Télécharger

Report
‫التذبذبات الحرة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫‪Les oscillations libres dans un circuit‬‬
‫‪RLC série‬‬
‫‪ ‬نشاط ‪ :1‬تفريغ مكثف في وشيعة‬
‫‪ .a .1‬التوتر )‪ uC(t‬متناوب ولكن وسع تذبذباته يتناقص مع الزمن إلى أن ينعدم‪ ,‬إذن )‪ uC(t‬دالة غير دورية‪.‬‬
‫‪ .b‬قيمة شبه الدور هي‪T=1.242ms :‬‬
‫‪ .2‬نالحظ أنه كلما كانت قيمة المقاومة أكبر إال وكان تناقص وسع التذبذبات أي الخمود أسرع‪ ,‬ونالحظ‬
‫أيضا المقاومة ليس لها أي تأثير على شبه الدور‪.‬‬
‫‪ .3‬عندما تكون ‪ R‬كبيرة جدا يتناقص )‪ uC(t‬لينعدم دون أي تذبذب‪.‬‬
‫‪ .a .4‬نالحظ أنه كلما تناقص ‪ L‬تناقص معه شبه الدور‪.‬‬
‫‪ .b‬نالحظ أنه كلما تزايدت ‪ C‬تزايد معها شبه الدور‪.‬‬
‫‪ .I‬تفريغ مكثف في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫‪ .1‬تقديم التركيب التجريبي المدروس‬
‫‪ ‬عند وضع قاطع التيار في الموضع ‪ .2‬نحصل على دارة مكونة من مكثف‬
‫ووشيعة وموصل أومي مركبة على التوالي تسمى دارة ‪ RLC‬متوالية‪.‬‬
‫‪ ‬يفرغ المكثف في الوشيعة والموصل األومي‪ .‬فيكون التوتر )‪ uC(t‬بين مربطيه‬
‫متناوبا (حالة ‪ R‬صغيرة)‪ ,‬ويتناقص وسعه مع الزمن‪ .‬نقول إنه لدينا تذبذبات مخمدة‪.‬‬
‫‪ ‬بما أن التذبذبات تتم دون تزود الدارة ‪ RLC‬بالطاقة (ماعدا الطاقة المخزونة في‬
‫لمكثف في اللحظة البدئية)‪ .‬نقول إن التذبذبات حرة‪.‬‬
‫التذبذبات الحرة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫خالصة‪ :‬يؤدي تفريغ مكثف مشحون في دارة ‪ RLC‬متوالية إلى ظهور تذبذبات حرة مخمدة‪.‬‬
‫نقول إن الدارة ‪ RLC‬المتوالية ُتكون متذبذبا كهربائيا حرا ومخمدا‪.‬‬
‫‪ .2‬أنظمة الذبذبات الحرة‬
‫حسب قيم مقاومة الدارة ‪ Rt‬نحصل على ثالثة أنظمة للتذبذبات‪.‬‬
‫‪ .a‬نظام شبه دوري‬
‫نحصل على هذا النظام عندما تكون ‪ Rt‬صغيرة ويكون خالله‬
‫التوتر )‪ uC(t‬متناوبا ووسعه يتناقص مع الزمن‪.‬‬
‫‪ ‬تعريف شبه الدور‪ :‬نسمي شبه الدور ‪ T‬المدة الزمنية الفاصلة بين قيمتين‬
‫قصويتين متتاليتين للتوتر )‪.uC(t‬‬
‫ملحوظة‪ :‬شبه الدور ‪ T‬ال يتعلق بالمقاومة ‪ R‬بل ب‪ L :‬و‪ C‬فقط‪.‬‬
‫‪ .b‬نظام ال دوري‬
‫عندما تكون ‪ R‬كبيرة بما يكفي تزول التذبذبات نظرا لوجود خمود‬
‫مهم‪ ,‬ويسمى هذا النظام‪ ,‬النظام الالدوري‪.‬‬
‫‪ .c‬نظام حرج‬
‫توجد قيمة معينة لمقاومة الدارة ‪ RC‬تسمى مقاومة حرجة‪ ,‬وهي تفصل‬
‫بين النظام شبه الدوري والالدوري‪ ,‬ونسمي النظام في هذه الحالة النظام‬
‫الحرج وهو يتميز برجوع ‪ uC‬بسرعة إلى القيمة صفر ودون تذبذب‪ ,‬ويجدر‬
‫اإلشارة إلى أن ‪RC‬تتعلق ب‪ L :‬و‪.C‬‬
