Nulladrend

Report
AZ INFORMATIKA LOGIKAI
ALAPJAI
INCK401
Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor
Gyakorlatvezető: Kovács Zita
2014/2015. I. félév
3. gyakorlat
Nulladrendű logika
Egy olyan logikai rendszer, amely
a nulladrendű nyelvből,
 a nyelvhez kapcsolódó nulladrendű interpretációból,
 az interpretációra támaszkodó nulladrendű
szemantikai szabályokból,
 a nulladrendű centrális logikai fogalmakból

épül fel.
A nulladrendű nyelv
L(0)=〈LC,Con,Form〉
ahol

 LC={¬,⊃,∧,∨,≡,(,)}
(a nyelv logikai konstansainak
halmaza)
 Con≠∅ a nyelv nemlogikai konstansainak (állítás- vagy
kijelentés-paramétereinek) legfeljebb megszámlálhatóan
végtelen halmaza
 LC∩Con=∅
 A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form halmazt
az alábbi induktív definíció adja meg:
A Form halmaz induktív definíciója
a.
b.
c.
Con⊆Form (Con elemei az atomi formulák)
Ha A∈Form, akkor ¬A∈Form.
Ha A,B∈Form, akkor
 (A⊃B)∈Form,
 (A∧B)∈Form,
 (A∨B)∈Form,
 (A≡B)∈Form.
Példák formulákra

atomi formula (eleme a Con halmaznak)
p, q, r, s, t,…

atomi formulából képzett formula
¬p, ¬q, ¬r, ……

formulákból képzett formula
(A ⊃ B), (A ∧ ¬ B),…

formulából képzett formula
¬ (A ⊃ B), (¬ (A ∧ ¬ B) ∨C),…..
Példák formulákra
Legyen Con = {p, q}.
 Ekkor Form = {p, q,

 ¬p,
¬q,
 (p ⊃ q), (p ∨ q), (p ∧ q), (p ≡ q),
 ¬(p ⊃ q), ¬(p ∨ q), ¬(p ∧ q), ¬(p ≡ q),
 ((p ⊃ q) ⊃ (p ∨ q)), ((p ⊃ q) ∧ (p ∨ q)), …
 ….
}
1. feladat
Add meg annak a függvénynek az induktív
definícióját, amely minden formula esetén megadja a
formulában szereplő zárójelek számát!
f: Form ->N
Ha p∈Con, akkor f(p) = 0
Ha p∈Con, akkor f(¬p) = 0
Ha A∈Form, akkor f(¬A) = f(A)
Ha A,B∈Form, akkor f( (A*B) ) = f(A)+f(B)+1, ahol
* ∈{∧, ∨, ⊃, ≡}
1. feladat - példa
Alkalmazd lépésenként azt a függvényt, amely minden
nulladrendű formula esetén megadja a formulában
szereplő zárójelek számát, a
((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t) nulladrendű formulára (Con = {p,
q, r, s, t})!
f(((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t))=f((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) )+f(t)+1=
= f(¬(¬t ∨ r))+f(s)+1+0+1=f((¬t ∨ r))+0+1+0+1
=f(¬t)+f(r)+1+0+1+0+1=0+0+1+0+1+0+1=3
2. feladat
Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját,
amely minden formula esetén megadja a formulában
szereplő valódi logikai konstansok számát! (a
definiálandó függvény adja meg a formula logikai
összetettségét.)
f: Form ->N
Ha p∈Con, akkor f(p) = 0
Ha p∈Con, akkor f(¬p) = 1
Ha A∈Form, akkor f(¬A) = f(A)+1
Ha A,B∈Form, akkor f( (A*B) ) = f(A)+f(B)+1,
ahol * ∈ {∧, ∨, ⊃, ≡}
2. feladat - példa
Alkalmazd lépésenként azt a függvényt, amely minden
nulladrendű formula esetén megadja a formulában
szereplő valódi logikai konstansok számát, a ((¬(¬t ∨ r)
⊃ s) ⊃ t) nulladrendű formulára (Con = {p, q, r, s, t})!
f(((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t))=f((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) )+f(t)+1=
=f(¬(¬t
∨
r))+f(s)+1+0+1=f((¬t
∨
r))+1+0+1+0+1=
=f(¬t)+f(r)+1+1+0+1+0+1=1+0+1+1+0+1+0+1
=5
Formula részformuláinak halmaza
Legyen A∈Form az L(0) nyelv tetszőleges formulája. Az A
formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz
[jelölés: RF(A)], amelyre teljesül, hogy
 A∈RF(A), azaz az A formula részformulája önmagának;
 ha ¬B∈RF(A), akkor B∈RF(A);
 ha (B⊃C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A);
 ha (B∧C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A);
 ha (B∨C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A);
 ha (B≡C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A).
Példa részformulákra
Legyen D=(¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬A).
Ekkor RF(D) = {
(¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬A),
¬(A ∨ ¬B), ¬A,
(A ∨ ¬B),
A, ¬B,
B}
Közvetlen részformula
Ha p atomi formula (azaz p∈Con), akkor
nincs közvetlen részformulája;
 ¬A egyetlen közvetlen részformulája A;
 Az (A⊃B),(A∧B),(A∨B),(A≡B) formulák
közvetlen részformulái az A és a B
formulák.

