如何學好數學?

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黃駿耀老師
2014.04
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擔心段考成績單寄回家…
選科系要選不採計數學的…
及格好難…
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百分之八十的內容可能長大後用不到
沒辦法,學測指考要考…
還為了什麼…?
測試能耐
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隨意挑個單元
把課本蓋起來
拿張白紙,把你知道的東西寫下來
有把握寫出幾成?
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看到題目我才會算
我只會算我寫過的題目
我很認真寫講義,可是錯很多,很沒成就感
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國中數學不好,高中也不用努力(反正沒救)
題目算不夠多,公式、特殊技巧背不夠多
管他是什麼,會做題目就好
不夠聰明
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上課專心聽講,抄筆記。(而且很整齊)
回家先讀筆記、背公式。
然後將老師教過的再看一次,或照筆記再算一次。
當然也要寫講義,遇到不會的題目就看解答,並且
做記號。
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讀數學,有點像在讀小說,又有點像在料理:
1.這是什麼?
2.有什麼相關性質?
3.可以怎麼用?
4.與其他單元的結合?
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接觸新單元,先注意「定義」
◦ 學到公式、定理
◦ 比較、融合,形成「解題策略」
◦ 內化為數學內容知識
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這當中都應該修正、延伸,
做題目只是輔助過程。
學習數學需要20%的記憶與
80%的理解。
說不用背的是騙肖,
要背一大堆的也不
夠高明
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需要不斷的思考
◦ 每節課結束後都該回想:今天學到什麼「內容」?
◦ 題目是永遠做不完的,但是概念是有限的。
◦ 只記題型,反而會使概念越來越薄弱。
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數學內容環環相扣
◦ 障礙,會累積。
◦ 學測指考很愛出綜合題。
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定義:有直觀型的定義,也有數學化的定義
◦ 數學定義「非常明確」。
◦ 舉更多例子來觀察、說服自己相信。
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定義分為主要部分與附帶條件(或者限制)。
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◦
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例如:
橢圓的定義
向量
平面方程式
不算定義的數學性質
三一律、
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背得少,背得巧:
◦ 就像工具箱!
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要背的公式:
◦ 經常用到的、能省略大篇幅運算的、容易記得
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要深入理解的定理:
◦ 有什麼條件?有什麼結論?
◦ 要怎麼使用?
◦ 是否有其他定理和這個定理有關?
◦ 不要太相信補習班給的補充公式!除非以後要念數學系…
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例1:實係數二次多項方程式的公式解
◦ 相關定理:分解、根與係數關係、根的判別、不等式的處
理…
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例2:餘弦定理
◦ 相關定理:畢氏定理、正弦定理、三角形面積、…
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例3:虛根成對定理
◦ 相關定理:代數基本定理、勘根定理、…
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怎麼背?
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◦
◦
◦
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看懂它、多練習幾遍
類似公式一起背
用一個公式去推其他的公式
用數字舉例、用圖形幫助記憶
向量應用、圓錐曲線、三角形、求面積等幾何問題
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半角公式:

2
◦ cos = ±
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1+

, sin
2
2
=±
1−
2
二次式化二倍角(就是二倍角公式)
2
◦   =
1+2
1−2
2
,   =
2
2
tanα+tanβ
◦ tan α + β =
◦ tan
1−tanα×tanβ
tanα−tanβ
α−β =
1+tanα×tanβ
2tanθ
◦ tan2θ =
1−2 
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 2 + 2 =  +  2 − 2
 3 + 3 =  +  3 − 3  + 
 > 0, for t =   + −
2 + −2 =  2 − 2
3 + −3 =  3 − 3
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∆=
1
×
2
底×高
=
1

