Geom_rakst

Report
STIEŅA ŠĶĒRSGRIEZUMA LAUKUMA ĢEOMETRISKIE RAKSTUROTĀJI
Stieņa šķērsgriezuma formai nav nozīmes risinot tādus statikas uzdevumus kā balstu
reakciju un iekšējo piepūļu (statiski noteicamām sistēmām) noteikšana, bet forma un līdz
ar to arī figūru laukumu ģeometriskie raksturotāji ir būtiski, aprēķinot konstrukcijas
elementu stiprību, stingumu un noturību.
1. Plakanu figūru laukumu statiskie momenti, smaguma centru noteikšana
Par figūras laukuma statisko momentu pret kādu no asīm, kas
atrodas figūras plaknē, sauc lielumu, ko iegūst summējot, pa
visu figūras laukumu elementāro laukumiņu reizinājumus ar šo
laukumiņu attālumiem līdz attiecīgajai asij.
No definīcijas izriet, ka figūras laukuma statiskais moments ir
noteiktais integrālis, veicot integrēšanu pa visu figūras
laukumu.
Tātad statiskais moments pret x asi ir
S x   ydA, bet pret y asi S y   xdA .
A
Statisko momentu mērvienības atbilst garuma mērvienību kubam
A
(mm3,
cm3,
m3, u.c.).
Gadījumos, kad figūras laukums sastāv no vienkāršākām ģeometriskām figūrām —
taisnstūriem, trīsstūriem, riņķiem, u.c., nosakot pilnā laukuma statisko momentu,
integrēšanu var aizstāt ar summēšanu:
n
S x  S1x  S 2 x  ...  S nx   yi Ai ;
i 1
n
S y  S1 y  S 2 y  ...  S ny   xi Ai ,
Ai — vienkāršo figūru laukumi;
yi un xi — vienkāršo figūru laukumu smaguma centru koordinātes.
i 1
kur
Tātad sarežģītas figūras laukuma statiskais moments pret kādu no asīm ir tā atsevišķo
daļu statisko momentu algebriska summa pret to pašu asi.
Šīs summas aizstājot ar visa laukuma statisko momentu pret tām pašām asīm, iegūstam
Sx = A·yc ;
Sy = A·xc ,
kur:
A — visas figūras laukums;
yc un xc — pilnā laukuma smaguma centra koordinātes.
Līdz ar to iegūstam sakarības saliktu figūru laukuma smaguma centra koordināšu
noteikšanai:
xc 
Sy
A
kur

S1 y  S2 y  ... Sny
A1  A2  ... An
;
S x S1x  S2 x  ... Snx
yc 

,
A
A1  A2  ...  An
,
Sx — visa šķērsgriezuma laukuma statiskais moments pret x asi;
S1x, S2x,... , Snx — kopējā laukuma atsevišķo daļu laukumu statiskie momenti pret
x asi.
A1, A2, ..., An — atsevišķo daļu laukumi, bet A= A1+A2+...+An figūras pilnais
laukums.
Statiskā momenta vērtība ir atkarīga no asu stāvokļa, pret kurām nosaka statisko
momentu. Tā kā figūras laukumam vienmēr ir pozitīva vērtība, bet smaguma centra
koordinātes var būt gan pozitīvas, gan negatīvas atkarībā no tā, kurā ass pusē atrodas
laukuma lielākā daļa, tad statiskie momenti var būt gan pozitīvi, gan negatīvi, gan arī
nulle.
Tātad jāeksistē vienai noteiktai asij, pret kuru laukuma statiskais moments ir nulle. Ja
ņem vērā, ka statiskais moments nosakāms reizinot figūras laukumu (un tas nav nulle) ar
tā smaguma centra attālumu no konkrētās ass, varam secināt, ka statiskā momenta
vērtība var būt nulle tikai tādā gadījumā, ja šķēluma smaguma centra koordināte pret
attiecīgo asi ir nulle.
Tātad koordinātu asīs, kuras iet caur šķēluma smaguma centru statiskais moments ir
nulle.
Asi, kas iet caur figūras laukuma smaguma centru, sauc par centrālo asi.
Simetriska laukuma statiskais moments pret simetrijas asi vienmēr ir vienāds ar nulli.
Tas nozīmē, ka simetriskām figūrām smaguma centrs atrodas uz simetrijas ass.
2. Laukumu inerces momenti
Nosakot stieņu lieces vai vērpes izraisītos pārvietojumus, nākas izmantot speciālus stieņu
šķēluma ģeometriskos raksturotājus – inerces momentus.
Par figūras laukuma aksiālo inerces momentu sauc lielumu, ko iegūst, pa visu figūras
laukumu A summējot elementāro laukumiņu dA reizinājumus ar šo laukumiņu attālumu līdz
dotajai asij kvadrātiem.
Tātad aksiālos inerces momentus pret asīm x un y nosaka integrāļi:
I x   y 2 dA;
A
I y   x 2 dA.
A
Aksiālie inerces momenti neatkarīgi no koordinātu asu izvietojuma vienmēr ir pozitīvi un
nevar būt vienādi ar nulli. Aksiālos inerces momentus mēra vienībās, kas atbilst garuma
mērvienību ceturtajai pakāpei (mm4, cm4, m4, u.c.).
Nesimetriska šķērsgriezuma siju liecē sastopams parametrs ko iegūst,
pa visu figūras laukumu summējot elementāro laukumiņu reizinājumus
ar attālumiem līdz divām savstarpēji perpendikulārām asīm. Šo lielumu
sauc par laukuma centrbēdzes inerces momentu un to nosaka sakarība:
I xy   xydA.
A
Centrbēdzes inerces momenta mērvienība arī ir garuma mērvienība
ceturtajā pakāpē. Atšķirībā no aksiālajiem inerces momentiem centrbēdzes inerces moments var būt gan pozitīvs, gan negatīvs vai arī nulle.
Ja y ass ir figūras simetrijas ass, centrbēdzes inerces moments pret
centrālajām x un y asīm vienāds ar nulli. Ikvienam laukumiņam dA, kas atrodas
pa labi no y ass atbilst tāds pats laukumiņš pa kreisi no y ass. Pirmajā gadījumā
laukumiņa novietojumu raksturo pozitīva x koordinātes vērtība, bet otrajā - tik
pat liela pēc absolūtās vērtības, bet negatīva koordināte. Tātad simetriskas
figūras lau-kuma centrbēdzes inerces moments pret divām savstarpēji
perpendikulārām centrālajām asīm, no kurām viena ir simetrijas ass, vienmēr
vienāds ar nulli.
Par polāro inerces momentu sauc figūras elementāro laukumiņu dA
reizinājumu ar attālumu ρ kvadrātu līdz uzdotam punktam (polam O) summu,
veicot summēšanu pa visu šķēluma laukumu A.
Tā kā  2  x2  y 2 , tad varam pierādīt sekojošu īpašību