‫التذبذبات الحرة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫‪ .3‬المعادلة التفاضلية لدارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫نعتبر دارة ‪ RLC‬متوالية‪:‬‬
‫حسب قانون إضافية التوترات نجد‪:‬‬
‫علما أن‪:‬‬
‫‪ uR=Ri‬و‬
‫‪① uC+uR+uL=0‬‬
‫و‬
‫و‬
‫أي أن‪:‬‬
‫نعوض في العالقة ①‪:‬‬
‫وبالتالي‪:‬‬
‫حيث‪Rt=R+r :‬‬
‫المقدار‪:‬‬
‫المعادلة التفاضلية التي يحققها ‪ uc‬في دارة ‪ RLC‬متوالية‪.‬‬
‫مسؤول عن خمود التذبذبات‪.‬‬
‫‪ ‬بتعويض ‪ uC‬ب‪:‬‬
‫نحصل على المعادلة التفاضلية التي تحققها الشحنة ‪:q‬‬
‫‪ .II‬التذبذبات في دارة مثالية ‪LC‬‬
‫تتكون الدارة المثالية ‪ LC‬من مكثف ‪ C‬شحنته البدئية ‪ q0‬ووشيعة معامل تحريضها ‪ L‬ومقاومتها الداخلية‬
‫منعدمة‪.‬‬
‫تنعت هذه الدارة بالمثالية الستحالة تحقيقها تجريبيا لكون كل الوشيعات تتوفر على مقاومة داخلية‪.‬‬
‫التذبذبات الحرة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫‪ .1‬المعادلة التفاضلية التي يحققها التوتر )‪uC(t‬‬
‫حسب قانون إضافية التوترات نجد‪uC+uL=0 :‬‬
‫و‬
‫لدينا‪:‬‬
‫ومنه‪:‬‬
‫المعادلة التفاضلية التي يحققها ‪ uC‬في دارة ‪.LC‬‬
‫‪ .2‬حل المعادلة التفاضلية‬
‫حل هذه المعادلة التفاضلية هو‪:‬‬
‫حيث‪ :Um :‬وسع التذبذبات‪.‬‬
‫‪ :‬الطور في اللحظة ‪.t‬‬
‫‪ :T0‬الدور الخاص للتذبذبات‪.‬‬
‫‪ :‬الطور عند أصل التواريخ )‪.(t=0‬‬
‫‪ .a‬تحديد تعبير الدور الخاص‬
‫نعوض الحل في المعادلة التفاضلية‪.‬‬
‫التذبذبات الحرة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫أي‪:‬‬
‫وبالتالي‪:‬‬
‫إذن الدور الخاص للتذبذبات غير المخمدة يتعلق فقط ب‪ L :‬و‪ .C‬وحدته في )‪ (S.I‬هي‪.s :‬‬
‫تمرين تطبيقي‪ :‬بين من خالل معادلة األبعاد أن وحدة ‪ T0‬هي الثانية‪.‬‬
‫لدينا‪:‬‬
‫أي‪:‬‬
‫و‬
‫أي‪:‬‬
‫و‬
‫أي‪:‬‬
‫‪ .b‬تحديد‬
‫و‪Um‬‬
‫لنحدد الشروط البدئية‪ ,‬أي قيم )‪ uC(t‬و)‪ i(t‬عند اللحظة ‪.t=0‬‬
‫‪ ‬بوجود الوشيعة فإن )‪ i(t‬دالة متصلة‪ ,‬أي أن ‪.i(0)=0‬‬
‫‪ ‬بوجود المكثف فإن )‪ uC(t‬دالة متصلة‪ ,‬وكون المكثف مشحون في الحالة البدئية فإن‪.uC(0)=E :‬‬
‫التذبذبات الحرة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫أي‪:‬‬
‫‪ ‬لدينا‪:‬‬
‫ومنه‪:‬‬
‫أو‬
‫‪ ‬عند ‪:t=0‬‬
‫بما أن‪:‬‬
‫ومنه‪:‬‬
‫‪ Um>0‬و ‪ E>0‬فإننا نختار‬
‫‪Um=E‬‬
‫وبالتالي‪:‬‬
‫‪ .c‬تعبير الشحنة )‪ q(t‬وشدة التيار )‪i(t‬‬
‫لدينا‪q(t)=CuC(t) :‬‬
‫مع‪qm=CUm :‬‬
‫شدة التيار الكهربائي هي‪:‬‬
‫مع‪:‬‬
‫ملحوظة‪ :‬في دارة ‪ LC‬مثالية يكون نظام التذبذبات الحرة نظاما دوريا‪.‬‬
‫التذبذبات الحرة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫‪ .III‬انتقاالت الطاقة بين المكثف والوشيعة‬
