Kwt-6-7.Distribusi Peluang, Binomal, Poisson-2013

Report
Kuswanto, 2013
Pengertian
Peubah acak
 Peubah
acak adalah suatu kejadian
yang dapat diucapkan dalam bentuk
bilangan nyata. Notasi yang sering
digunakan adalah X, Y, Z.
Macam peubah acak

Peubah acak diskrit, misalnya : jumlah orang
dalam satu ruangan.



Dengan demikian ruang contoh diskrit adalah ruang
contoh yang mengandung jumlah titik tak terhingga,
tetapi sama banyaknya dengan bilangan cacah.
Peubah acak diskrit digunakan untuk data yang
berupa cacahan.
Peubah acak kontinyu, misalnya : produksi
padi/ha.


Ruang contoh kontinyu adalah ruang contoh yang
mengandung titik tak terhingga yang sama dengan
banyaknya titik pada sebuah garis.
Peubah acak kontinyu digunakan untuk data yang
diukur
Sebaran Peluang Diskrit

Sebaran peluang diskrit adalah
sebuah tabel atau rumus yang
mencantumkan semua
kemungkinan nilai suatu peubah
acak diskrit berikut peluangnya.

Sebaran peluang Binom dan Poisson
termasuk kelompok ini.
Contoh

Apabila sepasang dadu dilemparkan, maka
peubah acak X adalah jumlah bilangan. X
adalah nilai bulat 2 sampai 12. Dua dadu dapat
mendarat dalam (6) (6) cara masing-masing
dengan peluang 1/36. P(X=3) = 2/36, karena
jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara.


x
2
3
4
5 6
7 8 9 10 11 12
-------------------------------------------------------------------------------------P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Untuk menggambarkan sebaran peluang dapat
mengggunakan grafik dalam bentuk histogram
peluang.
Histogram
Sebaran peluang binom



Berdasarkan percobaan Bernoulli hasilnya
diklasifikasikan sebagai sukses S (berhasil)
dan gagal (G).
P(S) = p = n dan P(G) = q = 1-n p+q = 1
Contoh :



kontrol kualitas barang diklasifikasikan sebagai
cacat (C) dan baik (B)
efektifitas obat  sembuh (S) dan tak sembuh (G)
kelahiran anak  pria (S) dan wanita (G) atau
wanita (S) dan pria (G
Fungsi sebaran binomial









Misal X menyatakan banyaknya berhasil dalam n usaha
tsb, dimana n = 3 dan X=1, maka
S ----- S ----- S
G
G ----- S
G
G ----- S ----- S
G
G ----- S
G


untuk X (banyaknya berhasil) = 1
SGG = pqq = pq²
GSG = qpq = pq²
GGS = qqp = pq²
P(x=1) = 3(pq²) = (3 1) p1 q3-1
karena n=3, x = sukses, (n-x)
gagal, maka kombinasi C(n x) =
banyaknya susunan
Jadi f(x) = (n x) px qn-x dinamakan fungsi
binomial
sebaran
Contoh sebaran binomial


Produsen bibit jambu menjamin bahwa bibit jambu okulasi yang
dihasilkan mempunyai peluang hidup 0,90. Untuk membuktikan
pernyataan tersebut, seorang konsumen membeli dan menanam
10 bibit okulasi. Tentukan berapa peluang hidup terhadap 8 bibit
jambu okulasi yang dibeli tersebut!
Jawab : Dari soal tersebut diketahui bahwa n=10, x=8, p=0,90
sehingga q = 1-0,90 = 0,1. Berdasarkan rumus peluang
binomial, maka peluang hidup dari 8 bibit adalah :




P(x=8) = (10 8) (0,90)8 (0,1)2
= 10!/8!.2! . (0,90)8 (0,1)2 = 0,194
Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel
peluang binom yang telah tersedia.
Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.
Interpretasi

Nilai peluang ini harus diinterpretasikan, agar dapat
dipahami maknanya. Peluang hidup 8 bibit dari 10 bibit
yang ditanam adalah 0,194. Apabila bibit yang ditanam
adalah b1, b2, …, b8, b9 dan b10, maka peluang hidup
b1, b2, …, b8 adalah 0,194. Tidak semua bibit dari 8
bibit tersebut dapat hidup setelah ditanam. Walaupun
produsen menjamin semua bibit jambu okulasi yang
dihasilkan mempunyai peluang hidup 0,90, namun
peluang hidup 8 bibit dari 10 bibit yang diuji adalah
0,194
Penggunaan tabel binomial
Contoh soal tersebut dapat pula
dikerjakan dengan memanfaatkan tabel
peluang binom yang telah tersedia.
 Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih
cepat.