Példa közvetlen részformulákra
p∈Con, KRF(p) = ∅.
 KRF(¬A) = {A};
 KRF(A⊃B) = {A, B}
 KRF(¬A⊃(B∧A)) = {¬A, (B∧A)}

Részformula vs. közvetlen részformula
formula
részformula
közvetlen
részformula
¬A
{¬A, A}
{A}
(A⊃B)
{(A⊃B) ,A, B}
{A, B}
(¬A⊃(B∧A))
{(¬A⊃(B∧A)),¬A,
(B∧A), A, B}
{¬A, (B∧A)}
Részformula másik definíciója
Egy A formula részformuláinak halmaza az a
legszűkebb halmaz [jelölés: RF(A)], amelyre teljesül,
hogy
 A∈RF(A),
(azaz az A formula részformulája
önmagának);
 ha Aʹ∈RF(A) és B közvetlen részformulája Aʹ- nek,
akkor B∈RF(A) (azaz, ha egy Aʹ formula
részformulája A-nak, akkor Aʹ összes közvetlen
részformulája is részformulája A-nak).
Feladat
3.
Add meg annak a függvénynek az induktív
definícióját, amely minden formula esetén
megadja, hogy a formulának legfeljebb hány
részformulája lehet!
Feladat: Soroljuk fel az alábbi formulák összes részformuláit!
Húzzuk alá a közvetlen részformulákat!
f.
(((X ⊃ Y) ∧ (Y ⊃ Z)) ⊃ (¬X ∨ Z))
((X ⊃ Y) ⊃ ((X ⊃ ¬Y) ⊃ ¬Y))
((¬X ∨ Y) ⊃ ¬Z)
¬((X ∨ Y) ∧ ¬X)
¬((X ∨ Y) ∨ Z)
¬((X ∨ Y) ⊃ (X ∧ Y))
g.
((X ∧ Y) ≡ (Y ∧ X))
a.
b.
c.
d.
e.
Szerkezeti fa
Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges
rendezett fát értünk, amelynek csúcsai formulák
gyökere az A formula,
 ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B
formula,
 (B⊃C),(B∧C),(B∨C),(B≡C) alakú csúcsainak két
gyermekét a B, illetve a C formulák alkotják,
 levelei prímformulák (atomi formulák).

Példa szerkezeti fára
¬((¬A⊃(B∧A)) ∨ ¬(A ⊃ ¬B))
((¬A⊃(B∧A)) ∨ ¬(A ⊃ ¬B))
¬(A ⊃ ¬B)
(¬A⊃(B∧A))
¬A
A
(A ⊃ ¬B)
(B∧A)
B
A
A
¬B
B
Feladat
4.
HF. Add meg annak a függvénynek az induktív
definícióját, amely minden formula esetén
megadja, hogy a formula szerkezeti fájának
hány csúcsa van!
Segédletek logikából



Dr. Mihálydeák Tamás:

http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_html_2011_11_15.zip

http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_my_twt-treeview.html

http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Inf_log_ea_06_07_1.pdf
Dr. Várterész Magda:

http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf

http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/matlog.pdf

http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/megoldas.pdf
Lengyel Zoltán:

http://www.inf.unideb.hu/~lengyelz/docs/logika.pdf

similar documents