ 1/t -‬חסר גבול‪.‬‬
‫‪3t  t‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( 0 ,0‬‬
‫‪3‬‬
‫למעלת‬
‫לא‬
‫נוכל לגרום ‪lim‬‬
‫לעולם ‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪( t ,t )  ( 0 , 0‬‬
‫) ‪( t ,t )  ( 0 , 0‬‬
‫המכנה להיות ‪3t‬‬
‫קטנה ממעלת‬
‫המונה‪...‬‬
‫‪23‬‬
‫גבולות‬
‫נתון כי קיימים‪:‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫) ‪g ( x, y‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫) ‪g ( x, y‬‬
‫‪f ( x, y ) ‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫‪f ( x , y ),‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫‪f ( x, y )  g ( x, y ) ‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫הרעיון‪:‬‬
‫כדי להוכיח את המשפט ניזכר בהגדרת הגבול‪.‬‬
‫לאחר מכן נשתמש בגבולות הנתונים כדי לבנות את‬
‫הסביבה הנדרשת‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫‪)l‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  x‬אם לכל ‪ <0‬קיימת סביבת ‪ <0‬נקובה‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫של ‪ x0‬שנסמנה ‪ A‬כך שלכל ‪ x  A‬מתקיים ‪|| f ( x )  l ||  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪24‬‬
‫גבולות‬
‫נתון כי קיימים‪g ( x , y )  l g :‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪g ( x, y‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫‪f ( x, y ) ‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫‪f ( x, y )  l f ,‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f ( x, y )  g ( x, y ) ‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫) ‪( x , y ) ( x0 , y0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫יהי ‪ .<0‬נבחר לפי קיום שני הגבולות הנתונים קיימות ‪  f ,  g‬כך‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪|| f ( x )  l || ‬‬
‫שלכול ‪ x‬בסביבת ‪  f‬נקובה של ) ‪ ( x 0 , y 0‬מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫וכן לכל ‪ x‬בסביבת ‪  g‬נקובה של ) ‪ ( x 0 , y 0‬מתקיים‪:‬‬
‫‪|| g ( x )  l || ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫בחרנו ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫בגלל שנצטרך‬
‫חצי‬
‫ולכן ‪|| f ( x )  g ( x )  ( l g  l f ) ||  || f ( x )  l f ||  || g ( x )  l g ||    ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g‬‬
‫‪2‬‬
‫לחבר איבר נוסף‪...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim f ( x )  l‬‬
‫‪ x  x‬אם לכל ‪ <0‬קיימת סביבת ‪ <0‬נקובה‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫של ‪ x0‬שנסמנה ‪ A‬כך שלכל ‪ x  A‬מתקיים ‪|| f ( x )  l ||  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪25‬‬
‫שליטה בנושאי הבסיס – תקל עלינו בהמשך‪.‬‬
‫"כשדלת אחת נסגרת‪ ,‬אחרת נפתחת"‬
‫‪ --‬בוב מארלי‬

similar documents