I p    2dA  x2  y 2 dA   x2dA   y 2dA  I y  I x
A
A
A
A
(polārais inerces moments ir vienāds ar divu aksiālo inerces momentu summu
ortogonālās asīs, kuras iet caur polu O). Polārā inerces momenta mērvienība
arī ir garuma mērvienība ceturtajā pakāpē un tas vienmēr ir pozitīvs.
3. Sakarības starp laukuma inerces momentiem savstarpēji paralēlās asīs
x2  x1  b,
y2  y1  a
I x2   y22 dA
I y2   x22 dA
A
A
I x2    y1  a dA   y12dA 2a y1dA a 2  dA 
2
A
A
A
A
 I x1  2aSx  a2 A
I y2   x1  b dA  I y1  2bSy  b2 A
2
A
I x2 y2   x1  a  y1  b dA   x1 y1dA  a  y1dA 
A
A
A
 b  x1dA  ab dA  I x1 y1  aSx1  bSy1  abA
A
A
I x2  I x1 0  a2 A;
I x1 0  I x2  a2 A;
I y2  I y1 0  b2 A;
I y1 0  I y2  b2 A;
I x2 y2  I x1 0y1 0  abA.
I x1 0y1 0  I x2 y2  abA.
Pārejas formulas no centrālām asīm
uz jebkurām tām paralēlām asīm.
Asīs, kuras iet caur figūras smaguma
centru ir minimālie šķērsgriezuma
aksiālie inerces momenti.
Vienkāršu plakanu figūru laukumu inerces momenti

Ix 
h
2

h
2

h
2
 y bdy  b  y dy  2b  y dy  2b
2

2
h
2

2
2
h
2
0
R
R
I p    dA   d   d  2   d 
2
3
a
0
Ix  Iy 
Ip 

32
Ip
2

d ār4 
Ix  I y 
Ip
2
0
D 4
2  32

32
3
0

D 4
64




y3
3
0
R 4
2
bh3

12

D 4
32
R 4
4
4
diekš
 0,1d ār4 1  a 4
 0,05d ār4 1  a 4
h
2

a
diekš
d ār
hb3
Iy 
12
Sakarības starp inerces momentiem pie asu pagriešanas
x  y sin   x cos ;
y  y cos  x sin  .
I x   y2 dA    y cos  x sin   dA 
2
A
A
 cos2   y 2 dA  2 sin  cos  xydA  sin 2   x 2 dA.
A
A
I x  I x cos2   I y sin 2   I xy sin 2
I y  I x sin 2   I y cos2   I xy sin 2
I x  I y  I x  I y
I x y 
Ix  Iy
2
sin 2  I xy cos 2
A
Galvenās asis un galvenie inerces momenti
dIx
d e

Ix  Iy
tg 2 e  
I max 
min
2 sin 2 e  I xy 2 cos 2 e  0
2
2 I xy
Ix  I y
Ix  I y
2

1
2
I
2


I

4
I
x
y
xy
2
Turpmāk tiks izmantoti sekojoši jēdzieni:
1. asis, kurās figūras centrbēdzes inerces momenta vērtība ar nulle, sauksim par galvenajām
asīm;
2. gadījumos, kad šo asu sākumpunkts sakrīt ar figūras smaguma centru, asis sauksim par
galvenajām centrālajām asīm;
3. figūru inerces momenti pret šīm asīm attiecīgi tiks saukti par galvenajiem inerces momentiem
vai galvenajiem centrālajiem inerces momentiem.
Šķēluma inerces rādiuss.
ix 
Ix
A
imax 
I max
A
imin 
I min
A
Pretestības moments
Aksiālais pretestības moments ir figūras laukuma galvenā centrālā inerces momenta
dalījums ar figūras attālākā punkta attālumu līdz galvenajai centrālajai inerces asij.
Wx 
Ix
,
ymax
Wy 
Iy
xmax
Taisnstūrim
Ix
bh3  2 bh2
Wx 


,
ymax 12  h
6
Riņķim
Ix
d 4  2 d 3
Wx  Wy 


;
ymax 64  d
32
hb2
Wy 
6
Riņķa gredzenam




Ix
D4 1  a 4  2 D3 1  a 4
Wx 


;
ymax
64  D
32

similar documents