Slide 1 - Matrice

Report
SISTEME CRAMER
Un sistem se numeste sistem Cramer daca
matricea A a sistemului este inversabila, deci daca
det A≠0.
 Un sistem Cramer are solutie unica (x1, x2, x3, …,
xn)∈Cn , data de formulele: x1  1 , x 2   2 ,...., xn   n .



 Notam cu A matricea coeficientilor necunoscutelor x1,
x2, …., xn, deci A=(aij )∈Mn(ℂ). Matricea A se
numeste matricea sistemului.

(1)
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1nxn  b1

 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 nxn  b 2

.......... .......... .......... .......... .......... ..
 an 1 x1  an 2 x 2  ...  annxn  bn

 x1 


x
2


X 
.... 


 xn 
b
1






b2 
B 
.... 


 bn 


Demonstratie. Notam
matricea coloana a
necunoscutelor si cu
matricea coloana a termenilor
liberi.
Atunci sistemul (1) se scrie AX=B (forma matriceala a
sistemului). Cum A este inversabila, aceasta ecuatie
matriceala are solutia unica X=A-1 B ∈ Mn,1(ℂ). Daca (x1,
x2, x3, …, xn)∈Cn este solutia sistemului, atunci
B=
 a11 
 a12 
 a1n 






a
21
a
22
a
2
n






x1
 x 2
 ...  xn 
 x1C 1  x 2 C 2  ...  xnCn


......
......
...... 






 an 1 
 an 2 
 ann 






coloanele matricei A.
unde C1, C2, …., Cn sunt
Fie j∈{1, 2, …, n}. Din proprietatea 3 a determinantilor
rezulta ca
△j=det(C1, C2, …, Cj-1, B, Cj, …, Cn)=det(C1, C2, …., Cj-1,
n
n
 xk Ck, Cj+1, …, Cn)=  det( C 1, C 2 ,..... Cj  1, xkCk , Cj  1,...., Cn )
k 1
k 1
n
=
 xk
det(C1,C2,…,Cj-1, Ck, Cj+1,…., Cn)=
k 1
=xj det(C1, C2, ….,Cj-1, Cj, Cj+1, …, Cn)=xj det A=
=xj △, deoarece A=(C1, C2, …, Cj-1, Cj, Cj+1,…, Cn) si pentru
orice k≠j det(C1, C2,…, Cj-1, Ck, Cj+1, …, Cn)=0 fiind
determinantul unei matrice cu doua coloane egale.
Cum △≠0 rezulta ca xj=  j , j∈{1, 2,…., n}.

EXEMPLU: Sa se rezolve peste ℂ
2 x  y  z  3
sistemul x  y  z  0

 3 x  2 y  2 z  13

2
Matricea sistemului are determinantul 
deci sistemul este Cramer.
3 1 1
Avem:
,
1  0
1
13
2
 1  12
2
2
3
2  1
0
3
13
 1
1
3
2
1
 1  24
2
1
si
1
 1  12  0
2
1
3
3  1
1
0  36
3
2
2
13
Aplicand regula lui Cramer obtinem: x=△1/△=12/12=1,
y=△2/△=24/12=2 si z=△3/△=36/12=3. Deci solutia
sistemului ese (1, 2, 3)
Exercitii propuse:
2 x  y  z  4

(1)  3 x  4 y  2 z  11
 3 x  2 y  4 z  11

x  y  z  3

(2)2 x  3 y  4 z  9
 4 x  9 y  16 z  29

x  y  z  1

(3)  2 x  y  z  2
 x  ay  3 z  0

 ax  y  z  1

( 4 )  x  ay  z  2
 x  y  az  3

SISTEME COMPATIBILE

Forma generala:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1nxn  b1

 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 nxn  b 2

.......... .......... .......... .......... .......... ..
 am 1 x1  am 2 x 2  ...  amnxn  bm

(1)
unde a11, a22, …, amn ∈ℂ, b1, b2, … bm ∈ℂ,
x1, x2,…., xn ∈ℂ.
x1, x2,…., xn - necunoscute
b1, b2, … bm - termeni liberi
aij∈ℂ(1≤i≤m, 1≤j≤n) – coeficientii necunoscutelor
In cazul in care m=n adica numarul de ecuatii
coincide cu nr de necunoscute, sistemul liniar
respectiv se numeste sistem liniar patratic.
 Sistemului liniar (1) ii asociem in mod natural
urmatoarele doua matrice:

 a11

 a 21
A
...

 am 1

Ā=
 a11

 a 21
 ...

 am 1

a1n 

a 2 n  ∈M
m,n(ℂ)
... 

amn 
a12
...
a 22
...
...
...
am 2
...
a12
...
a1n
a 22
...
a 2n
...
...
...
b1 

b2 
... 

bm 
numita matricea
sistemului
∈Mm,n+1(ℂ) numita
matricea extinsa
am 2 ... amn
 Observam ca matricea extinsa provine din
matricea sistem, careia ii adaugam coloana
termenilor liberi.