Penggunaan tabel binomial
Untuk contoh soal tersebut, pilih n = 10
kemudian dicari jumlah berhasil x = 8.
 Karena peluang keberhasilan adalah 0,90,
maka dari x = 8 ditarik ke kanan sampai
pada p = 0,90.
 Namun demikian, sebelum mencari nilai
peluang dari tabel, rumus peluang harus
dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh tabel --Binomial
P
x
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
0
0.599 0.349 0.197 0.107 0.056 0.028 0.013 0.006 0.003 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1
0.914 0.736 0.544 0.376 0.244 0.149 0.086 0.046 0.023 0.011 0.005 0.002 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2
0.988 0.930 0.820 0.678 0.526 0.383 0.262 0.167 0.100 0.055 0.027 0.012 0.005 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
3
0.999 0.987 0.950 0.879 0.776 0.650 0.514 0.382 0.266 0.172 0.102 0.055 0.026 0.011 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000
4
1.000 0.998 0.990 0.967 0.922 0.850 0.751 0.633 0.504 0.377 0.262 0.166 0.095 0.047 0.020 0.006 0.001 0.000 0.000
5
1.000 1.000 0.999 0.994 0.980 0.953 0.905 0.834 0.738 0.623 0.496 0.367 0.249 0.150 0.078 0.033 0.010 0.002 0.000
6
1.000 1.000 1.000 0.999 0.996 0.989 0.974 0.945 0.898 0.828 0.734 0.618 0.486 0.350 0.224 0.121 0.050 0.013 0.001
7
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.995 0.988 0.973 0.945 0.900 0.833 0.738 0.617 0.474 0.322 0.180 0.070 0.012
8
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.998 0.995 0.989 0.977 0.954 0.914 0.851 0.756 0.624 0.456 0.264 0.086
9
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.997 0.994 0.987 0.972 0.944 0.893 0.803 0.651 0.401
10 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
Contoh lain


Untuk n=15 dan p=0,4, hitung P(x ≥10) dan P(3 
x 8). Gunakan Tabel Binomial
Jawab :
P(x ≥ 10) = 1 - P(x  9) = 1 - 0,966 = 0,034
 lihat tabel
 P(3  x 8) = P(x  8) - P(x  2)

= 0,905 - 0,0271 = 0,878


P (x=4) = P(x  4) - P(x 3)

= ??? Coba kerjakan
Latihan dan diskusi
1. Tentukan peluang mendapatkan tepat bilangan 2 apabila
sebuah dadu dilemparkan!
2. Peluang bunga anggek akan mekar besuk pagi adalah 0,4.
Bila 15 tanaman yang bunganya akan mekar sedang diuji,
berapa peluang :



a). sekurang-kurangnya 10 tanaman yang bunganya akan mekar
b). ada 3 sampai 8 tanaman yang bunga akan mekar
c). tepat 5 tanaman yang bunganya akan mekar
3. A campus newspaper claims that 80% of the student support
its view on a campus issue about hybrid rice production. A
random sample of 20 agriculture faculty students is taken, 12
students agree with the newspaper. Find P(12 or less agree),
if 80% support the view, and comment on the plausibility of
the claim.
4. Suppose it is known that a new pesticide treatment is successful
in killing a insect in 50% of the cases. If it is tried on 15 insects,
find the probability that :



a). at most 6 will be killed,
b). the number killed will be now fewer than 6 and no more
than 10,
c). 12 or more will be killed
5. Using binomial table, find the probability of :
 a. 3 successes in 8 trials when p = 0,4
 b. 7 failures in 16 trials when p = 0,6
 c. 3 or fewer successes in 9 trials when p = 0,4
 d. more than 12 successes in 16 trials when p = 0,7
 e. the number of successes betweet 3 and 13 (both inclusive)
in 16 trials when p
= 0,6
6. Only 30% of the students in agriculture
faculty feel that this subject is easy. If 20
students are selected at random, find the
probability that 5 or less will feel that this
subject is easy. Find the probability that
exactly 6 students feel that this subject is
easy.
 Find the cases of other binomial
distribution?
Sebaran peluang Poisson
Percobaan Poisson : suatu percobaan
yang menghasilkan variabel random x,
yang menyatakan jumlah berhasil dalam
suatu selang (interval) tertentu atau
daerah tertentu.
 Selang waktu mulai milidetik sampai
tahunan.
 Daerah juga mulai dari satuan panjang,
luas ataupun volume.

Contoh percobaan Poisson :
 Jumlah
sambungan telepon yang masuk
suatu kantor
 Jumlah langganan yang datang pada
suatu super market per 5 menit
 Jumlah salah ketik per halaman
 Jumlah tikus sawah per hektar
Ciri-ciri lain sebaran Poisson




Independen antar daerah atau waktu
Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap
suatu waktu sebanding dengan satuan waktu
tersebut
Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam
selang waktu atau daerah yang pendek,
mendekati nol
e-  x
f(x) = ------------- dimana x = 0,1,2,…
x!
e = 2,71828
Contoh

Rata-rata jumlah bunga mekar sempurna di pagi hari,
pada tanaman kacang bambara (kacang bogor) adalah 7
bunga per hari. Berdasarkan kejadian tersebut,
tentukan peluang :
a. terdapat 5 bunga mekar per hari
b. terdapat kurang atau sama dengan 9 bunga mekar per hari
c. lebih dari 12 bunga mekar per hari

