PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Report
KELAS XI IPA
es-em-a islam al-izhar
pondok labu
KOMPETENSI DASAR
1. Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi
persyaratan yang ditentukan.
 Menentukan persamaan lingkaran jika diketahui pusat dan jarijarinya,
 Menentukan persamaan lingkaran jika diketahui pusat lingkaran
dan menyinggung sebuah garis tertentu,
 Menentukan pusat dan jari-jari sebuah lingkaran.
 Menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran.
2. Menentukan persamaan garis singgung pada
lingkaran dalam berbagai situasi.
 Menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik pada
lingkaran,
 Menentukan persamaan garis singgung lingkaran bergradien m.
PENGETAHUAN PRASYARAT
 Jarak dua buah titik:
Jarak titk A(x1, y1) ke titik B(x2, y2)
B
y2
dengan pythtagoras, maka:
q
y1
AB 
A
2
p q
2
2

( x 2  x1 )  ( y 2  y1 )
p
x1
x2
 Jarak sebuah titik terhadap garis.
Jarak titk P (x1, y1) ke garis l  Ax +By + C = 0
adalah: d 
P
Ax 1  By 1  C
2
A B
2
2
• Lingkaran adalah garis lengkung yang kedua
ujungnya bertemu pada satu titik.
• Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik
yang ber-jarak sama terhadap suatu titik tetap.
•Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik
tetap itu disebut pusat lingkaran
PERSAMAAN LINGKARAN
K( x1 , y1)
y1
r
O
Jika sebuah lingkaran yang berpusat
di titik O (0, 0) dan berjari-jari r cm,
Maka persamaannya dapat disusun:
OK
x1
2
2
 x1  y1
2
..... pythagoras
OK adalah r dan titik K bisa dimana saja,
2
x  y
2
r
2
Iniilah Persamaan lingkaran yang
Berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r
PERSAMAAN LINGKARAN
K ( x1 , y1)
y1
r
b
O
PK
P (a, b)
a
Jika sebuah lingkaran berpusat
di titik P (a, b) dan berjari-jari r cm,
Maka persamaannya:
x1
2
2
 ( x1  a )  ( y1  b )
2
PK adalah r dan titik K bisa dimana saja,
2
2
( x  a )  ( y  b)  r
Iniilah Persamaan lingkaran yang
Berpusat di P (a, b) dan berjari-jari r
2
SAATNYA BERLATIH . . .
1. Tentukan persamaan lingkaran :
a. Pusat O dan jari-jari melalui titik (4,6)
b. Diameter AB dimana A(0,0) dan B(6,8)
K (3, 6)
6
8
B (6, 8)
r
O
4
O A (0, 0)
6
AYO KAMU PASTI BISA …
Tentukan persamaan lingkaran :
a. Pusat O dan jari-jari melalui titik (4,6)
b. Diameter AB dimana A(0,0) dan B(6,8)
a. Pusat O dan jari-jari melalui titik (4,6)
Baik Pak Guru, sampai di
bagian ini, kami masih
mengerti dan paham ..
b. Diameter AB dimana A(0,0) dan B(6,8)
PUSAT DAN JARI-JARI LINGKARAN
Menentukan pusat dan jari-jari sebuah lingkaran:
 Untuk persamaan bentuk baku:
2
2
( x  a )  ( y  b)  r
2
Pusat (a, b) jari-jari = r
 Untuk persamaan bentuk Umum: ubah dulu ke bentuk baku.
2
2
x  y  Ax  By  C  0
2
2
x  Ax  y  By   C
2
2
2
2
( x  1 A)  ( y  1 B )  1 A  1 B  C
2
Pusat:
 12 A ,  12 B 
2
jari-jari=
4
4
2
2
1
A  1 B C
4
4
KEDUDUKAN TITIK TERHADAP
LINGKARAN
Terdapat 3 (tiga) kedudukan titik terhadap lingkaran, yaitu
titik di dalam lingkaran, titik pada lingkaran dan titik di luar
lingkaran.
Titik P(x1, y1)
Di dalam lingkaran
Titik P(x1, y1)
Pada lingkaran
P(x1, y1)
P(x1, y1)
Titik P(x1, y1)
Di luar lingkaran
P(x1, y1)
KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN
• Jika sebuah titik P(a, b) dan lingkaran L x2+ y2+ Ax+ By+ C = 0,
subtitusikan titik P ke L maka:
– P berada di luar lingkaran, jika: a2+ b2+ A.a+ B.b + C > 0
– P berada pada lingkaran, jika: a2+ b2+ A.a+ B.b + C = 0
– P berada di dalam lingkaran, jika: a2+ b2+ A.a+ B.b + C < 0
• Jika sebuah titik P(x1, y1) dan lingkaran L (x – a)2+(y – b)2 =r2,
subtitusikan titik P ke L maka:
– P berada di luar lingkaran, jika: (x1 – a)2+(y1 – b)2 > r2
– P berada pada lingkaran, jika: (x1 – a)2+(y1 – b)2 = r2
– P berada di dalam lingkaran, jika: (x1 – a)2+(y1 – b)2 < r2
KEDUDUKAN GARIS TERHADAP
LINGKARAN
Terdapat 3 (tiga) kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu garis
memotong lingkaran, garis menyinggung lingkaran dan garis tidak
memotong atau menyinggung lingkaran.
KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN
Untuk mengetahui kedudukan garis terhadap lingkaran,
maka perlu disatukan dalam satu media/ variabel
dengan cara disubtitusikan sehingga mendapatkan
persamaan kuadrat.
Berdasarkan persamaan kuadrat yang baru, hitung
diskriminan-nya (D = b2 – 4.ac).
• Jika D > 0, maka garis memotong lingkaran
• Jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran
• Jika D < 0, maka garis tidak memotong/ menyinggung
lingkaran
LATIHAN
PERSAMAAN LINGKARAN
PERSAMAAN
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
http://belajar.kemdiknas.go.id/file_storage/materi_pokok/MP_409/Flash/
lingkar%20Final%20Prevv.swf
 Persamaan garis singgung lingkaran
yang melalui sebuah titik.
 Persamaan garis singgung lingkaran
yang bergradien m
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
MELALUI TITIK G(x1, y1) pd. lingkaran
Ada dua kemungkinan, yaitu:
1. G terletak pada lingkaran: hanya ada satu
Jika persamaan lingkarannya:
G(x1, y1)
2
2
( x  a )  ( y  b)  r
2
Maka pers. garis singgungnya
adalah:
( x1  a )( x  a )  ( y1  b )( y  b )  r
2
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
MELALUI TITIK G(x1, y1) di luar lingkaran
2. G terletak di luar lingkaran: akan ada dua
G(x1, y1)
A
B
Jika persamaan lingkarannya:
2
2
( x  a )  ( y  b)  r
2
Maka pers. garis polar dari titik G
adalah:
( x1  a )( x  a )  ( y1  b )( y  b )  r
2
Perpotongan garis polar dengan lingkaran (titk
A dan B) merupakan titik-titik singgung dari
persamaan garis singgungnya.
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
BERGRADIEN m
Jika persamaan lingkarannya:
2
Maka persamaan garis singgung lingkaran yang
bergradien m dirumuskan :
( y  b)  m ( x  a )  r
m
2
1
2
( x  a )  ( y  b)  r
2
CONTOH SOAL
1. Tentukan persamaan garis singgung
lingkaran L ≡ x2 + y2 – 6x + 2y –15 = 0
yang melalui titik (7, 2)
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
L ≡ x2 + y2+ 6x – 6y – 2 = 0 ; yang melalui
titik (3, 1)
3. Tentukan persamaan garis singgung yang
sejajar dengan garis g ≡ 2x + y = 10 terhadap
lingkaran L ≡ x2 + y2 – 8x + 4y = 0
Penyelesaian contoh: 1 ….
1. Ubah persamaan lingkaran ke dalam bentuk baku,
L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 .
Uji titik (7, 2), ternyata terletak pada lingkaran
Gunakan : (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
Maka persamaan garis singgungnya :
(7 – 3)(x – 3) + (2 + 1)(y +1) = 25
4x – 12 + 3y – 34 = 25
4x + 3y – 34 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah
4x + 3y – 34 = 0
Penyelesaian contoh: 2 ….
2. Ubah persamaan lingkaran ke dalam bentuk baku,
L ≡ (x + 3)2 + (y – 3)2 = 20 .
Uji titik (3, 1), ternyata terletak di luar lingkaran
Gunakan : (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 untuk
a. menentukan persamaan garis polarnya :
(3 + 3)(x + 3) + (1 – 3)(y – 3) = 20
6x + 18 – 2y + 6 = 20  6x – 2y + 4 = 0 atau
3x – y + 2 = 0  y = 3x + 2
b. Berlanjut ….
Lanjutan Penyelesaian contoh: 2 ….
b. Subtitusikan pers. garis polar ke pers. lingkaran untuk
mendapatkan dua titik singgung.
(x + 3)2 + ((3x + 2) – 3)2 = 20  (x + 3)2 + (3x – 1)2 = 20
 x2 + 6x + 9 + 9x2 – 6x + 1 – 20 = 0
 10x2 – 10 = 0  x =  1
Titik singgungnya: (1, 5) dan (–1, –1)
c. Menentukan persamaan garis singgung:
 (1 + 3)(x + 3) + (5 – 3)(y – 3) = 20
4x + 2y = 14  2x + y = 7 dan
 (–1 + 3)(x + 3) + (–1 – 3)(y – 3) = 20
2x – 4y = 2  x – 2y = 1
Penyelesaian contoh: 3 ….
2. Ubah persamaan lingkaran ke dalam bentuk baku,
L ≡ (x – 4)2 + (y + 2)2 = 20.
karena sejajar garis g ≡ 2x + y = 10 , maka gradien
garis singgungnya akan sama, yaitu: –2
Kini gunakan rumus: ( y  b )  m ( x  a )  r m 2  1
dengan m = –2.
( y  2)  2( x  4) 
20
4 1
y  2   2 x  8  10  y   2 x  6  10
persamaan garis singgungnya adalah:
 2x + y = 16 dan 2x + y = – 4

similar documents