2

=

=
1
2
1
2



=

2

2
− ∙
2
×
  −   −   −  ,s =
=rs=

4
++
2

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排列:相異物直線排列、相同物排列、重複排列
組合:一般組合、重複組合
二項式定理、剩餘定理、巴斯卡定理
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一維數據和二維數據分析是在幹嘛?
標準差是做什麼用的?怎麼算?
相關係數與回歸直線
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學完新的定義或簡單公式後
◦ 老師都會講幾個簡單的題目,這時候一定要想一遍原理,
而且每個步驟都要想清楚。不能因為簡單而憑直覺寫答案,
或者背下來。
◦ 可能是定義、證明、或者一個合理的解釋、圖形可見等明
顯實例(切記,盡量不要用背的!原理會模糊,無法變通)
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圓與直線相切:
f(3)=0:
實係數多項式:
偶數:
等腰三角形:
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條件及所求
◦ 確認題目的範圍、有哪些公式可以使用
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尋找條件與解的關係
◦ (列數學式、假設未知數、列方程式)
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例:
◦
◦
◦
◦
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n是7的倍數
兩根相差2
一直線與圓相切
兩直線的交點
↔ n=7k
↔ 設兩根為k,k+2
↔ 圓心到直線的距離等於半徑
↔ 二元一次方程組的解
有時候不只一種轉換或關連
化簡方向大都是「由繁化簡」
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小範圍策略:針對某特定條件、求解或特殊格式,
所馬上想到的方向。
程度越好的同學,遇見難題時,心中會有很多想法。
而程度較差的同學,腦袋可能就一片空白。
小策略的實例:
◦ 看到分數就知道要約分、通分來運算
◦ 看到(log )2 ,就知道要設t = log 
◦ 看到相同物排列,想到要除掉這些相同物排序的方法數。
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大範圍策略:
◦ 問題比較抽象,範圍廣闊,可能是一整章,或者同時包含
好幾冊的單元。大範圍的策略威力強大,但也相對的很難
駕馭。
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策略分成三個層次:
◦ 這題怎麼做
◦ 為什麼可以這樣做,怎麼想到的?
◦ 這類的題目背後的概念是?
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解三角形的問題
指對數問題
求餘式的問題
求極值的問題
空間問題
排列組合、機率的問題
解方程式的問題
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若2<x<8,求(8-x)(x-2)2的最大值。
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若2 <  < 8, 試求 8 −   − 2 2 的最大值
◦ 問的是?
◦ 這類的問題通常該怎麼做?
◦ 開始嘗試(不見得每次嘗試都一定正確)
◦
◦
◦
◦
因為 8 −  +  − 2 =6 是定值,要善用這個線索
想到求極值的方法裡頭的算幾不等式
題目變成了:
 +  = 6 , 求2 的最大值
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座標平面上,二次函數 = 2 2 − 4 + 與X軸交於
A、B兩點,與Y軸交於C點。
若∆ABC為直角三角形,則 =?
◦ 幾何問題最好畫個圖幫助釐清題意
◦ 你想到哪些?
「垂直」讓你想到什麼?
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小策略要非常深刻,大策略是由小策略組成的。
解題策略必須根據「個人經驗」,經過「思考」之
後得出的結論,每個人的表達語言可能不盡完全相
同,但是原理應該都是通的。
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每一次解題都是經驗,把握每一次經驗多思考,策
略才會逐漸成形。答對或答錯都要檢討。尤其是沒
見過的題目,更要花時間好好的思考。
花時間思考,不等於浪費時間。
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花20分鐘沒想出來,是浪費時間?
(選手是怎麼練習的)
看過解答後蓋住答案,從頭想一遍,是哪裡有盲點?
◦ 可能是條件沒有掌握好、少想到一兩個定理、或沒有使用
某個小策略。
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如果覺得解答很奇怪,就暫時跳過它吧!
亂湊出答案更可怕!
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把當下不懂的、或者突然想通的點,用文字、數字
實例記下來,整理在該單元的講義上、或課本上。
(要用紅筆,越顯眼越好)
考試的時候就是要看這些重要的、你原本想不到的
盲點。
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要挑選精神最好的時候
旁邊一定要準備一疊計算紙
一定要拿筆算,千萬不可以用看的
抓住重點:這一章節教給你什麼?
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不一定要從第一題開始寫
思考超過兩、三分鐘沒有頭緒,先跳下一題
計算過程寫大、寫清楚
記得一定要驗算
平時多累積思考、多練習,考試自然不會粗心。練
習時要「專注」
考前不要熬夜惡補,放鬆心情
學習新單元
從基本題去
理解
從解題經驗
培養策略
(不要模仿,
筆記很重要)
策略成形,
計算後需要
驗算,逐漸
可以解決進
階題
可把小策略
融合,對大
從解出題目
範圍的問題
獲得成就感
比較有頭緒
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很痛苦,但你須強迫自己習慣
不要小看累積的威力,無論是認真或者打混
學完一個章節,把課本蓋起來,拿張白紙,把你知
道的東西寫下來,看看可以寫出多少?再對照課本,
檢討自己有哪些遺漏或錯誤之處。
自己訂個目標:下次要進步多少?
一定來得及。

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