сложные интегралы - Томский государственный

Report
Сложные интегралы.
Шульц Денис Сергеевич
План занятия.
 Методы нахождения неопределенных интегралов
(обобщение)
 Примеры решений нестандартных интегралов
Методы интегрирования.
 Непосредственное интегрирование
 Подведение под знак дифференциала
 Метод подстановки (замена переменной)
 Интегрирование по частям
 Метод неопределенных коэффициентов
Методы интегрирования.
Подведение функции под знак дифференциала
Под знаком дифференциала можно сформировать нужное выражение и
свести интеграл к табличному.

3 + 2
cos 
1 + 5 sin 

Методы интегрирования.
Метод подстановки (замена переменной)
Проводят замену переменной, руководствуясь следующим критерием:
хороша только та подстановка, которая приводит к более простому интегралу, чем
исходный. Применяется при взятии интегралов от иррациональных,
тригонометрических функций.
3
+ +
 1+3 
2
 6  ∙ 3 

 2 
+2
+5
2 + 1

2 + 32 
 3 

4 
3
Интегралы от тригонометрических функций
Интегралы
 2 ;
Указания
4 
Применяют формулы понижения степени:
1 + cos 2
  =
2
2
2  ∙  6  
1 − cos 2
  =
2
2
sin x, cos x входят в подынтегральное
выражение только в чётных степенях
 3 ;
5 
3  ∙  2  ;
3 

4
 
Подведение под знак дифференциала:
sin   = − cos 
cos   =  sin 
В числителе sin x или cos x в нечётной
степени
cos 2 ∙ sin 5  ;
Используются формулы, переводящие
sin 3 ∙ cos 5  произведения тригонометрических функций
разных аргументов в суммы (или разности)
Методы интегрирования.
Интегрирование по частям
Метод используется при интегрировании выражений, представляющих
собой произведение разнородных функций (произведение многочлена на
показательную или тригонометрическую функцию, обратные
тригонометрические функции, логарифмические и т.д.)
UdV

UV

VdU


Методы интегрирования.
Метод неопределенных коэффициентов
(интегрирование рациональных дробей)
 2 − 9 + 14

2 +  2 + 1
4 2 + 16 − 8

3
 − 4
 2 − 9 + 14

2
 − 1  − 6 + 8
Примеры
1. Замена переменной + интегрирование по частям
2. Сведение интеграла к самому себе
3. Дроби
4. Тригонометрические функции без универсальных подстановок
Примеры

3

6 − 1 
 
sin  
 


 2 + 1 

 2 +  + 1
2−

3 + 1
4 2
Примеры для самостоятельного
решения
Пример

 
sin  
 



 2 +  + 1
Ответ
2

−1 +
2 sin  −  cos  + 
−2 cos  + 
1 1
2 +  + 1
− ln + +
 2

Вебинары «Интегральное исчисление». Апрель 2014 г.
Вебинар №8: определенный интеграл (примеры решений)
Спасибо за внимание!!!
Шульц Денис Сергеевич
Кафедра прикладной математики и
информатики
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
[email protected]
[email protected]

similar documents