‫‪ .1‬الطاقة في الدارة ‪ LC‬المثالية‬
‫الطاقة الكلية المخزونة في الدارة ‪ LC‬في كل لحظة هي‬
‫مجموع الطاقة المخزونة في المكثف ‪ Ee‬والطاقة المخزونة في‬
‫الوشيعة ‪.Em‬‬
‫انطالقا من منحنيات الطاقة نالحظ أن هناك تبادل طاقي بين المكثف والوشيعة‪ ,‬حيث تتحول الطاقة‬
‫الكهربائية للمكثف إلى طاقة مغنطيسية في الوشيعة والعكس‪ .‬ونالحظ أيضا أن الطاقة الكلية للدارة تبقى‬
‫ثابتة‪.‬‬
‫‪ ‬لنتحقق حسابيا من انحفاظ الطاقة الكلية للدارة ‪.LC‬‬
‫حسب قانون إضافية التوترات لدينا‪:‬‬
‫وبالتالي‪:‬‬
‫ملحوظة‪:‬‬
‫‪uC+uL=0‬‬
‫التذبذبات الحرة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫‪ ‬نشاط ‪ :2‬الطاقة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫‪ .1 .A‬نالحظ أنه كلما تزايدت ‪ Ee‬تناقصت في نفس الوقت ‪ Em‬والعكس صحيح‪ ,‬فنقول إن هناك تبادل طاقي‬
‫بين المكثف والوشيعة‪.‬‬
‫‪ .2‬نالحظ أن ‪ Et‬تتناقص مع مرور الزمن إلى أن تنعدم‪.‬‬
‫‪ .3‬مفعول جول هو المسؤول عن ضياع الطاقة‪.‬‬
‫‪ .1 .B‬نالحظ أن الطاقتين ‪ E‬و ‪ E‬تتناقصان دون تذبذب إلى أن تنعدما‪ ,‬أما الطاقة ‪ E‬فتزداد قيمتها بنسبة‬
‫‪e‬‬
‫‪t‬‬
‫ضعيفة ثم تتناقص لتنعدم هي األخرى‪.‬‬
‫‪ .2‬ال تتحول الطاقة ‪ Em‬إلى الطاقة ‪ Ee‬أبدا‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ .2‬الطاقة في الدارة ‪ RLC‬المتوالية‬
‫انطالقا من منحنيات الطاقة نالحظ أنه خالل كل تبادل طاقي بين‬
‫المكثف والوشيعة تتناقص الطاقة الكلية للدارة‪.‬‬
‫‪ ‬لنبين سبب هذا التناقص‪:‬‬
‫لدينا‪:‬‬
‫علما أن‪:‬‬
‫فإن‪:‬‬
‫إذن تناقص ‪ Et‬راجع إلى وجود مقاومة ‪ Rt‬في الدارة ‪ .RLC‬أي بسبب مفعول جول‪.‬‬
‫التذبذبات الحرة في دارة ‪ RLC‬متوالية‬
‫‪ ‬نشاط ‪ :3‬صيانة التذبذبات‬
‫‪ .1‬التوتر )‪ uC(t‬في حالة‪:‬‬
‫‪ R0<Rt ‬توتر شبه دوري‪.‬‬
‫‪ R0>Rt ‬توتر ال جيبي‪.‬‬
‫‪ R0=Rt ‬توتر جيبي ذي وسع ثابت‪.‬‬
‫‪ .2‬جهاز الصيانة يعوض الطاقة الضائعة في الدارة ‪ RLC‬حتى ال تخمد التذبذبات‪.‬‬
‫‪ .IV‬صيانة التذبذبات‬
‫يمكن صيانة تذبذبات دارة ‪ RLC‬متوالية والحصول على متذبذب ذي وسع ثابت‬
‫باستعمال جهاز يزود الدارة بطاقة تعوض الطاقة المبددة في الدارة بمفعول جول‪.‬‬
‫جهاز الصيانة يتصرف كمولد يعطي توترا يتناسب اطرادا مع شدة التيار‪:‬‬
‫)‪uG(t)=R0i(t‬‬
‫إذن نكتب قانون إضافية التوترات على الشكل‪uC+uR+uL=uG:‬‬
‫فتصبح المعادلة التفاضلية للدارة الممثلة جانبه هي‪:‬‬
‫عند ضبط ‪ R0‬على قيمة مساوية ل ‪ Rt‬نجد‪:‬‬
‫إذن سنحصل على توتر )‪ uC(t‬متناوب جيبي دوره‪:‬‬
‫وهي المعادلة التفاضلية لدارة ‪ LC‬مثالية‪.‬‬

similar documents