f p

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標準分數與常態分配
10/26/101
Ζ 分數
• 一個分數在平均數上幾個標準差
z 
XX
Sx

x
Sx
Ζ 分數
• 一個分數在平均數上幾個標準差
– 每一個離均差
– 以標準差為單位進行的轉換
z
x
Sx
Ζ 分數
• 你的原始分數,缺乏相對位置的意涵
• 你比你的平均數大了(或小了)幾個SD。
– 比平均數大了一個SD,z分數就等於1
– 比平均數小了一個SD,z分數就等於-1
– 剛好等於平均數,z分數就等於0
z
x
Sx
z分數直線轉換為Z分數
• 先減去平均數,因此平均數變為 0
• 在除以標準差,因此標準差變為 1
z
x
Sx
原始分數轉換成Z分數
• 先減去平均數,再除以標準差。
• 請問這個測驗原始分數的平均數=??
• 請問這個測驗原始分數的標準差=??
34
6
z
x
Sx
課堂練習
• 在一個M=75,SD=15的分配裡;某生的得
分是93。如果此一分配轉換為 M=100,
SD=20的分配時,該生的得分為多少?
• 先將第一個分配的原始分數轉換成z分數,
• 再到第個分配把z分數還原為原始分數。
百分位數
• 從一個人的等級換算成分數
PR
Pp  l 
N  F
( 100
• 分數 = 下限分數 + (等級)x 分數
• 等級=這一組的第幾個等級
• 除上這一組有fp 個人,
fp
PR
100
N F
)h
百分位數
• 從一個人的等級換算成分數
PR
Pp  l 
•
Pp
( 100
N  F
fp
分數 = 下限分數 l + (等級) x 分數 h
)h
百分位數
•
•
•
•
•
從一個人的等級換算成分數
PR
等級
N  F
100人中的74 P p  l  ( 100
fp
55人中的40.7
這一組的第幾個等級 PR
– 40.7 – 35 = 5.7
• 除上這一組有fp 個人,
– 5.7/8 = 0.7125
N F
100
PR
N  F
100
fp
)h
百分位數
• 從一個人的等級換算成分數
• 等級
PR
Pp  l 
N  F
( 100
• 100人中的74,55人中的40.7
fp
PR
N
100
• 第40.7位,比第35位,高了5.7位
– 40.7 – 35 = 5.7
)h
PR
100
N F
百分位數
• 從一個人的等級換算成分數
PR
• 等級
N  F
Pp  l 
( 100
fp
• 5.7個等級,由fp個人分
• 除上這一組有fp 個人,
–
– 5.7/8 = 0.7125
PR
N  F
100
fp
)h
8個人的第5.7位,在5分中得幾分?
5
1
5
1
1
43
1
59.5
百分位數
• 從一個人的等級換算成分數
PR
• 等級
N  F
Pp  l 
• 5.7/8 = 0.7125
• 0.7125x 5 = 3.5625
( 100
PR
100
(
fp
)h
N F
fp
)h
百分位數
• 從一個人的等級換算成分數
PR
Pp  l 
• 計算分數
• 54.5+3.5625 = 58.06
( 100
N  F
fp
)h
可對折,且兩半之面積相等
常態分配
Normal Distribution
實物分配的形狀
如左右對稱之鐘形分配
常態分配之舉例
• 智商
• 身高
• 體重
常態分配源自於二項分配
• 一個事件的兩個結果機率相等p=q=.50
• 一個事件重複無限多次,且p=q=.50時的
• 對稱二項分配
• 常態分配乃結果機率相等之重複多次的對
稱二項分配
投擲一個銅板
• 預期投擲多少次,才能期望出現連續丟出
16個正面?
• 65,536
投擲一個銅板16次之二項分配
當投擲一個均勻的銅板無線多次時
長方形的寬度愈來愈細小,變成一個平滑的曲線
二項分配之平均數與標準差
• 平均數 n x .5 = n x p= np
• 變異數 n x .5 x .5 = n x p x q = npq
圖6-1之平均數與標準差
平均數= 8
標準差= 2
改變成z分數
原始分數
8
10
6
4
2
1
Z分數
用z分數呈現
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0.4998
計算平均數以下的面積
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
結果
次數
8
12870
7
6
8
11440
8008
4356
4
3
2
1820
560
120
1
0
16
1
4
6435+11440+8008+4356+1820+560+120+16+1=32756
總次數: 65536
0.0245
請問z=-2以下之面積
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
結果
次數
8
12870
7
6
8
11440
8008
4356
4
3
2
1820
560
120
1
0
16
1
4
總次數: 65536
結果
請問z=2以下之面積
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
次數
16
1
15
14
13
16
120
560
12
11
10
1820
4356
8008
9
8
11440
12870
4
總次數: 65536
常態分配的面積
正負一個標準差
.6826
正負兩個標準差
正負三個標準差
.9544
.9974
常態分配的面積
• 查附錄表A。
• Z分數可正可負。
• 計算某個z分數以下的面積
– 正的加上.50,
– 負的用.50去減
• 舉例
– z=.33, z=1.0, z=1.285
– Z=-.33, z=-1.20, z=-2.58
常態分配的面積
• 查附錄表A。
• 機率是該z分數與z=0之間的面積。
• Z分數可正可負。
找出某z分數以下的面積
• 計算某個z分數以下的面積
– 正的加上.50,
– 負的用.50去減
• 舉例
– z=.33, z=1.0, z=2.28
– Z=-.33, z=-1.20, z=-2.58
找出某z分數以下的面積
z分數
以下的面積
z=.33
.6293
z=1.0
.8413
z=2.33
.9901
z=-.33
z=-1.20
z=-2.58
有幾個特別重要的z分數
z分數
以下的面積
.9500
.05
.9901
.01
.9950
.005
例題
• 在一個μ=100, σ=20的標準化測驗裡,某生
的得分是95,請問某生的得分贏過多少人?
常態分配中一個四分差Q
等於多少個σ
常態分配中1/2個四分差—
1/2Q1等於多少個σ
偏態與峰度
m1 
• 一級動差—一次均差
 X  X   0
N
 X  X 
2
• 二級動差—二次均差
m2 
S
2
N
 X  X 
3
• 三級動差—三次均差
• 四級動差—四次均差
m3 
N
 X  X 
4
m4 
N
偏態的指標 g1
g1 
m3
m
 X  X 
3
m3