Jawab
a.P(x=5, =7) = (e-7 . 75)/5! = ……. Atau …
Interpretasi

Walaupun hasil penelitian mengatakan
bahwa jumlah bunga kacang bogor yang
mekar tiap hari adalah 7 kuntum, namun
peluang yang mekar tepat 5 kuntum hanya
0,1277.
Penggunaan Tabel Poisson
Untuk nilai µ = 7 dapat dilihat pada kolom
paling kanan, kemudian untuk mencari
P(5,µ), ditarik titik temu antara x=5 dengan
µ=7, dan diperoleh nilai peluang 0,3007.
 Namun demikian sebelum mencarai nilai
peluang pada tabel, rumus peluang harus
dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh tabel poisson
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6.10
0.0022
0.0159
0.0577
0.1425
0.2719
0.4298
0.5902
0.7301
0.8367
0.9090
0.9531
0.9776
0.9900
0.9958
0.9984
0.9994
0.9998
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
6.20
0.0020
0.0146
0.0536
0.1342
0.2592
0.4141
0.5742
0.7160
0.8259
0.9016
0.9486
0.9750
0.9887
0.9952
0.9981
0.9993
0.9997
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
6.30
0.0018
0.0134
0.0498
0.1264
0.2469
0.3988
0.5582
0.7017
0.8148
0.8939
0.9437
0.9723
0.9873
0.9945
0.9978
0.9992
0.9997
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
6.40
0.0017
0.0123
0.0463
0.1189
0.2351
0.3837
0.5423
0.6873
0.8033
0.8858
0.9386
0.9693
0.9857
0.9937
0.9974
0.9990
0.9996
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
µ (lt)
6.50
6.60
0.0015 0.0014
0.0113 0.0103
0.0430 0.0400
0.1118 0.1052
0.2237 0.2127
0.3690 0.3547
0.5265 0.5108
0.6728 0.6581
0.7916 0.7796
0.8774 0.8686
0.9332 0.9274
0.9661 0.9627
0.9840 0.9821
0.9929 0.9920
0.9970 0.9966
0.9988 0.9986
0.9996 0.9995
0.9998 0.9998
0.9999 0.9999
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
6.70
0.0012
0.0095
0.0371
0.0988
0.2022
0.3406
0.4953
0.6433
0.7673
0.8596
0.9214
0.9591
0.9801
0.9909
0.9961
0.9984
0.9994
0.9998
0.9999
1.0000
1.0000
6.80
0.0011
0.0087
0.0344
0.0928
0.1920
0.3270
0.4799
0.6285
0.7548
0.8502
0.9151
0.9552
0.9779
0.9898
0.9956
0.9982
0.9993
0.9997
0.9999
1.0000
1.0000
6.90
0.0010
0.0080
0.0320
0.0871
0.1823
0.3137
0.4647
0.6136
0.7420
0.8405
0.9084
0.9510
0.9755
0.9885
0.9950
0.9979
0.9992
0.9997
0.9999
1.0000
1.0000
7.00
0.0009
0.0073
0.0296
0.0818
0.1730
0.3007
0.4497
0.5987
0.7291
0.8305
0.9015
0.9467
0.9730
0.9872
0.9943
0.9976
0.9990
0.9996
0.9999
1.0000
1.0000
Menggunakan tabel poisson


Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan
tabel peluang Poisson yang telah tersedia.
Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.
Dari Tabel tersebut, dipeoleh :

5
4
a..  (P(x,7) -  P(x,7) = 0,3007 - 0,1730 = 0,1277 (lihat tabel)
x=0
x=0

9
b)  (P(x,7) = 0,8305
x=0

12
= 1 -  (P(x,7) = 1- 0,9730 = 0,00270
x=0
Ciri distribusi poisson
Independen antar daerah atau waktu
 Peluang terjadinya suatu sukses relatif
terhadap suatu waktu sebanding dengan
satuan waktu tersebut
 Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses
dalam selang waktu atau daerah yang
pendek, mendekati nol

Latihan dan diskusi
1.
2.
Rata-rata banyaknya tikus per ha dalam suatu ladang
gandum seluas 5 ha diduga sebesar 10 ekor. Hitung
peluang bahwa dalam suatu luasan 1 ha terhadap
lebih dari 15 tikus.
Di Kabupaten Malang secara rata-rata dilanda 6 angin
ribut per tahun. Hitunglah peluang bahwa dalam suatu
tahun tertentu daerah ini akan dilanda :

kurang dari 4 kali angin ribut

6 sampai 8 kali angin ribut

Tepat 5 angin ribut

Tepat 6 angin ribut. Apa bedanya dengan
reratanya?
Latihan dan diskusi
3.
Seorang grower tanaman hias mampu
menghasilkan 2 jenis spesies silangan baru per
tahun. Pada tahun depan spesies baru yang akan
dihasilkan, akan dikenalkan pada pameran flora
Indonesia. Berapa peluang bahwa tahun depan ia
akan membuat :
 4 atau lebih spesies silangan baru
 Tidak dapat menghasilkan spesies
 kurang 2 spesis
 lebih dari 4 spesies

similar documents