Daca notam cu X coloana necunoscutelor si cu B
coloana termenilor liberi, adica:
 x1 


 x2 
X 
.... 


 xn 


∈Mn,1(ℂ)
 b1

b2
B
....

 bm








∈Mm,1(ℂ) ,
observam ca sistemul liniar (1) se scrie sub forma
ecuatiei matriceale: AX=B (2).
Egalitatea (2) se numeste forma matriceala a
sistemului liniar (1).
Sistemul liniar (1) se numeste compatibil daca are
cel putin o solutie, respectiv incompatibil daca nu
are nici o solutie.
In cazul cand sistemul este compatibil si are o
solutie, spunem ca sistemul este compatibil
determinant, iar daca are mai multe solutii
spunem ca este compatibil nedeterminat.
Rangul matricei A a sistemului se mai numeste
rangul sistemului; ecuatiile care corespund
liniilor principale(respectiv secundare) ale
matricei A se numesc ecuatii principale(respectiv
secundare); necunoscutele care corespund
coloanelor principale(respectiv secundare) se
numesc necunoscute principale(respectiv
secundare).
Teorema 1 (Kronecker – Capelli) Un sistem
liniar este compatibil daca si numai daca rangul
matricei sistemului este egal cu rangul matricei
extinse.
 Demonstratie:
S. l. (1) se scrie sub forma echivalenta:

 a11 
 a12 
 a1n





 a 21 
 a 22 
 a 2n
x1

x
2

...

xn
 ...

 ...
... 





 am 1 
 am 2 
 amn





  b1 
 

  b2 
   ... 
 

  bm 
 

(3)
Presup. s. l. (1) compatibil si demonstram ca
matricele A si Ā au acelasi rang. S. l. (1)
compatibil rezulta ca exista x1, x2, …, xn ∈ℂ a.i .
are loc egalitatea (3). r si r’ sunt rangurile matricelor
A si Ā. A este submatrice a matricei Ā rezulta ca r≤r’.

Fie △ un minor de ordin r+1 al matricei extinse Ā.
Daca △ este minor al matricei A, de rang r, rezulta ca
△=0. Daca △ are ultima coloana formata din termeni
liberi din (3) rezulta ca aceasta coloana este o
combinatie liniara de coloane ale matricei A si atunci
△ este combinatie liniara de minori de ordin r+1 ai
matricei A, minori nuli, prin urmare △=0. Din r≤r’ si
r’≤r rezulta r’=r.
Definitie: Fie △ un minor principal al matricei A a
sistemului liniar (1). Bordatii minorului △ in matricea
extinsa Ā, care au ultima coloana formata din termeni
liberi (daca exista asemenea bordati) se numesc
minori caracteristici.
 Daca matricea A are rangul r, minorii caracteristici au
ordinul r+1, iar conditia necesara si suficienta sa
existe minori caracteristici este r<m, adica rangul sa
fie mai mic decat numarul ecuatiilor.
 Exemplu:
 a11 x1  a12 x 2  a13 x 3  b1
Daca sistemul liniar:  a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x 3  b 2 are minorul

 a 31 x1  a 32 x 2  a 33 x 3  b 3
 a 41 x1  a 42 x 2  a 43 x 3  b 4

principal △= a 21 a 22 atunci minorii caracteristici sunt:
a11 a12 b1
a11 a12 b1
si
a 21 a 22 b 2
a 21 a 22 b 2
a11
a 31
a 32
b3
a 41
a12
a 42
b4
Teorema (2) (Rouche) In cazul r<m (rangul
sistemului mai mic decat numarul ecuatiilor) s. l.
(1) este compatibil daca si numai daca toti
minorii caracteristici sunt nuli.
 Demonstratie:
Presupunem s. l. (1) compatibil. Rangul matricei
extinse Ā este egal cu rangul r al matricei A
(Teorema (1)). Deoarece minorii caracteristici
sunt minori de ordinul r+1 ai matricei Ā, rezulta
ca ei sunt nuli.


Exemplu:

x  y  z  1

2 x  3 y  5 z  3
1 1
Solutie: 2 3
=1 ≠0, deci r=2/. r=m rezulta
sistemul este compatibil. Deoarece minorul
principal este △p=
rezulta ca necunoscutele
1
principale sunt x si y,12 iar
necunoscuta secundara z.
3
Sistemul se scrie echivalent  x  y  1  z
si, aplicand
2 x  3 y  3  5 z
regula lui Cramer, obtinem x=
1 z
1
3  5z
3
1
1
2
3
=2z; y=
1
1 z
2
3  5z
1
1
2
3
=1-3z
Notam z=λ ∈ℂ rezulta multimea solutiilor sistemului
este S={(2λ, 1-3λ, λ) | λ∈ℂ}



Exercitii propuse:
(5)
(6)
x  2 y  z  t  1

 x  2 y  z  t  1
 x  2 y  z  5t   5

 x  y  3 z  1

2 x  y  2 z  1

x  y  z  3
x  2 y  3z  1

Raspunsuri:
(1) (3, 1, 1)
(2) (1, 1, 1)
(3) a≠-3
(4) a∈ R \ {-2, 1}
(5) (λ, m, -λ+2m, -1)
(6) incompatibil


similar documents