m2
m2
3
g1 
N
2
S S

 X
NS
X
3
 z

3
N
3
z
3
一次、二次、三次、四次
• 一次均差
m1 
 X  X   0
N
 X  X 
2
• 二次均差
m2 
S
2
N
 X  X 
3
• 三次均差
m3 
N
 X  X 
4
• 四次均差
m4 
N
?
Z分數的一次、二次、三次與四次方
z
1
• 線條:可能正數,可能負數
z
2
• 面積: 加總後一定是正數
z
3
• 體積:可能正數,可能負數
z
4
• 沒概念:加總後一定是正數
低分組
z分數為負
高分組
z分數為正
g1 
 X  X 
NS
偏態之正偏
3


X  X 
• 有些 X  X
• 有些
3
3
3
大於 0
小於 0
• 大於0的加總比較大,
• 小於0的加總比較小,
• 總加之後是正值
偏態之正偏
• 分數集中於低分組
• 低分組分數與平均值較為靠近,離均差小
• 高分組分數與平均值較為遙遠,離均差大
g1 
 X  X 
NS
g1  z
3
3
 0
3
0
負偏態
• 分數集中於高分組
g1 
 X  X 
NS
3
3
0
低分組
z分數為負
高分組
z分數為正
峰度
峰度
g2 
m4
m
2
 3
 X  X 
4
g2 
N
2 2
S S

 X
NS
X
4

4

z
N
4
z
4
高狹峰
• 有大量的分數集中於平均數附近時,
• 便需要有更多的極端值
• 當有較多的極端值時
 X  X 
4
g2 
N
2 2
S S

 X
NS
 X
4

4

• 會愈大、不變或者是愈小?

z
N
4
 z
4

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