二項分配(298 KB )

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二項分配
林鈺傑
大綱
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什麼是隨機變數?
什麼是分配?
什麼是伯努利分配?
什麼是二項分配?
二項分配的期望值
二項分配的變異數
二項分配如何趨近常態分配
什麼是隨機變數
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在學機率的時候,我們常常是用事件的角
度來看每件事情發生機率
例如:骰子擲出 i 點的事件記為Ai,然後我
們就會說擲出i點的機率P(Ai)=1/6
什麼是隨機變數
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如果我們現在所討論的問題,都變成了是
計算幾次的時候。我們可以把這些事件都
改換成是一個由R=>[0,1]的一個函數f,這
就是將事件轉換隨機變數。
像以之前骰子的例子,如果骰子點數的隨
機變數的函數f,我們就會說
f(i)=1/6,i=1,2,3,4,5,6
何謂分配
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分配指的是什麼呢?
分配就是我們將剛才的那個隨機變數的函
數f,而一般為了更清楚表達這概念,常會
利用圖形的方式來了解。
何謂分配
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f
骰子的函數分配圖
x 
1
6
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
1
2
3
4
5
6
何謂分配
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常態分配的圖 f  x  
1
2

e
1
2
x
2
什麼是伯努利分配
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伯努利試驗:
在之前的機率當中,我們談過試驗這個
詞。如果這個試驗只會有兩種結果的話,
我們就稱這試驗為伯努利試驗。一般我們
將這兩種結果分別稱為成功,以及失敗。
什麼是伯努利分配
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如果我們將成功定義為數值1,其發生機率
為p;將失敗定義為0,其發生機率為1-p。
那麼伯努利分配的形式將變為
f
x 
p
x
1  p 
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
1 x
什麼是二項分配
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如果我們重複進行了n次的伯努利試驗,然
後將成功的次數當做定義。這樣所表達出
來的結果我們就稱為二項分配。會以
X  B  n, p 
來表達這分配的樣式。
什麼是二項分配
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所以我們現在所要了解的事情是,在n次試
驗當中,如果成功了x次,這件事的機率為
多少。
成功了x次,所以失敗了n-x次。將所有有x
次成功和n-x次失敗做排列的方法數有。或
是說n次試驗中,取出x次是成功的方法數
有。
n!
n
x ! n  x  !
 Cx
什麼是二項分配
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依前一張的討論,你會知道有 C xn 種發生x
次成功,n-x次失敗的方法。又你會知道每
種發生x次成功n-x次失敗的機率為 p 1  p 
所以總括來說,你會了解到在n次試驗中發
生x次成功的機率密度函數為:
x
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f
x  C
n
x
p
x
1  p 
n x
n x
什麼是二項分配
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而其圖如下所示
什麼是二項分配
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現在讓我們來看看幾題例題吧。
例題1
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已知一個不均勻銅板,出現正面的機率為
2/3,出現反面的機率為1/3,今丟此銅板5
次,試求
(1)恰出現3次正面的機率為
(2)恰在第5次,出現第3次正面的機率為
例題2
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有一個二項分配X~B(10,0.3),試求下列機
率
(1)P(X=4)=?
(2)P(X≤4)=?
二項分配的期望值
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而當我們已經了解了分配的意義之後,我
們就可以如同之前的算法一樣來計算其望
值了。而期望值的定義和之前一樣為。
EX  
 xf  x 
二項分配的期望值
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所以我們就來計算吧
EX  
n
 k P  X
 k
k 0
n

n!
 k  k !  n  k  ! p 1  p 
k
n
 np   C
k 1
n 1
k 1
p
k 1
1  p 
 k C
n
k
p
k
1  p 
nk
k 0
nk
k 1
n
 n  1 !
nk
k 1
 np  
p 1  p 
k 1  k  1  !  n  k  !
nk
n
 np
二項式的期望值
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或者還有一種看法,二項分配就是做了n次
的伯努利分配,你知道伯努利分配的期望
值為 E  x   0  1  p   1  p  p
將伯努利分配的期望值乘上n倍就是二項分
配的期望值 n p
二項分配的變異數
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變異數的定義指的是,每一項和平均值的
差的平方的平均。定義如下
V ar  X
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
 E  X  E  X


2


  x  E  X 
2
f x
可以注意一下,這和標準差是不是很像?
而經過一些整理這可以變成比較好算的形
式 Var  X   E  X 2   E X 2

 E  X
X

 
 1    E  X   E  X

2
二項分配的變異數
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一樣來計算一下吧~過程略寫在下方(類似
算期望值的技巧)
E  X
X
 1    n  n  1  p
2
E  X   np
V ar  X

E  X
X
 1    E  X   E  X
 n  n  1  p  np   np   np 1  p 
2
2

2
二項分配的變異數
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或者還有一種看法,二項分配就是做了n次
的伯努利分配,你知道伯努利分配的變異
數為 V ar  X    0  p  1  p   1  p  p  p 1  p 
將伯努利分配的變異數乘上n倍就是二項分
配的變異數 V a r  X   n p  1  p 
2

2
例題3
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全校每位學生投擲一公正硬幣20次,設X是
每個人所擲出正面的次數,求X的平均數(期
望值)與標準差。
二項分配如何趨近常態分配
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在統計上,中央極限定理說的是當n很大的
時候二項分配會越來越接近常態分配的情
形。
中央極限定理
設 X1, … , Xn 是獨立且具相同分配的隨機變數,其中
E(X1) = m,Var(X1) = s 2,則
Xn m
當 n → ∞ 時,隨機變數 s
的分配會趨近於標準常
n
態分配 ,
( X 1   X n )  nm
也就是說隨機變數
常態分配
ns
的分配會趨近於標準

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