Matriks (Lanjutan)

Report
http://rosihan.web.id
• Kegunaan : untuk mempermudah dalam
pengoperasian, khususnya untuk matrix berorde tinggi.
• Jika dua matrix seorde disekat secara sebangun, maka
dapat dilakukan penjumlahan dan pengurangan pada
sekatan-sekatannya.
jika : A mxn   A1
A 2  dan B mxn   B1
B2 
(A 1 dan B 1 berorde m x n 1 serta A 2 dan B 2 berorde m x n 2 )
Maka : A  B   A1
http://rosihan.web.id
A 2    B1
B 2    A1  B1
A2  B 2 
• Berlaku juga untuk penyelesaian perkalian
antar matrix.
• Matrix-matrix yang akan dikalikan harus
disekat sedemikian rupa sehingga
memenuhi syarat operasi perkalian.
• Jumlah kolom dari sekatan-sekatan yang
dikalikan harus sama dengan jumlah baris
dari sekatan-sekatan pengalinya.
http://rosihan.web.id
jika : A mxn   A1
A 2  dimana
A 2 berorde m x n
2
dan B nxp
 B1 
   dimana
B 2 
A 1 berorde m x n 1 ,
B 1 berorde n1 x p ,
B 2 berorde n 2 x p
Maka : AB   A1
http://rosihan.web.id
 B1 
A 2      A1 B1  A 2 B 2 mxp
B 2 
contoh :
A   A1
5
A2   
4
5
A1 B1  
4
6 2

3 4
7
A2 B 2  
2
8 7

1 3
6
7
3
2
5
1
0
9
3   34
 
6   20
8   73
 
2  17
107
AB   A1 B1  A 2 B 2   
 37
http://rosihan.web.id
2

8
4
 B1 

 B   
1
 B2  7

3
103
32
31
23
72
9
51 

30 
72 

18 
123 

48 
5
1
0
9
3

6

8

2
• Determinan selalu berbentuk bujursangkar,
dilambangkan  |A|
• Nilai numerik |A|
A 
http://rosihan.web.id
a 11
a 12
a 21
a 22
 a 11 a 22  a 21 a 12
a 11
a 12
a 13
A  a 21
a 22
a 23 
a 31
a 32
a 33
a 11 a 22 a 33  a 12 a 23 a 31  a 13 a 21 a 32
 a 11 a 32 a 23  a 12 a 21 a 33  a 13 a 22 a 31  scalar
n
A 
a
j 1
http://rosihan.web.id
1j
C2 j 
scalar
• Laplace Expansion by cofactors;
if |A| = 0, then |A| is singular, i.e., under identified
a 11
a 12
a 13
A  a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
C ij    1 
i j
M 11 
M 12 
M
a
M 13 
j 1
http://rosihan.web.id
1j
a 23
a 32
a 33
a 21
a 23
a 31
a 33
a 21
a 22
a 31
a 32
ij
n
A 
a 22
C1 j
• Pattern of the signs for cofactor minors




C ij    1 
http://rosihan.web.id

























i j
M
ij
• C' or adjoint A: Transpose matrix of the cofactors of A
 C 11

 C 12
C  
nxn

C
 1 n
http://rosihan.web.id
C 21 
C 22 

C 2n 
C n1 

Cn2 
  adj A



C nn

Andaikan
 a 11
:A  
 a 21
dan balikannya
maka menurut
 a 11

 a 21
b11 
b 21 
dilambangk
difinis
a 12   b11
 
a 22   b 21
Berorde 2x2
an dengan
a 11 a 22  a 21 a 12
 a 21
a a 22  a 21 a 12
A
-1
 b11
 B  
 b 21
b12 

b 22 
AB  I
b12   1
 
b 22   0
a 22
http://rosihan.web.id 11
a 12 

a 22 
b12 
b 22 
0

1
 a 12
a 11 a 22  a 21 a 12
a 11
a 11 a 22  a 21 a 12
Determinan
|A|
 a 11

a 21

 

 a n1
http://rosihan.web.id
a 12

a 22


an2

a1 n 

a2n

 

a nn 
 C 11

 C 12


C
 1 n
C 21 
C 22 

C 2n 
C n1 

Cn2 



C nn 

 n
  a1 j C 1 j
 j 1

n

 a 2 j C1 j
 j 1
AC   
nxn




n

a C
  nj 1 j
j 1


http://rosihan.web.id
n
a
n
1j
C2 j 
j 1
1j
C nj
2 j
C nj
j 1
n
a
a
n
2 j
C2 j 
j 1
a
j 1


n
a
j 1
n
nj
C2 j 
a
j 1
nj
C nj


















AC   



http://rosihan.web.id
A
0

0
A



0
0

0
1


0
0

 A





A 
0
0

1


0

0

0
 AI
n


1
Inverse of A
AC   A In
AC 
A
A A
C
C
A
 I
C
1
 A I
A
A
A
http://rosihan.web.id
 I
1
 A
1
• Sehimpunan persamaan linier dapat disajikan dalam bentuk
notasi matrix.
• Bentuk umumnya :
A m xn X nx1 = c mx1
• Jika m = n dan A mempunyai inverse  matrix bujursangkar
yang non-singular, maka :
A n xn X nx1 = c nx1
http://rosihan.web.id
•
Penyelesaian untuk vektor kolom x dapat diperoleh dengan
membalik matrix A :
X n x 1 = A-1 n x n c n x 1
•
Selain itu juga bisa diselesaikan dengan kaidah cramer
http://rosihan.web.id
x 
*
1
x 
*
2
x 
*
n
http://rosihan.web.id
1
A
1
A
1
A
n
d
i
C i1
i
Ci2
i
C in
i 1
n
d
i 1
n
d
i 1
1
x 
*
1
A
n
d
a
i
A1 
C i1
i 1
ij
C ij
d
i 1
x 
n
A 
n
*
1
A1
A
i 1
n
A 

i 1
http://rosihan.web.id
a i1 C i1
x 
*
n
An
A
1
C i1
x 
*
1
1
A
x 
*
1
http://rosihan.web.id
d
1
C 11  d 2 C 21    d n C n 1
d1
a 12

a1 n
1 d2
a 22

a2n
A


dn
an2


a nn

A1
A


similar documents